2014-2015学年高中数学人教A版必修四三角函数导学案加课后作业及答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
§1.1.1 任意角导学案
【学习要求】
1.理解正角、负角、零角与象限角的概念.
2.掌握终边相同角的表示方法.
【学法指导】
1.解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个“要素”:顶点、始边、终边和旋转方向.
2.确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量.
3.学习象限角时,注意角在直角坐标系中的放法,在这个统一前提下,才能对终边落在坐标轴上的角、象限角进行定义.
【知识要点】
1.角的概念
(1)角的概念:角可以看成平面内绕着从一个位置到另一个位置所成的图形.
(2
2.象限角
角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
3.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与的和.
【问题探究】
探究点一角的概念的推广
我们在初中已经学习过角的概念,角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围,也不能表示具有相反意义的旋转量.因此,从“旋转”的角度,对角作重新定义如下:一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫作角,射线OA叫角的始边,OB叫角的终边,O叫角的顶点.
问题1正角、负角、零角是怎样规定的?问题2根据角的定义,图中角α=120°;β=;-α=;-β=;γ=.
问题3经过10小时,分别写出时针和分针各自旋转所形成的角.
问题4如果你的手表快了1.25小时,只需将分针旋转多少度就可以将它校准?
探究点二终边相同的角
今后我们常在直角坐标系内讨论角.为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合.角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.按照上述方法,在平面直角坐标系中,角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置.终边相同的角相差360°的整数倍.因此,所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
根据终边相同的角的概念,回答下列问题:
问题1已知集合S={θ|θ=k·360°+60°,k∈Z},则-240°S,300°S,-1 020°S.(用符号:∈或∉填空).问题2集合S={α|α=k·360°-30°,k∈Z}表示与角终边相同的角,其中最小的正角是.
问题3已知集合S={α
|α=45°+k·180°,k∈Z},则角α的终边落在上
探究点三象限角与终边落在坐标轴上的角
问题1
问题2
问题3写出终边落在x轴上的角的集合S.
问题4写出终边落在y轴上的角的集合T.
【典型例题】
例1在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.
(1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′.
跟踪训练1判断下列角的终边落在第几象限内:
(1)1 400°;(2)-2 010°.
例2写出终边落在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
跟踪训练2求终边在直线y=-x上的角的集合S.
例3 已知α是第二象限角,试确定2α,α
2的终边所在的位置
跟踪训练3 已知α为第三象限角,则α
2
所在的象限是 ( )
A .第一或第二象限
B .第二或第三象限
C .第一或第三象限
D .第二或第四象限
【当堂检测】
1.-361°的终边落在 ( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限 2.下列各角中与330°角终边相同的角是 ( )
A .510°
B .150°
C .-150°
D .-390° 3.经过10分钟,分针转了________度. 4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S .
【课堂小结】
1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”. 2.关于终边相同角的认识
一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 注意:(1)α为任意角. (2)k ·360°与α之间是“+”号,k ·360°-α可理解为k ·360°+(-α).
(3)相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.
(4)k ∈Z 这一条件不能少.
【拓展提高】
【课后作业】
一、基础过关
1. 设A ={θ|θ为锐角},B ={θ|θ为小于90°的角},C ={θ|θ为第一象限的角},D ={θ|θ为小于90°的正角},
则下列等式中成立的是
( )
A .A =B
B .B =
C C .A =C
D .A =D 2. 与405°角终边相同的角是
( )
A .k ·360°-45°,k ∈Z
B .k ·180°-45°,k ∈Z
C .k ·360°+45°,k ∈Z
D .k ·180°+45°,k ∈Z 3. 若α=45°+k ·180° (k ∈Z ),则α的终边在
( )
A .第一或第三象限
B .第二或第三象限
C .第二或第四象限
D .第三或第四象限
4. 若α是第四象限角,则180°-α是 ( )
A .第一象限角
B .第二象限角
C .第三象限角
D .第四象限角 5. 在-390°,-885°,1 351°,2 012°这四个角中,其中第四象限角的个数为
( )
A .0
B .1
C .2
D .3
6. 下列说法中,正确的是________.(填序号)
①终边落在第一象限的角为锐角;②锐角是第一象限的角; ③第二象限的角为钝角; ④小于90°的角一定为锐角;
⑤角α与-α的终边关于x 轴对称.
7. 在-180°~360°范围内,与2 000°角终边相同的角为______________. 8. 在与角-2 013°终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最小的正角; (2)最大的负角; (3)-720°~720°内的角.
二、能力提升 9. 集合M =⎩
⎨⎧
⎭⎬⎫x |x =
k ·180°2±45°,k ∈Z ,P =⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x =k ·180°4±90°,k ∈Z ,则M 、P 之间的关系为( ) A .M =P B .M P C .P
M
D .M ∩P =∅
10.角α,β的终边关于y 轴对称,若α=30°,则β=__________________. 11.已知角x 的终边落在图示阴影部分区域,写出角x 组成的集合.
12.已知角β的终边在直线3x -y =0上.
(1)写出角β的集合S ;
(2)写出S 中适合不等式-360°<β<720°的元素.
三、探究与拓展
13.已知α是第一象限角,则角α
3
的终边不可能落在
( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限