分位数回归的方法及其的应用50页PPT
分位数回归ppt课件
分位数回归估计与经典模型的最小二乘估 计相比较，有许多优点。
当数据出现尖峰或厚尾的分布、存在显 著的异方差等情况，最小二乘估计将不再具 有优良性质，且稳健性非常差。分位数回归 系数估计结果比OLS估计更稳健，而且，分 位数回归对误差项并不要求很强的假设条件， 因此对于非正态分布而言，分位数回归系数 估计量则更加稳健。
i
n
i : Y i
上式可等价为：
min (Yi )
R
i1
一般的
uu I u 0
分位数回归的损失函数为：
其中， I Z 为示性函数，Z是指示关系式。 当分位数为0.5时，就是最小一乘回归，即 中位数回归。
普通最小二乘估计 基本思想 目的 原理 算法 前提假设 假设要求 检验类型 承载信息 极端值 异方差 拟合曲线 计算方法
分位数回归估计
设法使所构建的方程和样本之间的距 同普通最小二乘估计方法 离最短 借助数学模型对客观世界所存在的事 同普通最小二乘估计方法 物间的不确定关系进行数量化描写 以平均数为基准，求解最短距离 最小二乘法 独立、正态、同方差 强假设 参数检验 描述平均的总体信息 无法考虑极端值的影响 影响大 只能拟合一条曲线 求偏导解行列式，算法完备 以不同的分位数为基准，求解最 短距离 加权最小一乘法 独立 弱假设 非参数检验 充分体现整个分布的各部分信息 可以充分考虑极端值的影响 影响小 可以拟合一簇曲线 自助方法估计标准误差，多种算 法求解目标函数
min ( yi )2
R
i 1 n
样本中位数回归是使误差绝对值之和最小，即
min | yi |
R
计量分位数回归 eviews
共计
2420
21450 21285
15510
• 由于不确定因素的影响，对同一收入水平X， 不同家庭的消费支出不完全相同； • 但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费 支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条 件的Y的条件分布（Conditional distribution） 是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。 • 因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条 件均值（conditional mean）或条件期望 （conditional expectation）：E(Y|X=Xi)。 • 该例中：E(Y | X=800)=605
V yi xi β
i 1
N
针对LAD方法的回归估计是条件分位点回归的一种特殊情况， 通常被人们称为“中位数回归”。 分位数回归的系数估计需要求解线性规划问题，很多种方法 可以对此问题进行求解。
1、条件均值（conditional mean）
• 例2.1.1：一个假想的社区有99户家庭组成， 欲研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭 可支配收入X的关系。 即如果知道了家庭的月 收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出 水平。 • 为达到此目的，将该99户家庭划分为组内收入 差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费 支出。
表 2.1.1 某社区家庭每月收入与消费支出统计表 每月家庭可支配收入 X（元） 800 每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元） 561 594 627 638 1100 638 748 814 847 935 968 1400 869 913 924 979 1012 1045 1078 1122 1155 1188 1210 1700 1023 1100 1144 1155 1210 1243 1254 1298 1331 1364 1408 1430 1485 2000 1254 1309 1364 1397 1408 1474 1496 1496 1562 1573 1606 1650 1716 2300 2600 2900 1969 1991 2046 2068 2101 2189 2233 2244 2299 2310 3200 2090 2134 2178 2266 2354 2486 2552 2585 2640 3500 2299 2321 2530 2629 2860 2871 1408 1650 1452 1738 1551 1749 1595 1804 1650 1848 1672 1881 1683 1925 1716 1969 1749 2013 1771 2035 1804 2101 1870 2112 1947 2200 2002 4950 11495 16445 19305 23870 25025
贝叶斯分位数回归方法
贝叶斯分位数回归方法是一种结合了贝叶斯理论与分位数回归的统计分析方法。
它允许我们在给定分位数水平下，估计自变量和因变量之间的关系，同时提供了对模型参数的不确定性度量。
这种方法的提出，为我们提供了一种新的视角来处理回归问题，特别是在处理具有异方差性、非对称分布或异常值的数据时，显示出其独特的优势。
首先，我们需要了解分位数回归的基本概念。
分位数回归是一种描述自变量和因变量的分位数之间线性关系的回归方法。
与传统的均值回归不同，分位数回归关注因变量的条件分位数，而不是条件均值。
这样，它可以提供更丰富的信息，比如因变量在不同分位数水平下的变化情况。
此外，分位数回归对模型中的随机误差项不需做任何分布的假定，这使得整个回归模型具有更强的稳健性。
贝叶斯方法的引入，为分位数回归提供了新的估计参数的方式。
在贝叶斯框架下，参数被视为随机变量，而不是固定的未知量。
我们通过为先验分布和似然函数指定概率模型，然后使用贝叶斯定理来计算参数的后验分布。
这种方法允许我们利用先验信息，并在新的数据出现时更新我们的信念。
在贝叶斯分位数回归中，一个关键步骤是假设分位数回归模型的误差项服从非对称拉普拉斯分布。
这是因为分位数回归的损失函数与非对称拉普拉斯分布的密度函数具有紧密的联系。
通过假设误差项服从非对称拉普拉斯分布，我们可以写出似然函数，并在特定的分位数水平下极大化似然函数。
这样，分位数回归的参数估计值就可以通过优化得到。
贝叶斯分位数回归方法的优点在于，它结合了分位数回归的稳健性和贝叶斯方法的灵活性。
通过利用先验信息，贝叶斯分位数回归可以在数据稀疏或存在异常值的情况下提供更准确的估计。
此外，由于参数被视为随机变量，我们可以得到参数的不确定性度量，这对于决策制定和模型验证非常有用。
然而，贝叶斯分位数回归方法也存在一些挑战。
首先，选择合适的先验分布可能是一个难题，因为不同的先验分布可能会导致不同的后验推断。
其次，计算后验分布通常需要高维积分，这在计算上可能是昂贵的。
分位数回归(精选优秀)PPT
分回位归数 分回析归的原参基理数本估思计想的就思是想使样本值以与平拟合均值数之为间的基距准离，最求短，解对最于短Y的距一离组随机样本以，不样本同均ห้องสมุดไป่ตู้值分回归位是数使为误差基平准方，和求最小解，最即
斜率对称性检验，即检验对于给定的X，Y的分布是否是对称的。
短距离
如果对一个随机变量进行函数h的单调转换（如指数或对数函数），分位数可通过对分位数函数进行同样的转换而得利。
分位数回归参数估计的思想
与LR估计量明显不同的QR估计量的特点在于， 在QR中数据点到回归线距离的测量通过垂直距离 的加权总和（没有平方）而求得，这里赋予拟合 线之下的数据点的权重是1-τ,而赋予拟合线之上 的数据点的权重则是τ.对于τ的每一个选择，都会 产生各自不同的条件分位数的拟合函数，这一任 务是为每一个可能的寻找适合的估计量。
非参数检验
原假设相当于对分位数回归估计施加了个约束（斜率中不包括常数项）。
如果对一个承随载机信变息量进行函数h的单描调述转平换均（如的指总数体或对信数息函数），分位数可通过对分充位分数体函现数进整行个同分样的布转的换各而部得利分。信息
样本分位数回归是使加权误差绝对值之和最小，即
将解释变量极矩端阵值和参数向量都分为无两法部分考，虑即极端值的影响
当
算法 显著异于零时，约最束条小件二无乘效法，拒绝原假设。
加权最小一乘法
m一是、奇分数位，数前代回提表归假分的位设提数出回归个数。独立、正态、同方差
独立
换参言数之 估，计如量假果按设照q是要τkY的求的大第小p分排位序数。，强那么假h设(q)是h(Y)的第p分位数。
弱假设
同时考虑多检个验分类位型数回归式称作系参列数分位检数验回归分析。
基于Eviews的分位数回归分析课件
基于Eviews的分位数回归分析
• 考察此最小化问题的一阶条件为：
0d( Fy)(1)d( Fy)
（4.7.4）
y
y
(1F()) (1)F()F()
• 即F() = ，也就是说F(Y)的第 个分位数是上述优化问题的解。
基于Eviews的分位数回归分析
系数协方差的估计
• 1．独立同分布设定下协方差矩阵的直接估计方法 • （1）Siddiqui 差商法 • （2）稀疏度的核密度估计量 • 2．独立但不同分布设定下协方差矩阵的直接估计方法 • 3．自举法（Bootstrap） • （1）X-Y自举法 • （2）残差自举方法 • （3）马尔可夫链边际自举法
• 1. 方法选择
• 为了使用分位数回归方法估计方程，在方程设定对话框的估计方法 中选择“QREG”，打开分位数回归估计对话框：
•
图4.15 分位数回归
• “Quantile to estimate”后面输入值，可以输入0~1之间的任意数值， 默认值是0.5，即进行中位数回归。
基于Eviews的分位数回归分析
0.24 （0.25）
ˆ2
0.62
0.93
0.74
0.46
（0.001） （0.00） （0.0002） （0.16）
0.13
0.08
0.11
0.13
ˆ3
（0.001） （0.08） （0.009） （0.03）
R2
0.99
0.96
0.97
0.96
注：括号内为弹性系数的t值； Quant20， Quant50， Quant80分别
基于Eviews的分位数回归分析
模型评价和检验
• 1．拟合优度
分位数回归理论与应用PPT学习教案
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4. 分位数回归（Quantile Regression）模型的估计
由于目标函数（15.3）
T
T
Q
(1 )( yt X βˆ( ) )
( yt X βˆ( ) )
t:yt X ˆ( )
②Powell(1984,1989)提出的核密度法。
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（3）参数渐近分布的自举法 EViews 中给出了四种自举方法， ①残差自举法 ②XY 对自举法(XY-pair or design bootstrap) ③MCMB 马尔可夫链边际自举法 ④MBMB-A 马尔可夫链边际自举法
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（1）独立同分布假设下的参数渐近分布 Koenker 和 Bassett(1978)在独立同分布假设下得出分位数回归系数渐近服从正态 分布，可以表述为在弱条件下：
n(ˆ( ) ( ) ) ~ N(0, (1 )s( )2 J 1)
(5)
其中
J lim ( X i X i ) lim ( X X )
证明： E( y ) = -
(y ) f (y)dy
(y ) f (y)dy
-
(1)
根据莱布尼兹公式，若 F() b f (y,)dy ，则有 F() bf (y,)dy 。
a
a
令 f ( y, ) y - ，则有 F()
b(y -)dy -
b
dy
。运用于式（1），得
a
n i T
n T
(6)
s( ) F 1 ( ) 1/ f (F 1( ))
(7)
分位数回归
896.4746 476.3200
454.4782 386.3602
584.9989 423.2783
第16章 分位数回归
16.1 问题的提出
install.packages("quantreg") library(quantreg) data(engel) attach(engel) hist(foodexp) curve(density(foodexp),add=T) plot(income,foodexp,xlab="Household Income",ylab="Food Expenditure",type = "n", cex=.5) points(income,foodexp,cex=.5,col="blue")
第16章 分位数回归
16.2 总体分位数和总体中位数 另外，如果随机变量 y 分布是对称的，那么其均值与中位数是相同的。当其中位数小于均值时，分布是右
偏的。反之，分布是左偏的。一般来讲，工资的分布是右偏的（如图16-3），所以如果单纯以平均工资来反映 工资的话，这是很不恰当的，因此美国等一些国家除了公布平均工资外，还会同时公布工资的中位数和1/4、3/ 4分位数等。
表 16-1 恩格尔定律的部分数据
No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
收入 420.1577 541.4117 901.1575 639.0802 750.8756 945.7989 829.3979 979.1648 1309.8789 1492.3987
消费 255.8394 310.9587 485.6800 402.9974 495.5608 633.7978 630.7566 700.4409 830.9586 815.3602
分位数回归
分位数回归参数估计的思想
与LR估计量明显不同的QR估计量的特点在于， 在QR中数据点到回归线距离的测量通过垂直距离 的加权总和（没有平方）而求得，这里赋予拟合 线之下的数据点的权重是1-τ,而赋予拟合线之上 的数据点的权重则是τ.对于τ的每一个选择，都会 产生各自不同的条件分位数的拟合函数，这一任 务是为每一个可能的寻找适合的估计量。
示，对于条件均值函数E(Y|Xx)xi' ，求解
^
argminRk
n
(Yi xi')2
i1
得参数估计值。
分位数回归是对如上简单形式的扩展：
^
argm inRk
n
(Yi xi')
i1
通过对上式求解得到其参数估计值。
参数意义解释：当其它协变量保持不变时，这一估计差异 来自一个连续型协变量的单位增量，或者虚拟变量值从0 到1的变化。
人们当然也关心解释变量与被解释变量分 布的中位数，分位数呈何种关系。这就是分位 数回归，它最早由凯恩克（Koenker Roger）和 巴西特（Bassett Gilbert Jr）于1978年提出， 是估计一组回归变量X与被解释变量Y的分位数 之间线性关系的建模方法，强调条件分位数的 变化。
中位数是一个特殊的分位数，它表示 一种分布的中心位置。中位数回归是分位 数回归的一种特殊情况，其他分位数则可 以用来描述一种分布的非中心位置。第p 个百分位数表示因变量的数值低于这一百 分位数的个数占总体的p%.因此，分位数 可以指定分布中的任何一个位置。
最小二乘估计假定解释变量只能影响 被解释变量的条件分布的均值位置。
而分位数回归估计能精确地描述解释 变量对于被解释变量的变化范围以及条件 分布形状的影响,能够更加全面的描述被解 释变量条件分布的全貌，而不是仅仅分析 被解释变量的条件期望（均值），也可以 分析解释变量如何影响被解释变量的中位 数、分位数等。不同分位数下的回归系数 估计量常常不同，即解释变量对不同水平 被解释变量的影响不同。
分位数回归及应用简介
分位数回归及应用简介分位数回归（Quantile Regression）是一种预测模型，与传统的最小二乘法回归（OLS regression）不同，它不仅可以估计数据的均值，还可以估计数据分布的其他分位数。
这种方法在处理不同分位数下的潜在差异时非常有用，因为它可以提供理解和预测在不同条件下的数据变化情况。
最小二乘法回归通过最小化预测值与实际值的平方差，给出一个数据分布的均值估计。
然而，由于数据的分布可能是非对称的，存在异常值或极端值，使用最小二乘法回归的均值估计可能不准确。
在这种情况下，分位数回归是一种更好的方法，因为它可以估计多个分位数，包括中位数（50%分位数）和极值（例如90%或95%分位数）。
分位数回归可以通过最小化损失函数来估计模型参数，常用的损失函数是加权绝对值损失函数。
这个损失函数对应的优化问题可以使用线性规划或非线性规划的方法求解。
通过计算不同分位数的估计结果，可以获得数据分布的详细信息。
分位数回归有一些应用的优势。
首先，它可以提供更全面的数据估计，对于非对称或含有异常值的数据分布具有更好的预测能力。
其次，分位数估计结果可以用来比较不同分位数处的特征变量对因变量的影响程度。
例如，在收入预测模型中，分位数回归可以帮助我们比较高收入人群和低收入人群对某个特征变量的影响程度。
此外，分位数回归还可以用于分析不同条件下的潜在差异，例如预测某个特征变量在不同行业、不同地区或不同时间段的变化情况。
分位数回归的应用非常广泛。
在经济学领域，它常被用于研究收入分布、贫富差距以及社会流动性等问题。
它还可以用于金融学中的风险评估和资产定价分析，其中分位数回归可以帮助我们理解极端事件的风险程度。
此外，分位数回归还可以在医学和社会科学领域中，用于研究不同群体或个体的特征与某个健康指标或社会指标的关系。
尽管分位数回归有许多优点，但也存在一些限制。
首先，分位数回归对于数据分布的假设较少，因此可以适用于各种类型的数据。
计量分位数回归 eviews课件
（4.7.3）中条件关系式 z 为 yi y，当 yi y 时，I(yi y) = 1，否则
取值为0。 12
相应地，经验分位数为：
qN ( ) inf{ y : FN ( y) } ，0 1
（4.7.6）
式（4.7.3）可以等价地表示为下面的形式：
qN
(
)
arg
min
i:
yi
7
中位数是一个特殊的分位数，它表示一种分 布的中心位置。中位数回归是分位数回归的 一种特殊情况，其他分位数则可以用来描述 一种分布的非中心位置。第p个百分位数表 示因变量的数值低于这一百分位数的个数占 总体的p%.因此，分位数可以指定分布中的 任何一个位置。
8
4.7.1 分位数回归的基本思想和系数估计
V yi xiβ (1 ) yi xiβ
i: yi xiβ
i: yi xiβ
F(y)的 分位数可以由最小化关于 的目标函数得到，即：
q(
)
arg
min
y
y
dF
(
y)
(1
)
y
y
dF
(
y)
（4.7.3）
arg min ( y )dF ( y)
其中，argmin{}函数表示取函数最小值时 的取值， (u) u( I(u < 0)) 称为检查函数（check function），依
假设随机变量 Y 的概率分布为：
F( y) Prob(Y y) Y 的 分位数定义为满足 F(y) 的最小 y 值，即：
（4.7.1）
q( ) inf{ y : F( y) } ，0 1
（4.7.2）
9
图4.7.1 cs 变量的累积分布函数F(y) 图4.7.2 cs 变量的分位数分布函数q()
第26章分位数回归
i:y q yi i:y (1 q) yi
n n
i i
13
ˆq y
例 如果 q 1 4 ，则满足“ yi ”条件的观测值只得到1 4 的权 重，而满足“ yi ”条件的其余观测值则得到 3 4 的权重。 因为估计的是1 4 分位数(位于总体的底部)，故较大的观测值得 到的权重较小，而较小的观测值得到的权重较大。 证明：将目标函数中的绝对值去掉可得
3
如果 q 1 2 ，则为中位数，正好将总体分为两个相等的部分。 如果 Fy () 严格单调递增，则有
yq Fy1 (q )
其中， Fy1 () 为 Fy () 的逆函数，参见图 26.1。
4
图 26.1 总体 q 分位数与累积分布函数
5
对于回归模型，记条件分布 y | x 的累积分布函数为 Fy | x () 。 条件分布 y | x 的总体 q 分位数，记为 yq ，满足以下定义式：
2
26.2 总体分位数 假设Y 为连续型随机变量，其累积分布函数为 Fy () 。
Y的 “总体 q 分位数” (population qth quantile，0 q 1)， 记为 yq ，
满足以下定义式：
q P(Y yq ) Fy ( yq )
其中小于或等于 yq 总体 q 分位数 yq 正好将总体分布分为两部分， 的概率为 q，而大于 yq 的概率为 (1 q) 。
i1 ( yi )
n
2
1 n y i 1 yi n
样本中位数可视为“最小化残差绝对值之和”问题的解：
min
i1 yi
n
median y1 , y2 , , yn
应用时间序列分位数回归
目錄一、為什麼需要分位數回歸二、總體分位數三、樣本分位數四、分位數回歸の估計方法五、分位數回歸模型の估計六、R軟件操作分位數回歸一、為什麼需要分位數回歸？1、一般の回歸模型著重考察x對yの條件期望E(y|x)の影響，如果y|x不是對稱分布，則E(y|x)難以反映條件分布の全貌。
如果能夠估計條件分布y|xの若幹重要の條件分位數，比如中位數等，能夠更加全面の描述被解釋變量條件分布の全貌，而不是僅僅分析被解釋變量の條件期望（均值）。
不同分位數下の回歸系數估計量常常不同，即解釋變量對不同水平被解釋變量の影響不同。
2、使用OLS 進行“均值回歸”，由於最小化の目標函數為殘差平方和，容易受極端值影響。
“分位數回歸”，使用殘差絕對值の加權平均作為最小化の目標函數，不易受極端值影響。
而且，分位數回歸對誤差項並不要求很強の假設條件，因此對於非正態分布而言，分位數回歸系數估計量則更加穩健。
二、總體分位數假設Y為連續型隨機變量，其累積分布函數為F y(·)。
Yの“總體q 分位數”，記為y q，滿足以下定義式：q = P (Y≤y q)= F y(y q)總體q分位數正好將總體分布分為兩部分，其中小於或等於y qの概率為q，而大於y qの概率為(1-q )。
如果q =1/ 2，則為中位數，正好將總體分為兩個相等の部分。
如果Fy(·)嚴格單調遞增，則有y q=F y-1 (q)對於回歸模型，記條件分布y | x の累積分布函數為F y | x (·)。
條件分布y | x の總體q分位數，記為y q，滿足以下定義式：q= F y | x (y q)假設F y | x (·)嚴格單調遞增，則有y q=F y | x-1(q)由於條件累積分布函數F y | x (·)依賴於x ，故條件分布y | xの總體q分位數y q也依賴於x，記為y q (x)，稱為“條件分位數函數”。
對於線性回歸模型，如果擾動項滿足同方差の假定，或擾動項の異方差形式為乘積形式，則y q (x)是xの線性函數。
第26章分位数回归
i:y q( yi ) i:y (1 q)( yi )
n n
i i
对 求一阶导数可得
i:y q(1) i:y (1 q) 0
n n
i i
14
假设 y( k ) y( k 1) ，其中 y( k ) 为第 k 个最小观测值，则共有 k 个 观测值满足“ yi ” ， (n k ) 个观测值满足“ yi ” ，故
(n k )q k (1 q ) 0
经整理可得
k nq
ˆ q ，即样本分位数。 k 必须是整数。故最优解 y[ nq ] y
为证明二阶条件满足，只要说明目标函数为凸函数即可。
15
定义函数 q () 为
q yi , 若 yi q ( yi ) (1 q ) y , 若 y i i
n
i i q i i q i q i q
ˆ n q yi xi i: y xˆ (1 q) yi xiˆq q
ˆ q 为样本 q 分位数，上式第二项的分子为 q 分位数回归 其中， y
目标函数的最小值 (sum of weighted deviations about estimated quantiles) ， 而 分 母 为 “ sum of weighted deviations about raw quantiles” 。
7
根据定义，条件分位数函数 yq ( x ) 满足
q P y yq ( x )
(条件分位数的定义) (代入 y x u ) (移项) (代入 u x ) (两边同除以 x 0 ) (累积分布函数的定义)
分位数回归.
2、不同分位点拟合曲线的比较# 散点图attach(engel) # 打开engel数据集，直接运行其中的列名，就可以调用相应列plot(income,foodexp,cex=0.25,type="n", # 画图，说明①xlab="Household Income", ylab="Food Expenditure")points(income,foodexp,cex=0.5,col="blue") # 添加点，点的大小为0.5abline( rq(foodexp ~ income, tau=0.5), col="blue" ) # 画中位数回归的拟合直线，颜色蓝abline( lm(foodexp ~ income), lty = 2, col="red" ) # 画普通最小二乘法拟合直线，颜色红taus = c(0.05, 0.1, 0.25, 0.75, 0.9, 0.95)for(i in 1:length(taus)){ # 绘制不同分位点下的拟合直线，颜色为灰色abline( rq(foodexp ~ income, tau=taus[i]), col="gray" )}detach(engel)3、穷人和富人的消费分布比较# 比较穷人（收入在10%分位点的那个人）和富人（收入在90%分位点的那个人）的估计结果# rq函数中，tau不在[0,1]时，表示按最细的分位点划分方式得到分位点序列z = rq(foodexp ~ income, tau=-1)z$sol # 这里包含了每个分位点下的系数估计结果x.poor = quantile(income, 0.1) # 10%分位点的收入x.rich = quantile(income, 0.9) # 90%分位点的收入ps = z$sol[1,] # 每个分位点的tau值qs.poor = c( c(1,x.poor) %*% z$sol[4:5,] ) # 10%分位点的收入的消费估计值qs.rich = c( c(1,x.rich) %*% z$sol[4:5,] ) # 90%分位点的收入的消费估计值windows(, 10,5)par(mfrow=c(1,2)) # 把绘图区域划分为一行两列plot(c(ps,ps),c(qs.poor,qs.rich),type="n", # type=”n”表示初始化图形区域，但不画图xlab=expression(tau), ylab="quantile")plot(stepfun(ps,c(qs.poor[1],qs.poor)), do.points=F,add=T)plot(stepfun(ps,c(qs.poor[1],qs.rich)), do.points=F,add=T, col.hor="gray", col.vert="gray")ps.wts = ( c(0,diff(ps)) + c(diff(ps),0) )/2ap = akj(qs.poor, z=qs.poor, p=ps.wts)ar = akj(qs.rich, z=qs.rich, p=ps.wts)plot(c(qs.poor,qs.rich), c(ap$dens, ar$dens),type="n", xlab="Food Expenditure", ylab="Density")lines(qs.rich,ar$dens,col="gray")lines(qs.poor,ap$dens,col="black")legend("topright", c("poor","rich"), lty=c(1,1),col=c("black","gray"))上图表示收入（income）为10%分位点处（poor，穷人）和90%分位点处（rich，富人）的食品支出的比较。