绝对值不等式

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(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要 求证明)； (2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径” 不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小值. 解 设点P(x，y)，且y≥0. (1)点P到点A(3，20)的“L路径”的最短距离d， 等于水平距离＋垂直距离，即d＝|x－3|＋|y－20|，其中y≥0， x∈R.
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(2)点 P 到 A，B，C 三点的“L 路径”长度之和的最小值 d＝水 平距离之和的最小值 h＋垂直距离之和的最小值 v.且 h 和 v 互 不影响.当 20≥y≥1 时，v＝20－y＋2y＝20＋y≥21，当 y＝1 时 取“＝”.∵x∈[－10，14]时，水平距离之和 h＝|x－(－10)|＋|14 －x|＋|x－3|≥|x＋10＋14－x|＋|x－3|≥24，且当 x＝3 时， h＝ 24.因此，当 P(3，1)时，d＝21＋24＝45. 当 0≤y＜1 时，v＝20－y＋(1－y)＋1＋y＝22－y＞21，水平距 离之和 h 不变，所以 d＞45. 所以，当点 P(x，y)满足 P(3，1)时，点 P 到 A，B，C 三点的“L 路径”长度之和 d 的最小值为 45.
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跟踪演练 2 证明不等式：1＋|a＋|a＋b|b|≤1＋|a||a|＋1＋|b||b|. 证明 当 a＋b＝0 时，不等式显然成立. 当 a＋b≠0 时，∵|a＋b|≤|a|＋|b|，∴|a＋1 b|≥|a|＋1 |b|. 于是1＋|a＋|a＋b|b|＝1＋|1a＋1 b|≤1＋|a1|＋1 |b| ＝1＋|a||＋a|＋|b||b|＝1＋||aa||＋|b|＋1＋||ab||＋|b|≤1＋|a||a|＋1＋|b||b|， ∴1＋|a＋|a＋b|b|≤1＋|a||a|＋1＋|b||b|.
二 绝对值不等式
1 绝对值三角不等式
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[学习目标]
1.理解定理1及其几何说明，理解定理2. 2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题.
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[知识链接]
1.代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么？ 提示 表示数轴上的点x到点－2与3的距离之和. 2.定理2的几何解释是什么？ 提示 在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C， 当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点 B不在点A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.
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[预习导引]
1.绝对值的几何意义 如图(1)，|a|表示数轴上_坐__标__为__a_的__点__A__到原点的距离. 如图(2)，|a－b|的几何意义是_数__轴__上__A_，__B_两__点__之__间__的 距离.
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2.定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤_|_a_|＋__|_b_| ，当且 仅当__a_b_≥__0_时，等号成立.
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规律方法 |a＋b|≤|a|＋|b|，等号成立的条件为ab≥0，应 用时要注意与以前学过的知识的联系与区别.a－c的变形 要记住：a－c＝(a－b)＋(b－c)，从而不等式|a＋b|≤|a|＋ |b|可以变形为|a－c|＝|(a－b)＋(b－c)|≤|a－b|＋|b－c|，当 且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
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规律方法 分析题目时，题目中的语言文字是我们解题 信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往 往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目 中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关 键，如本题题设条件中的文字语言“m等于|a|，|b|和1中 最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1” 是证明本题的关键.
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要点二 用绝对值三角不等式的性质证明不等式 例 2 设 m 等于|a|，|b|和 1 中最大的一个，当|x|>m 时，
求证：ax＋xb2<2. 证明 ∵|x|＞m≥|a|，|x|＞m≥|b|，|x|＞m≥1， ∴|x|2>|b|，∴ax＋xb2≤ax＋xb2 ＝||ax||＋||xb||2<||xx||＋||xx||22＝2. ∴ax＋xb2<2.故原不等式成立.
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要点三 绝对值三角不等式在生活中的应用 例3 在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到
达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图所示的路 径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三 个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3，20)，B(－10， 0)，C(14，0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.
3.定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋ |b－c|，当且仅当__(_a_－__b_)(_b_－__c_)_≥__0_时，等号成立.
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要点一 绝对值三角不等式的性质 例1 设a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，求|a|＋
|b|的最大值. 解 |a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1＋1＝2， |a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋ 2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16. ①当ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|≤2； ②当ab＜0时，则a(－b)＞0，|a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|≤16. 总之，恒有|a|＋|b|≤16.而a＝8，b＝－8时，满足|a＋b＋1|＝1， |a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16.因此|a|＋|b|的最大值为16.
故A成立.同理由|c|－|a|≤|a－c|得|c|－|a|＜b，
∴|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|.故B成立.
而由A成立，得|c|－|a|＞－|b|，由B成立，
得|c|－|a|＜|b|，∴－|b|＜|c|－|a|＜|b|wenku.baidu.com即||c|－|a||＜|b|＝b.故C成立.
由A成立知D不成立，故选D.
答案 D
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跟踪演练1 若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是( )
A.|a|＜|b|＋|c|
B.|c|＜|a|＋|b|
C.b＞||c|－|a||
D.b＜|a|－|c|
解析 由|a－c|＜b，知b＞0，∴b＝|b|.
∵|a|－|c|≤|a－c|，∴|a|－|c|＜b，则|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|.