绝对值不等式

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有关绝对值的不等式

有关绝对值的不等式一、绝对值的定义我们知道，绝对值的定义为数与零的距离，即：- 当一个实数x大于或等于0时，|x|=x；- 当一个实数x小于0时，|x|=-x。

二、绝对值的性质绝对值有以下几个性质：1. 非负性：|x|≥0，即绝对值是非负数；2. 正反性：若x≥0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x；3. 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，即两数之和的绝对值不大于它们绝对值的和；4. 乘法性：|ab|=|a|×|b|，即两数之积的绝对值等于它们绝对值的积；5. 倒数性：若a≠0，则|1/a|=1/|a|。

三、绝对值的应用绝对值在数学中有着广泛的应用，特别是在不等式中的应用更为常见。

下面介绍几个绝对值不等式的例子。

例1：|x-a|<b的解集为(a-b,a+b)。

解析：首先，我们假设a≥0（a<0同理可证），那么由于|x-a|≥0，所以|x-a|<b等价于-a<x-a<a。

解不等式得到 x<a+b 且 x>a-b，即x∈(a-b,a+b)。

例2：|x|<a的解集为(-a,a)。

解析：当a>0时，由|x|≥0，得出|x|<a等价于-x<a且x<a，即解不等式得到x∈(-a,a)。

例3：|x-2|-|x+2|≤0的解集为[-2,2]。

解析：当x≤-2或x≥2时，|x-2|-|x+2|≤0显然成立，因为两个绝对值的差值不大于0。

当-2<x<2时，不等式可化为(x-2)-(x+2)≤0，即-4≤0，也是成立的。

所以，综合起来，解集为[-2,2]。

总结：以上是一些关于绝对值不等式的例子，通过这些例子可以体会到绝对值在不等式中的应用和威力，希望对大家学习数学有所帮助。

绝对值不等式公式

绝对值不等式公式绝对值不等式公式是以一元函数形式表示的绝对值的不等式，比如：|x|<a，它描述的是变量x的值范围在-a到a之间，其中a是一个正实数。

本文将主要介绍绝对值不等式公式的性质、表达式、特点及应用。

首先，让我们来看一下绝对值不等式公式的定义和性质：对于任意正实数a和变量x，绝对值不等式公式有如下形式：|x|<a它的性质是，如果一个变量x的值满足这个不等式，则它取值范围为-a到a之间，即：-a<x<a我们也可以将上述不等式的定义和属性表示为等价的函数形式，即：f(x)=|x|<a同时，我们也可以用一个单调函数来表示绝对值不等式公式：g(x)=x+|x|绝对值不等式公式有两个非常明显的特点：一是它表示的范围是一个确定的正实数a；二是它描述的变量x是一个周期函数，边界点为-a和a之间。

绝对值不等式公式应用十分广泛，在数学中，它可以用来描述一个变量的取值范围，例如，我们可以用它来解决有关刻度尺的问题，如果我们想要测量一个物体的长度，我们可以用它来计算长度的精确值。

此外，它还可以用来解决一些复杂的数学问题，例如求解偏微分方程，求解线性规划等。

绝对值不等式公式定义了变量x的有效取值范围，它可以帮助我们解决许多实际问题，并且这种表达式也被广泛应用于工程领域。

举个例子，在机器学习中，绝对值不等式公式可以用来描述模型衰减率的大小。

当模型学习率减小到一定水平时，绝对值不等式公式可以表达模型学习率减小的趋势。

同样，绝对值不等式公式也可以用来描述图像质量，体现图像质量随时间变化的趋势。

总之，绝对值不等式公式具有显著的作用，它可以用来表达变量x的取值范围，可以应用于数学建模和工程设计，也可以应用于机器学习和图像处理等。

尽管它的表达式很简单，但它对我们的生活和工作有很大的帮助。

含绝对值的不等式知识点

含绝对值的不等式1．绝对值的意义是：⎩⎨⎧<-≥=)0x (x )0x (x x .2．｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝．｜x ｜＞a (a ＞0)的解集是｛x ｜x ＜－a 或x ＞a ｝．【思考导学】1．|ax ＋b |＜b (b ＞0)转化成－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是什么？答：含绝对值的不等式|ax ＋b |＜b 转化－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是由绝对值的意义确定．2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么？答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同．【典例剖析】［例1］解不等式2＜｜2x －5｜≤7．解法一：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->-7|52|2|52|x x∴⎩⎨⎧≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<>612327x x x 或∴原不等式的解集为｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集(Ⅰ)⎩⎨⎧≤-<≥-7522052x x(Ⅱ)⎩⎨⎧≤-<<-7252052x x不等式组(Ⅰ)的解集为｛x ｜27＜x ≤6｝不等式组(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23｝∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．(Ⅰ)2＜2x －5≤7 (Ⅱ)2＜5－2x ≤7不等式(Ⅰ)的解集为｛x ｜27＜x ≤6｝不等式(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23｝∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝．点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三．［例2］解关于x 的不等式：(1)｜2x ＋3｜－1＜a (a ∈R )； (2)｜2x ＋1｜＞x ＋1．解：(1)原不等式可化为｜2x ＋3｜＜a ＋1 当a ＋1＞0，即a ＞－1时，由原不等式得－(a ＋1)＜2x ＋3＜a ＋1－24+a ＜x ＜22-a 当a ＋1≤0,即a ≤－1时，原不等式的解集为∅，综上，当a ＞－1时，原不等式的解集是｛x ｜－24+a ＜x ＜22-a } 当a ≤－1时，原不等式的解集是∅． (2)原不等式可化为下面两个不等式组来解(Ⅰ)⎩⎨⎧+>+≥+112012x x x 或(Ⅱ)⎩⎨⎧+>+-<+1)12(012x x x不等式组(Ⅰ)的解为x ＞0 不等式组(Ⅱ)的解为x ＜－32 ∴原不等式的解集为｛x ｜x ＜－32或x ＞0｝点评：由于无论x 取何值，关于x 的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f (x )｜＜a (a ≤0)的解集为∅．解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如(1)对变量分类，解集必须合并如(2)．例3］解不等式|x －|2x ＋1||＞1．解：∵由|x －|2x ＋1||＞1等价于(x －|2x ＋1|)＞1或x －|2x ＋1|＜－1(1)由x －|2x ＋1|＞1得|2x ＋1|＜x －1∴⎩⎨⎧-<+-<+⎩⎨⎧-<+≥+1)12(012112012x x x x x x 或即⎪⎩⎪⎨⎧>-<⎪⎩⎪⎨⎧-<≥021221x x x x 或均无解 (2)由x －|2x ＋1|＜－1得|2x ＋1|＞x ＋1∴⎩⎨⎧+>+≥+112012x x x 或⎩⎨⎧+>+-<+1)12(012x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<⎪⎩⎪⎨⎧>-≥3221021x x x x 或，∴x ＞0或x ＜－32 综上讨论，原不等式的解集为{x |x ＜－32或x ＞0}．点评：这是含多重绝对值符号的不等式，可以从“外”向“里”，反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．【随堂训练】1．不等式|8－3x |＞0的解集是( )A ．∅B ．RC ．{x |x ≠38，x ∈R } D ．{38} 答案： C2．下列不等式中，解集为R 的是( )A ．｜x ＋2｜＞1B ．｜x ＋2｜＋1＞1C ．(x －78)2＞－ 1D ．(x ＋78)2－1＞0 答案： C3．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )A ．｛x ｜－2＜x ＜2}B ．｛x ｜0＜x ≤2}C ．｛x ｜－2≤x ≤2｝D ．｛x ｜x ≥2或x ≤－2｝解析：所求点的集合即不等式｜x ｜≤2的解集．答案： C4．不等式｜1－2x ｜＜3的解集是( )A ．｛x ｜x ＜1}B ．｛x ｜－1＜x ＜2}C ．｛x ｜x ＞2｝D ．｛x ｜x ＜－1或x ＞2｝解析：由｜1－2x ｜＜3得－3＜2x －1＜3，∴－1＜x ＜2答案： B5．不等式｜x ＋4｜＞9的解集是__________．解析：由原不等式得x ＋4＞9或x ＋4＜－9，∴x ＞5或x ＜－13答案：｛x ｜x ＞5或x ＜－13}6．当a ＞0时，关于x 的不等式｜b －ax ｜＜a 的解集是________．解析：由原不等式得｜ax －b ｜＜a ，∴－a ＜ax －b ＜a∴a b －1＜x ＜ab＋1 ∴｛x ｜a b －1＜x ＜ab＋1}答案：｛x ｜a b －1＜x ＜ab＋1｝【强化训练】1．不等式｜x ＋a ｜＜1的解集是( )A ．｛x ｜－1＋a ＜x ＜1＋aB ．｛x ｜－1－a ＜x ＜1－a }C ．｛x ｜－1－｜a ｜＜x ＜1－｜a ｜}D ．｛x ｜x ＜－1－｜a ｜或x ＞1－｜a ｜｝解析：由｜x ＋a ｜＜1得－1＜x ＋a ＜1 ∴－1－a ＜x ＜1－a 答案： B2．不等式1≤｜x －3｜≤6的解集是( )A ．｛x ｜－3≤x ≤2或4≤x ≤9｝B ．｛x ｜－3≤x ≤9｝C ．｛x ｜－1≤x ≤2｝D ．｛x ｜4≤x ≤9｝解析：不等式等价于⎩⎨⎧≤-≤≥-63103x x 或⎩⎨⎧≤-≤<-63103x x 解得：4≤x ≤9或－3≤x ≤2．答案： A3．下列不等式中，解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝的不等式是( )A ．｜x －2｜＞5B ．｜2x －4｜＞3C ．1－｜2x －1｜≤21D ．1－｜2x －1｜＜21解析： A 中，由｜x －2｜＞5得x －2＞5或x－2＜－5∴x ＞7或x ＜－3同理，B 的解集为｛x ｜x ＞27或x ＜－1｝ C 的解集为｛x ｜x ≤1或x ≥3｝ D 的解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝答案： D4．已知集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{x ||x －1|＞1}，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |x ＜0或x ＞3}C ．{x |－1＜x ＜0}D ．{x |－1＜x ＜0或2＜x ＜3}解析： |x －1|＜2的解为－1＜x ＜3，|x －1|＞1的解为x ＜0或x ＞2．∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜0或2＜x ＜3}．答案： D5．已知不等式｜x －2｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－1＜x ＜b }，则a ＋2b ＝．解析：不等式｜x －2｜＜a 的解集为｛x ｜2－a ＜x ＜2＋a ｝由题意知：｛x ｜2－a ＜x ＜2＋a ｝＝｛x ｜－1＜x ＜b ｝∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=-53212c a c a a ∴a ＋2b ＝3＋2×5＝13 答案： 136．不等式|x ＋2|＞x ＋2的解集是______．解析： ∵当x ＋2≥0时，|x ＋2|＝x ＋2，x ＋2＞x ＋2无解．当x ＋2＜0时，|x ＋2|＝－(x ＋2)＞0＞x ＋2 ∴当x ＜－2时，｜x ＋2｜＞x ＋2 答案：｛x ｜x ＜－2｝ 7．解下列不等式：(1)|2－3x |≤2；(2)|3x －2|＞2．解：(1)由原不等式得－2≤2－3x ≤2，各加上－2得－4≤－3x ≤0，各除以－3得34≥x ≥0，解集为{x |0≤x ≤34}． (2)由原不等式得3x －2＜－2或3x －2＞2，解得x ＜0或x ＞34，故解集为{x |x ＜0或x ＞34}． 8．解下列不等式：(1)3≤|x －2|＜9；(2)|3x －4|＞1＋2x ．解：(1)原不等式等价于不等式组由①得x ≤－1或x ≥5；由②得－7＜x ＜11，把①、②的解表示在数轴上(如图)，∴原不等式的解集为{x |－7＜x ≤－1或5≤x ＜11}．(2)原不等式等价于下面两个不等式组，即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：①⎩⎨⎧+>-≥-;2143,043x x x ②⎩⎨⎧+>--<-.21)43(,043x x x由不等式组①解得x ＞5；由不等式组②解得x ＜53． ∴原不等式的解集为{x |x ＜53或x ＞5}． 9．设A ＝｛x ｜｜2x －1｜≤3｝，B ＝｛x ｜|x ＋2｜＜1｝，求集合M ，使其同时满足下列三个条件：(1)M ⊆［(A ∪B )∩Z ］； (2)M 中有三个元素； (3)M ∩B ≠∅解：∵A ＝｛x ｜｜2x －1｜≤3｝＝｛x ｜－1≤x ≤2｝B ＝｛x ｜|x ＋2｜＜1｝＝｛x ｜－3＜x ＜－1｝ ∴M ⊆［(A ∪B )∩Z ］＝｛x ｜－1≤x ≤2｝∪｛x ｜－3＜x ＜－1｝∩Z ＝｛x ｜－3＜x ≤2｝∩Z＝｛－2，－1，0，1，2｝又∵M ∩B ≠∅，∴－2∈M ．又∵M 中有三个元素∴同时满足三个条件的M 为：｛－2，－1，0｝，｛－2，－1，1｝，｛－2，－1，2｝，｛－2，0，1｝，｛－2，0，2｝，｛－2，1，2｝．【学后反思】解绝对值不等式，关键在于“转化”．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组)．｜x ｜＜a 与｜x ｜＞a (a ＞0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集．不等式｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝．其解集在数轴上表示为(见图1—7)：不等式｜x ｜＞a (a ＞0)的解集是｛x ｜x ＞a 或x ＜－a ｝，其解集在数轴上表示为(见图1—8)：把不等式｜x ｜＜a 与｜x ｜＞a (a ＞0)中的x 替换成ax ＋b ，就可以得到｜ax ＋b ｜＜b 与｜ax ＋b ｜＞b (b ＞0)型的不等式的解法．。

绝对值不等式性质及公式

综合③，④我们得到有关绝对值（absolutevalue)的重要不等式
|a|-|b|小于等于|a+b|小于等于|a|+|b|
2.|a|＜|b|可逆a&sup2;＜b&sup2;
另外
|a|-|b|小于等于|a+b|小于等于|a|+|b|，当且仅当ab小于等于0时左边等
号成立，ab≥0时右边等号成立。
|a|-|b|小于等于|a-b|小于等于|a|+|b|，当且仅当ab≥0时左边等号成
立，ab小于等于0时右边等号成立。
几何意义
1.当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹙b的距离等于它
们到原点的距离之和。2.当a，b异号时它们பைடு நூலகம்别位于原点的两边，此时a
与﹙b的距离小于它们到原点的距离之和。
(|a+b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)
绝对值重要不等式
我们知道
|a|={a，(a＞0)，a，（a=0)，﹙a，（a＜0)，}
因此，有
﹙|a|小于等于a小于等于|a|
﹙|b|小于等于b小于等于|b|
同样地
①，②相加得
﹙﹙|a|+|b|)小于等于a+b小于等于|a|+|b|
即|a+b|小于等于|a|+|b|
显而易见，a，b同号或有一个为0时，③式等号成立。
由③可得
|a|=|(a+b)-b|小于等于|a+b|+|-b|，
即|a|-|b|小于等于|a+b|
绝对值不等式性质及公式
绝对值不等式
简介
在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等，也涉及某些数学对

不等式的绝对值不等式

不等式的绝对值不等式不等式是数学中常见的概念，它描述了数值之间的大小关系。

而绝对值不等式则是一种特殊类型的不等式，它以绝对值的形式出现。

本文将介绍绝对值不等式的定义、性质以及解决方法。

一、绝对值不等式的定义绝对值是指一个数与零的距离，用符号“|x|”表示。

对于任意实数x，有以下绝对值的定义：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

绝对值不等式则是在绝对值的基础上，将不等式引入。

形式上，绝对值不等式可表示为|f(x)|<g(x)、|f(x)|>g(x)、|f(x)|≤g(x)或|f(x)|≥g(x)四种情况。

二、绝对值不等式的性质1. 对于任意实数a和b，有|a|≥0和|a|=-a当且仅当a=0。

解释：绝对值的定义使得它的值要么为非负数，要么为零；同时，只有当a等于零时，|a|才能等于零。

2. 对于任意实数a，有|-a|=|a|。

解释：绝对值的定义中，当a为非负数时，|a|与|-a|的数值相等；当a为负数时，|-a|和|a|的数值同样相等。

三、绝对值不等式的解法绝对值不等式的求解过程相对复杂，需要根据不同的情况进行讨论。

下面将介绍几种常见的解法方法：1. 使用数轴法将绝对值不等式转化为数轴上的几何问题，通过确定不等式在数轴上的位置关系，找出满足条件的解。

例如，对于不等式|3x-2|<5，我们可以通过将3x-2视为一个变量，利用数轴上的图形表示，找出满足条件的解。

2. 分析法将绝对值不等式拆解成两个简单的不等式，再分别求解。

主要包括以下两种情况：a) 当不等式中的绝对值没有含有变量时，直接求解即可。

b) 当不等式中的绝对值含有变量时，将不等式转化为一个简单的二次不等式，再进行求解。

3. 化简法对于一些特殊的绝对值不等式，可以通过化简的方法求解。

例如，对于不等式|a-b|<c，我们可以将其拆解为两个不等式，即a-b<c和a-b>-c，再求解。

总结：绝对值不等式是数学中重要的概念，它可以用来描述数值之间的大小关系。

绝对值基本不等式

绝对值基本不等式在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。

它们都是通过非负数来度量的。

公式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|几何意义：1、当a，b同号时它们坐落于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等同于它们至原点的距离之和。

2、当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。

(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离) 相关公式：绝对值关键不等式推论过程：我们知道|x|={x，(x\ue0);x，(x=0);-x，(x\uc0);因此，存有：-|a|≤a≤|a| ......①-|b|≤b≤|b| ......②-|b|≤-b≤|b|......③由①+②得：-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|即为|a+b|≤|a|+|b| ......④由①+③得：-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|即 |a-b|≤|a|+|b| ......⑤另：|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b||b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|由④知：|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b| =\ue |a|-|b|≤|a+b|.......⑥|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a| =\ue |a|-|b|≥-|a+b|.......⑦|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b| =\ue |a|-|b|≤|a-b|.......⑧|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a| =\ue |a|-|b|≥-|a-b|.......⑨由⑥，⑦得：| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩由⑧，⑨得：要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：|a-b|=|a|+|b|→ab≤0|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0同理可以得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0另“→”指可双向推出数学分析解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值符号。

绝对值不等式

绝对值不等式绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它与绝对值的性质和运算相关。

通过研究绝对值不等式，我们可以解决许多实际问题，同时也提升了我们的数学思维和解题能力。

一、绝对值的定义绝对值是表示一个数离原点的距离。

对于一个实数x，它的绝对值记作|x|，定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

例如，|5|=5，|-3|=3。

二、绝对值不等式的性质1. 绝对值的非负性质：对于任意实数x，有|x|≥0。

2. 绝对值的等价性：若|x|=0，则x=0。

3. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。

三、一元绝对值不等式的求解方法当我们遇到一元绝对值不等式时，可以采用以下两种方法求解：1. 列举法：根据不等式的性质及绝对值的定义，列举出满足不等式条件的数。

例题1：|x-2|<3根据绝对值的定义，可以得到以下两个不等式：x-2<3 ==> x<5；-(x-2)<3 ==> -x+2<3 ==> 2-x<3 ==> x>-1。

综合以上两个不等式的解，得到-1<x<5。

2. 分类讨论法：将绝对值拆分成正负两种情况，分别求解。

例题2：|2x-3|>4当2x-3>0时，可以得到以下不等式：2x-3>4 ===> 2x>7 ===> x>3.5。

当2x-3<0时，可以得到以下不等式：-(2x-3)>4 ===> -2x+3>4 ===> -2x>1 ===> x<-0.5。

综合以上两个情况的解，得到x>3.5或x<-0.5。

四、二元绝对值不等式的求解方法对于二元绝对值不等式，我们需要分别对两个变量进行分类讨论，并结合不等式的特点进行求解。

例题3：|x-2|+|y+1|<5当x-2>0且y+1>0时，可以得到以下不等式：x-2+y+1<5 ==> x+y<6。

绝对值与不等式

绝对值与不等式绝对值和不等式是代数学中非常重要的概念和工具。

绝对值是表示一个数与零的距离，通常用符号“|x|”表示，其中x可以是任何实数。

而不等式是用于描述两个数之间关系的数学语句。

本文将介绍绝对值和不等式的概念、性质以及在实际问题中的应用。

一、绝对值的定义和性质绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值|x|的值等于x与0之间的距离。

如果x≥0，则|x|=x；如果x＜0，则|x|=-x。

绝对值的性质：1. 非负性：对于任意实数x，|x|≥0。

2. 正则性：对于任意正数x，|x|=x。

3. 负则性：对于任意负数x，|x|=-x。

4. 零的绝对值为零：|0|=0。

5. 三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。

二、绝对值不等式的性质和解法绝对值不等式是以绝对值形式出现的不等式。

常见的绝对值不等式有以下几种类型：1. 线性绝对值不等式：形如|ax+b|<c，其中a、b、c为实常数，且a≠0。

解法：分别讨论ax+b的正负情况，得出满足不等式的解集。

2. 二次绝对值不等式：形如|ax^2+bx+c|<d，其中a、b、c、d为实常数，且a≠0。

解法：将二次绝对值不等式转化为二次不等式，再进行求解。

3. 分式绝对值不等式：形如|f(x)/g(x)|<h，其中f(x)、g(x)为有理函数，h为正实数。

解法：分别讨论f(x)/g(x)的正负情况和不等式中的分母g(x)≠0的情况，得出满足不等式的解集。

三、绝对值和不等式的应用1. 几何应用：绝对值可用于计算两点之间的距离，因为两点之间的距离是非负的。

2. 优化问题：绝对值不等式在优化问题中有广泛的应用。

比如，当我们需要求解一个函数的最小值或最大值时，可以利用绝对值不等式得到一些限制条件，帮助缩小解的范围。

3. 经济学问题：在经济学中，绝对值不等式可以用来描述供求关系、生产成本等经济现象。

通过求解绝对值不等式，可以得到一些对经济决策具有参考意义的结论。

含绝对值的不等式及其解法

含绝对值的不等式及其解法绝对值不等式及其解法。

绝对值不等式是指不等式中含有绝对值的表达式，常见形式为|ax + b| < c 或 |ax + b| > c。

解决这类不等式需要一些特殊的技巧和方法。

首先，我们来看 |ax + b| < c 的不等式。

要解决这个不等式，我们可以将其分解为两个不等式，即 ax + b < c 和 ax + b > -c。

然后分别解这两个不等式，得到的解集合的交集就是原不等式的解集合。

举个例子，假设我们要解决 |3x 2| < 7 的不等式。

首先将其分解为两个不等式，3x 2 < 7 和 3x 2 > -7。

然后分别解这两个不等式，得到 x < 3 和 x > -1。

因此原不等式的解集合为 -1 < x < 3。

接下来，我们来看 |ax + b| > c 的不等式。

对于这种不等式，我们同样可以将其分解为两个不等式，即 ax + b > c 或 ax + b < -c。

然后分别解这两个不等式，得到的解集合的并集就是原不等式的解集合。

举个例子，假设我们要解决 |2x 5| > 3 的不等式。

同样将其分解为两个不等式，2x 5 > 3 和 2x 5 < -3。

然后分别解这两个不等式，得到 x > 4 和 x < 1。

因此原不等式的解集合为 x < 1 或x > 4。

在解决绝对值不等式时，我们需要注意一些特殊情况，比如当c 为负数时，解集为空集；当 a 为零时，不等式简化为一个普通的线性不等式等等。

总的来说，解决绝对值不等式需要将其分解为多个简单的不等式，然后分别解决这些简单的不等式，并将它们的解集合合并或交集，得到原不等式的解集合。

希望这篇文章能够帮助你更好地理解和解决含绝对值的不等式。

带有绝对值的不等式解法

带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。

以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。

2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。

3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。

4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。

以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。

当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。

因此，不等式的解集为-a<x<a。

2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。

当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。

因此，不等式的解集为x<-a或x>a。

3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。

当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。

因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。

需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。

1。

绝对值不等式成立条件

绝对值不等式成立条件绝对值不等式是初中数学中的重要内容，它在解决一些实际问题时具有很大的帮助。

在学习绝对值不等式时，我们需要了解其成立条件。

本文将从定义、性质、举例等方面全面详细地介绍绝对值不等式的成立条件。

一、定义绝对值不等式是指形如|a|<b或|a|>b的不等式，其中a和b均为实数。

当a与0之间的距离小于b时，称|a|<b成立；当a与0之间的距离大于b时，称|a|>b成立。

二、性质1. 若|a|=0，则必有a=0。

2. 若|a|=|-a|，则称其具有奇偶性，即当a为偶数时，有|a|=|-a|=a；当a为奇数时，有|a|=|-a|=-a。

3. 若k>0，则有k|x|=|kx|；若k<0，则有k|x|=|-kx|=k|-x|。

4. 绝对值函数y=|x-a|(或y=||x-a||)在点x=a处不可导，在点x=a处左右导数分别为-1和1。

三、成立条件1. |ax+b|<c当c>0时，① a≠0且c>|b/a|② a=0且|b|<c当c=0时，a=0且b=0当c<0时，该不等式无解。

2. |ax+b|>c当c>0时，① a≠0且|b/a|>c② a=0且|b|>c当c=0时，a≠0且b≠0当c<0时，该不等式无解。

四、举例说明1. |x-2|<3的解集为(-1,5)。

解：将不等式转化为x-2<3和-(x-2)<3，得到x<5和x>-1。

综合起来得到(-1,5)。

2. |2x+3|>5的解集为(-∞,-4/2)∪(1,-∞)。

解：将不等式转化为2x+3>5或-(2x+3)>5，得到x>-4/2或x<-1。

综合起来得到(-∞,-4/2)∪(1,-∞)。

总结：绝对值不等式是初中数学中的重要内容，它在解决一些实际问题时具有很大的帮助。

在学习绝对值不等式时，我们需要了解其成立条件。

含绝对值的不等式

{
}
(2) | 2 x + 1 | + | x − 2 |> 4
x > 2 或 2 x + 1 + x − 2 > 4
1 x<− 或原不等式等价于：原不等式等价于： 2 解（2）） − 2 x − 1 − x + 2 > 4
1 − ≤ x ≤ 2 2 2 x + 1 − x + 2 > 4
1 37 37 = −3 x − + ≤ 6 12 12
2
(
)
所以…… 所以
当 a ≠ 0 时， f (a) = 0 , f (−a) = −2a | a |≠ 0, f (x) 是非奇非偶函数
x < a x ≥ a 或 2 （2）x | x − a |≥ 2a ⇔ 2 ） 2 x − ax + 2a ≤ 0 x − ax − 2a 2 ≥ 0 x ≥ a ⇔ x ∈φ 或 ( x − 2a )( x + a ) ≥ 0
2 备用:已知二次函数备用已知二次函数 f ( x ) = ax + bx + c (a, b, c ∈ R ) ，
37 当证明：若 f (− 1) ≤ 1, f (0) ≤ 3, f (1) ≤ 1 ，证明： x ≤ 1时, f ( x ) ≤ 12 证明：证明：因为 f (− 1) = a − b + c , f (0) = c , f (1) = a + b + c
含绝对值的不等式
一、基础知识
a (a ≥ 0 ) 1、绝对值的基本性质：设a ∈ R, 则 a = 、绝对值的基本性质： − a ( a < 0 )

高中数学绝对值不等式

1 所以， f ( x1 ) f ( x2 ) ． 2
变式 3 二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a, b, c R) ，
, f (0) 1 , f (1) 1 已知 f (1) 1
5 求证：当 x 1时， f ( x ) 4 f (1) f (1) 2 f (0)
可利用不等式的几何意义或分区间讨论去掉绝对值； 2. 含绝对值的不等式 f ( x) g ( x) h( x) ，主要是通过讨论 f ( x) 和 g ( x) 的符号去掉绝对值.
1. 定理 1： a b a b ，当且仅当 ab 0 时，等号成立．推论 1： a b a b ，当且仅当 ab 0 时，等号成立．
证明不妨设 x1 x2 ，
2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) f (1) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) f (1) f ( x2 ) x1 x2 x1 0 1 x2 x2 x1 x1 1 x2 1
与函数 y ax 的图像有交点．故不等式 f ( x) ax 的解集非空时，a 的取值范围为
1 , 2 , ． 2
7. 若不等式 3x b 4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3，则 b 的取值范围
.
答案（ 5， 7）
解
b4 b4 ， 3x b 4 x 3 3
含绝对值的不等式
知识要点
x x 0 1. x 的定义： x 0 x 0 ． x x 0
2.
x 的几何意义： x 表示数轴上的点 x 与原点之间的距离； x a 表示数轴上的点 x 与点 a 之间的距离．

绝对值不等式公式大全

绝对值不等式公式大全以下是常见的绝对值不等式公式大全：
1. 绝对值的基本性质：
|a| ≥ 0，对于任意实数a。

|a| = 0 当且仅当 a = 0。

2. 绝对值的不等式性质：
(1) 对任意实数a，有|a| ≥ a。

(2) 对任意实数a，有|a| ≥ -a。

3. 两个实数的绝对值之差的性质：
|a| - |b| ≤ |a - b|。

4. 绝对值不等式的加法性质：
对任意实数a，b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。

5. 绝对值不等式的减法性质：
对任意实数a，b，有 |a - b| ≥ |a| - |b|。

6. 绝对值不等式的乘法性质：
对任意实数a，b，有 |ab| = |a| |b|。

7. 绝对值不等式的除法性质：
对任意非零实数a，b，有 |a/b| = |a| / |b|。

8. 绝对值不等式的逆命题：
对任意实数a，b，如果 |a| < |b|，则 a^2 < b^2。

9. 绝对值不等式的乘方性质：
对任意实数a，b，如果 a > b，则 a^2 > b^2。

10. 绝对值不等式的平方根性质：
对任意非负实数a，有√a ≥ 0。

这些是绝对值不等式的一些基本性质和常见公式，可以根据具体问题使用。

绝对值不等式公式有哪些该如何解

绝对值不等式公式有哪些该如何解
绝对值不等式是数学中一个重要的知识点，同时也是考试中时常出现的考点。

下面是由编辑为大家整理的“绝对值不等式公式有哪些该如何解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

绝对值不等式公式
||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
|ab|=|a||b|，|a/b|=|a|/|b|(b≠0);
|a|<|b| 可推出|b|>|a|;
3、∥a|−Ib∥≤la+b|≤la|+lb|当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立;
4、|a−b|≤|a|+|−b|=|a|+|−1|∗|b|=|a|+|b|
怎样解绝对值不等式
解绝对值不等式的基本方法是去掉绝对值符号
1、平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了;
2、讨论，即x≥0时，|x|=x;x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了，令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。

绝对值的不等式

绝对值的不等式什么是绝对值绝对值是一个数的非负值，也可以理解为该数到0的距离。

表示一个数a的绝对值记作|a|，定义如下：1.如果a ≥ 0，则|a| = a。

2.如果a < 0，则|a| = -a。

一元一次绝对值不等式一元一次绝对值不等式是指只含有一个未知数x的不等式，且该未知数的绝对值与常数的线性关系。

例子假设有如下不等式：|x + 2| ≤ 3。

要求解这个不等式，我们可以分成以下两种情况进行讨论：1.x + 2 ≥ 0当x + 2 ≥ 0时，|x + 2| = x + 2。

此时原不等式可以转化为x + 2 ≤3，解得x ≤ 1。

2.x + 2 < 0当x + 2 < 0时，|x + 2| = -(x + 2)。

此时原不等式可以转化为-(x + 2) ≤ 3，解得x ≥ -5。

综合以上两种情况的解集，得到最终解为-5 ≤ x ≤ 1。

绝对值不等式的解集可以表示为一个区间。

一元二次绝对值不等式一元二次绝对值不等式是指只含有一个未知数x的二次函数与常数的不等式。

假设有如下不等式：|x² - 4| > 3。

要求解这个不等式，我们可以分成以下两种情况进行讨论：1.x² - 4 ≥ 0当x² - 4 ≥ 0时，|x² - 4| = x² - 4。

此时原不等式可以转化为x² -4 > 3，解得x < -1 或 x > 3。

2.x² - 4 < 0当x² - 4 < 0时，|x² - 4| = -(x² - 4)。

此时原不等式可以转化为-(x² - 4) > 3，解得-1 < x < 3。

综合以上两种情况的解集，得到最终解为x < -1 或 -1 < x < 3 或 x > 3。

二元一次绝对值不等式二元一次绝对值不等式是指含有两个未知数x和y的一次函数与常数的不等式。

绝对值不等式推导

绝对值不等式推导
绝对值不等式是数学中常见的一种不等式，它的形式为|a|≤b，其中a和b为实数，|a|表示a的绝对值。

在解决数学问题时，经常需要使用绝对值不等式，因此掌握绝对值不等式的推导方法很重要。

首先，需要了解绝对值的定义。

对于任意实数a，它的绝对值表示为|a|，定义如下：
如果a≥0，则|a|=a；
如果a<0，则|a|=-a。

根据这个定义，可以推导出绝对值不等式的一般形式：
对于任意实数a和b，有|a|≤b的充分必要条件是-a≤b且a≤b。

证明过程如下：
如果|a|≤b，则有两种情况：
1、如果a≥0，则|a|=a，因此-a≤a≤b，即-a≤b且a≤b；
2、如果a<0，则|a|=-a，因此-a=-(-a)≤b，即-a≤b且a≤0≤b。

综上所述，对于任意实数a和b，有|a|≤b的充分必要条件是-a ≤b且a≤b。

绝对值不等式可以用来解决很多数学问题，例如求解一元二次不等式、证明不等式等等。

在使用绝对值不等式时，需要注意以下几点： 1、在不等式两边同时加上或减去同一个数时，需要保证该数的正负性与绝对值不等式所在的方程式一致。

2、在不等式两边同时乘以或除以同一个正数时，不等号方向不
变；如果同乘或同除一个负数，不等号方向需要反转。

3、在使用绝对值不等式时，需要注意绝对值的取值范围，避免出现错误结果。

绝对值不等式是数学中常用的一种工具，掌握它的推导方法对于解决数学问题非常有帮助。