北师大版九年级数学下册第一章三角函数知识点总结及典型习题(超级详细)

北师大版九年级数学

初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题

知识点：

1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c

（勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理） 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：

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6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性：

当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，

解直角三角形的定义

1、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

2、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角水平线

视线

视线俯角

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l

=。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h

i l

α=

=。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 ，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

所以,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：

北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

例1：已知在Rt ABC △中，3

90sin 5

C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ）

A ．43

B ．45

C ．54

D ．

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【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RT ΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c =

，tan b

B a

=和222a b c +=；由3sin 5A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222a b c +=得4b x =；∴44

tan 33

b x B a x ===，

所以选A ．

:i h l =h

l

α

例2

：104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--=______．

【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算，

104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--

=13412222

⎛⎫⨯

⨯+--= ⎪⎝⎭， 故填3

2．

1.

A ．8米

2. 一架5A ．5sin 40°

3. 线，∠ABC 是（ ） A C ．

4. 铅直高度BC A ． 米C ．15米 D ．

5．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2

2

5

6. 如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）. （参考数据：2 1.414≈ 3 1.732≈）

7. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋大楼顶部B 的俯角为30°，看这栋大楼底部C 的俯角为60°，热气球A 的高度为240米，求这栋大楼的高度.

解：过点A 作直线BC 的垂线，垂足为点D .

则90CDA ∠=°，60CAD ∠=°，30BAD ∠=°，CD =240米.

在Rt ACD △中，tan CD

CAD AD

∠=， 240

80 3.tan 603

CD AD ∴=

==°

在Rt ABD △中，tan BD

BAD AD

∠=

， 3

tan 30803803

BD AD ∴==⨯

=·°. ∴BC CD BD =-=240-80=160. 答：这栋大楼的高为160米.

B

C

8. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB 的长为4米，点D 、B 、C 在同一水平面上．

（1）改善后滑滑板会加长多少米？

（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．

（参考数据：141.12=，732.13=，449.26=，以上结果均保留到小数点后两位．）

解：（1）在Rt △ABC 中，∠ABC=45°

∴AC=BC=AB ·sin45°=222

2

4=⨯

在Rt △ADC 中，∠ADC=30°

∴AD= 2421

2230sin =÷=o

AC

∴AD-AB=66.1424≈-

∴改善后滑滑板会加长约1.66米.

（2）这样改造能行，理由如下： ∵989.46233

2230

tan ≈=÷==

o

AC CD ∴07.22262≈-=-=BC CD BD ∴6-2.07≈3.93＞3

∴这样改造能行.

练一练

9．求值1

01|32|20093tan 303-⎛⎫

-+--+ ⎪⎝⎭°

2009

12sin 603tan 30(1)3⎛⎫

-++- ⎪⎝⎭°°

原式=． 解：原式=