线性代数：LA3-6 线性变换及其矩阵表示
线性变换考研知识点总结
线性变换考研知识点总结一、线性变换的基本概念1.1 线性空间线性空间是指一个集合V，其上有两种运算：向量的加法和数乘，满足一定的性质，即：（1）对于任意u，v∈V，有u+v∈V；（2）对于任意k∈F（其中F是一个字段），有ku∈V；（3）满足加法交换律、结合律、分配律和单位元存在。
1.2 线性变换的定义设V和W是两个线性空间，若存在一个映射T: V→W，满足以下条件：（1）对于任意u，v∈V，有T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）对于任意k∈F和任意u∈V，有T(ku) = kT(u)。
则称T为从V到W的线性变换。
1.3 线性变换的矩阵表示设V是n维线性空间，B = {v1, v2, ..., vn}是V的一组基，W是m维线性空间，C = {w1, w2, ..., wm}是W的一组基。
若T: V→W是一个线性变换，则存在一个m×n的矩阵A，使得对于任意u∈V，都有T(u)在基C下的坐标向量等于A乘以u在基B下的坐标向量。
1.4 线性变换的性质（1）零变换：对于任意线性空间V，零变换T：V→V定义为T(u) = 0，对于任意u∈V都有T(u) = 0。
（2）恒等变换：对于任意线性空间V和其基B，存在一个单位矩阵I使得对于任意u∈V 都有I(u) = u。
二、线性变换的基本定理2.1 线性变换的核与值域（1）核：对于线性变换T: V→W，其核Ker(T)定义为Ker(T) = {u∈V | T(u) = 0}，即T的所有零空间。
（2）值域：对于线性变换T: V→W，其值域Im(T)定义为Im(T) = {T(u) | u∈V}，即T所有可能的输出向量。
2.2 线性变换的满射与单射（1）满射：若线性变换T: V→W的值域等于W，即Im(T) = W，则称T是满射的。
（2）单射：若对于任意非零向量u，若T(u)≠0，则称T是单射的。
2.3 线性变换的秩和零度若线性变换T: V→W，则其秩rank(T)等于T的值域Im(T)的维数；零度nullity(T)等于T 的核Ker(T)的维数。
04 线性变换及其矩阵
酉矩阵 U： UHU=I 正交矩阵 C 和酉矩阵 U 有如下性质 1）det C= ±1; |det U|=1. 2） C−1 = CT ;U −1 = U H 3） 正交（酉）矩阵的逆，乘积仍为正交（酉）矩阵
3, 线性变换相关的空间 ★象空间
R(T ) = {β | ∃α ∈Vn (F ), s.t.β = T (α)}
dimR(T)为线性变换 T 的秩 ★零空间
N (T ) = {α | T (α) = 0}
dimN(T)为线性变换 T 的零度。 [例] 求线性变换TA 的象空间和零空间。
4. 线性变换的运算
a2n
an1 an2
ann
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎦
=
[α1,
α 2
,
,
α n
]
A
1.
定义：把
A
称为 T
在基
{α 1
,
α 2
,
,
α n
}
下的矩阵。
对
P4
[X]上的线性变换
D
=
d dx
，
i) 求 D 在基{1，X，X2，X3}下的变换矩阵。
ii)求向量 p(x) = 10− 2x + 2x2 + 3x3 在变换 D 下的象。
四， 正交变换和酉变换 讨论内积空间[V；（α，β）] 中最重要的一类变换。
1 定义
如果变换 T 保持内积： (T α,T β) = (α, β) ，称为内积空间上的正交变换。
空间为欧氏空间，称为正交变换； 空间为酉空间，称为酉变换。
线性变换及其矩阵表
层图：
传统机械按键设计要点
按
PCB
键
A
： 1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的
开关 键
按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键
设计间隙建议留
0.05~0.1mm，以防按键
死键。
3.要考虑成型工艺，合
设x1,x2,…,xn是n维线性空间V的一组基，T是V上的 线性变换。基向量的象可以被基线性表出，设
J :C a,b C a,b,
J
f
x
x
a
f
x
dx,
这是一个线性变换。
例5 考虑V=Pn[x]∩C[a,b]，易有DJ(f(x))=f(x)，但是 JD(f(x))=f(x)-f(a)。
因此DJ≠JD。
6
下列变换中，哪些是线性变换？
√ 1．在 R3 中，T x1, x2 , x3 (2x1, x2 , x2 x3 ). × 2．在 Pn[ x] 中，T f ( x) f 2( x). × 3．在线性空间V中，T , V 非零固定. √ 4．在 C nn中，T X AX , A C nn 固定. × 5．复数域C看成是自身上的线性空间，T( x) x . √ 6．C看成是实数域R上的线性空间， T( x) x . 7
例6 设线性空间R3中的线性变换T为：
T ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x1 x2 ),
求T在标准基e1,e2,e3下的矩阵。
例基7I：设fP0n[x]1中, f的1 线x性, f2变换x2T2! 为, ：, fTn(f(xxn)n)!=,f ’(x)，
基II： g0 1, g1 x, g2 x2, , gn xn,
组基下的矩阵为 A
线性代数——线性变换
2 1 1 1 1 1 1 2 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 r1 r2 4 r3 2 4 9 1 1 2
1 2 1 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7
三、小结
1. 矩阵秩的概念
2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
思考题
设 A 为任一实矩阵 R( A A)与R( A)是否相等? ,
T
思考题解答
答 相等.
因为对于任一实向量 0, 当Ax 0时, x
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
c3 c 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 I 0 0
矩阵 I 称为矩阵 A 的标准形.
特点： I的左上角是一个单位矩阵，其余元素全
为零.
0 3 3 4 3
1 4 1 1 2 1 r2 (3) 0 1 1 2 3 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3
1 1 4 1 1 2 r 5r 1 2 0 0 1 1 2 3 3 r 3r 4 2 0 5 5 3 6 0 0 3 3 4 3 0
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
1、 对调两行或两列 对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
线性代数6-3线性变换及其矩阵
,,
n与1,
2
,,
是线性空间
n
V
中的两组基 ,并且由基 1,2 ,,n到基1, 2 ,, n
的过渡矩阵为 P,V中的线性变换在两组基 下的矩阵
分别为A, B,则有B P1AP.
证明
1, 2 ,, n 1,2 ,,n P T 1,2,,n 1,2,,n A, T 1, 2,, n 1, 2,, n B
该基下的坐标(x1, x2 ,, xn )和该基的像T (1),T (2 )
,T (n )所确定 3.线性变换矩阵
由于T (1),T (2 ),T (n )是V中的向量,所以可由1,
2 ,n线性表示.所以有
T 1 a111 a21 2 an1 n ,
a22
an2
a2n
(
,
1
ann
,,
2
),
n
a
i
2i
,
a ni
定义Rn中的变换 y T (x)为 T( x) Ax,( x Rn),
则T为线性变换.
总结:要证一个变换 T 是线性变换，必须证 T 保持 加法和数量乘法，即
证毕.
定理表明：A 与B 相似,且两个基之间的过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵．
例４ 设V 2中的线性变换T在基 1 , 2下的矩阵为
A a11 a12 , a21 a22
求T在基 2 , 1下的矩阵.
解
(
2
,
1)
(
1 ,
2)
0 1
1 , 0
线性代数 线性变换
5) 零变换 O: V V , O(v) = 0
2. 线性变换的性质
设 L: VW 是一个线性变换，则有 (i) L(0) = 0
(ii) L(−v) = −L(v) ， vRn.
(iii) 设 v1, ... , vk ∈ V , α1,...,αk ∈ , 有 L(α1v1 +···+αkvk) = α1 L(v1) + ···+ αk L(vk)
称 ker (L)为L 的核, L(S5 设线性算子L(x) = (x1, 0)T: 2 2 . 则ker(L)= Span(e2) ; L( 2) = Span(e1) .
定理1
设 L : V W 是一个线性变换, S是V 的一个子空间. 则 i) ker(L) 是V 的子空间. ii) L(S) 是W 的子空间.
例 2 设 f : ，对应关系为 f (x) = ax+b ，它是线性映射吗？ 答：f 是 上的一个线性映射当且仅当 b = 0.
例 3 证明：A Rmn , 映射 L(x) = Ax是从 n m的线性变换.
x=(x1, x2)T
y
1) L(x)=(x1, x2)T 2 2
x
x
L(x)
2) L(x)=3x 2 2
第四章 线性变换
4.1 线性变换的概念
线性变换的判别； 线性变换的核与值域； 线性变换的性质.
1. 线性变换的定义
定义 设 L: VW 是从线性空间V 到线性空间W的映射. 若映射L满足: 对任意的v1, v2 V 及实数 α , β, 有
L(αv1 + βv2) = αL(v1) + βL(v2) 则称映射L是从V 到W的一个线性映射.
线性变换的矩阵表示
即 x1 x1 (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) x 2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A x 2 . T M M x n xn
上式唯一地确定了一个 变换T , 并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换 .
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理１ 定理１ 设线性空间 Vn中取定两个基
α 1 ,α 2 ,L ,α n ; β 1 , β 2 , L , β n ,
所以D 所以 在这组基下的矩阵为
0 3 A= 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2 0 0 0 1 0
例2 实数域 R上所有一元多项式的集 合, 记作R[ x ], R[ x ]中次数小于 n的所有一元多项式 (包括零多项 式)组成的集合记作 R[ x ]n , 它对于多项式的加法和 数与多项式的乘法 , 构成R上的一个线性空间 .
∀α ∈ V n , 设 α = ∑ x i α i , 有
n
T (α ) = T ( ∑ x i α i ) = ∑ x i T (α i )
i =1 i =1
n
i =1
n
x1 x2 = (T (α 1), T (α 2 ),L , T (α n )) M xn x1 x2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A , M xn
σ (1) = 0,
LLL ,
σ ( x ) = 1,
σ ( x 2) = 2 x ,
线性代数之——线性变换及对应矩阵
线性代数之——线性变换及对应矩阵1. 线性变换的概念当⼀个矩阵A乘以⼀个向量\boldsymbol v时，它将\boldsymbol v变换到另⼀个向量A\boldsymbol v。
进来的是\boldsymbol v，出去的是T( \boldsymbol v) = A\boldsymbol v。
⼀个变换T就像⼀个函数⼀样，进来⼀个数字x，得到f(x)。
但更⾼的⽬标是⼀次考虑所有的\boldsymbol v，我们是将整个空间\boldsymbol V进⾏变换当我们⽤A乘以每⼀个向量\boldsymbol v时。
⼀个变换T，为空间\boldsymbol V中的每⼀个向量\boldsymbol v分配⼀个输出T( \boldsymbol v)。
这个变换是线性的，如果它满⾜：(a) \quad T(\boldsymbol v+\boldsymbol w)=T(\boldsymbol v) + T(\boldsymbol w) \quad (b) \quad T(c\boldsymbol v)=cT(\boldsymbol v)\space 对任意 \space c \space 成⽴我们可以将这两个条件结合成⼀个，T(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cT(\boldsymbol v) + dT(\boldsymbol w)矩阵相乘满⾜线性变化，因为A(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cA\boldsymbol v + dA\boldsymbol w始终成⽴。
线性变换满⾜线到线，三⾓形到三⾓形，看下图。
在⼀条线上的三个点经过变换后仍然在⼀条线上，变换前等距离的点变换后仍然是等距离的点，输⼊是⼀个三⾓形变换后输出还是⼀个三⾓形。
这种线性可以扩展到三个向量或者 N 个向量的组合。
变换有⾃⼰的语⾔，如果没有矩阵的话，我们没办法讨论列空间。
但是这些思想可以被保留，⽐如列空间包含所有的线性组合Av，零空间包含所有使得Av=0的输⼊。
《线性变换的矩阵》课件
3
基变换与矩阵的关系
基变换可以用矩阵表示，矩阵的运算可以用来实 现基变换。
06
应用实例与习题解析
线性变换在实际问题中的应用
图像处理
线性变换可用于图像的缩放、旋 转和平移等操作，实现图像的变
换和增强。
机器人控制
线性变换在机器人控制中用于描述 机器人的关节运动和姿态变化。
物理模拟
在物理模拟中，线性变换可用于描 述物体的运动轨迹和速度变化。
矩阵乘法与线性变换的关系
矩阵乘法是线性代数中的基本运算之一，它可以用来表示 线性变换。当一个矩阵乘以一个向量时，相当于对向量进 行了一次线性变换。因此，通过矩阵乘法，可以将线性变 换转化为数学运算，方便进行计算和分析。
矩阵乘法的规则是，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩 阵的行数，且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列 数等于第二个矩阵的列数。在进行矩阵乘法时，需要按照 特定的顺序进行计算，即先进行行运算再进行列运算。
一个向量空间存在一组基 ，且基的个数是有限的。
线性变换在不同基下的表示形式
矩阵表示法
线性变换可以用矩阵表示，不同 基下的矩阵不同。
矩阵的运算
线性变换的加法、数乘、乘法等 运算可以用矩阵的运算实现。
基变换与线性变换的关系
1 2
基变换
改变向量空间的基底，不改变向量空间的结构。
线性变换与基变换的关系
线性变换在不同基下的表示形式不同，但变换性 质不变。
逆矩阵定义
对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B ，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）， 则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
逆矩阵的性质
逆矩阵的求法
通过高斯消元法或LU分解等方法求解 。
逆矩阵是唯一的，逆矩阵与原矩阵的 乘积为单位矩阵。
线性变换和矩阵
§3 线性变换和矩阵一、线性变换在某组基下对应的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21ΛV 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21Λ线性表出，即有关系式n n x x x εεεξ+++=Λ2211 (1)其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标. 由于线性变换保持线性关系不变， 因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系：A ξ=A （n n x x x εεε+++Λ2211）=1x A(1ε)+2x A(2ε)+…+n x A (n ε) (2)上式表明，如果知道了基n εεε,,,21Λ的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就 知道了，或者说1. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，如果线性变换A 与ℬ在这组基上的作用 相同，即A i ε=B i ε， ,,,2,1n i Λ=那么A= B.结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出， 基向量的像却完全可以是任意的，也就是2. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21Λ一定有一个 线性变换 A , 使A i ε=i α .,,2,1n i Λ=定理1 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21Λ是V 中任意n 个向量. 存在唯一的线性变换A 使A i ε=i α .,,2,1n i Λ=定义2 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换. 基向量的像可以被基线性表出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 用矩阵表示就是A （n εεε,,,21Λ）=（A(1ε)，A(2ε)，…， A(n ε)）=A n ),,,(21εεεΛ (5) 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵.例1 设m εεε,,,21Λ是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为 V 的一组基n εεε,,,21Λ.指定线性变换A 如下⎩⎨⎧+====.,,1,0,,,2,1,n m i A m i A ii i ΛΛεεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明A 2=A投影A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵是]练习：7, 8, 9⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00111O O 这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ⨯矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射. 换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有定理2 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个 线性变换按公式（5）对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1）线性变换的和对应于矩阵的和；2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理2 说明数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换组成的集合)(V L 对于线性变换的 加法与数量乘法构成P 上一个线性空间，与数域P 上n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构.定理3 设线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵是A ，向量ξ在基n εεε,,,21Λ下的 坐标是),,,(21n x x x Λ,则A ξ在基n εεε,,,21Λ下的坐标),,,(21n y y y Λ可以按公式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y M M 2121 计算.二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变， 同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚 线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.定理4设线性空间V 中线性变换A 在两组基n εεε,,,21Λ, (6) n ηηη,,,21Λ (7) 下的矩阵分别为A 和B 从基（6）到（7）的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=.定理4 告诉我们，同一个线性变换A 在不同基下的矩阵之间的关系.定义3 设A ,B 为数域P 上两个n 级方阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆方阵X ， 使得AX X B 1-=，就说A 相似于B ，记作B A ~.相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：1. 反身性：A A ~2. 对称性：如果B A ~，那么A B ~.3. 传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~.定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似， 那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.矩阵的相似对于运算有下面的性质.如果X A X B 111-=,X A X B 212-=，那么X A A X B B )(21121+=+-,X A A X B B )(21121-=由此可知，如果AX X B 1-=，且)(x f 是数域P 上一多项式，那么X A f X B f )()(1-=利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.例2 设V 是数域P 上一个二维线性空间，21,εε是一组基，线性变换A 在21,εε下的 矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0112计算A 在V 的另一组基21,ηη下的矩阵，这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2111),(),(2121εεηη练习： 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18。
线性变换的矩阵
(7.14)
a11 a12
A
a21
a22
a1n
a2
n
.
an1
an2
ann
n阶矩阵A
旳矩阵.
叫做线性变换σ有关基 1 ,2 ,
,n
利用线性变换旳矩阵,(7.14)式能够写成矩阵 乘积旳形式:
( (1 ), (2 ), , (n )) (1,2, ,n ) A
7.3 线性变换旳矩阵
7.3.1 线性变换旳矩阵旳定义
设V是数域F上一种n维向量空间，σ是V 旳一种
线性变换，取定V 旳一种基 1,2, ,n. 假定
(1 ) a111 a212 an1n ,
…(…2…) …a…12…1……a2…2…2 ………a…n2…n , (n ) a1n1 a2n2 annn ,
那么
y1 x1
y2
A
x2
.
yn
xn
推论7.3.1 设 是 旳一F n种线性变换. 有关 旳
原F则n基
1, 2旳, 矩,阵n是A当且仅当对于 中
任历F 来n 量
x1
x2
,
x
n
都有 ( ) A .
推论7.3.2 设 是F n的一个变换. 是线性变换
的充分必要条件是对于F n中任一向量( x1, x2 , , xn ),
引理7.4 设V是数域F上一种n 维向量空间，
1,2 , ,n是V旳一种基. 那么对于V 中任意
n个向量 1, 2 ,, n ，有且仅有 V 旳一种线性
变换σ，使得
(i ) i (i 1, 2, , n).
定理7.4 设V 是数域F上一种n 维向量空间，
线性变换和矩阵PPT课件
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7.3.2 坐标变换
设V 是数域F上一个n 维向量空间, {1, 2 ,, n}
是V 的一个基, ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2,, x而n ),
σ(ξ)的坐标是
( y1, y2,,问yn:).
( y1, y2,和, yn )
(x1, x2,, xn ), 之间有什么关系呢?
2. 对称性：如果 A ~ B ，那么 B ~ A ；
因为由 B T 1AT 得 A TBT 1 (T 1)1 BT 1.
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3. 传递性：如果 A ~ B 且 B ~ C 那么 A ~ C
事实上，由 B T 1AT和C U 1BU 得
C (U 1T 1) A(TU ) (TU )1 A(TU ).
这样一来从lv到mf必然存在着一个对应关系映射丌妨记为是数域f上一个n维向量空间的一个基关于这个基的坐标是最后等式表明的坐标所组成综合上面所述我们得到坐标变换公式
7.3.1 线性变换的矩阵
现在设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V 的一个线性变换，取定V的一个基 {1,2 , ,n}, 令
(1) a111 a212 an1n (2 ) a121 a222 an2n
单位向量 1, 2 作为V2 的基.令σ是将 V2的每一向
量旋转角θ的一个旋转. σ是 的一V2 个线性变换.我
们有
1 1 cos 2 sin ,
2 1 sin 2 cos.
所以σ关于基 1,2的矩阵是
cos sin
sin cos
设 V2，它关于基 1,2 的坐标是 x1, x2 ,而
………………………………………
(n ) a1n1 a2n2 annn
线性变换的矩阵
线性变换可以用矩阵表示，矩阵 的行数和列数分别与输入和输出 空间的维数相等。
线性变换的性质
01
02
03
线性变换具有齐次性，即对于任 意标量k和任意向量x，有 kT(x)=T(kx)。
线性变换具有加法性质，即对于 任意两个向量x和y，有 T(x+y)=T(x)+T(y)。
线性变换具有数乘性质，即对于 任意标量k和任意向量x，有 T(kx)=kT(x)。
04
线性变换的矩阵表示方法
向量空间中的线性变换
线性变换的定义
线性变换是向量空间中一种保持向量加法和标量乘法不变的映射。
线性变换的性质
线性变换具有传递性、加法性质、数乘性质和结合性质。
线性变换的分类
根据映射的性质，线性变换可以分为可逆线性变换和不可逆线性 变换。
向量空间中的矩阵表示
矩阵的定义
矩阵是数学中一个重要的概 念，它由数字组成，按照一 定的排列顺序形成。
线性变换的几何意义
线性变换可以理解为在向量空间中，将一个向量 进行平移、旋转、缩放等几何变换。
线性变换可以用来描述物理现象，如力的合成与 分解、速度和加速度的合成等。
线性变换可以用来解决实际问题，如图像处理、 信号处理、控制系统等领域。
02
矩阵与线性变换的关系
矩阵表示线性变换
01
矩阵是线性变换的一种简洁表示形式，可以将线性变换中的 变换关系用矩阵的形式表示出来。
矩阵乘法的结果是一个新的向量，这个向量的坐标值是原向量在新的基下 的坐标值。
线性变换的矩阵表示
01
对于一个给定的线性变换，可 以找到一个矩阵，使得该矩阵 左乘任意向量时，等价于对该 向量进行该线性变换。
线形变换及其矩阵表示
下面讨论线性变换与矩阵的关系（下面的所提到的 Rn 中的向量，皆指列向
量）。由例 5.2.1 不难推断，任意一个 n m 矩阵 A ，必确定 Rm 到 Rn 上的一个线 性变换 A 。事实上，这个线性变换 A 可以如下定义：
A(x) Ax ， x Rm 。
反之，若 A 是 Rm 到 Rn 上的线性变换，则存在 n m 矩阵 A ，使得 A(x) Ax ， x Rm 。
那么，一般有限维线性空间之间的线性变换与矩阵有什么联系呢？
设{ai
}m i1
和
{b
j
}n j 1
分别是
m
维线性空间
U
和
n
维线性空间
V
中的一组基，A
是
U
到
V
上的线性变换。设
U
中向量
x
用{ai
}m i1
表示的形式为
x 1 a1 2 a2 m a m ，
两边作用线性变换 A，由线性变换的性质得，
证 对与 Pn 中的任意元素 p p(x) ，p(x) 是不超过 n 次的多项式，于是 D(p)
=
d dx
[
p(x)
]是不超过
n
1 次的多项式，即
D(p)
Pn
。
对于任意 p(x) ， q(x) Pn 及 ， R，由求导运算法则，
D(
p+
q)
=
d dx
(
p(x) q(x) )
=
d dx
[
（2）若{a j }kj1 是 U 中一组线性相关的向量，则{ A a j }kj1 也是 V 中一组线性
相关的向量；
（3）将 U 中所有向量在线性变换 A 下的象记为 A (U)，即
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则称σ是可逆变换，称τ是σ的逆变换,记为 1
注 变换 可逆当且仅当 是双射，并且当 可逆时， -1 唯一。
定理3.6.2 可逆线性变换的逆变换也是线性
变换。
证 设 是可逆线性变换， 1是它的逆变换。
任取 1,2 V ,k F，令
11 1,
a2 f x2 b2gx2 2abf xgx 而 a f x b gx a f x2 bgx2 所以 af x bgx a f x b gx
由此可知，该变换不是线性的。
例 在 R3中定义变换
( x1, x2 , x3) ( x12 , x2 x3, 0)
则 不是 R3的一个线性变换．
则称 为单射；若 既是单射又是满射，则称
为双射，也称为一一对应。
定义3.6.3 设 , 是A到B的两个映射，
若a A都有 a a，则称 与 相等，记
为 .
定理3.6.1 设 是集合A到B的映射， 是集合
B到C的映射,则
( (a)),a A 确定集合A到C的一个映射，称之为 与 的乘 积，记为 ，即 (a) ( (a)),a A
kf
x
x
a kf
t dt
k ax f
t dt
k
f
x
故命题得证。
例3.6.6 取定 k F ,定义V 的变换
( ) k , V 易证 是V 的一个线性变换，称之为数乘变换。
事实上，
(a b ) ka b ka kb ak bk a b
特别地，当 k 0 时，称此变换为零变换，
此时称y为x在 下的R, ( x) x2, 则 是A到
B的映射。
例3.6.2 在解析几何中，设A表示空间中所 有点的集合，B R3, 则在建立空间直角坐标系后， 存在A到B的一个映射。
例3.6.3 设 A Rn , B N , (M ) r(M ), 则 是A到B的映射。
是F[ x] 的一个线性变换。 例3.6.5 变换
( f ( x)) ax f (t)dt, f ( x) C[a,b]
是C[a, b] 的一个线性变换。
证明 设 f x , g x C[a, b], k R ，则
f
x
g
x
x
a
f
t
g
t
dt
x
a
f
t dt
x
a
gt dt
f x g x
因为，对
a1,a2,a3 , b1,b2,b3 R3,
(a1 b1, a2 b2, a3 b3)
a1 b1 2 ,a2 a3 b2 b3,0
（当 a1b1 0 时） a12,a2 a3,0 b12,b2 b3,0
所以， 不是线性变换。
性质3.6.1 设 为线性变换，则
（1） ( ) , ( ) ( )
（2）σ 保持线性组合与线性关系式不变 （3）σ 把线性相关的向量组变成线性相关的 向量组。
证 1 ( ) 0 0
( ) ( )
故 ( ) ( )
注 σ 也可能把非零向量变为零向量。
二、线性变换的概念
在解析几何中，常需要把空间中的点向某 一固定平面作投影，例如向xoy面投影。在线性 代数中，这实际上是实数域R上的3维向量空间
R3到自身的一个映射 :
x, y, z x, y,0, x, y, z R3
不难发现
x1, y1, z1 x2, y2, z2 x1, y1, z1 x2, y2, z2
§3.6 线性变换及其矩阵表示
一、映射
定义3.6.1 设A、B是两个集合，若有一个确定的 法则，使对A中每个元素x，都有B中唯一确定的元 素y与之对应，则称这个法则是A到B的一个映射。
如果 是A到B的映射，则记为 : A B 如果 x A通过 对应 y B ，则记为
: x y 或 x y
记为 ， 即0 0 , V
当k 1时，称此变换为恒等变换或单位变
换，记为 ,即 , V
例3.6.8 设 是V上的线性变换， 是V 的恒等变换，则 = = 。
例3.6.7 在F[ x]中，定义变换
( f ( x)) [ f ( x)]2, f ( x) F[x]
因 (af ( x) bgx) [af ( x) bgx]2
由上面三个例子可知：
（1）A与B可以是相同的集合，也可以是不同 的集合；
（2）对A中每个元素x，需要B中一个唯一确 定的元素与它对应；
（3）一般来说，B的元素不一定都是A中元 素的象。
设 : A→B,记 (A) = { (x), x∈A}，称之为 A在映射 下的象集合。显然 (A) B。
定义3.6.2 设 是A到B的映射，若 A B 则称 为满射；若 a,b A,a b,均有 a b
（2）设 k11 k22 kmm,则
k1 1 k2 2 km m
即线性组合的象等于象的线性组合且组合系数相同
（3）由（1）与（2）可证（3）.
注 （3）的逆不成立，σ 也可能把线性无关的向 量组变成线性相关的向量组。
定义3.6.5 设σ是线性空间V的一个变换。若 存在V的另一个变换τ,使
k x1, y1, z1 k x1, y1, z1
其中x1, y1, z1与 x2, y2, z2 是 R3中任意向量，k 是
任一实数。即，保持 R3中的线性运算的线性性 质，因此 可称为是线性的。
一个集合 S 到自身的映射称为 S 的变换。所
以， 是向量空间R3的一个线性变换。我们引入
定义3.6.4 设 是数域F上的线性空间V的 一个变换。如果对任意的 , V ,k F , 均有
, (k ) k ( ) (3.6.1)
那么就称 是V的一个线性变换。
是线性变换的充要条件为
(k l ) k ( ) l ( )
(3.6.2)
例3.6.4 求导变换D: D( f ( x)) f ( x), f ( x) F[ x]