人教版八年级数学分式知识点和典型例题(最新整理)

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● ÷ 第十六章分式知识点和典型例习题

【知识网络】

【思想方法】

1. 转化思想

转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．

2. 建模思想

本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题— ——分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．

3. 类比法

本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．

第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2. 与分式运算有关的运算法则

3. 分式的化简求值(通分与约分)

4. 幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则: b ± c = b ± c

(a ≠ 0)

a

a a

b d bc

da bc ± da 2. 异分母加减法则:

± = ± = a c ac ac ac

(a ≠ 0, c ≠ 0) ; 3. 分式的乘法与除法: b • d =

bd a c ac , b ÷ c = b • d = bd

a d a c ac

4. 同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5. 同底数幂的乘法与除法;a

m

a n =a m+n ; a m

a n =a m －n

6. 积的乘方与幂的乘方:(ab)m

= a

m

b n , (a m )

n = mn

7. 负指数幂: a -p = 1

a p

a 0=1

a -

b a + b 8. 乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a

2

- b 2 ;(a±b)2= a 2±2ab+b 2

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

【例 1】下列代数式中： x , 1

x - y , , 2 题型二：考查分式有意义的条件

【例 2】当 x 有何值时，下列分式有意义

x 2 - y 2 x + y

1 , x + y ，是分式的有：

.

x - y

（1）

x - 4 x + 4

（2） 3x

x 2 + 2

（3） 2

x 2 - 1 （4） 6 - x | x | -3

（5） 1

x - 1

x

题型三：考查分式的值为 0 的条件

【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为 0.

（1）

x - 1 x + 3

（2）

| x | -2 x 2 - 4

x 2 - 2x - 3

（3）

x 2 - 5x - 6

题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例 4】（1）当 x 为何值时，分式 4

为正；

（2）当 x 为何值时，分式

8 - x 5 - x 3 + (x - 1)2

为负；

练习：

（3） 当 x 为何值时，分式 x - 2 为非负数.

x + 3

1. 当 x 取何值时，下列分式有意义：

（1）

1 6 | x | -3

（2）

3 - x

(x + 1)2

+ 1

（3）

1 1 + 1

x

2. 当 x 为何值时，下列分式的值为零：

（1）

5- | x - 1 | x + 4

25 - x 2

（2） x 2

- 6x + 5

3. 解下列不等式 （1）

| x | -2 ≤ 0

x + 1

（2）

x + 5

> 0

x 2 + 2x + 3

（二）分式的基本性质及有关题型

1. 分式的基本性质： A

=

A ⨯ M =

A ÷ M

B

B ⨯ M B ÷ M

2. 分式的变号法则：

-a

= -

-a

= - a = a

- b + b - b b

题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

1

x - 2 y （1） 2 3 1 x + 1 y （2）

0.2a - 0.03b

0.04 a + b

3 4

题型二：分数的系数变号

【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）

-x + y - x - y

题型三：化简求值题

（2） -

-a

a - b

（3） -

-a

- b

【例 3】已知： 1 + 1 = 5 ，求 2x - 3xy + 2 y

的值.

x y x + 2xy + y

提示：整体代入，① x + y = 3xy ，②转化出 1 + 1 .

【例 4】已知： x - 1 = 2 ，求 x 2

+ 1 x x 2

x

y 的值.

【例 5】若| x - y + 1 | +(2x - 3) 2

= 0 ，求 练习：

1

4x - 2 y

的值.

1. 不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

0.4a + 3 b

（1）

0.03x - 0.2 y 0.08x + 0.5 y

（2） 5 1 a - 1 b 4 10

1

x 2

2. 已知： x +

x = 3 ，求 的值.

x 4 + x 2 + 1

3．已知： 1 - 1 = 3 ，求 2a + 3ab - 2b

的值.

a b b - ab - a

4．若 a 2 + 2a + b 2 - 6b + 10 = 0 ，求 2a - b 3a + 5b

的值.

5．如果1 < x < 2 ，试化简| x - 2 | - x - 1 + | x | .

2 - x | x - 1 | x

（三）分式的运算

1. 确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2. 确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.