弯曲正应力强度条件.
弯曲正应力强度条件
弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件，是指在材料发生弯曲加载时，使材料内部产生的正应力不超过其破坏强度的条件。
在工程设计和结构分析中，了解和应用弯曲正应力强度条件十分重要，因为它可以帮助我们确定结构的合理尺寸和材料的选择，以确保结构的安全可靠。
弯曲是指外加力矩或弯矩作用下，材料发生弯曲变形。
当材料受到弯矩作用时，其横截面上会产生正应力和剪应力。
其中，弯曲正应力是指与弯曲轴垂直的方向上的应力，其计算公式为σ = M * y / I，其中M是弯矩，y是距离弯曲轴的垂直距离，I是截面惯性矩。
弯曲正应力会导致材料发生弯曲破坏，因此我们需要控制这一应力。
对于材料的弯曲正应力强度条件，常见的有屈服强度条件和疲劳强度条件。
屈服强度条件是指弯曲正应力不应超过材料的屈服强度。
材料的屈服强度是指在特定的加载条件下，材料产生塑性变形的临界应力。
在设计中，我们通常选择使弯曲正应力小于等于材料的屈服强度，以确保材料在加载过程中不会发生塑性变形。
疲劳强度条件是指材料在循环加载下，弯曲正应力不应超过材料的疲劳强度。
材料在长时间的循环加载下容易发生疲劳破坏，因此我们需要控制弯曲正应力，以避免疲劳破坏的发生。
疲劳强度通常通过材料的疲劳寿命曲线来表示，我们需要使弯曲正应力小于等于材料对应寿命下的疲劳强度。
为了满足弯曲正应力强度条件，我们可以通过合理的结构设计、材料选择和工艺控制来实现。
首先，结构设计应考虑材料的弯曲特性，避免产生过大的弯矩和应力集中现象。
合理选择结构截面形状和尺寸，以增加结构的承载能力和抗弯性能。
其次，材料的选择应根据力学性能和使用环境来确定。
不同材料的弯曲正应力强度条件有所不同，我们需要选择具有足够强度和韧性的材料，以确保结构的安全工作。
最后，工艺控制也是实现弯曲正应力强度条件的关键。
合理的工艺控制可以提高材料的力学性能和强度，如控制材料的冷加工、热处理和表面处理等。
总之，了解和应用弯曲正应力强度条件对于工程设计和结构分析至关重要。
弯曲正应力强度条件的内容
弯曲正应力强度条件弯曲应力与弯曲正应力在工程力学中，弯曲是指物体在受到外部力矩作用下发生形变的过程。
当物体受到外部力矩作用时，会产生内部的弯曲应力。
弯曲应力是指材料内部由于受到外部力矩作用而产生的应力。
弯曲应力可以分为正应力和剪应力两个分量。
其中，正应力是垂直于截面的应力分量，剪应力则是平行于截面的应力分量。
本文将重点讨论弯曲正应力的强度条件。
弯曲正应力的定义弯曲正应力是指与截面法线方向相同的剖面上所受到的垂直于该剖面方向的拉伸或压缩效果产生的内部正应力。
弯曲正应力强度条件在设计工程结构时，需要保证结构在使用过程中不发生断裂或失效。
为了满足这一要求，需要对结构进行合理设计，并保证其满足一定的强度条件。
对于弯曲结构而言，其强度条件主要包括抗拉和抗压两个方面。
在弯曲结构中，正应力最大的位置往往出现在截面的远离中性轴的位置，因此我们需要对这一位置的正应力进行分析和计算。
根据弯曲理论，弯曲正应力的大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。
在设计过程中，我们通常采用强度理论来确定结构是否满足弯曲正应力的要求。
常用的强度理论包括极限平衡法、变形能法和应变能密度法等。
这些方法都是通过建立结构受力平衡方程、变形能方程或应变能密度方程来判断结构是否满足强度条件。
极限平衡法极限平衡法是一种常用的判断结构强度的方法。
该方法基于平衡条件，通过假设截面内部存在一个平衡状态来分析结构受力情况。
在弯曲结构中，我们可以假设截面内部存在一个剖面，使得该剖面上各点处的正应力达到最大值。
然后根据受力平衡条件，在该剖面上建立受力平衡方程。
根据极限平衡法得到的受力平衡方程，我们可以计算出弯曲正应力的最大值，并与材料的抗拉或抗压强度进行比较，从而判断结构是否满足强度条件。
变形能法变形能法是另一种常用的判断结构强度的方法。
该方法基于变形能原理，通过假设截面内部存在一个平衡状态来分析结构受力情况。
在弯曲结构中，我们可以假设截面内部存在一个剖面，使得该剖面上各点处的正应力达到最大值。
弯曲应力和强度.
第六章 弯曲应力和强度1、 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时，0≠=Q dxdM。
，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。
根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设： （1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。
横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。
这就是弯曲变形的平面假设。
（2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
（2）物理关系根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。
当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为y EE ρεσ==该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比，由于截面上ρE为常数，说明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。
中性轴z 上各点的正应力均为零，中 性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。
（3）静力关系截面上的最大正应力为zI My maxmax =σ 如引入符号m axy I W zz =则截面上最大弯曲正应力可以表达为zW M=max σ 式中，z W 称为截面图形的抗截面模量。
它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为[]3长度。
矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为h ，宽为b 的矩形截面：621223maxbh h bh y I W zz ===直径为d 的圆截面：3226433maxd d d y I W z z ∏=∏==至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。
若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如T 形截面。
这时，应把1y 和2y 分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。
最大拉应力为：zt I My 1)(=σ 最大压应力为：ze I My 2)(=σ 2、横力弯曲时的正应力zI My=σ 对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。
弯曲杆件应力计算公式
M y Iz M 2 ymax max Iz
max
yymax
1 max
σymax M z
y max
σ max 图8-30
例8.12 悬臂梁受力如下图所示，已知 8 4 I z 110 mm 试求梁的最大拉应力。
200 (y2)
22kN A 2m B 1m C 12kN
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
M y I
弯曲切应力计算公式：
FQ S z Iz b
第五节 弯曲杆件的强度计算
一、强度条件 1. 正应力强度条件 （1） 横截面上的最大正应力 对整个等截面杆件来说，最大正应力发生 在弯矩最大的截面上，其值为
max
M max y max Iz
练习：
例2. 一简支梁如下图示。梁由两根工字钢组 成，[σ]=170MPa，选择工字钢的型号。
解
10KN 50KN A C D 2m B
4m
4m
z
RA 26KN
RB 34KN
M max 136KN m
M max 136106 Wz 400cm3 2 2 170
2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
FQ S
* z max
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
弯曲正应力
m n a a b b m n 纵向线与横向线垂直 →无剪应变 →τ = 0； ； 正应力沿横截面宽度方向均匀分布。 正应力沿横截面宽度方向均匀分布。 受压区
中性层
受拉区
中性轴
受拉区
}
C
m n a a b b m n
ρ
ε=
O2
y
ρ
y
O1
dx
σ = Eε = E
ρ
ρ ——中性层的曲率半径 中性层的曲率半径
40 z
180
A
20
y 20
Fb/4
M
+ max
M max
Fb = 4 Fb = 2
发生在截面C 发生在截面 发生在截面B 发生在截面
134
b C
B b b Fb/2
D
C 形心
86 z
据此作出梁的弯矩图如下 q=F/b F
120 40
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B 考虑截面 ：
梁横截面上的正应力•梁的正应力强度条件 §4-4 梁横截面上的正应力 梁的正应力强度条件
纵对称面 对称轴 F1
F2
B
FB
A FA
梁变形后轴线 所在平面与外力所 在平面相重合, 在平面相重合,称为 平面弯曲。 平面弯曲。
梁变形后的轴线与外 力在同一平面内
F a FS F l F Fa a
F
x
M
x
纯弯曲
3
Iz bh 2 Wz = = h/2 6 2 Iy b h = Wy = b/2 6
4
z y
πd Iz = Iy = 64 Iy Iz πd 3 = = Wz = W y = d /2 d /2 32
(正应力强度条件)
2010-9-18
3
9 - 1 、概
1. 杆件基本变形下的强度条件 （拉压） 拉压）
述
σmax
FN,max = ≤[σ ] A
Mmax 弯曲） （弯曲） σmax = ≤ [σ ] W
（正应力强度条件） 正应力强度条件）
σmax ≤ [σ ]
Fs S 弯曲） （弯曲） τmax = ≤ [τ ] bIz T 扭转） （扭转）τmax = ≤ [τ ] Wp
2010-9-18
* z
（切应力强度条件） 切应力强度条件）
τmax ≤ [τ ]
1Hale Waihona Puke 9 - 1 、概述
σmax
σmax ≤ [σ ] 满足 τ τ max ≤ [ ]
是否强度就没有问题了？ 是否强度就没有问题了？
τmax
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2
9-2、经典强度理论 、
强度理论：人们根据大量的破坏现象， 强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推 理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出 概括，提出了种种关于破坏原因的假说， 引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善， 引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善， 在一定范围与实际相符合，上升为理论。 在一定范围与实际相符合，上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度条件， 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
弯曲应力(剪应力6月9日)(1)
[1 12
16
283
16
28
(14
13)2 ]
[1 12
8 103
18 10
(19
13)2 ]
26200cm4
Wz
Iz ym a x
26200 (28 13)
1748cm3
（3）正应力校核
max
M Wz
1.2 105 1748 106
1.0 1.04 1.12 1.57 2.30
（四）切应力强度条件
max
(
FQ Sz,max
I z
)max
[
]
对于等宽度截面， m ax发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，
m ax不一定发生在中性轴上。
在进行梁的强度计算时，需注意以下问题： （1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应
S
* z
：y以外面积对中性轴的静矩
I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
c
yc
y
z h
b
对于矩形：
S* z
A*
yc
b(h 2
y) [ y
h 2
2
y
]
b (h2 24
y2)
弯曲应力/弯曲时的剪应力
而
Iz
1 bh3 12
6FQ bh3
( h2 4
y2)
力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大 时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也 需要较核剪应力强度。
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
弯曲正应力强度条件
正应力强度计算（1）正应力强度条件一般情况下，梁弯曲时，各个截面上的弯矩和剪力是变化的，而且截面上的应力（包括正应力和切应力）分布是不均匀的。
对等截面梁而言，最大弯矩所在的截面称为危险截面。
危险截面上距中性轴最远的点（上下边缘处）称为危险点。
显然危险截面上危险点处的应力值即为梁内的最大正应力值，即：zz W M max max =σ 保证梁内最大正应力不超过材料的许用应力，就是梁的强度条件。
根据材料力学性能的不同，具体分以下两种情况讨论：● 塑性材料塑性材料的力学性能是许用拉应力和许用压应力相等，所以拉压许用应力不在区分，统称为许用应力，即表示为[][][]t c σσσ==。
梁横截面的形式可分为两种情况，一种是横截面关于中性轴对称，一种是横截面关于中性轴不对称。
但无论那种情况，只要使梁内绝对值最大的正应力不超过材料的许用应力值即可。
所以危险点则发生在最大弯矩作用的截面离中性轴最远的点处。
强度条件为： []z max max zM W =≤σσ 为了使横截面上最大拉压应力同时达到其许用应力，工程中通常将塑性材料梁的横截面做成关于中性轴对称的形状。
● 脆性材料脆性材料的力学性能是许用拉应力小于许用压应力，即[][]t c σσ<。
针对上述两种截面形式建立梁的弯曲正应力强度条件。
1）横截面关于中性轴对称荷载作用下在梁内产生的最大拉压应力相等，而材料的[][]t c σσ<，所以强度条件为：[]z max t max t zM W σσ≤ 2）横截面关于中性轴不对称为了充分利用材料，通常将脆性材料梁的横截面做成关于中性轴不对称的形状，且中性轴靠近受拉侧。
所以强度条件应为：[][]1122z t max t z z c max t zM y I M y I σσσσ=≤=≤ 式中：t max σ、c max σ——分别为最大拉应力和最大压应力；1z M 、2z M ——分别为产生最大拉应力和最大压应力截面上的弯矩； []t σ、[]c σ——分别为许用拉应力和许用压应力。
材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)分析
E
ydA 0
A
A ydA Sz 0
中性轴Z必过截面形心
横截面对Z轴的静矩
M y
A
zdA
0
A
zE
y
dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0 截面的惯性积（ y为对称轴）
A
M z y dA M
A
Байду номын сангаас
A
yE
y dA
M
y2dA Iz
截面对z轴的惯性矩
A
1 M
EI z
中性层的曲率公式
2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。
3）最大正应力发生在距
y
中性轴最远处。
3.简单截面的抗弯模量
dy
(1)矩形：
Wz
Iz h/2
bh3 12
2 h
y
Wz
1 6
bh2
(2)圆：
Wz
D 4
64(D / 2)
D 3
32
(3)圆环
WZ
(D4 d 4 )
64(D / 2)
D3
32
(1 4 )
式中 d
C
副梁CD:
Pa M max CD 4
M
由 (M m ax ) AB (M ) m ax CD
P (l a) P a
4
4
得 a l 2
P D
a
Pa (Mmax)CD 4
[例7-3]受均布载荷的外伸梁材料许用应力[ ] 160MPa 校核该梁的强度。
10kN / m
200
2m
4m
45 kN
1.正应力
My
弯曲正应力、切应力与强度条件
M
C
拉
Z
C
Z
中性轴
拉
y
中性轴
y
压
中性轴将横截面分为 受拉 和 受压 两部分。
M yAz(
d)A E
Az
y dA
E
I
yz
0
Iyz0
因为 y 轴是横截面的对称轴，所以 Iyz 一定为零。 该式自动满足
中性轴是横截面的形心主惯性轴
M ZAy(
d)A E
A
y2 dA
E
Iz
M
1M
EI z
基本假设2: 纵向纤维无挤压假设
纵向纤维间无正应力。
公式推导
d
用两个横截面从梁中假想地截取 长为 dx 的一段 。
由平面假设可知，在梁弯曲时，
这两个横截面将相对地旋转一个
角度 d 。
横截面的转动将使梁的凹边的纵 向线段缩短，凸边的纵向线段伸 长。由于变形的连续性，中间必 有一层纵向线段 O1O2 无长度改 变。此层称为 中性层 。
m M
FS m
m
m
M
FS
m
m
只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩 所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力
一，纯弯曲梁横截面上的正应力
RA
P
P RB
C a
P
+
D a
+
P
+
Pa
推导 纯弯曲 梁横截面上正应力的计算公式。 几何 物理 静力学
2 假想地从梁段上截出体积元素 mB1
m'
m z
弯曲正应力强度条件的内容
弯曲正应力强度条件的内容弯曲正应力强度条件的内容一、弯曲正应力强度条件的定义弯曲正应力强度条件是指在材料受到弯曲时，其最大正应力不能超过该材料的屈服极限。
这个条件是一种基本的材料设计原则，它可以用来保证材料在使用过程中不会发生破坏。
二、弯曲正应力强度条件的计算公式在进行弯曲试验时，我们通常会测量出受试样件上的最大正应力。
这个最大正应力可以通过下面的公式来计算：σ = M*y/I其中，σ表示最大正应力；M表示试样受到的最大弯矩；y表示试样截面上离中性轴距离最远的点到中性轴距离；I表示试样截面对中性轴的惯性矩。
三、弯曲正应力强度条件与屈服极限之间的关系根据材料学理论，屈服极限是指材料在受到外部载荷作用下开始发生塑性变形并且无法恢复原来形态时所承受的最大载荷。
因此，在进行材料设计时，我们需要确保所选用的材料的屈服极限大于或等于试样受到的最大正应力。
四、弯曲正应力强度条件的应用弯曲正应力强度条件是一种非常重要的材料设计原则，它可以用来保证材料在使用过程中不会发生破坏。
这个原则在许多不同领域都有广泛的应用，例如：1. 桥梁设计：在桥梁设计中，我们需要确保桥梁所使用的材料能够承受车辆和行人的重量。
因此，在进行桥梁设计时，我们需要计算出桥梁受到最大荷载时所承受的最大正应力，并且确保该正应力小于所选用材料的屈服极限。
2. 航空航天工业：在航空航天工业中，我们需要确保飞机和火箭等载具所使用的材料能够承受高速飞行时产生的巨大载荷。
因此，在进行航空航天工业设计时，我们需要计算出载具受到最大荷载时所承受的最大正应力，并且确保该正应力小于所选用材料的屈服极限。
3. 机械制造业：在机械制造业中，我们需要确保机械零件所使用的材料能够承受工作时所产生的载荷。
因此，在进行机械设计时，我们需要计算出机械零件受到最大荷载时所承受的最大正应力，并且确保该正应力小于所选用材料的屈服极限。
五、弯曲正应力强度条件的局限性尽管弯曲正应力强度条件是一种非常重要的材料设计原则，但是它仍然存在一些局限性。
材料力学 正应力及其强度条件
中性层
中性轴
对 称 z o 轴 中 性 y 轴
中性层
F
F
m
n
2．纯弯曲正应力公式的推导 （一）几何关系： o
中性层
d q
m
n
中性轴
m
n o
z m o 1
m
n
z
r
o
o 2
n
中性轴
y
dx
n m dx
y
变形前:
y
l = dx = r × dq
变形后:
100
例题 4.22 &
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形 截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 y
F
150 50
A l 2 l 2
B
96 . 4 C 50
F
实验现象：
F
ü1、变形前互相平行的纵向直
m
n
线、变形后变成弧线，且凹边纤 维缩短、凸边纤维伸长。
ü2、变形前垂直于纵向线的横向
m
n
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
§由现象1
j靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的 一侧，纤维伸长； k由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出 一侧的缩短或伸长是连续变化，故中间一定 有一层，其纤维长度不变，这层纤维称为中 性层。中性层与横截面的交线称为中性轴； l弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。
28 . 1
kNm
13. 16
第五章 弯曲应力
三类条件
物理关系
静力关系
1.变形几何关系
m a
n
a
m a o b m
n a o dx
b m
dx
b n
b n
假设oo层为中性层 变形前：aa = bb = oo = dx
m M a
o b m
n a M M
d M
dx
o b n
m o
b′
n o
b′
m
n
变形后：假设中性层oo层变形后的曲率半径为，则
max
M [ ] Wz max
(2) 设计截面尺寸
(3) 计算许用载荷
M Wz [ ]
M max Wz [ ]
例2. T形截面铸铁梁，已知[σt]=30MPa,[σc]=60MPa, 试 80 校核梁的强度。
9kN
A 1m
4kN
B D 1m
20
CLeabharlann 1m120讨论： 1.横截面是绕中性轴转动。 (中性层不伸长也不缩短，中性轴是中性层与横截
面的交线 。) 上部受压
当M > 0时 下部受拉 上部受拉 下部受压
当M < 0时
讨论： 2.纵向纤维的伸长或者缩短与它到中性层的
距离成正比。
m
n′
n a
y
a
y
b m
b
中性层 n′
中性轴 横截面
n
定量分析
与圆轴扭转问题相似，弯曲问题的理论分析也 必须包含三类条件。 变形几何关系
结论： 1.横截面上只存在正应力。
(纵向线与横向线保持直角。)
2.正应力分布不是均匀的。
(纵向线中既有伸长也有缩短的。)
梁弯曲正应力强度条件应用
7-15b所示的简支梁。 电葫芦移动到
梁跨长的中点时，梁中点截面处产生
最大弯矩，作出大梁的弯矩图，如图
c所示。梁中点为危险截面，其最大弯
矩为
由梁的弯曲强度条件
得
查热轧工字钢型钢表中的32b工字钢，
其Wz=726.33cm3=7.26×105mm3,代入上式得
梁能够承受的最大起吊重量为40.2kN。
例6-9、见P95
练习：一矩形截面的简支木梁，梁上作用有均布荷载，已知：l＝4m，b＝140mm，h＝210mm，q＝2kN/m，弯曲时木材的许用正应力[σ]＝10Mpa，试校核该梁的强度。
解：作梁的弯矩图，梁中的最大正应力发生在跨中弯矩最大的截面上，最大弯矩为
梁的弯曲截面Βιβλιοθήκη 数为最大正应力为所以满足强度要求。
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课时授课计划编号：26
授课日期
授课时数
授课班级
12道桥8
12道桥9
12道桥10
12道桥11
2
课 题：梁弯曲正应力强度条件
教学目的：梁弯曲正应力强度条件
教学重点：正应力强度条件
教学难点：应用
课堂类型与教学方法：理论教学、讲授法
教具挂图：三角板、多媒体
教学过程：如下
教研室主任签字：年 月 日任课教师：冯春盛
1、设计截面
2、确定许可荷载
【作业布置】
P1236-14、6-16
2、切应力强度条件
二、梁的弯曲强度计算
（1）强度校核，即已知 检验梁是否安全；
（2）设计截面，即已知 可由 确定
截面的尺寸；
（3）求许可载荷，即已知 可由 确定。
例：图7-15a所示桥式起重机的大梁由32b工字钢制成，跨长L=10m，材料的许用应力[б]=140MPa，电葫芦自重G=0.5 kN,梁的自重不计，求梁能够承受的最大起吊重量F。
梁的抗弯强度条件及其应用
A
1m
FAY
B C
l = 3m
x
K
C 截面弯矩
MC = 60kN⋅ m
z y
FBY
C 截面惯性矩
FS 90kN
(+)
(−)
x 90kN
IZ = 5.832×10−5 m4 1 M = ρ EI
M
ql 2 / 8 = 67.5kN⋅ m
EIZ 200×109 ×5.832×10−5 ρC = = MC 60×103 =194.4m
q=60kN/m
180
120
2. C 截面最大正应力
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
C 截面弯矩
MC = 60kN⋅ m
x
K
z y
FBY
C 截面惯性矩
FS 90kN
IZ = 5.832×10−5 m4
(+)
(−)
x 90kN
σCmax =
=
MC ⋅ ymax IZ 180 ×10−3 2 5.832×10−5
解：（1）计算简图 （2）绘弯矩图 （3）根据 σ max =
M max
M max ≤ [σ ] 计算 Wz
Wz ≥
[σ ]
(6.7 + 50) ×103 × 9.5 4 = 140 ×106
= 962 ×10 −6 m 3 = 962cm3
（4）选择工字钢型号
3 36c工字钢 36c工字钢 Wz = 962cm
解：（1）求截面形心
z1 52 z
80 × 20 ×10 + 120 × 20 × 80 yc = = 52mm 80 × 20 + 120 × 20
弯曲正应力强度条件(一)
弯曲正应力强度条件(一)弯曲正应力强度条件什么是弯曲正应力强度条件？弯曲正应力强度条件是机械工程中重要的概念。
在设计和分析弯曲加载下的结构时，必须考虑结构元素的弯曲正应力强度。
弯曲正应力强度是指在弯曲加载下，结构元素所承受的正应力是否超过其抗弯承载力。
如果正应力超过了抗弯承载力，就会导致结构元素的破坏。
弯曲正应力强度条件的计算方法为了确定结构元素是否满足弯曲正应力强度条件，可以使用以下计算方法：1.计算弯曲强度：通过分析结构元素的几何形状、材料特性和施加的载荷，可以计算出结构元素的抗弯承载力。
这是判断弯曲正应力强度是否满足条件的关键步骤。
2.计算正应力：在确定了结构元素的抗弯承载力后，可以通过应力分析来计算结构元素上产生的正应力。
这可以通过应力公式和几何形状计算得出。
3.比较正应力和抗弯承载力：将计算得到的正应力与抗弯承载力进行比较。
如果正应力小于抗弯承载力，则结构元素满足弯曲正应力强度条件，否则需要进行结构优化或者增加材料强度。
弯曲正应力强度条件的应用领域弯曲正应力强度条件广泛应用于机械工程中。
以下是一些典型的应用领域：•桥梁设计：在桥梁设计中，弯曲正应力强度条件的满足将确保桥梁结构的稳定性和安全性。
工程师需要计算桥梁结构元素在不同载荷下的正应力，并与其抗弯承载力进行比较，以确保结构的可靠性。
•建筑设计：在建筑设计中，弯曲正应力强度条件的考虑能够保证建筑物的承重能力和稳定性。
结构工程师需要对建筑元素的强度进行计算和分析，以确保其满足弯曲正应力强度条件。
•机械设备设计：在机械设备设计中，弯曲正应力强度条件对于保证设备的工作正常运行和寿命具有重要意义。
工程师需要进行强度计算，并对设备结构进行优化，以满足弯曲正应力强度条件。
结论弯曲正应力强度条件是机械工程中不可忽视的重要概念。
通过计算弯曲强度、正应力和比较，我们可以判断结构元素是否满足弯曲正应力强度条件。
合理应用弯曲正应力强度条件，能够保证结构的安全性和可靠性，在不同领域的设计和分析中发挥着至关重要的作用。
弯曲应力和强度.
第六章 弯曲应力和强度1、 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时，0≠=Q dxdM。
，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。
根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设： （1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。
横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。
这就是弯曲变形的平面假设。
（2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
（2）物理关系根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。
当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为y EE ρεσ==该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比，由于截面上ρE为常数，说明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。
中性轴z 上各点的正应力均为零，中 性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。
（3）静力关系截面上的最大正应力为zI My maxmax =σ 如引入符号m axy I W zz =则截面上最大弯曲正应力可以表达为zW M=max σ 式中，z W 称为截面图形的抗截面模量。
它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为[]3长度。
矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为h ，宽为b 的矩形截面：621223maxbh h bh y I W zz ===直径为d 的圆截面：3226433maxd d d y I W z z ∏=∏==至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。
若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如T 形截面。
这时，应把1y 和2y 分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。
最大拉应力为：zt I My 1)(=σ 最大压应力为：ze I My 2)(=σ 2、横力弯曲时的正应力zI My=σ 对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。
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工程力学
主持单位: 黄河水利职业技术学院 福建水利水电职业技术学院 湖南水利水电职业技术学院
参建单位: 四川水利职业技术学院 山西水利职业技术学院 长江工程职业技术学院 重庆水利电力职度条件为
t max M z1 y1 t
Iz
c max M z2 y2 t
Iz
t max c max ——分别为最大拉应力和最大压应力
M z1 M z2 ——分别为产生最大拉应力和最大压应力截面上的弯矩
t c ——分别为许用拉应力和许用压应力
y1 y2 ——分别为产生最大拉应力和最大压应力的点距中
正应力强度计算
对等截面梁而言，最大弯矩所在的截面 称为危险截面。危险截面上距中性轴最远的点 （上下边缘处）称为危险点。危险截面上危险 点处的应力值即为梁内的最大正应力值
工程力学
max
M z max Wz
弯曲正应力强度条件
塑性材料
塑性材料的力学性能是许用拉应力小于许用压应力
1.横截面关于中性轴对称 由于
t c
强度条件为
工程力学
t max M z max t
Wz
弯曲正应力强度条件
2.横截面关于中性轴不对称
为了充分利用材料，通常将脆性材料梁的横截面做成关于中性轴 不对称的形状，且中性轴靠近受拉侧。
强度条件为
工程力学
t max M z1 y1 t
Iz
c max M z2 y2 t
工程力学
工程力学
梁的强度条件
主 讲 人： 张翌娜 黄河水利职业技术学院
2014.09
弯曲变形
弯曲正应力强度条件
工程力学
弯曲正应力强度条件
梁的强度条件
为了保证梁在外荷载作用下不发生破坏，能安全正常地工作，梁
必须满足强度条件，即梁在荷载作用下产生的最大应力值不能超过材 料的许用应力值。因此，进行梁强度计算的关键在于判断可能产生梁 内最大应力值的危险截面及危险点。