线性代数：LA3-6 线性变换及其矩阵表示
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因为，对
a1,a2,a3 , b1,b2,b3 R3,
(a1 b1, a2 百度文库b2, a3 b3)
a1 b1 2 ,a2 a3 b2 b3,0
（当 a1b1 0 时） a12,a2 a3,0 b12,b2 b3,0
所以， 不是线性变换。
k x1, y1, z1 k x1, y1, z1
其中x1, y1, z1与 x2, y2, z2 是 R3中任意向量，k 是
任一实数。即，保持 R3中的线性运算的线性性 质，因此 可称为是线性的。
一个集合 S 到自身的映射称为 S 的变换。所
以， 是向量空间R3的一个线性变换。我们引入
记为 ， 即0 0 , V
当k 1时，称此变换为恒等变换或单位变
换，记为 ,即 , V
例3.6.8 设 是V上的线性变换， 是V 的恒等变换，则 = = 。
例3.6.7 在F[ x]中，定义变换
( f ( x)) [ f ( x)]2, f ( x) F[x]
因 (af ( x) bgx) [af ( x) bgx]2
a2 f x2 b2gx2 2abf xgx 而 a f x b gx a f x2 bgx2 所以 af x bgx a f x b gx
由此可知，该变换不是线性的。
例 在 R3中定义变换
( x1, x2 , x3) ( x12 , x2 x3, 0)
则 不是 R3的一个线性变换．
则称σ是可逆变换，称τ是σ的逆变换,记为 1
注 变换 可逆当且仅当 是双射，并且当 可逆时， -1 唯一。
定理3.6.2 可逆线性变换的逆变换也是线性
变换。
证 设 是可逆线性变换， 1是它的逆变换。
任取 1,2 V ,k F，令
11 1,
是F[ x] 的一个线性变换。 例3.6.5 变换
( f ( x)) ax f (t)dt, f ( x) C[a,b]
是C[a, b] 的一个线性变换。
证明 设 f x , g x C[a, b], k R ，则
f
x
g
x
x
a
f
t
g
t
dt
x
a
f
t dt
x
a
gt dt
f x g x
性质3.6.1 设 为线性变换，则
（1） ( ) , ( ) ( )
（2）σ 保持线性组合与线性关系式不变 （3）σ 把线性相关的向量组变成线性相关的 向量组。
证 1 ( ) 0 0
( ) ( )
故 ( ) ( )
注 σ 也可能把非零向量变为零向量。
定义3.6.4 设 是数域F上的线性空间V的 一个变换。如果对任意的 , V ,k F , 均有
, (k ) k ( ) (3.6.1)
那么就称 是V的一个线性变换。
是线性变换的充要条件为
(k l ) k ( ) l ( )
(3.6.2)
例3.6.4 求导变换D: D( f ( x)) f ( x), f ( x) F[ x]
则称 为单射；若 既是单射又是满射，则称
为双射，也称为一一对应。
定义3.6.3 设 , 是A到B的两个映射，
若a A都有 a a，则称 与 相等，记
为 .
定理3.6.1 设 是集合A到B的映射， 是集合
B到C的映射,则
( (a)),a A 确定集合A到C的一个映射，称之为 与 的乘 积，记为 ，即 (a) ( (a)),a A
kf
x
x
a kf
t dt
k ax f
t dt
k
f
x
故命题得证。
例3.6.6 取定 k F ,定义V 的变换
( ) k , V 易证 是V 的一个线性变换，称之为数乘变换。
事实上，
(a b ) ka b ka kb ak bk a b
特别地，当 k 0 时，称此变换为零变换，
由上面三个例子可知：
（1）A与B可以是相同的集合，也可以是不同 的集合；
（2）对A中每个元素x，需要B中一个唯一确 定的元素与它对应；
（3）一般来说，B的元素不一定都是A中元 素的象。
设 : A→B,记 (A) = { (x), x∈A}，称之为 A在映射 下的象集合。显然 (A) B。
定义3.6.2 设 是A到B的映射，若 A B 则称 为满射；若 a,b A,a b,均有 a b
此时称y为x在 下的象，称x为y在 下的原象。
例3.6.1 设 A B R, ( x) x2, 则 是A到
B的映射。
例3.6.2 在解析几何中，设A表示空间中所 有点的集合，B R3, 则在建立空间直角坐标系后， 存在A到B的一个映射。
例3.6.3 设 A Rn , B N , (M ) r(M ), 则 是A到B的映射。
§3.6 线性变换及其矩阵表示
一、映射
定义3.6.1 设A、B是两个集合，若有一个确定的 法则，使对A中每个元素x，都有B中唯一确定的元 素y与之对应，则称这个法则是A到B的一个映射。
如果 是A到B的映射，则记为 : A B 如果 x A通过 对应 y B ，则记为
: x y 或 x y
（2）设 k11 k22 kmm,则
k1 1 k2 2 km m
即线性组合的象等于象的线性组合且组合系数相同
（3）由（1）与（2）可证（3）.
注 （3）的逆不成立，σ 也可能把线性无关的向 量组变成线性相关的向量组。
定义3.6.5 设σ是线性空间V的一个变换。若 存在V的另一个变换τ,使
二、线性变换的概念
在解析几何中，常需要把空间中的点向某 一固定平面作投影，例如向xoy面投影。在线性 代数中，这实际上是实数域R上的3维向量空间
R3到自身的一个映射 :
x, y, z x, y,0, x, y, z R3
不难发现
x1, y1, z1 x2, y2, z2 x1, y1, z1 x2, y2, z2
a1,a2,a3 , b1,b2,b3 R3,
(a1 b1, a2 百度文库b2, a3 b3)
a1 b1 2 ,a2 a3 b2 b3,0
（当 a1b1 0 时） a12,a2 a3,0 b12,b2 b3,0
所以， 不是线性变换。
k x1, y1, z1 k x1, y1, z1
其中x1, y1, z1与 x2, y2, z2 是 R3中任意向量，k 是
任一实数。即，保持 R3中的线性运算的线性性 质，因此 可称为是线性的。
一个集合 S 到自身的映射称为 S 的变换。所
以， 是向量空间R3的一个线性变换。我们引入
记为 ， 即0 0 , V
当k 1时，称此变换为恒等变换或单位变
换，记为 ,即 , V
例3.6.8 设 是V上的线性变换， 是V 的恒等变换，则 = = 。
例3.6.7 在F[ x]中，定义变换
( f ( x)) [ f ( x)]2, f ( x) F[x]
因 (af ( x) bgx) [af ( x) bgx]2
a2 f x2 b2gx2 2abf xgx 而 a f x b gx a f x2 bgx2 所以 af x bgx a f x b gx
由此可知，该变换不是线性的。
例 在 R3中定义变换
( x1, x2 , x3) ( x12 , x2 x3, 0)
则 不是 R3的一个线性变换．
则称σ是可逆变换，称τ是σ的逆变换,记为 1
注 变换 可逆当且仅当 是双射，并且当 可逆时， -1 唯一。
定理3.6.2 可逆线性变换的逆变换也是线性
变换。
证 设 是可逆线性变换， 1是它的逆变换。
任取 1,2 V ,k F，令
11 1,
是F[ x] 的一个线性变换。 例3.6.5 变换
( f ( x)) ax f (t)dt, f ( x) C[a,b]
是C[a, b] 的一个线性变换。
证明 设 f x , g x C[a, b], k R ，则
f
x
g
x
x
a
f
t
g
t
dt
x
a
f
t dt
x
a
gt dt
f x g x
性质3.6.1 设 为线性变换，则
（1） ( ) , ( ) ( )
（2）σ 保持线性组合与线性关系式不变 （3）σ 把线性相关的向量组变成线性相关的 向量组。
证 1 ( ) 0 0
( ) ( )
故 ( ) ( )
注 σ 也可能把非零向量变为零向量。
定义3.6.4 设 是数域F上的线性空间V的 一个变换。如果对任意的 , V ,k F , 均有
, (k ) k ( ) (3.6.1)
那么就称 是V的一个线性变换。
是线性变换的充要条件为
(k l ) k ( ) l ( )
(3.6.2)
例3.6.4 求导变换D: D( f ( x)) f ( x), f ( x) F[ x]
则称 为单射；若 既是单射又是满射，则称
为双射，也称为一一对应。
定义3.6.3 设 , 是A到B的两个映射，
若a A都有 a a，则称 与 相等，记
为 .
定理3.6.1 设 是集合A到B的映射， 是集合
B到C的映射,则
( (a)),a A 确定集合A到C的一个映射，称之为 与 的乘 积，记为 ，即 (a) ( (a)),a A
kf
x
x
a kf
t dt
k ax f
t dt
k
f
x
故命题得证。
例3.6.6 取定 k F ,定义V 的变换
( ) k , V 易证 是V 的一个线性变换，称之为数乘变换。
事实上，
(a b ) ka b ka kb ak bk a b
特别地，当 k 0 时，称此变换为零变换，
由上面三个例子可知：
（1）A与B可以是相同的集合，也可以是不同 的集合；
（2）对A中每个元素x，需要B中一个唯一确 定的元素与它对应；
（3）一般来说，B的元素不一定都是A中元 素的象。
设 : A→B,记 (A) = { (x), x∈A}，称之为 A在映射 下的象集合。显然 (A) B。
定义3.6.2 设 是A到B的映射，若 A B 则称 为满射；若 a,b A,a b,均有 a b
此时称y为x在 下的象，称x为y在 下的原象。
例3.6.1 设 A B R, ( x) x2, 则 是A到
B的映射。
例3.6.2 在解析几何中，设A表示空间中所 有点的集合，B R3, 则在建立空间直角坐标系后， 存在A到B的一个映射。
例3.6.3 设 A Rn , B N , (M ) r(M ), 则 是A到B的映射。
§3.6 线性变换及其矩阵表示
一、映射
定义3.6.1 设A、B是两个集合，若有一个确定的 法则，使对A中每个元素x，都有B中唯一确定的元 素y与之对应，则称这个法则是A到B的一个映射。
如果 是A到B的映射，则记为 : A B 如果 x A通过 对应 y B ，则记为
: x y 或 x y
（2）设 k11 k22 kmm,则
k1 1 k2 2 km m
即线性组合的象等于象的线性组合且组合系数相同
（3）由（1）与（2）可证（3）.
注 （3）的逆不成立，σ 也可能把线性无关的向 量组变成线性相关的向量组。
定义3.6.5 设σ是线性空间V的一个变换。若 存在V的另一个变换τ,使
二、线性变换的概念
在解析几何中，常需要把空间中的点向某 一固定平面作投影，例如向xoy面投影。在线性 代数中，这实际上是实数域R上的3维向量空间
R3到自身的一个映射 :
x, y, z x, y,0, x, y, z R3
不难发现
x1, y1, z1 x2, y2, z2 x1, y1, z1 x2, y2, z2