第1节 质点运动学方程

§2.1 质点的运动学方程

一、选择题

较易（D ）1、质量为kg m 2=的质点沿空间曲线运动，其运动方程为：3

24t t x -=，t y 5-=， 24-=t z 。当s t 1=时下面说法错误的是（ C ）

A.其加速度为)/(122

s m B.作用在质点上的力为)(331.24N C.力的方向角为0

90 D.在F 作用点在M （3，－5，－1）

解析：由题意k z j y i x r ρρρρ++=，则]12)68[(22

2

2k t i t dt

r d M a M F ρρρρρ+-===其大小为222z y x F ++=ρ

，当s t 1=时。4=x 、0=y 、12=z ，则=+=++=22222244z y x r

较易（D ）2.一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 j bt i at r ρρρ2

2+=（其

中a 、b 为常量）,则该质点作：（ B ）

（A ）匀速直线运动 （B ）变速直线运动 （C ）抛物线运动 （D ）一般曲线运动 较易（D ）3、某质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作（ D ） (A)匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 (B)匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向

(C)变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 (D)变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 二、填空题

中（C ）1、一质点沿直线运动，其运动方程为2

242t t x -+=(m)，在 t 从0秒到3秒的

时间间隔内，则质点走过的路程为 10m 。 解析：t dt

dx

v 44-==

若0=v 解的 s t 1= m x x x 22)242(011=--+=-=∆

m x x x 8)242()32342(2

133-=-+-⨯-⨯+=-=∆

m x x x 1021=∆+∆=∆

中（C ）2、质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )23(42

t t ++=，式中r 的单位为m ，t

的单位为S.（1）质点的轨道__________（2）t=1秒时刻的速度_________

答案：（1）2

)3(-=y x ； （2）j i v 28(1)+= 。

中（C ）3、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，则小球的运动方程为 。答案：j i r )gt 2

1-h (t v (t)2

0+= 解析：由 t v x 0=式（1） 2gt 21h y -

= 式

（2） j i r )gt 2

1-h (t v (t)2

0+= 中（C ）4、质点沿x 轴作直线运动，其加速度t a 4=m/s2，在t=0时刻，00=v ，100=x m ，则该质点的运动方程为3

3

210t x += 。 三、判断题

易（E ）1、对于同一个物体，由于研究的问题不同，有时可以把他看作质点，有时则不能。

（√）

易（E ）2、机械运动时一个物体相对于另一个物体的位置，或一个物体内部的一部分相对于其他部分随时间变化而变化。

（√）

易（E ）3、在不能把物体看做质点的时候，也不可以把这个物体看作是由许多质点组成的。

（×）

易（E ）4、质点位移()t r t t r r -∆+=∆）

（与发生这一位移的时间间隔t ∆之比，是这时间的平均速度。

（√） 易（E ）5、运动学的任务是描述随时间的推移物体空间位置的变动。 （√） 易（E ）6、力学所说的运动，是指物体位置的变更。

（×）

四、计算题

中（C ）1、质点直线运动的运动学方程为x=acost,a 为正常数。求质点速度和加速度并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）。 解:)2

cos(sin π

+

=-=t a t a v x )cos(cos π+=-=t a t a a x

质点受力mx t ma ma F -=-==cos ，是线性恢复力，质点做简谐振动，振幅为a ，运动范围在a x a ≤≤-，速度具有周期性。

较易（D ）2、一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为.cos 2t A a x ωω-=在t=0

时，,,0A x v x

==其中ω、A 均为正常数，求此质点的运动学方程。

解：dt a v v t

x

x x ⎰+

=0

0t A t d t A dt t A v

t

t

ωωωωωωωsin )(.cos .cos 0

2

x

-=-=-=⎰⎰

⎰+=t

x dt v x x 0

0，t A t A A dt t A A x t t

ωωωωcos |cos sin 00

=+=⋅-+=⎰

较易（D ）3、质点运动学方程为j t i t r ˆ)32(ˆ42++=ρ

，

（1） 求质点的轨迹；

（2） 求自t=0至t=1质点的位移。

解: ① ,32,42+==t y t x 消去t 得轨迹方程2)3(-=y x

②j i r r r j i r j r ˆ2ˆ4,ˆ5ˆ4,ˆ30110+=-=∆+==ρ

ρρρρ

较易（D ）4、飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动。刚着陆时，t=0时速度为0v 且坐标为x=0.假设其加速度为2

x x bv a -=，b=常量，求此质点的运动学方程。

解：

⎰⎰-=-=-=t v v x

x

x x x x dt b v dv bdt v dv bv dt dv x 02220,,， ,)1(00+=t bv v v x

dt v x x t

x ⎰+=0

0，)1ln(1|)1ln(1)1()1(1)1(000000000+=+=++=+=

⎰⎰t bv b

t bv b t bv t bv d b dt t bv v x t

t t

中（C ）5、质点在o-xy 平面内运动，其加速度为,ˆsin ˆcos j t i t a --=ρ

位置和速度的初始条

件为t=0时i r j v ˆ

,ˆ==ρρ，求质点的运动学方程并画出轨迹（本题用积分）。 解: 由,ˆsin ˆcos j t i t a --=ρ

得,cos t a x -= t a y sin -=

初始条件：t=0时,v 0x =0,v 0y =1,x 0=1,y 0=0

⎰+=t

x x x dt

a v v 0

0, t tdt v t

x sin cos 0

-=-=

⎰

⎰+=t

y y y dt a v v 0

0, t tdt v t y cos sin 10

=-+=⎰

dt v x x t

x ⎰+=0

0, t tdt x t

cos sin 10

=-+=⎰

⎰

+=t

y dt v y y 0

0, t tdt y t

sin cos 0

==

⎰

⎩

⎨

⎧==t y t x sin cos ,j sin cos ϖρρ

t i t a += 22=+y x 轨迹图如图1所示：