经典力学的哈密顿理论(精)

, q 和t的函数： 拉格朗日函数是 q
s
, q，它的全微分为 L L(q ,t)
s L L L dL dq dq dt t 1 q 1 q
将广义动量和拉格朗日方程：
p
L q
d L L 0 q dt q
7 经典力学的哈密顿理论
内容： · 哈密顿正则方程 · 哈密顿原理 · 正则变换
· 哈密顿—雅可比方程
重点： ·哈密顿正则方程
· 正则变换
难点： · 正则变换
在经典力学中，力学体系的运动可用各种方法来描述。用牛顿运动定律 描述，常常要解算大量的微分方程组，对约束体系更增强了问题的复杂 性。1788年拉格朗日用s个广义坐标来描述力学体系的运动，导出了用广 义坐标表出的拉格朗日方程，其好处是只要知道体系的动能和所受的广 义力，就可写出体系的动力学方程。1834年以后哈密顿提出用s个广义坐 标和s个广义动量（称为正则共轭坐标）描述体系的运动，导出了三种不 同形式的方程：哈密顿正则方程、哈密顿原理和哈密顿——雅可比方程， 称为经典力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、牛顿理论是 等价的。哈密顿理论的优点在于便于将力学推广到物理学其他领域。 7.1 哈密顿函数和正则方程 （1）哈密顿函数
H q p H p Q q
1,2, s
哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。 [例1] 写出粒子在中心势场
V 中的哈密顿函数和正则方程。 r

解：粒子在中心势场中运动的特点、自由 度、广义坐标如何？ 粒子的拉格朗日函数为
（7.3）
比较（7.2）和（7.3）式，得
H q p 1,2, s H p q H L t t
（7.4）
（7.5）
（7.4）式称为保守系哈密顿正则方程，它是2s个一阶微分方程，形式对 称，结构紧凑。
对于非保守系，正则方程形式为
故H是p、q、t的函数，表征体系的状态，称为哈密顿函数。 若L不显含t，并且约束是稳定的，体系的能量守 恒，则
H=E=T+V
（2）哈密顿正则方程 哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为
s H H H dH dp dq dt p q t 1 1 s
L 1 2 ) 2 r 2 m( r 2 r
（ 1）
广义动量
pr L p m r , r r r m p L mr 2 , p mr 2
（ 2）
哈密顿函数
H T V (Why ?)
(dx ) 2 (dy ) 2 1 y' 2 ds 2 gy dx dt dt dt
2 p 1 1 2 2 2 2 r ) ( ) (r ( pr 2 ) 2m r 2m r r
于是得正则方程
H pr r pr m r 2 ) 2 m ( r 2 r H p （径向运动方程） p r r mr 3 r 2
L 1 1 m 2 m ( r ) m( r ) 2 V （1） 2 2
所以
L p m m( r )
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p r m
（ 3）
则哈密顿函数
H p L 1 1 [m m( r )] [ m 2 m ( r ) m( r ) 2 V （4） 2 2 1 1 m 2 m( r ) 2 V 2 2
代入上式，得
L) q dq p dq d ( p q
1 1 1
s
s
s
L dt t
（7.1）
式中
，
L H ( p, q, t ) h p q
1
s
（7.2）
是体系的广义能量。由 p
L q ( p, q, t ) , t ) 可以解出 q p (q, q q
（ 3）
p H p mr 2 p mr 2 常数 （角动量守恒） p H 0
（ 4）
[例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。 解：取图7.3所示的转动参考系。粒 子的L函数为（参见5.12式）
（3）式代入（4）式，得
p2 H p ( r ) V 2m
（ 5）
正则方程为
H p ( r) P m H V p p r r
（ 6）
将 p m m r 代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程 m m r m m r F
ma F m ( r ) 2m
7.2 哈密顿原理 （1）最速落径问题和变分法 数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。 如图7.4所示，铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中，找出 一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自A点沿它无摩 擦地滑下时，以最短时间到达B点。 设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲 线运动速度为