高考数学总复习_高中数学必修一

∴ p : 2 ≤ x ≤ 2． 3Fra Baidu bibliotek
∵ q : ( x 1)(x 2) 0 ，即 x 1或 x 2 ，
∴ q : 1≤ x≤ 2 ．
由集合关系知： p
q ，而 q ? p ．
∴ p 是 q 的充分条件，但不是必要条件．故选（Ａ）．
4. 若 k R ，则“ k 3 ”是“方程 x2
y2 1 表示双曲线”的（
x2 mx y 2 0，
由
，得
x y 1 0(0 ≤ x ≤ 2)，
x2 ( m 1)x 1 0(0 ≤ x ≤ 2) ，
①
∵ AI B ，
∴方程①在区间［ 0， 2］上至少有一个实数解．
首先，由
(m 1)2 4 ≥ 0 ，得 m≥ 3 或 m≤ 1 ．
当 m≥3 时，由 x1 x2 (m 1) 0 及 x1 x2 1 知，方程①只有负根，不符合要求； 当 m≤ 1时，由 x1 x2 (m 1) 0 及 x1x2 1 0 知，方程①有两个互为倒数的正根，故必有一 根在区间 (0，1] 内，从而方程①至少有一个根在区间［ 0， 2］内．
）．
k3 k3
（ A）充分条件 （ C）充要条件
（ B）必要条件 （ D）既不充分又不必要条件
解析：方程 x2
y2
1 表示双曲线
k3k3
(k 3)( k 3) 0 k 3 或 k 3 ．故选（ A）．
二、集合与函数
5. 已知集合 P { y y x2 2， x R}，Q { x y x 2，x R} ，那么 P I Q 等于（
A, y∈ B，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y），则 y 叫做 x 的象， x 叫 y 的原象。集合 { f(x)|x∈ A} 叫函数的值域。
通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数
y=3 x -1 的
定义域为 { x|x≥ 0,x∈ R}.
定义 3 反函数， 若函数 f: A→ B（通常记作 y=f(x)）是一一映射， 则它的逆映射 f-1: A→ B 叫原函数的反函数， 通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是： 在解析式 y=f(x) 中反解 x 得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f -1( x)，
）．
（ A）（ 0， 2），（ 1， 1） （ C）｛ 1， 2｝
（B）｛（ 0， 2），（ 1， 1）｝
（ D） { y y ≤ 2}
解析：由代表元素可知两集合均为数集，又
P 集合是函数 y x2 2 中的 y 的取值范围，故 P 集合
的实质是函数 y x2 2 的值域．而 Q集合则为函数 y x 2 的定义域， 从而易知 P I Q { y y ≤ 2} ，
y x 上的点组成的点集； 集合 x y x 中的元素是 x ，这个集合表示函数 y x 中自变量 x 的取值范围；
集合 y y x 中的元素是 y ，这个集合表示函数 y x 中函数值 y 的取值范围；
集合 y x 中的元素只有一个（方程 y x ），它是用列举法表示的单元素集合．
（ 4）常见题型方法：当集合中有 二、基础例题（必会）
最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数
y= 1 的反函数是 y=1- 1 (x 0).
1x
x
补充知识点：
定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。
定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
高考数学复习宝典
目录 一、 2011 年高考数学全部知识点整理 + 经典例题详细解析
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高中数学必修五、
高中数学必修一
第一章、集合
一、基础知识（理解去记）
定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合
（ 3）无序性 集合中的元素的次序无先后之分．如：由
都表示同一个集合．
1，2，3 组成一个集合，也可以写成 1，3，2 组成一个集合，它们
帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题
（ 1）注意 a 与 a 的区别． a 是集合 a 的一个元素，而
a 是含有一个元素 a 的集合，二者的关系是
a a． （ 2）注意 与 0 的区别． 是不含任何元素的集合，而 0 是含有元素 0 的集合．
∴ A I B y 1≤ y ≤ 3 ．
解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元素），均是 y ，所以要求出两个集合中 y 的
范围再求交集， A 中的 y 范围是求表达式的值域、因此 此题是表示两个函数值域的集合． 例 2 若 A 2，4， a3 2a2 a 7 ，
B 1，a 1，a2 2a 2， 1 (a2 3a 8)，a3 a2 3a 7 ，且 A I B 2
{1 ， 2，3} ；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如
{ 有理数 } ， { x x 0} 分
别表示有理数集和正实数集。
定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的
子集，记为 A B ，例如 N Z 。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B 的子集， B 也是 A 的子集，
方法：将集合 B 两个表达式都等于 3，且抓住集合三大性质。【答案】 1.
x2 2.（ 2010. 湖北卷 2.）设集合 A={( x, y) |
y2 1} ，B={( x, y) | y 3x } , 则 A∩ B 的子集的个数是 （
）
4 16
A. 4 B.3 C.2 D.1
方法：注意研究元素，是点的形式存在， A 是椭圆， B 是指数函数，有数形结合方法，交于两个点，说明
（ 3）在用列举法表示集合时， 一定不能犯用 ｛实数集｝ 或 R 来表示实数集 R 这一类错误， 因为这里 “大
括号”已包含了“所有”的意思． 用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而
准确地理解集合的意义．例如：
集合 ( x， y) y x 中的元素是 ( x， y) ，这个集合表示二元方程 y x 的解集，或者理解为曲线
中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素
x 在集合 A 中，称 x 属于 A，记为 x A ，否则称 x 不
属于 A，记作 x A 。
例如，通常用 N，Z， Q， B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何
元素的集合称为空集，用
来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如
a 2 0， ≤ 0，
a 2，
即
42 4(a 2)(a 1)≤ 0，
解得 A { a a ≥ 2} ．
集合 B是不等式 x2 (2m 1)x m( m 1) 0 的解集，
可求得 B { x m x m 1} ，
结合数轴，只要 m 1 2 即可，解得
五、集合与解析几何
m 1．
例 6 已知集合 A {( x， y) x2 mx y 2 0} 和 B {( x， y) x y 1 0，0 ≤ x ≤ 2} ，
则由 A I B ，可得两种情况：
①A
，则由
( p 2) 2 4 0 ，得 4 p 0 ；
②方程 x2 ( p 2) x 1 0 无正实根，因为 x1x2 1 0 ，
≥ 0，
则有
于是 p≥ 0 ．
( p 2) 0，
综上，实数 p 的取值范围为 { p p 4} ．
四、集合与不等式 7. 已知集合 A { a ax2 4x 1≥ 2 x2 a恒成立 }， B { x x2 (2 m 1)x m(m 1) 0} ，
2，5 ，试求实数 a ．
正解： ∵ A∩B=｛ 2， 5｝，∴由 a 3 2a 2 a 7 5 ，
解得 a 2或 a 1．
当
a=1 时，
2
a
2a
2
1 与元素的互异性矛盾，故舍去
a 1；
当 a 1 时， B 1，0，5，2，4 ，此时 A I B 2，4，5 ，这与 A I B 2，5 矛盾，故又舍去 a 1 ；
n 个元素时，有 2n 个子集，有 2n-1 个真子集，有 2n-2 个非空真子集。
例 1 已知 A y y x2 4x 3， x R ， B y y x2 2 x 2，x R ，求 A I B ．
正解 ： ∵ y
2
x
4x 3
(x
2
2)
1≥
1，
y x2 2x 2 (x 1)2 3≤ 3 ，
∴A y y≥ 1 ， B y y≤3 ，
若 A I B ，求实数 m的取值范围． 解析：由不等式 ax2 4 x 1≥ 2 x2 a 恒成立，
可得
(a 2) x2 4x ( a 1) ≥ 0 ，
（※）
（ 1）当 a 2 0 ，即 a
2 时，（※）式可化为 x≥ 3 ，显然不符合题意． 4
（ 2）当 a 2 0 时，欲使（※）式对任意
x 均成立，必需满足
当 a 2 时， A 2，4，5 ， B 1，3，2，5，25 ，此时 A I B 2，5 满足题意，故 a 2 为所求．
解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：①确定性
②互异性 ③无序性
三、趋近高考（必懂） 1.（ 2010 年江苏高考 1） 设集合 A={-1,1,3} ，B={ a+2,a 2+4},A ∩ B={3}，则实数 a=______________
如：“所有大于 100 的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集
合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合．
（ 2）互异性
对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作
这个集合中的一个元素．如：由 a ， a 2 组成一个集合，则 a 的取值不能是 0 或 1．
集合中有两个元素，还要注意，题目求子集个数，所以是
集合穿针 转化引线（最新）
22=4【答案】 A
一、集合与常用逻辑用语
3. 若 p : 3x2 8x 4 0， q : ( x 1)(x 2) 0 ，则 p 是 q 的（ ）．
（ A）充分条件
（B）必要条件
（ C）充要条件
（D）既不充分又不必要条件
解析：∵ p : 3x2 8x 4 0 ，即 x 2 或 x 2， 3
综上，所求 m的取值范围是 ( ， 1] ．
第二章、函数
一、基础知识（理解去记）
定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一 个元素与之对应，则称 f: A→ B 为一个映射。 定义 2 函数，映射 f: A→B 中，若 A， B 都是非空数集，则这个映射为函数。 A 称为它的定义域，若 x∈
选（ D）． 评注： 认识一个集合， 首先要看其代表元素，
或（Ｃ）． 三、集合与方程
再看该元素的属性，
本题易因误看代表元素而错选
（Ｂ）
6. 已知 A { x x2 ( p 2) x 1 0，x R}， B { x x 0} ，且 A I B
，求实数 p 的取值范围．
解析：集合 A 是方程 x2 ( p 2) x 1 0 的解集，
如果 A I B
，求实数 m的取值范围．
解析：从代表元素 ( x， y) 看，这两个集合均为点集，又 x2 mx y 2 0 及 x y 1 0 是两个曲
线方程，故 A I B
的实质为两个曲线有交点的问题，我
们将其译成数学语言即为：“抛物线
x2 mx y 2 0 与线段 x y 1 0(0 ≤ x ≤ 2) 有公共点，求实数 m的取值范围．”
{ x a x b, x R, a b} 记作闭区间 [a, b] ，R 记作 ( , ).
定义 7 空集 ?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
补充知识点 对集合中元素三大性质的理解
（ 1）确定性
集合中的元素，必须是确定的．对于集合
A 和元素 a ，要么 a A ，要么 a A ，二者必居其一．比
则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。
便于理解： A B 包含两个意思：① A 与 B 相等 、② A 是 B 的真子集
定义 3 交集， A B { x x A且 x B}.
定义 4 并集， A B { x x A或 x B}.
定义 5 补集，若 A I ,则 C1 A { x x I , 且x A} 称为 A 在 I 中的补集。 定义 6 集合 { x a x b, x R, a b} 记作开区间 (a, b) ，集合