2012版中考数学精品课件(含10 11真题)第20讲直角三角形(57张)

的是( )
(A)1，2，3
(B)2，3，4
(C)3，4，5
(D)4，5，6
【解析】选C.因为32+42=52，所以以3、4、5为三边的三角形
为直角三角形.
2.(2011·苏州中考)如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、 AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于( )
Leabharlann Baidu
(A) 3
3.(2011·丽水中考)如图，西安路与南京路平行，并且与八 一街垂直，曙光路与环城路垂直，如果小明站在南京路与八 一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路 程约为( )
(A)600 m (B)500 m (C)400 m (D)300 m
【解析】选B.由题意可知：AB∥CD，则 ∠ABC=∠DCE，又有∠BAC=∠DEC=90°， AC=DE=400 m,则可证△ABC≌△ECD(AAS)， 得CE=AB=300 m;又由勾股定理可知，在Rt△ABC 中，BC AC2 AB2 4002 3002 500 .则可得BE=BC-CE =200 m，由此可得：第一条行走路线为：AC+CE=400+300 =700(m)，第二条行走路线为：AB+BE=300+200=500(m).
4
(B) 4
3
(C) 3
5
(D) 4
5
【解析】选B.连接BD，由已知得EF是△ABD的中位线， ∴BD=2EF=4，又∵BC=5,CD=3, ∴根据勾股定理的逆定理得△BDC是直角三角形， ∴ tanC BD 4 .
CD 3
直角三角形的性质
直角三角形的性质是指边、角之间的关系，特别是一些特殊 角对边与斜边之间的数量关系即：在直角三角形中30°的锐 角所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有 一条直角边等于斜边的一半，则此直角边所对的锐角等于 30°；直角三角形中45°的锐角相邻的直角边相等；斜边上 的中线等于斜边的一半.
【尝试证明】 以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以 a+b为高的直角梯形(如图2)，请你利用图2，验证勾股定理.
【知识拓展】 利用图2中的直角梯形，我们可以证明 a b ＜ 2 .其证明步骤
c
如下：
∵BC=a+b,AD=_____.
又∵在直角梯形ABCD中有BC_____AD(填大小关系)，即____， ∴ a b＜ 2.
(A)a＜c＜b
(B)a＜b＜c
(C)c＜a＜b
(D)c＜b＜a
【解析】选C.因为每个小正方形的边长为1，由勾股定理
知：a 17，b=5，c=4，所以c＜a＜b.
8.(2010·钦州中考)如图是一张直角 三角形的纸片，两直角边AC=6 cm、 BC=8 cm， 现将△ABC折叠，使点B与 点A重合，折痕为DE，则BE的长为( ) (A)4 cm (B)5 cm (C)6 cm (D)10 cm 【解析】选B.因为AC=6 cm、BC=8 cm，所以AB=10 cm，所以 BE=5 cm.
【解析】过A作AM⊥QR于M，由∠BAC=30°，AB=4，得BC=2， AC=2 3，在等边△GHQ中，HQ=GH=AC= 2 3 ，在Rt△AHM中， AH=AC= 2 3 ，∠AHM=30°，得HM=3，在矩形ADRM中， RM=AD=AB=4，所以 RQ 7 2 3，PQ 14 4 3，PR 7 3 6， 所以△PQR的周长为 27 13 3. 答案：27 13 3
47
【解析】∵S1+S2+S3=10, ∴CD2+HG2+TK2=10.
又∵DH=CG,TK=HK-TH=DH-DG,
∴(DH+DG)2+HG2+(DH-DG)2=10,
整理得
HG2
10 3
,S2
10 . 3
答案：10
3
1.(2009·遂宁中考)如图，已知 △ABC中，AB=5 cm，BC=12 cm， AC=13 cm，那么AC边上的中线BD 的长为 _____cm.
∴ 1 a ba b 1 ab 1 ab 1 c2.
2
222
整理，得a2+b2=c2.
【知识拓展】
2c ＜ a b＜ 2c
(2011·温州中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理， 创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记 图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1， S2,S3,若S1+S2+S3=10，则S2的值是_____.
【例2】(2010·菏泽中考)如图所示，在Rt△ABC中，∠C= 90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.
【思路点拨】
【自主解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=60°， 又∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=30°， ∴AD=DB，又∵Rt△CBD中，CD=5 cm， ∴BD=10 cm， ∴ BC 5 3 cm，AB 2BC 10 3 cm.
4.(2010·玉林中考)两块完全一样 的含30°角的三角板重叠在一起， 若绕长直角边中点M转动，使上面 一块的斜边刚好过下面一块的直角 顶点，如图，∠A=30°，AC=10， 则此时两直角顶点C、C′间的距离是_____.
【解析】当上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点时， C′C⊥A′B′，因为MC=MC′,又因为∠A=30°，所以 ∠CMC′=60°，所以MC=MC′=CC′=5. 答案：5
勾股定理与其逆定理
勾股定理与逆定理是直角三角形的性质与判定之一，通过以 上两个定理建立了直角三角形中的边与角之间的转化关系， 勾股定理是利用角得到直角三角形的三边之间的数量关系； 而勾股定理的逆定理则是利用三角形三边之间的特殊数量关 系而得知三角形中的特殊角，因此是直角三角形的重要判定 之一.
【例3】(2010·衢州中考)已知 △ABC是边长为1的等腰直角三角 形，以Rt△ABC的斜边AC为直角 边，画第二个等腰Rt△ACD，再 以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…， 依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是_____.
【解析】因为CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°,所以∠A=50°, 所以∠EBC=140°. 答案：140°
6.(2010·宜宾中考)已知，在△ABC中，∠A= 45°， AC 2 ，AB 3 1，则边BC的长为_____.
【解析】作CD⊥AB，又因为∠A= 45°，所以AD=CD，因 为 AC 2 ，所以AD=CD=1，因为 AB 3 1，所以BD 3 ， 所以BC=2. 答案：2
∠ADC=90°,所以在Rt△ADC中,E为AC的中点,所以
DE 1 AC 4. 2
答案：4
3.(2010·温州中考)勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很 多人的兴趣.1955年希腊发行了一枚以勾股图为背景的邮票. 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成 的图形，它可以验证勾股定理.在如图所示的勾股图中，已知 ∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，作△PQR，使得∠R=90°， 点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么 △PQR的周长等于_____.
【思路点拨】
【自主解答】因为△ABC是边长为1的等腰直角三角形，所
以AC 2 ，又因为△ACD是等腰直角三角形，所以
AD 2 2 ，以此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是
n
2.
答案：
n
2
7.(2010·南宁中考)图中，每个小正方形的边长为1，△ABC 的三边a,b,c的大小关系式( )
【例】(2010·孝感中考)【问题情境】 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我 国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数 学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球， 作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.
【定理表述】 请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语 言叙述).
4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=4 cm，则 AB= _____cm. 【解析】因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所 以AB=2CD=8 cm. 答案：8
5.(2010·乐山中考)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高， ∠ACD=40°,则∠EBC=_____.
结合近几年中考试题分析，直角三角形的内容考查主要 有以下特点：
1.命题方式为直角三角形的判定、直角三角形的性质的 应用、勾股定理及其逆定理的证明及应用，题型以解答题为 主；
2.命题的热点为勾股定理的推广与应用.
1.判定一个三角形为直角三角形有多种方法，勾股定理 的逆定理是最常用的方法，在一个三角形中，如果知道三角 形的三边长，就可以利用勾股定理的逆定理判定此三角形的 形状；
10.(2011·杭州中考)在等腰Rt△ABC中，∠C=90°,AC=1，过 点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB=AF,则点F到直线BC的 距离为_____. 【解析】如图，∵△ABC为等腰 直角三角形，且AC=1,又等腰直 角三角形的斜边为直角边的 2 倍, ∴ AB 2, AD 2 .
9.(2010·眉山中考)如图，每个小正方形的边长为1，A、B、 C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( )
(A)90°
(B)60°
(C)45°
(D)30°
【解析】选C.根据勾股定理可知AC2=12+22=5,BC2=12+22=5, AB2=12+32=10,∴AC=BC,AC2＋BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三 角形且∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°.
2.在直角三角形中，已知两边利用勾股定理求第三边时， 要分清第三边是直角边还是斜边；
3.掌握直角三角形的性质，明确一个定理与它的逆定理 之间的关系；
4.探究多种方法证明勾股定理.
直角三角形的判定
直角三角形的判定基本上是从两个角度去思考.其一、是观察 三角形的角，若有一个角为直角，则此三角形为直角三角形； 若一个三角形中有两个角互余，则此三角形为直角三角形； 其二、是研究三边的数量关系，当其中两边的平方和等于第 三边的平方，可运用勾股定理的逆定理判定此三角形为直角 三角形；根据三角形一边上的中线等于此边的一半判定;还可 以与圆的有关知识结合判定.
【例1】(2010·泸州中考)在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
则该三角形为( )
(A)锐角三角形
(B)直角三角形
(C)钝角三角形
(D)等腰直角三角形
【思路点拨】
【自主解答】选B.因为62+82=102，所以AB2+AC2=BC2,所以 △ABC为直角三角形.
1.(2010·湛江中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形
c
【思路点拨】
【自主解答】 【定理表述】 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2.
【尝试证明】
∵Rt△ABE≌Rt△ECD,∴∠AEB=∠EDC，
又∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°.
∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△ECD+SRt△AED，
2
又 AF1
2,DF1
6, 2
∴ CF1
6 2
2, 2
F1E
3 2
1
,
CF2
6 2
2, 2
3 1
F2H
. 2
答案： 3 1
2
勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，绝大数方法是通过若干个相同的 直角三角形拼出一个几何图形，结合两种方法表示拼出图形 的面积，然后经过多项式的整理得到勾股定理的证明.
【解析】∵AB2+BC2=52+122=132=AC2，
∴△ABC为直角三角形.
又∵BD是AC边上的中线,
∴ BD 1 AC 13 cm.
2
2
答案：13
2
2.(2010·益阳中考)如图，在△ABC中，AB=AC=8，AD是底边 上的高，E为AC中点，则DE=_____.
【解析】因为△ABC是等腰三角形，AD是底边上的高，所以