《随机信号分析》第五章-窄带随机过程
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窄带随机过程
窄带随机过程通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程的定义窄带随机过程的定义借助于它的功率谱密度的图形来说明。
图3.5.1（a）中，波形的中心频率为，带宽为，当满足时，就可认为满足窄带条件。
若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。
若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。
随机过程通过窄带滤波器之后变成窄带随机过程。
图3.5.1窄带波形的频谱及示意波形 二、窄带随机过程的表示方式如果在示波器上观察这个过程中一个样本函数的波形，则会发现它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波，如图3.5.1（b）所示。
因此窄带随机过程可用下式表示成：式中，是窄带随机过程包络；是窄带随机过程的随机相位。
窄带随机过程也可用下式表示其中: 这里的和分别被称作的同相分量和正交分量。
可见，的统计特性可以由、或、的统计特性来确定。
反之，若已知的统计特性，怎样来求、或、的特性呢？三、同相分量与正交分量的统计特性设窄带随机过程是均值为零平稳的窄带高斯过程。
可以证明，它的同相分量和正交分量也是均值为零的平稳高斯过程，而且与具有相同的方差。
1.数学期望已设是平稳的，且均值为零，即对于任意时刻，有，所以，可得即 2.自相关函数我们知道一些统计特性可以从自相关函数中得到，所以，按定义的自相关函数为将上式展开，并取数学期望为其中因为是平稳的，可以令，得（1）同理，令，得（2）如果是平稳的，则、也是平稳的。
由于式（1）和式（2）相等，则应有可见，的同相分量和正交分量具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，有可见，有上式表示，为的奇函数，所以同理可以证明得到即这表明，和具有相同的方差。
3.概率密度函数因为和统计独立，则和的二维概率密度函数为利用式（3.5.16），上式改写为以上讨论的是由的统计特性推导出同相分量和正交分量的统计特性。
随机信号分析_第五章_窄带随机过程
定义复指数函数： ~s (t) ae j (t) ae j e j0t a~e j0t 式中 a~ ae j ，称为复包络。 可以看出s(t)是~s (t) 的实部，即：
s(t) Re[~s (t)]
某些情况下，用复指数形式来分析 问题更加简便，可以简化信号和滤波器 的分析。
复信号~s (t) 的频谱为：
1. s(t) Re[~s (t)]
2.
X~ (
)
2 0
X
(
)
0 0
式中X~ ( )为~s (t)的频谱。
可以证明：满足上面要求的 ~s (t) 是 存在的，称为解析信号。把它用解析表 达式表示为：~s (t) s(t) jsˆ(t)
可以推导出： sˆ(t)
1
s( ) d
t
上式称为希尔伯特(Hilbert)变换，记做
0
ω ω0-ωc ω0 ω0+ωc
|X~H(ω)|
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
2. 复指数表示
设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 定义窄带信号s(t)的复指数函数 ~se (t) 为：
~se (t) A(t)e j[0t (t)] A~(t)e j0t 其中A~(t)＝A(t)e j (t) sc (t) jss (t)
用复数表示为：
s(t)=acosφ(t)=a[ejφ(t)+ e-jφ(t)]/2
因为 e j0t ( 0 )
所以s(t)的频谱为：
X(ω)= a[ejθδ(ω-ω0)+e-jθδ(ω+ω0)]/2 |X(ω)|= a[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2 说明正弦型信号包含正负两种频率成分， 其频谱为对称的两根单一谱线。
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲
2
a12 a22
2a
a1a2
cos
2
1
,
0
a1, a2 0, 1, 2 其它
2 2
fa a1, a2 0 0 fa a1, 1, a2 , 2 d1d2
a1a2
1
D2
I0
a1a2a()
1
D2
exp
2
a12 a22
1
2D2
,
0,
a1, a2 0 其它
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正弦信号加窄带噪声包络平方的分布
f A ( At
)
At
2
exp
At2 a2
2 2
I0
aAt
2
,
At 0
fU (ut ) f A ( At ) | J |
1
2
2
exp
1
2
2
(u
a
2
)
I0
au1/ 2
2
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26
总结
希尔伯特变换 解析信号 频带信号与带通系统 窄带平稳随机过程
二维瑞利分布 第一类零阶修正贝塞尔函数
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18
相位的二维分布
f 1,2
0
0 fa
a1,1, a2 ,2 da1da2
1
D2
1 2
4
2
4
1
2 cos1
3
1 2 2
,
0,
0 1，2 2
其它
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fa a1,1, a2 ,2 fa a1, a2 f 1,2
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第5章-窄带随机过程
第五章 窄带随机过程5.1 窄带随机过程的概念1． 通信工程中的信号频率在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。
对于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。
2． 窄带随机过程（1） 带通随机过程的定义若随机过程)(t X 的谱密度满足：⎩⎨⎧∆<-=其它0)()(0ωωωωωS S X 则称)(t X 为带通过程。
带通过程的谱密度的图解如下图。
（2） 窄通随机过程的定义若)(t X 为带通过程，且0ωω<<∆，即中心频率过大于谱宽，则称)(t X 为窄通随机过程。
3． 窄带随机过程的解析表达方法之一：莱斯表示法（1）窄带随机过程的莱斯表示定理：任何一个实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：)sin()()cos()()(00t t b t t a t X ωω-=证明：略。
注：证明过程要用到一种重要的数学变换――希尔伯特变换，此变换需掌握。
（2） )(t a 、)(t b 的性质 ①)(t a 、)(t b 都是实随机过程。
②0))(())((==t b E t a E . 。
③)(t a 与)(t b 各自广义平稳，联合平稳，且：)()(ττb a R R =。
④))(())(())((222t X E t b E t a E ==，由此可得方差22b a σσ=。
⑤0)0(=ab R ，这说明)(t a 与)(t b 在同一时刻正交。
⑥)()(ωωb a S S =。
4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法定理：实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω证明：由莱斯表示法有：)()()(22t b t a t A +=， )()()(t a t b arctgt =Φ )(t A 与)(t Φ都是慢变化的随机过程。
慢变化是指)(t A 与)(t Φ随时间变化比)cos(0t ω随时间的变化要缓慢得多。
随机过程第五章
5.2.2 希尔伯特变换的性质
★ 性质（续）
5、设 y(t ) v(t ) x(t ) ，则有
ˆ ˆ ˆ y(t ) v(t ) x(t ) v(t ) x(t )
1 ˆ ˆ y (t ) v(t ) x(t ) v(t ) x(t ) t 1 ˆ v(t ) x(t ) v(t ) x(t ) t
★随机过程的复过程表示
5.4 窄带随机过程的统计特性
★窄带随机过程的准正弦振荡表达式
★窄带随机信号的统计特性
★窄带随机过程的复过程表示
本堂课的作业
★第141页习题 5.1 5.2 5.3
★第142页习题 5.10 5.11
5.1.1 窄带确知信号的复信号表示
★
简单余弦信号的复信号表示
设有实信号
根据傅立叶变换的频移特性有
~ ~ ~(t ) a (t )e j0t S () A( ) ~ s 0
~(t ) 是有限带宽的低频信号，设其幅 a
~ ~(t ) 频特性为，则的幅频特性 s | A( ) | ~ ~ 为向右平移。 0 | S ( ) | | A( ) |
5.1.1 窄带确知信号的复信号表示
★
简单余弦信号的复信号表示（续）
复信号 ~(t ) 的振幅和相角分别为 s
ˆ a s (t ) s (t )
2 2
ˆ s (t ) 0t tg s(t )
1
5.1.1 窄带确知信号的复信号表示
★ 简单复信号的频谱
对(5.1.4)、(5.1.5)和(5.1.3)式两边作傅
5.1.2 任意实信号的复信号表示
★ 任意实信号的复信号表示（续）
窄带随机过程
正
交
滤
相频特性为：
()
/ 2
/
2
0 0
波 器
二、希尔伯特变换的性质
（1） H[xˆ(t)] x(t)
（2） H[cos(0t )] sin(0t )
H[sin(0t )] cos(0t )
（3） 如果a(t)是低频信号
H[a(t) cos0t] a(t)sin 0t H[a(t)sin 0t] a(t) cos0t
低频信号
是窄带确知信号，其解析信号为
x%(t) A(t)cos0t+(t) jA(t)sin0t+(t)
A(t)e j0t+ (t) A%(t)e j0t
其中 A%(t) A(t)e j (t) ，称为复包络。
一、确知信号的复信号表示
对解析信号取傅里叶变换，得
X%() X () jX ()
第五章 窄带随机过程
窄带随机过程
5.1 窄带随机过程 5.2 信号的复信号表示 5.3 窄带随机过程的统计特性 5.4 窄带正态随机过程包络和相位的分布
5.1 窄带随机过程
一、希尔伯特变换的定义
假定一实函数x(t)，其希尔伯特变换为：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
其反变换为：
4、同相分量和正交分量的统计特性
RY ( ) cos0t cos0 (t ) RYˆY ( ) sin 0t cos0 (t )
RYYˆ ( ) cos0t sin 0 (t ) RYˆ ( ) sin 0t sin 0 (t ) 利用如下关系 RY ( ) RYˆ ( ) RYYˆ ( ) RˆY ( ) RYˆY ( )
具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞 π 后 2 弧度的宽带相移全通网络。
窄带随机过程
0
0 为高频载波。
窄带随机过程----- 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波
ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数
GZ(ω)
0
0
0
0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何？即如何 Gz ( ) Z(t ) 。
t t
称为Hilbert变换。
Hilbert 变换与反变换:
sˆ(t) H[s(t)] 1 s( ) d
t
s(t) H 1[sˆ(t)] 1 sˆ( ) d sˆ(t) * 1
t
1
全通滤
| H( )|
波器
H ( )
0
90
1
0
f
0
f
0
90
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与sin0t 正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布 余弦波加窄带高斯过程
§6.1 窄带随机过程的定义
窄带系统---------很多无线电系统的通频带 是比较窄的，
它们远小于其中心频率 ，0 这种系统只允许输入信号靠近
0 为高频载波。
窄带随机过程----- 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波
ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数
GZ(ω)
0
0
0
0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何？即如何 Gz ( ) Z(t ) 。
t t
称为Hilbert变换。
Hilbert 变换与反变换:
sˆ(t) H[s(t)] 1 s( ) d
t
s(t) H 1[sˆ(t)] 1 sˆ( ) d sˆ(t) * 1
t
1
全通滤
| H( )|
波器
H ( )
0
90
1
0
f
0
f
0
90
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与sin0t 正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布 余弦波加窄带高斯过程
§6.1 窄带随机过程的定义
窄带系统---------很多无线电系统的通频带 是比较窄的，
它们远小于其中心频率 ，0 这种系统只允许输入信号靠近
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲
c
s
t t
t cos 2 ˆ t cos 2
fct fct
ˆ t sin 2 t sin 2
fct fct
■ 若E t 0，E c t E s t 0.
■ 若 t 是高斯过程，c t 和s t 也是高斯过程. ■ 若 t 是广义平稳过程，c t 和s t 是联合广义平稳随机
(t
)
arctan
s c
(t (t
) )
2020/7/24
2
窄带随机过程的低通表示
■ t 的等效低通表示
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct
复包络 复载波
其中L (t) ~(t)e j2fct
L (t) c (t) js (t) a (t)e j (t)
(t ) Re t Re L (t)e j2 fct
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3
5.3.2窄带随机过程的统计特性
解析信号的统计特性
■ R E * t t E (t) jˆ(t) (t ) jˆ(t )
R Rˆ jRˆ jRˆ 2 R jRˆ
P ( f ) A
0
fc
fc fc f
f
A P ( f fc )
0
2 fc
fc
0 f
f
A P ( f fc )
0
f 0
fc
2 fc
f
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Pc ( f ) Ps ( f )
2A
f 0 f
f
10
5.4 窄带随机过程包络和相位的分布
窄带正态噪声的包络和相位分布
一维分布 二维分布
12
5.4.1
J 为Jocabian行列式。
第五章 窄带系统和窄带随机过程
§5.4 正弦信号叠加窄带高斯噪声的合 成振幅分布
前面两节讨论的是白噪声通过窄带系统后的 输出——窄带高斯噪声的统计特性。
本节讨论正弦信号（有用信号）＋窄带高斯噪 声的统计特性。
数学模型：
求合成振幅 的分布 （1）对给定的 ， 的分布情况：
(2) 求
是相互独立的
(3) 根据二维随机变量的函数变换，求
C
窄带系统冲激响应
窄带-对称系统的包络定理
窄带-对称系统的包络定理： 1) 求解出系统传递函数 的零-极点形式;
2) 画出
的“极点分布图”；
3)去除第三象限的极点，并将二象限的极点沿 虚轴平移，使其中心与实轴重合；
(a)
极点分布
(b)
极点分布
4)对
取拉氏反变换,得到
其中 、 是
, 是 在第二象限极点个数. 在幅度和相位上对 幅度补偿。
包络检波器
宽带随 机信号
高频窄带 系统
理想带通限幅器
低通网络
接收机
§5.3窄带高斯随机信号分析
正态随机过程（白噪声）通过窄带系统后的输 出为窄带正态随机过程。 窄带正态随机过程是在电子技术中最常遇到的 窄带过程，本节研究其包络和相位的统计特性。
窄带正态随机过程（窄带高斯信号）表示：
• 本章讨论随机过程通过一种特殊的线性系 统——窄带系统。 • 随机信号通过窄带系统后，输出信号即为窄 带随机信号。
第五章 窄带系统和窄带随机过程
窄带系统
窄带随机信号的基本概念
窄带高斯随机信号包络和相位分布
窄带随机信号包络的自相关特性
正弦信号叠加窄带高斯噪声的合成振幅分布
§5.1 窄带系统及其特点
同时
窄带随机过程ppt课件
5
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与 sin0t正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
Fourier 变换
S ()
时域复信号。
问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?
10
2．解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
z(t) s(t) jsˆ(t)
其中，sˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，
s( t )
h( t )
ˆs( t )
即， z(t ) s(t ) js(t ) h(t)
引入表达式 2 的目的是将Z( t )分解成两个相互正交的分量，
以便于分别分析。 6
表达式 1 和表达式 2 两者间的几何关系： 表达式1：Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0 表达式2：Z(t ) X (t )cos 0t Y (t )sin0t
B( t ) Y(t )
令 0
RZ (0) RX (0) RY (0)
即: X(t),Y(t),Z(t) 的平均功率相同
∵ 前面假设窄带平稳随机过程的均值为零， ∴
2 Z
2 X
2 Y
24
性质性质4证明:
Z (t) X (t) cos0t Y (t) sin 0t Z (t) X (t) sin 0t Y (t) cos0t
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与 sin0t正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
Fourier 变换
S ()
时域复信号。
问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?
10
2．解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
z(t) s(t) jsˆ(t)
其中，sˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，
s( t )
h( t )
ˆs( t )
即， z(t ) s(t ) js(t ) h(t)
引入表达式 2 的目的是将Z( t )分解成两个相互正交的分量，
以便于分别分析。 6
表达式 1 和表达式 2 两者间的几何关系： 表达式1：Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0 表达式2：Z(t ) X (t )cos 0t Y (t )sin0t
B( t ) Y(t )
令 0
RZ (0) RX (0) RY (0)
即: X(t),Y(t),Z(t) 的平均功率相同
∵ 前面假设窄带平稳随机过程的均值为零， ∴
2 Z
2 X
2 Y
24
性质性质4证明:
Z (t) X (t) cos0t Y (t) sin 0t Z (t) X (t) sin 0t Y (t) cos0t
第五章 窄带随机信号
X
c) R ( ) RX ( )
X
7
d) S
XX XX
( ) j sgn( ) S X ( ) S ( ) j sgn( ) S X ( ) S
XX XX
XX
( )
e) R ( ) R f )R
XX
( )
ˆ ( ) ( ) h( ) * RX ( ) R X
x( ) (1)实值函数x(t ), ( x ), x(t ) H [ x(t )] d t ^ 1 x(t ) 1 x(t ) x(t ) d d
^
1
Βιβλιοθήκη (2)相当于一个正交滤波器 1 x(t ) x(t ) * t
2 t 2
19
20
0 0
ˆ (t ) cos t b(t ) X (t ) sin 0t X 0 2. a(t )与b(t )在同一时刻是正交的,不相关，独立， 高斯RVS 3.若S X ( )是关于0 对称，则a(t ), b(t )是相互正交， 不相关及独立
14
二
f ab (at , bt )
^
x(t )
1 h(t ) t
x(t )
^
j 0 (3) H ( ) j 0
4
(4)希尔伯特变换是一90 全通相移网络 (5)希尔伯特逆变换 x(t ) H [ x(t )]
^ 1 ^
1
x(t )
^
^
d
11
Sa ( ) Sb ( ) LP[ S X ( 0 ) S X ( 0 )]
c) R ( ) RX ( )
X
7
d) S
XX XX
( ) j sgn( ) S X ( ) S ( ) j sgn( ) S X ( ) S
XX XX
XX
( )
e) R ( ) R f )R
XX
( )
ˆ ( ) ( ) h( ) * RX ( ) R X
x( ) (1)实值函数x(t ), ( x ), x(t ) H [ x(t )] d t ^ 1 x(t ) 1 x(t ) x(t ) d d
^
1
Βιβλιοθήκη (2)相当于一个正交滤波器 1 x(t ) x(t ) * t
2 t 2
19
20
0 0
ˆ (t ) cos t b(t ) X (t ) sin 0t X 0 2. a(t )与b(t )在同一时刻是正交的,不相关，独立， 高斯RVS 3.若S X ( )是关于0 对称，则a(t ), b(t )是相互正交， 不相关及独立
14
二
f ab (at , bt )
^
x(t )
1 h(t ) t
x(t )
^
j 0 (3) H ( ) j 0
4
(4)希尔伯特变换是一90 全通相移网络 (5)希尔伯特逆变换 x(t ) H [ x(t )]
^ 1 ^
1
x(t )
^
^
d
11
Sa ( ) Sb ( ) LP[ S X ( 0 ) S X ( 0 )]
第5章 _窄带随机过程
综合： 零均值窄带平稳高斯过程 X (t ) 的同相分量 Ac (t ) 和正交分量 As (t ) 也是具有相同方差的零 均值平稳高斯过程。 5.1.2 包络和相位的概率密度 反过来， X (t ) 可用两个分量来描述： 幅度
A(t ) = Ac2 (t ) + As2 (t ) ，相位
Φ(t ) = arctan
n(t ) 是均值为零、方差为 σ 2 的高斯随机信号，得 n(t ) 的概率密度函数： f n (t ) = 1 2πσ e
− n2 2σ 2
5‐ 5 / 7
又 n(t ) = X (t ) − a cos ωt ，带入上式即可得到 X (t ) 的概率密度函数：
f X (t ) =
1 2πσ
S m (t ) 的功率谱密度 Ps ( f ) 与其自相关函数 Rs m (τ ) 是一对傅立叶变换对。则有：
5‐ 6 / 7
1 Ps (ω) = FT [Rs m (τ )] = FT [ Rm (τ )cos(ω cτ )] 2 1 = [Pm (ω) ∗ Pc (ω)] 2
其中 Pm ( f ) 是 m(t ) 的功率谱密度， Pc (ω) 是 cos(ω cτ ) 的频谱， 又因为 Pc (ω) = π[δ(ω − ω c ) + δ(ω + ω c )] 所以 1 1 Ps (ω) = i Pm (ω) * π[δ(ω − ω c ) + δ(ω + ω c )] 2 2π 1 = [Pm (ω − ω c ) + Pm δ(ω + ω c ] 4 1 1 功率 P = Rs m (0) = Rm (0)cos 0 = 2 2 1 ∞ 1 ∞ 1 或则 P = Ps (ω)d ω = dω = [Pm (ω − ω c ) + Pm (ω + ω c )] ∫ ∫ 2π −∞ 2π −∞ 2 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
第五章窄带随机过程
SX
S
X
,0
c
0, 其它
0
c
则称X(t)为带通过程。
若在上式中，c 0 ,则称X(t)为高频窄带随机过程，简称
窄带随机过程。
5.1、预备知识
5.1.1、高频窄带信号（滤波）
Si ()
H()
So ()
0 0
窄带系统 （如：高频、中频放大器）
0
6 / 30
5.1、预备知识
5.1.1、高频窄带信号（调制）
12 / 30
5.1、预备知识
5.1.2、希尔伯特变换: Hilbert Transform
性质3:
x(t) cos( 0t )
xˆ t sin 0t
xˆ(t) 1 x( )d 1 x(t )d
t
1 cos(0t 0 )d
1 cos(0t ) cos(0 )d 1 sin(0t ) sin(0 )d
5) 若a(t)与(t)为低频信号，则 H{a(t)cos[0t+(t)]}=a(t)sin[0t+(t)] H{a(t)sin[0t+(t)]}=-a(t)cos[0t+(t)]
14 / 30
5.1、预备知识
5.1.2、希尔伯特变换: Hilbert Transform
性质4:
x ( t ) a ( t ) c o s ( 0 t ) xˆ t a(t)sin 0t
A() X ( 0)
X ( ) A ( 0 ) 17 / 30
5.1、预备知识
5.1.4、随机过程的希尔伯特变换: Hilbert Transform
(P1) 若 X(t) 为广义平稳(实)过程，则 Xˆ (t) 也是广义平稳的 (实)过程，且 X(t) 和 Xˆ (t) 联合平稳 (P2) RXˆ () RX () Rˆ X (); SXˆ () SX() (P3) RXXˆ () Rˆ X () RXˆ X (), RXˆ X () Rˆ X() RXˆ X(); (P4) RXˆ X (0) RXXˆ (0) 0 (P5) SXXˆ () jsgn()SX()
5.5窄带随机过程的莱斯表示
随机信号分析目录CONTENTSCONTENTS窄带随机过程的定义窄带随机过程的莱斯表示窄带随机过程的莱斯表示证明小结⚫定义：一个实平稳随机过程X(t),若它的功率谱密度具有下述性质00() ()0 X c c X S S ωωωωωωω⎧−≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它且带宽，满足则称此随机过程为窄带平稳随机过程，以下简称窄带随机过程。
2c ωω∆=0ωω∆<<窄带随机过程的功率谱密度图)(ωX S O ωω∆ω∆000 c c ωωωωω−+000 - -c c ωωωωω−−+窄带随机过程的一个样本函数缓慢变化的包络[B(t )]频率近似为ω0有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）窄带随机过程的莱斯表示⚫窄带随机过程的莱斯表示式：其中：00ˆ()()cos ()sin a t X t t X t t ωω=+00ˆ()()sin ()cos b t X t t X t t ωω=−+将X(t)表示成解析过程：0000ˆˆ()cos ()sin ()sin ()cos X t t X t t j X t t X t t ωωωω⎡⎤⎡⎤=++−+⎣⎦⎣⎦ˆ()()()X t X t jXt =+[]000ˆ()()()cos sin j t X t e X t jX t t j t ωωω−⎡⎤=+−⎣⎦0()()()j tX t e a t jb t ω−=+证明：()a t =()b t ==+ωX t a t jb t e j t()()()0][=−++ωωωωa t t b t t j a t t b t t ()sin ()cos ()sin ()cos 0000][][=−ωω()()sin ()cos 00X t a t t b t t =+ωωa t X t t X t t ()()cos ()sin ˆ00=−+ωωb t X t t X t t ()()sin ()cos ˆ00取实部：=X t ()=Xt ()ˆ窄带随机过程的莱斯表示有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）窄带随机过程的定义：一个是平稳随机过程X(t),若它的功率谱密度具有下述性质00() ()0 X c c X S S ωωωωωωω⎧−≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它且带宽，满足则称其为窄带随机过程。
第5章 窄带随机过程
而且带宽 满足 <<0 ，则称此随机过程为 2 C 窄带平稳随机过程。
二. 窄带随机过程的表示方法
1、窄带随机过程的莱斯(Rice)表示式
任何一个实平稳窄带随机过程Y(t)都可以表示为：
Y ( t ) A ( t ) c o s t A ( t ) s i n t C 0 S 0
0 0
正 交 滤 波 器
H() 1
/2 0 ( ) 0 /2
相频特性为：
二. 希尔伯特（Hilbert）变换的性质
证明：
证明：
（8）偶函数的希尔伯特变换是奇函数， 奇函数的希尔伯特变换是偶函数。
（9）解析过程的性质 若X(t)平稳，则 Xˆ ( t ) 也平稳，且联合平稳
R )R ( ) ˆ( X X
ˆ ( R ( ) R ) ˆ X X X
R 0 )R 0 ) ˆ( X( X
R X Xˆ ( ) 是奇函数。
ˆ ( R ( ) R ) ˆ X X X
R ( 0 ) R ( 0 ) 0 ˆ ˆ X X X X
表明同一时刻X(t)与其希尔伯特变换正交。
ˆ A ( t ) X ( t ) s i n t X ( t ) c o s t
ˆ A ( t ) X ( t ) c o s t X ( t ) s i n t C 0 0
S 0 0
2 2 A 1 A c t s t f ( A , A ) f ( A ) f ( A ) 2 e x p 2 A A c t s t A c t A s t cs c S 2 2
5.1 希尔伯特变换 5.2 窄带随机过程的统计特性 5.3 窄带正态随机过程包络和相位的分布 5.4 信号处理实例—通信系统的抗噪性能分析
二. 窄带随机过程的表示方法
1、窄带随机过程的莱斯(Rice)表示式
任何一个实平稳窄带随机过程Y(t)都可以表示为：
Y ( t ) A ( t ) c o s t A ( t ) s i n t C 0 S 0
0 0
正 交 滤 波 器
H() 1
/2 0 ( ) 0 /2
相频特性为：
二. 希尔伯特（Hilbert）变换的性质
证明：
证明：
（8）偶函数的希尔伯特变换是奇函数， 奇函数的希尔伯特变换是偶函数。
（9）解析过程的性质 若X(t)平稳，则 Xˆ ( t ) 也平稳，且联合平稳
R )R ( ) ˆ( X X
ˆ ( R ( ) R ) ˆ X X X
R 0 )R 0 ) ˆ( X( X
R X Xˆ ( ) 是奇函数。
ˆ ( R ( ) R ) ˆ X X X
R ( 0 ) R ( 0 ) 0 ˆ ˆ X X X X
表明同一时刻X(t)与其希尔伯特变换正交。
ˆ A ( t ) X ( t ) s i n t X ( t ) c o s t
ˆ A ( t ) X ( t ) c o s t X ( t ) s i n t C 0 0
S 0 0
2 2 A 1 A c t s t f ( A , A ) f ( A ) f ( A ) 2 e x p 2 A A c t s t A c t A s t cs c S 2 2
5.1 希尔伯特变换 5.2 窄带随机过程的统计特性 5.3 窄带正态随机过程包络和相位的分布 5.4 信号处理实例—通信系统的抗噪性能分析
窄带随机过程
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5.1 希尔伯特变换
• 证明:
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5.1 希尔伯特变换
• 如图5.2所示,由于Δω/2<ω0,可得 • 所以其希尔伯特变换的频谱为
上一页 下一页 返回
5.1 希尔伯特变换
•取
的傅里叶反变换可得
• 利用傅里叶变换的频移性质
上一页 下一页 返回
5.1 希尔伯特变换
通过一个滤波器hH1（ t） 后,
上一页 下一页 返回
5.1 希尔伯特变换
•则
上一页一个正交滤波器。
• 因为
于是,
• 可以将x（ t） 的希尔伯特变换看成是将x（ t） 通过一个具有冲激响
应为
的线性滤波器,即
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5.1 希尔伯特变换
上一页 下一页 返回
5.1 希尔伯特变换
• 其中,
• 具有单边频谱
•
被称为实信号x(t)的解析信号。所以,实信号x(t)可用一个仅含
有正频率成分的解析信号的实部来表示。
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5.1 希尔伯特变换
• 5.1.2 希尔伯特变换的定义
• 通过上面的推导可以看出将信号正频域谱的2倍的傅里叶反变换取实 部,就等于原信号。
• 当τ=0时,有
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5.3 窄带随机信号
• 表示X (t) 、Ac(t)、As(t)三者的平均功率皆相等。
• 其中
表示一低通滤波器。
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• 证: 由于
5.3 窄带随机信号
• 两边取傅里叶变换,并利用
可得
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5.3 窄带随机信号
• 上式各项对应的功率谱密度图形如图5.8所示,从图中可以直接得出 • 同理可得
5.1 希尔伯特变换
• 证明:
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5.1 希尔伯特变换
• 如图5.2所示,由于Δω/2<ω0,可得 • 所以其希尔伯特变换的频谱为
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5.1 希尔伯特变换
•取
的傅里叶反变换可得
• 利用傅里叶变换的频移性质
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5.1 希尔伯特变换
通过一个滤波器hH1（ t） 后,
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5.1 希尔伯特变换
•则
上一页一个正交滤波器。
• 因为
于是,
• 可以将x（ t） 的希尔伯特变换看成是将x（ t） 通过一个具有冲激响
应为
的线性滤波器,即
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5.1 希尔伯特变换
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5.1 希尔伯特变换
• 其中,
• 具有单边频谱
•
被称为实信号x(t)的解析信号。所以,实信号x(t)可用一个仅含
有正频率成分的解析信号的实部来表示。
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5.1 希尔伯特变换
• 5.1.2 希尔伯特变换的定义
• 通过上面的推导可以看出将信号正频域谱的2倍的傅里叶反变换取实 部,就等于原信号。
• 当τ=0时,有
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5.3 窄带随机信号
• 表示X (t) 、Ac(t)、As(t)三者的平均功率皆相等。
• 其中
表示一低通滤波器。
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• 证: 由于
5.3 窄带随机信号
• 两边取傅里叶变换,并利用
可得
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5.3 窄带随机信号
• 上式各项对应的功率谱密度图形如图5.8所示,从图中可以直接得出 • 同理可得
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
t
x(t)
1
xˆ (t)
t
xˆ (t)
1
x(t)
t
2020/7/24
3
希尔伯特变换器实际上是一个90的相移器 （理想宽带相移网络）
频率特性为：
H
()
j
sgn()
j
j
0 0
幅频特性为： 相频特性
H () 1
这是一个全
通滤波器
( )
/ 2
/
2
0 0
w
例. x(t ) cos 2 f0t,
2020/7/24
2 0
xˆ (t)
cos
2
f0t
2
w
sin 2 f0t
4
2020/7/24
5
Hilbert变换的基本性质
2. 性质 （1）
H[xˆ(t)] x(t) 两次变换等于反相
（2）
H[cos(0t )] sin(0t )
H[sin(0t )] cos(0t )
2020/7/24
7
2. 性质
（3） H[a(t) cos0t] a(t)sin 0t
H[a(t)sin 0t] a(t) cos0t
x(t) a(t) cos0t
X
()
1 2
[ A(
0
)
A(
0
)]
Xˆ
()
窄带随机过程
n0 Pξ (ω ) = , w / Hz 2
由Pξ (ω ) R(τ )
因为R(τ )在τ = 0才有值，所以白噪声只与τ = 0相关
(三)
∴ R(τ ) =
宽 带 过 程
n0 δ (τ ) 2
2．带限白噪声 定义： 白噪声限制于（-f0,f0）之内
白噪声 n0/2 n0/2
R(τ ) = f 0 n0 S a (ω 0τ )
FT
1 H [ f (t )]= f (t ) πt
H [a (t )Cosω c t ]
j ω ←→ Sgn [A(ω ω c ) + A(ω + ω c )] 2 2π
FT
1 jA(ω + ω c ) ω < 0 X H ( jω ) = 2 1 2 jA(ω ω c ) ω > 0
X(w)
△f
0
fc
f
1 xH (t ) = F [X H ( jω )] = 2π
1
{∫
∞ j 0 2
A(ω ω c )e dω + ∫
jωt
j ∞ 2
0
A(ω + ω c )e jωt dω
}
因为是窄带信号，假设a(t)带宽为(-W,W)
ω c +W j ω c +W j 1 j ωt = A(ω ω c )e dω + ∫ A(ω + ω c )e jωt dω ω c W 2 2π ∫ω c W 2 分别令ω ' = ω ω c；ω ' = ω + ω c
R(τ)
带限白噪声
Pξ(w) n0/2
1/2f0
-f0
f0
r (t ) = ACos (ω c t + θ ) + n(t )
由Pξ (ω ) R(τ )
因为R(τ )在τ = 0才有值，所以白噪声只与τ = 0相关
(三)
∴ R(τ ) =
宽 带 过 程
n0 δ (τ ) 2
2．带限白噪声 定义： 白噪声限制于（-f0,f0）之内
白噪声 n0/2 n0/2
R(τ ) = f 0 n0 S a (ω 0τ )
FT
1 H [ f (t )]= f (t ) πt
H [a (t )Cosω c t ]
j ω ←→ Sgn [A(ω ω c ) + A(ω + ω c )] 2 2π
FT
1 jA(ω + ω c ) ω < 0 X H ( jω ) = 2 1 2 jA(ω ω c ) ω > 0
X(w)
△f
0
fc
f
1 xH (t ) = F [X H ( jω )] = 2π
1
{∫
∞ j 0 2
A(ω ω c )e dω + ∫
jωt
j ∞ 2
0
A(ω + ω c )e jωt dω
}
因为是窄带信号，假设a(t)带宽为(-W,W)
ω c +W j ω c +W j 1 j ωt = A(ω ω c )e dω + ∫ A(ω + ω c )e jωt dω ω c W 2 2π ∫ω c W 2 分别令ω ' = ω ω c；ω ' = ω + ω c
R(τ)
带限白噪声
Pξ(w) n0/2
1/2f0
-f0
f0
r (t ) = ACos (ω c t + θ ) + n(t )
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高斯 同一时刻不相关
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
H[A(t)sin[0t (t)] A(t) cos[0t (t)]
(5) 奇函数的H变换为偶函数，偶函数的H变换为奇函数。
（6） Xˆ (t) v(t) X (t) vˆ(t)
（7）经过希尔伯特变换后，相关函数不变 （功率谱不变，平均功率不变）
2020/10/24
9
（8） RXXˆ () RˆX ()
h(t )
(2)
h(t )
rect
t T
1 2
cos
2
f0t
T
1 f0 T
x(t)
rect
t T
1 2
cos
2
f0t
j sin 2
f0t
rect
t T
1 2
e
j
2
f0t
1
hL (t ) 2 z
t
e j2 f0t 1 , 2
0 t T
(3) rL (t ) xL (t ) hL (t )
2020/10/24
11
Hilbert变换
常用变换
xt
cos 2 f0t sin 2 f0t
m t cos 2 f0t m t sin 2 f0t
xˆ (t )
sin 2 f0t cos 2 f0t
m t sin 2 f0t m t cos 2 f0t
注：m t 为低通信号，频率范围为-W , W ,且W f0 .
1 2
t m d
t T
r(t)
2020/10/24
Re rL (t )e j2
f0t
1 2
t
m
t T
d
cos
2
f0t
23
5.3 窄带随机过程的统计特性：
随机过程的功率谱集中在某个中心频率附 近的一个很小的频带内，而该频带又远远 小于中心频率。
f010B GX ( f )
f
f0
0
f0
fct fct
ˆ t sin 2 t sin 2
fct fct
■ 若E t 0，E c t E s t 0.
■ 若 t 是高斯过程，c t 和s t 也是高斯过程. ■ 若 t 是广义平稳过程，c t 和s t 是联合广义平稳随机
过程(互相关函数仅与时间间隔有关).
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc Rc s Rs c Rˆ cos 2 fc R sin 2 fc
A(t) A(t)e j(t)
复包络
2020/10/24
13
1. 确定性信号（Deterministic signal）
解析信号的频谱关系：
X~() X () jXˆ ()
X () j[ j sgn() X ()]
又有：
2 X () 0
0
0
X~() A~( 0 )
解析信号的频谱为复包络频谱的平移。
2020/10/24
14
X () X () jXˆ ()
1. 确定性信号（DeterministiXc(s)ignj[alj）sgn()X ()]
X ()
X () sgn() X ()
jXˆ ()
X~ ( )
A~() 0
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~x (t) A~(t)e j0t A~(t) ~x (t)e j0t
RXˆX () RˆX ()
2020/10/24
10
（9） RXXˆ ( ) RXXˆ ( ) 互相关函数是奇函数
RXXˆ (0) 0 意味着 X (t) 与 Xˆ (t) 正交
RXXˆ ( ) Rˆ(- ) -[R( ) * h( )] [R( ) *[h( )]] R( ) * h( ) Rˆ ( ) RXXˆ ( )
hL (t)
1 2
h(t )e j2
fc t
f
h (t)的等效低通特性 21
频带信号与带通系统(4)
频带信号通过带通系统
x(t)
h(t) r(t)
xL (t )
hL (t )
rL (t)
x(t ) Re xL (t )e j2 fct
h(t ) 2 Re hL t e j2 fct
t
x(t)
1
xˆ (t)
t
xˆ (t)
1
x(t)
t
2020/10/24
3
Hilbert变换的基本性质
性质
重变换： H{H[x(t)]} x(t)
等能量： x2 (t )dt xˆ 2 (t )dt
正交性：
x(t ) xˆ (t )dt 0
奇偶性： x(t ) ~ 偶函数 xˆ (t ) ~ 奇函数
2020/10/24
27
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
Rc s Rs c Rˆ cos 2 fc R sin 2 fc
奇函数
Rˆ 0 0
■ Rc 0 Rs 0 R 0 E t 0
2.
■ Rcs 0 Rsc 0 0.
频带信号的表示方法
令 xL t xc t jxs t , 又 x(t) x(t) jxˆ(t)，则有
x(t) xc (t)cos 2 fct xs (t)sin 2 fct
同相分量
正交分量
若令 xL (t ) A(t )e j t ,
x(t ) A(t ) cos[2 fc t (t )]
x(t ) ~ 奇函数 xˆ (t ) ~ 偶函数
2020/10/24
66
2. 性质 （1）
H[xˆ(t)] x(t) 两次变换等于反相
（2）
H[cos(0t )] sin(0t )
H[sin(0t )] cos(0t )
2020/10/24
7
2. 性质
（3） H[a(t) cos0t] a(t)sin 0t
Y (t) A(t) cos[0t (t)]
2020/10/24
24
5.3.1 窄带随机过程的准正弦表示及低通表示
定义：f fc
(t) a (t)cos 2 fct (t)
c t cos 2 fct s t sin 2 fct
■ t 的等效低通表示
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct
H( f ) A
h(t ) H ( f )
fc W fc W
0
fc W fc fc W
f
Z( f ) 2A
h(t) h(t) j hˆ(t) H( f ) 2H( f )u( f )
2020/10/24
0
fc W fc fc W
f
HL( f ) A W 0 W
HL f H f fc u f fc
R Rˆ jRˆ jRˆ
2 R jRˆ
P f 4P f u f
■ RL E L * t L t E * t e j2 fct t e j2 fc t
R e j2 fc
PL f P f fc
PL ( f )
例.
已知
x(t) m t cos 2
f0t,
h
t
cos 0,
2
f0t, 0 其他
t
T
，且f0T
1,
求r(t ).
解： (1) x(t) m t cos 2 f0t
x(t ) m t cos 2 f0t jm t sin 2 f0t m t e j2 f0t
xL (t ) x t e j2 f0t m t
H[a(t)sin 0t] a(t) cos0t
x(t) a(t) cos0t
X
()
1 2
[ A(
0
)
A(
0
)]
Xˆ
()
-
j
独立
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06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
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29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
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2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
H[A(t)sin[0t (t)] A(t) cos[0t (t)]
(5) 奇函数的H变换为偶函数，偶函数的H变换为奇函数。
（6） Xˆ (t) v(t) X (t) vˆ(t)
（7）经过希尔伯特变换后，相关函数不变 （功率谱不变，平均功率不变）
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9
（8） RXXˆ () RˆX ()
h(t )
(2)
h(t )
rect
t T
1 2
cos
2
f0t
T
1 f0 T
x(t)
rect
t T
1 2
cos
2
f0t
j sin 2
f0t
rect
t T
1 2
e
j
2
f0t
1
hL (t ) 2 z
t
e j2 f0t 1 , 2
0 t T
(3) rL (t ) xL (t ) hL (t )
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11
Hilbert变换
常用变换
xt
cos 2 f0t sin 2 f0t
m t cos 2 f0t m t sin 2 f0t
xˆ (t )
sin 2 f0t cos 2 f0t
m t sin 2 f0t m t cos 2 f0t
注：m t 为低通信号，频率范围为-W , W ,且W f0 .
1 2
t m d
t T
r(t)
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Re rL (t )e j2
f0t
1 2
t
m
t T
d
cos
2
f0t
23
5.3 窄带随机过程的统计特性：
随机过程的功率谱集中在某个中心频率附 近的一个很小的频带内，而该频带又远远 小于中心频率。
f010B GX ( f )
f
f0
0
f0
fct fct
ˆ t sin 2 t sin 2
fct fct
■ 若E t 0，E c t E s t 0.
■ 若 t 是高斯过程，c t 和s t 也是高斯过程. ■ 若 t 是广义平稳过程，c t 和s t 是联合广义平稳随机
过程(互相关函数仅与时间间隔有关).
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc Rc s Rs c Rˆ cos 2 fc R sin 2 fc
A(t) A(t)e j(t)
复包络
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13
1. 确定性信号（Deterministic signal）
解析信号的频谱关系：
X~() X () jXˆ ()
X () j[ j sgn() X ()]
又有：
2 X () 0
0
0
X~() A~( 0 )
解析信号的频谱为复包络频谱的平移。
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14
X () X () jXˆ ()
1. 确定性信号（DeterministiXc(s)ignj[alj）sgn()X ()]
X ()
X () sgn() X ()
jXˆ ()
X~ ( )
A~() 0
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~x (t) A~(t)e j0t A~(t) ~x (t)e j0t
RXˆX () RˆX ()
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10
（9） RXXˆ ( ) RXXˆ ( ) 互相关函数是奇函数
RXXˆ (0) 0 意味着 X (t) 与 Xˆ (t) 正交
RXXˆ ( ) Rˆ(- ) -[R( ) * h( )] [R( ) *[h( )]] R( ) * h( ) Rˆ ( ) RXXˆ ( )
hL (t)
1 2
h(t )e j2
fc t
f
h (t)的等效低通特性 21
频带信号与带通系统(4)
频带信号通过带通系统
x(t)
h(t) r(t)
xL (t )
hL (t )
rL (t)
x(t ) Re xL (t )e j2 fct
h(t ) 2 Re hL t e j2 fct
t
x(t)
1
xˆ (t)
t
xˆ (t)
1
x(t)
t
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3
Hilbert变换的基本性质
性质
重变换： H{H[x(t)]} x(t)
等能量： x2 (t )dt xˆ 2 (t )dt
正交性：
x(t ) xˆ (t )dt 0
奇偶性： x(t ) ~ 偶函数 xˆ (t ) ~ 奇函数
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27
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
Rc s Rs c Rˆ cos 2 fc R sin 2 fc
奇函数
Rˆ 0 0
■ Rc 0 Rs 0 R 0 E t 0
2.
■ Rcs 0 Rsc 0 0.
频带信号的表示方法
令 xL t xc t jxs t , 又 x(t) x(t) jxˆ(t)，则有
x(t) xc (t)cos 2 fct xs (t)sin 2 fct
同相分量
正交分量
若令 xL (t ) A(t )e j t ,
x(t ) A(t ) cos[2 fc t (t )]
x(t ) ~ 奇函数 xˆ (t ) ~ 偶函数
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66
2. 性质 （1）
H[xˆ(t)] x(t) 两次变换等于反相
（2）
H[cos(0t )] sin(0t )
H[sin(0t )] cos(0t )
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2. 性质
（3） H[a(t) cos0t] a(t)sin 0t
Y (t) A(t) cos[0t (t)]
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24
5.3.1 窄带随机过程的准正弦表示及低通表示
定义：f fc
(t) a (t)cos 2 fct (t)
c t cos 2 fct s t sin 2 fct
■ t 的等效低通表示
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct
H( f ) A
h(t ) H ( f )
fc W fc W
0
fc W fc fc W
f
Z( f ) 2A
h(t) h(t) j hˆ(t) H( f ) 2H( f )u( f )
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0
fc W fc fc W
f
HL( f ) A W 0 W
HL f H f fc u f fc
R Rˆ jRˆ jRˆ
2 R jRˆ
P f 4P f u f
■ RL E L * t L t E * t e j2 fct t e j2 fc t
R e j2 fc
PL f P f fc
PL ( f )
例.
已知
x(t) m t cos 2
f0t,
h
t
cos 0,
2
f0t, 0 其他
t
T
，且f0T
1,
求r(t ).
解： (1) x(t) m t cos 2 f0t
x(t ) m t cos 2 f0t jm t sin 2 f0t m t e j2 f0t
xL (t ) x t e j2 f0t m t
H[a(t)sin 0t] a(t) cos0t
x(t) a(t) cos0t
X
()
1 2
[ A(
0
)
A(
0
)]
Xˆ
()
-
j