结构受力有限元分析

From web：在动力分析中，集中质量矩阵是个对角阵（处理起来当然简单啦）；而一致质量矩阵的fill-ins大致 和刚度矩阵相同，处理起来比较麻烦。 当自由度很多时，这两种模型差别不大，宜采用集中质量矩阵；当结 构自由度较少时，要用一致质量矩阵，否则误差很大。
例如，对于一个2节点杆单元： （1）一致质量矩阵（consistent mass matrix）：
（2）集中质量矩阵（lumped mass matrix）：
一个结构的阻尼矩阵C，按照一种比例分配法（Rayleigh damping），可以写成：
= C γ 1K + γ 2 M
一个结构的固有角频率（natural circle frequency）[=特征值（eigenvalue） ω ]和振型/模态 （mode）[=特征向量（eigenvector） φ ]，它们可以通过特征方程（eigen equation）求得：
m 即假定解形式不变： U (t ) ≈ U (t ) = ∑ qi (t )φi 。 i =1
i + γ 1ωi2 q i +γ 2 q i +ωi2 qi =Fi (t ), i = 再联合外力影响，最后的常微分方程形式为： q 1, 2..., m 。
Find q formula by using basis function, numerical method. 最终，可以得到任一节点任一方向位移随时间变化图，如下所示。
i =1 m
qi
φiT F0 = , i 1, 2,..., m (ωi2 − Ω 2 + jΩ(γ 1ωi2 + γ 2 ))
图3 某节点R某自由度方向上的位移频率图（频谱图）
第三个问题，怎样判断一个结构会不会破坏？ 对于振动分析，我们需要根据结构力学首先确定最大应力或者最大应变发生的位置，在此位置我 们关心外部振动对结构本身的影响，可以通过频谱图找出最易构成破坏的振动频率和振幅。 然后如果材料本身各向异性，如复合材料，可以调整其纤维方向（fiber orientation），改变结构 本身的振动特性，减小振幅。达到优化设计的目的。
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同样，在有限元化（FEAize）结构之后，按照不同的模块（图1）可以写出质量分布矩阵M （mass matrix）。 Mij denotes the force felt at node “i” due to unit acceleration at node “j” (keeping all other nodes fixed). 一个结构的质量分布矩阵可以有两种分法： 一是将质量均匀分布到两个节点，叫做集中质量矩阵（lumped mass matrix）；二是按照形函数 （shape function），将质量与刚度分配类似，分布到每个组成元素（如杆、梁）的内部，叫做一 致质量矩阵（consistent mass matrix）。 一般来说，一致质量矩阵更精确，更符合结构本身，优先采用。
i i
（即振幅amplitude）。我们可以把我们关心的那一个节点的那一个方向的位移拿出来，形成频 谱图（位移-频率图）：
图2 某节点R某自由度方向上的位移频率图
第二个问题，了解了结构，如何对它施加外力？如何知道结构的变化？ （补）外力是时间的函数，并认为是有一定频率 Ω 的简谐振动力，即 F (t ) F0 exp( jΩt ) 。根据 = 振动方程：MU’’(t)+CU’(t)+KU(t)=F(t)，我们可以求出各个节点位移随时间的变化情况。 在纯粹振动力学领域，此问题为：已知激励（excitation）和系统（即此处结构），求响应 （response）[3]。
图1 结构有限元化的模块
那么我们可以手工来剖分一个结构的元素组成（即离散化），并赋予各独立元素以特定连接。并 加之构型和材料属性信息。
此时，我们获得的一个重要的结构表征（characterize）就是刚度矩阵K（stiffness matrix），结 构受力后所发生的变化都是以此为基础计算而来。 Kij denotes the force felt at node “i” due to unit displacement at node “j” (keeping all other nodes fixed). 第二个问题，了解了结构，如何对它施加外力？如何知道结构的变化？ 所有的受力（Force）与结构变化（displacement）都有类似胡克定律的形式：F=KU。F：外力； U：某点处位移。注意，此处的“某点”已经被model化，即杆、梁、面中节点（node）。如果要 想知道任意“某点”的变化，可以采用插值（interpolation）来计算。 除了力，还有约束（Boundary Conditions，BCs），即被限制住的变化，这些都需要手工添加。 这里，利用F=KU的计算涉及矩阵计算的一个策略。 具体为，首先，利用已知的F，将对应位置的U求出，加上约束（BCs），得到全部节点的变 化。也就是说，一个结构的变化被分散到了许多点上。表征这个变化采用的物理量是位移。第 二，再利用全部节点的变化，将每个点处的响应力表达出来，这就得到了结构内部每处的力。 那么此时，一个结构的变化我们转移为（transform）结构各个节点（node）的变化，我们表征这 个结构的变化采用了位移（displacement）和应力（stress）。进一步，通过应力和应变的关 系，sigma=E*epsilon，我们可以计算每个节点处的应变（strain）。 第三个问题，怎样判断一个结构会不会破坏？ 这里，我们需要一些判断准则，即失效准则（failure criteria）。一个最简单的准则，即最大应力 破坏准则（或者最大应变破坏准则）。 相应的极限数据来自于对特定材料的实验数据。 我们只关心（care）结构中最大应力或者最大应变发生的位置（position）和数值（value），将 此numerical计算数据与实验数据进行比较即可。 结果，我们会加固（提高强度）或者削弱（减少材料用量）结构，用以指导结构的设计 （design）。 2、再来看振动力学的事： 采用与结构力学相同的思路。在各步骤中略有增补。 第一个问题，一个确定的结构告诉我们什么信息？ （补）质量（mass）(density)，阻尼（damp），固有频率（natural frequency），振型 （mode）。
Reference: [1] P.I.Kattan, 韩来彬译，Matlab 有限元分析与应用[M]，清华大学出版社，2004.4. [2] P.Nair, finite element analysis of dynamic problems, 2013.12. [3] 蔡国平，振动力学课件，上海交通大学，201X。
两种求解策略： (1) 模态叠加法：（modal superposition/decomposition，spectral decomposition） 原理：结构对振动外力的响应是由结构自身的振动特性（固有角频率、振型/模态）与外界干扰 的振动特性（外力角频率、外力振幅）共同叠加而成。所以，仍然借助于本身的振动特性（如图 2实例），加之以修正因子qi（即待定参数undetermined coefficient，modal contribution factors）。 那么方程求解转变为求修正因子。
Kφ = λ M φ
固有角频率 ω = λ ，单位rad/s。如果单位转化为Hz，则固有频率（frequency） f = 2π / ω 。
按照前边对结构的离散方法，一个结构有n个自由度，就有n个固有角频率。而振型/模态为对应 于某个固有角频率 ω 的特征向量 φ ，表示系统在以 ωi 做自由振动时，各节点各方向最大的位移
结构受力有限元分析
我们拿到一个结构（structure），不论多么复杂，只关心一件事，就是这个结构受到外力，会不 会破坏（damage）。 这里，首先区分两种外力，一种，力恒定，不随时间变化；第二种，力不定，随时间有规律变 化。第一种叫做结构力学，第二种叫做振动力学。振动力学是结构力学的延伸。 1、先来看结构力学的事: 第一个问题，一个确定的结构告诉我们什么信息？ 构型（Size，Area，length）+材料属性（E,I,G）+组成元素（rod，beam，plane）。 按照numerical观点，我们希望无限细分强迫逼近，即有限元化（FEAize）这个结构。前人们为 我们细化出了如下模块[1]：
图2 某节点R某自由度方向上的位移时间图（时间谱图）
(2) 频率响应法：（frequency response） 原理：直接求解法。 = U (t ) U 0 exp( jΩt ) ，直接代入振动方程。同样，类似模态叠加法，我们利 用修正因子对固有模态进行修正， U 0 ≈ ∑ qi (Ω)φi ，与上述不同的是，qi可以直接求解。
附录 1 Appendix1 1、关于自由度数（number of freedom, NOF），元素数（number of elements，NOE），节点数 （number of nodes，NON）的区分： 一个结构离散化以后，就分为了 n 个部分，即由 n 个元素（element）组成，那么元素数为 n； 一个结构离散化以后，就存在了 m 个节点，则节点数为 m； 假设每个节点有 2 个自由度，那么自由度数为 2m； 那么最后刚度矩阵为 2m*2m。 元素和节点可以通过连通性（connectivity）编号，统一起来。