主析取范式和主合取范式
命题逻辑2
q∧r (┐p∨p)∧q∧r (┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) m3∨m7 而简单合取式p∧┐q∧┐r已是极小项m4 于是 (p→q) r m1∨m3∨m4∨m7 极小项与公式的成真赋值、成假赋值的关系:
若公式A中含n个命题变项，A的主析取范式含s(0≤s≤2n) 个极小项，则A有s个成真赋值，它们是所含极小项角 标的二进制表示，其余2n-s个赋值都是成假赋值。
三、主析取范式和主合取范式
定义
设有命题变元P1，P2，…,Pn
n
形如 Pi * ， i 1
n
的命题公式称为是由命题变元P 1，P2，…，Pn所产生
的极小项。而形如 Pi * 的命题公式称为是由命题变元 i 1
P1，P2，…，Pn所产生的极大项 。其中Pi*为Pi或为
Pi(i=1,2,…n).
极小项，故F不是重言式和矛盾式，只是可满足式。
例 某科研所要从３名科研骨干A,B,C中挑 选1～2名出国进修。由于工作原因，选派时 要满足以下条件： （１）若A去，则C同去。 （２）若B去，则C不能去。 （３）若C不去，则A或B可以去。 问应如何选派他们去？
解 设 p:派A去 q:派B去 r:派C去 由已知条件可得公式 （p→r）∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q) 经过演算可得 (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q)) m1∨m2∨m5 由于 m1 = ┐p∧┐q∧r m2 =┐p∧q∧┐r m5 = p∧┐q∧r 可知，选派方案有3种： （a）C去，而A,B都不去。 （b）B去，而A,C都不去。 （c）A,C去，而B不去。
因此利用真值表也可以求公式的主析取范式
练 求公式 F1 = p(p(qp))的主析取范式
解
F1p∨(p∧(q∨p)) p∨(p∧q)∨(p∧p)
1.6析取范式与合取范式
再例如p→q m0∨m1∨m3 M2
主范式的用途（3）
2.判断公式的类型
设公式A中含n个命题变项，容易看出： （1）A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小 项。 （2）A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项。 此时，记A的主析取范式为F。 （3）A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极 小项。
例
例2.10 用公式的主析取范式判断公式的类型： （1）┐(p→q)∧q （2）p→(p∨q) （3）(p∨q)→r
解： 注意（1）（2）中含两个命题变项，演算中极小项含两个文字，而（3）
中公式含三个命题变项，因而极小项应含三个文字。
（1）┐(p→q)∧q ┐（┐p∨q）∧q (p∧┐q)∧q F 这说明（1）中公式是矛盾式。 （2）p→(p∨q) ┐p∨p∨q ┐p∧(┐q∨q)∨p∧(┐q∨q)∨(┐p∨p)∧q (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q)∨ (┐p∧q)∨(p∧q) (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q) m0∨m1∨m2∨m3 这说明该公式为重言式。
n个命题变项共可产生多少个个不同的极小项？多 少个不同的极大项？
表2.3
极小项 公式 p∧q 成真赋值 0 0
由p,q形成的极小项和极大项
极大项 名称 公式 p∨q 成假赋值 0 0 名称
p∧q
p∧q p∧q
0 1
1 0 1 1
m0 m1 m2 m3
p∨q
p∨q p∨q
0 1
1 1 0 1
p∧q∧r
1 1 1
p∨q∨r
1 1 1
根据上面的两个表可以验证如下的定理： 定理2.4 设mi与Mi是命题变项p1,p2,…,pn形成的 极小项和极大项，则┐mi Mi， ┐Mi mi
析取范式
例 求公式(p→q)↔r的析取范式与合取范式。 解: (1)合取范式： (p→q)↔r (┐p∨q)↔ r ((┐p∨q)→ r)∧(r→(┐p∨q)) (┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
一、析取范式与合取范式
定义1： 命题变项及其否定统称作文字。 仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
例如，文字：p, ┐q, r, q. 简单析取式: p, q, p∨q, p∨┐p∨r, ┐p∨q∨┐r. 简单合取式: p, ┐r, ┐p∧r, ┐p∧q∧r, p∧q∧┐q.
例 求公式 (p→q)↔r的主析(合)取范式。 解: (1)主析取范式 由例 2.7 知，(p→q)↔r ⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) ∵ (┐p∧r)⇔┐p∧(┐q∨q)∧r ⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r) ⇔ m1∨m3 (q∧r) ⇔ (┐p∨p)∧q∧r ⇔(┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔ m3∨m7 （p∧┐q∧ ┐ r) ⇔ m4 ∴ (p→q)↔r ⇔m1∨m3∨m4∨m7
3. 主析取范式的用途（其主合取范式可类似论）： (1) 求公式的成真赋值与成假赋值 由上例已知. (2) 判断公式的类型,设公式A含n个命题变项，可知 （i）A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个 极小项。 （ii）A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何 极小项。此时，记A的主析取范式为0。 （iii）A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含 一个极小项。
例如，析取范式：（┐p∧q）∨r, ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r. 合取范式:(p∨q∨r)∧(┐q∨r), ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r. 定理： （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的 每个简单合取式都是矛盾式。 （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式。
主要内容公式类型等值演算与置换规则析取范式与合取范式,主析取.
p, q, pq, pqr, … (4) 析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式
p, pq, pq, (pq)(pqr)(qr) (5) 合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式
例. 对任何公式A，A∨┐A是重言式，A∧┐A是矛盾式.
这两个事实揭示人们通常的思维所遵循的逻辑排中律和矛 盾律. 对任何原子命题 p，p与┐p都是可满足式. 可以用真值表 验证重言式.
3
例. 用真值表证明(p∨q)∧┐p→q为重言式.
证 建立待证公式的真值表，由表的最后一列可以看出，原式 为重言式.
11
基本等值式
双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC),
A(BC)(AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB
(p ∧ q ∧ s) ∨(p ∧ r ∧ s) ((p ∧ s) ∧ q) ∨((p ∧ s) ∧ r) (p ∧ s) ∧(q ∨ r) 所以其开关设计图可简化
21
作业 1、习题一：19（1）（3）（5）（7），
20，21，23，25. 2、习题二：3，4（1）（2）.
22
由于同一个命题公式可以有不同的表达形式，而不同的表达 式可以显示很不同的特征。但同一个命题公式的不同表达形 式对我们研究命题演算带来了一定的困难。对众多的命题公 式，可依它们之间的等值关系进行分类，使相互等值的公式 为一类. 现在的问题是，是否可以在各类公式中分别选出一个 公式作为各类的“代表”，而且使它们具有统一的规范形式 呢？回答是肯定的.
AB(AB)(AB)
第二章析取范式与合取范式
11. 主析取范式的用途
➢ 求公式的成真与成假赋值 ➢ 判断公式的类型 ➢ 判断两个命题公式是否等值 ➢ 应用主析取范式分析和解决实际问题
A m1∨m2∨…∨ms 例1: 求 (p→q)→ (q∨p) 的成真赋值
(p→q)→ (q p) (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) (p q) (pq) m0 m2 m3 即成真赋值为：0 0,1 0，1 1
p ∧ q ∧ r; p ∧ ┐q ∧ r; ┐ p ∧ ┐q ∧ ┐ r
思考: (1) n个命题变项共可产生多少个不同的极小项? 2n (2)每个极小项有多少个成真赋值? 一个
规定:成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i，就将所对应 极小项记作mi
7. 极小项与极大项的定义
➢极大项：在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项 和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且 第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题 变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单析取式为极大 项。 例：p ∨ r ∨ q; p ∨ ┐ p ∨ r; p ∨ ┐ q ∨ p;
方法1：真值表法
p q p →q 00 1 01 1 10 0 11 1
p→q m0 m1 m4 ( p q) ( p q) ( p q) M2 p q
方法2：公式法
p→q p q [ p (q q)] [q (p p)] ( p q) ( p q) ( p q) m0 m1 m4
历史遗留问题: (1)我只给村里所有那些不给自己理发的人理发 (2)只要别人有困难,他就帮忙,除非困难解决. (3) a:别人有困难, b: 他帮忙
(4) a b
作业 Ｐ38 5题（1 、3） 注意总结规律
主析取主合取范式
主析取主合取范式
主析取主合取范式（DisjunctiveNormalFormandConjunctiveNormalForm）是命题逻辑
中的两种标准化形式，用于表示和简化复合命题。
主析取范式是由若干个合取范式通过析取符号“∨”组合而成，合取范式是由若干个命题通过合取符号“∧”组合而成。
将一个复合命题转化为主析取范式或主合取范式可以使得计算机对其进行更高效的处理。
主析取范式和主合取范式在表达方式上是互逆的。
主析取范式将一个复合命题表示为若干个命题的析取式，每个命题都是一些原子命题或其否定形式的合取式。
主合取范式则将一个复合命题表示为若干个命题的合取式，每个命题都是一些原子命题或其否定形式的析取式。
通过将一个复合命题转化为主析取范式或主合取范式，我们可以方便地进行以下操作：
1. 确定命题的真值。
2. 判断命题的等价性。
3. 简化复合命题的形式，使其更易于处理和理解。
主析取范式和主合取范式在数学证明和计算机科学中都有广泛
的应用。
对于计算机科学中的布尔代数运算，主析取范式和主合取范式可以帮助我们有效地进行逻辑运算，从而实现各种复杂的算法和系统。
- 1 -。
主析取范式和主合取范式的求法
主析取范式和主合取范式的求法
主析取范式和主合取范式是布尔代数中的两个重要概念，主要用于将一个逻辑表达式转化为某些变量的与或组合形式。
本文将简要介绍主析取范式和主合取范式的求法。
一、主析取范式
主析取范式指将逻辑表达式转换为若干个变量的析取项的与式。
例如，对于逻辑表达式（A∨B）∧（C∨D∨E），它的主析取范式为（A∧C∧D∧E）∨（B∧C∧D∧E）∨（A∧C∧E）∨（B∧C∧E）∨
（A∧C∧D）∨（B∧C∧D）。
求解主析取范式的方法一般为：
1.先将逻辑表达式写成最简合取范式。
2.将最简合取范式中的每一项转化为主析取范式的一个子式。
3.将所有子式放在一起，用“∨”连接。
二、主合取范式
主合取范式指将逻辑表达式转换为若干个变量的合取项的或式。
例如，对于逻辑表达式（A∨B）∧（C∨D∨E），它的主合取范式为（A∨B)∨C)∨(A∨B)∨D)∨(A∨B)∨E)。
求解主合取范式的方法一般为：
1.先将逻辑表达式写成最简析取范式。
2.将最简析取范式中的每一项转化为主合取范式的一个子式。
3.将所有子式放在一起，用“∧”连接。
需要注意的是，主析取范式和主合取范式并非每个逻辑表达式都有。
当逻辑表达式已经是主析取范式或主合取范式时，无需再进行转化。
总之，主析取范式和主合取范式的求法是布尔代数中的基础知识，掌握这两个概念对于理解和应用逻辑表达式非常重要。
析取范式与合取范式
1析取范式与合取范式这是命题公式的两种特殊的简明形式。
一个重要的结论是，任何命题公式都可以等价地转化为这两种形式。
我们将学习这种转化方法及其应用。
1. 析取范式定义1.1 命题变元及其否定统称为文字（literal ）。
由有限个文字组成的合取式称为简单合取式。
由有限个简单合取式组成的析取式称为析取范式（disjunction normal form ），简称DNF 。
例1.2 求下列公式的析取范式。
(1) ()(2) () ()p q pp q p q →∧⌝∨∧⌝∧方法小结：（1） 将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。
（2） 用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。
（3） 用分配律将析取联结词移到括号之外。
（4） 最后化简，即消除简单合取式中重复出现的变元（用幂等律、矛盾律、零律）练习1.3定理1.4 任何命题公式都有等值的析取范式。
2. 合取范式定义2.1由有限个文字组成的析取式称为简单析取式，也称为子句（clause ）。
由有限个简单析取式组成的合取式称为合取范式（conjunction normal form ），简称CNF 。
例2.2 求下列公式的合取范式。
(1) ()(2) () ()p q pp q p q ⌝→∨∧∨⌝∨方法小结：（1）将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。
（2）用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。
（3）用分配律将合取联结词移到括号之外。
（4）最后化简，即消除简单析取式中重复出现的变元（用幂等律、排中律、同一律）练习2.3定理2.4 任何命题公式都有等值的合取范式。
3.极小项为了进一步规范析取范式与合取范式，我们引入极小项与极大项这一对概念。
符号的次序：在符号表中，符号是有先后次序的。
在一个命题逻辑语言中，所有的命题变元来自于一个符号表，称为命题变元符号表。
我们约定：命题公式中所使用的英文字母在命题变元符号表中的次序与其在英文字母表中的次序相同。
利用等值演算求公式的主析取范式和主合取范式
等值演算是一种逻辑代数的方法，可用于简化布尔代数的表达式。
在逻辑电路设计和计算机科学领域，利用等值演算可以帮助我们求解复杂的布尔函数的主析取范式和主合取范式。
在布尔代数中，一个布尔函数可以表示为一系列输入变量和输出变量的逻辑关系式。
通过布尔代数的运算规则，我们可以对这些逻辑关系式进行等值变换，将其简化为更加简洁的形式。
其中，最重要的简化形式包括主析取范式和主合取范式。
主析取范式是指一个布尔函数的各项按照与或关系相连的形式，其中每一项都是不可简化的极小项。
主析取范式的求解可以帮助我们理解布尔函数的逻辑结构，并为电路的设计提供参考。
主合取范式则是指一个布尔函数的各项按照或与关系相连的形式，其中每一项都是不可简化的极大项。
主合取范式的求解同样可以帮助我们理解布尔函数的逻辑结构，并为电路的设计提供参考。
接下来，我们将通过等值演算的方法，来求解一个布尔函数的主析取范式和主合取范式。
1. 我们需要将布尔函数转换为真值表的形式。
真值表可以清晰地展现出布尔函数在各个输入变量组合下的输出取值情况。
通过真值表的分析，我们可以对布尔函数进行等值变换和化简。
2. 我们利用等值演算的定理和法则，对布尔函数进行等值变换。
其中，包括重要的等值演算定理，如恒等律、吸收律、对偶律等。
通过运用这些定理和法则，我们可以将布尔函数逐步化简为主析取范式和主合取范式的形式。
3. 我们将化简后的布尔函数表示为主析取范式和主合取范式的形式。
主析取范式和主合取范式的求解过程中，需要格外注意每一步等值变换的正确性和合理性，以确保最终得到的主析取范式和主合取范式是布尔函数的最简形式。
通过以上等值演算的步骤和方法，我们可以成功地求解出一个复杂布尔函数的主析取范式和主合取范式。
这些简化后的形式将极大地方便我们对布尔函数的理解和分析，为逻辑电路的设计和优化提供重要的参考依据。
等值演算作为一种重要的逻辑代数方法，在计算机科学和信息技术领域也有着广泛的应用和意义。
析取范式与合取范式
不相同。极小项和它的成真赋值构成了一一对应的关系。 可用成真赋值为极小项进行编码，并把编码作为m的下标来 表示该极小项，叫做该极小项的名称。 两个命题变元的极小项、成真赋值和名称如表1-7.2所示。 三个命题变元的极小项，成真赋值和名称如表1-7.3所示。 从表1-7.2和表1-7.3中可以看出，极小项与其成真赋值的 对应关系为：变元对应1，而变元的否定对应0。
从表1-7.5和表1-7.6中可以看出，极大项与成假赋值的对应 关系为：变元对应0，而变元的否定对应1。
极大项的性质
极大项 p∨q p∨¬q ¬p∨q ¬p∨¬q
极大项 p∨q∨r p∨q∨¬r p∨¬q∨r p∨¬q∨¬r ¬p∨q∨r p∨q∨¬r ¬p∨¬q∨r ¬p∨¬q∨¬r
表1-7.5
主析取和主合取范式的关系
在前面例中，求出(p→q)→r的主析取范式为： m7∨m5∨m4∨m3∨m1⇔∑1，3，4，5，7
求出该公式的主合取范式为： M0∧M2∧M6⇔∏0，2，6
¾ 比较这两个结果，得出以下的结论：同一公式的主析取 范式中m的下标和主合取范式中M的下标是互补的。因 此，知道了主析(合)取范式就可以写出主合(析)取范 式。
i=0
主析取范式
定义1-7.7 对于给定的命题公式，如果有一个它的 等价公式，仅由极小项的析取组成，称该公式 为原公式的主析取范式。
¾ 任何命题公式都存在着与之等价的主析取范 式。
主析取范式
一个命题公式的主析取范式可以由以下两种方法求得： ⑴ 等价演算法：即用基本等价公式推出。
用等价演算法求主析取范式的步骤如下： ① 化归为析取范式。 ② 除去析取范式中所有永假的基本积。 ③ 在基本积中，将重复出现的合取项和相同变元合并。 ④ 在基本积中补入没有出现的命题变元，即添加
主析取范式和主合取范式
主析取范式和主合取范式一、主析取范式1. 定义主析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）是布尔代数中的一种标准形式，也称为合取范式。
它是由若干个子句组成的析取式，每个子句都是由若干个原子命题或其否定组成的合取式。
2. 构造方法主析取范式的构造方法有两种：（1）真值表法：将所有可能的输入情况列出来，并计算出每种情况下逻辑表达式的输出结果。
然后将输出结果为真的输入情况所对应的项相加，得到主析取范式。
（2）化简法：通过化简逻辑表达式，将其转换为主析取范式。
化简法有多种方法，如代数运算法、Karnaugh图法等。
3. 举例说明以逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)为例，构造其主析取范式：（1）真值表法：| A | B | C | (A∨B)∧(¬A∨C) ||:-:|:-:|:-:|:------------:|| 0 | 0 | 0 | 0 || 0 | 0 | 1 | 1 || 0 | 1 | 0 | 1 || 0 | 1 | 1 | 1 || 1 | 0 | 0 | 0 || 1 | 0 | 1 | 1 || 1 | 1 | 0 | 0 || 1 | 1 | 1 | 1 |由上表可知，逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)的主析取范式为(A∧¬B∧C)∨(¬A∧B∧C)∨(¬A∧B∧¬C)。
（2）化简法：将逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)转换为主析取范式：(A∨B)∧(¬A∨C)= (A∧¬A) ∨ (B ∧ ¬A) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)= (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) ∨ (B ∧ ¬A)= (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ ¬C)二、主合取范式1. 定义主合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）是布尔代数中的一种标准形式，也称为析取范式。
主析取范式转主合取范式
主析取范式转主合取范式主析取范式（DNF）和主合取范式（CNF）是命题逻辑中的两种常见的范式形式。
在逻辑推理和谓词逻辑等领域，将主析取范式转为主合取范式是一项重要的任务。
本文将介绍如何将主析取范式转为主合取范式，并提供实例解释。
主析取范式是由多个子句通过析取连接而成的命题公式，其中每个子句由多个文字通过合取连接而成。
而主合取范式则是由多个子句通过合取连接而成的命题公式，其中每个子句由多个文字通过析取连接而成。
在将主析取范式转为主合取范式的过程中，需要进行一系列的步骤。
首先，我们需要将主析取范式中的每个子句进行拆分，确保每个子句只包含一个文字。
这可以通过应用分配律来实现。
接下来，我们需要将拆分后的子句转为合取连接形式，并将所有的子句通过析取连接形式联结起来。
这样，我们就得到了主合取范式。
举个例子来说明转换过程。
假设我们有一个主析取范式：(A∨B)∧(C∨D)。
首先，我们将每个子句进行拆分，得到以下形式：A∧B∧C∧D。
接下来，我们将这些子句通过析取连接形式联结起来，得到主合取范式：(A∧B)∨(C∧D)。
转换完成后，我们可以使用主合取范式进行进一步的逻辑推理和分析。
主合取范式具有更简洁的形式，便于理解和推导。
因此，将主析取范式转为主合取范式可以帮助我们更好地理解和分析命题逻辑问题。
总结起来，将主析取范式转为主合取范式是一项重要的任务，在逻辑推理和谓词逻辑等领域具有广泛的应用。
通过拆分子句和重新联结形式，我们可以将主析取范式转为主合取范式，从而更好地理解和分析命题逻辑问题。
这一转换过程是基于逻辑规则和推导方法的，可以提高逻辑推理的准确性和效率。
离散数学-范式
.
范式
△1.3 联结词的扩充与归约
◆定义1.9
称n元联结词h是用m 个联结词g1, g2,…, gm
可表示的，如果
h(p1, p2,. . ., pn ) ┝┥A 而A中所含联结词仅取自g1, g2,. . ., gm。
.
范式
△1.3 联结词的扩充与归约
◆定义1.10
当联结词组g1, g2,. . ., gm可表示所有
指形如L，┐L（L为文字）的一对字符。
.
范式
1.1 析取范式和合取范式
◆定义1.6 命题公式A‘称为公式A的析取范式
（disjunctive normal form），如果
（1）A'┝┥A
（2）A'为一合取子句或若干合取子句的析取。
◆定义1.7 命题公式A‘称为公式A的合取范式
（conjunctive normal form）如果
一元、二元联结词时，称其为完备联结 词组（complete group of connectives）。
离散数学导论
离散数学导论
.
范式
1.1 析取范式和合取范式
文字(letters)：指命题常元、变元及它们的否定， 前者又称正文字，后者则称负文字。
析取子句(disjunctive clauses)：指文字或若干文字
的析取。
合取子句(conjunctive clalemental pairs of letters) ：
（1）A'┝┥A （2）A'为一析取子句或若干析取子句的合取。
.
范式
1.2 主析取范式与主合取范式
◆定义1.8
设A为恰含命题变元p1,…,pn的公式。
公式A,称为A的主析（合）取范式
析取范式与合取范式
▪ 析取范式与合取范式 ▪ 主析取范式与主合取范式
1
析取范式与合取范式
文字:命题变项及其否定的总称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, … 析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式
A (pq)((qr)(qr))(su)(u(pq))
((rs)(rs))
（交换律)
B1= (pq)((qr)(qr)) ((pqr)(pqr)(qr)) （分配律）
28
例 (续)
B2= (su)(u(pq)) ((su)(pqs)(pqu))
（分配律）
B1B2 (pqrsu)(pqrsu) (qrsu)(pqrs)(pqru)
说明： 由公式A的主析取范式确定它的主合取范式，反之亦然. 用公式A的真值表求A的主范式.
24
主范式的用途(续)
例 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕 业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须 满足以下条件：
(1)若赵去，钱也去； (2)李、周两人中至少有一人去； (3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人； (4)孙、李两人同去或同不去； (5)若周去，则赵、钱也去. 试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出 国？
21
主范式的用途——与真值表相同
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 例如 (pq)r m1m3m5 m6m7， 其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111， 其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值. 类似地，由主合取范式也可立即求出成 假赋值和成真赋值.
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主范式的用途(续)
A
M
j1
主析取范式与主合取范式
第四节 主析取范式与主合取范式n 个命题变项虽然可以构成无穷多个形式各异的命题公式，但就其真值而言，只有22n种。
对应每种真值情况虽然又有无穷多个等值的公式，但这些公式却有相同的标准形式。
本节将给出规范公式的概念，这种规范的公式能表达真值表所能给出的一切信息。
定义4.1 命题变项及其否定统称为文字。
如p ，q ，¬p ，¬q ，L 都是文字，即每个命题变项产生两个文字。
（1）仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
（2）仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。
例如，p ∧q ，p ∧¬q ∧r ，L 都是简单合取式。
p ∨q ， ¬p ∨q ∨r ，L 都是简单析取式。
单个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
定义4.2 （1）仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式； （2）仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取式。
例如，p ，¬q ，p ∧q ，（p ∧¬q ）∨（p ∧q ），L 都是析取范式。
p ，¬r ，p ∨q ，（p ∨q ）∧（q ∨¬r ），L 都是合取范式。
注意，两个文字构成的简单合取式与析取式都既是析取范式又是合取范式。
例如，p ∨q 是析取范式，它是由两个简单的合取式p 与q 析取而成。
同时它也是合取范式，看成是一个简单析取式构成的合取范式。
定义 4.3 （1）n 个命题变项1p ，2p ，L ，n p （1n ≥）构成的简单合取式中，若每个i p （1,2,,i n =L ）都以文字的形式出现一次且仅出现一次，而且出现在左起的第i 位上，则称它为极小项。
（2）n 个命题变项1p ，2p ，L ，n p （1n ≥）构成的简单析取式中，若每个ip （1,2,,i n =L ）以文字的形式出现一次且仅出现一次，而且出现在左起的第i 位上，则称它为极大项。
两个命题变项p ，q 共可形成4个极小项：¬p ∧¬q ，¬p ∧q ，p ∧¬q ，p ∧q 。
主析取范式与主合取范式
主析取范式与主合取范式主析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）和主合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）是逻辑学中重要的概念。
它们分别是由逻辑表达式经过一定的变换步骤后得到的一种标准形式。
本文将对主析取范式和主合取范式作详细介绍。
一、主析取范式主析取范式是一种逻辑表达式的标准形式，它是由若干个子句的析取构成的，每个子句是由若干个变量或其取反构成的合取式。
例如，下面是一个主析取范式的例子：(A∧B)∨(¬A∧C)∨(D∧¬E)上述例子中，共有三个子句，分别为(A∧B)、(¬A∧C)和(D∧¬E)。
子句中的变量可以赋值为真或假，如果存在一种赋值方式能够使整个逻辑表达式为真，则该赋值方式称为逻辑表达式的一个“满足赋值”。
主析取范式转换的主要步骤为：1.将逻辑表达式中所有的非NOT符号移到变量上方，例如(¬A∨B)变为(A→B)。
2.使用分配律和德摩根定律将所有合取和析取符号进行展开，直到无法再展开为止。
3.将所有变量用圆括号括起来，形成若干个子句；将子句用符号“∨”连接起来，就得到了主析取范式。
主析取范式与主合取范式都是逻辑表达式的标准形式，它们的形式是相近的，只是子句之间的联结符不同。
主析取范式和主合取范式是等价的，即一个逻辑表达式可以通过主析取范式或主合取范式来表示。
但是，在实际运用中，它们各有优点。
主析取范式适合用于实现由逻辑表达式到电路的转换，因为在电路中结构比较简单的是或门（OR），而每一个子句都可以看作是或门的输入。
总之，主析取范式和主合取范式是逻辑学中非常重要的概念，它们不仅有助于对逻辑表达式进行化简与转换，还能在逻辑设计中起到重要的作用。
因此，在逻辑设计与应用过程中，需要灵活掌握主析取范式和主合取范式的使用方法，以便更好地解决实际问题。
如何求得公式的求主析取和主合取范式
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主析取范式:一个由不同的极小项之和构成的公式, 叫主析取范式,如果它与给定的命题公式A等价,则称 它是A的主析取范式。
定理(主析取范式存在定理) 任何不为矛盾式的命题公式一定存在着与其等价的 主析取范式。
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证 设A为一个不是矛盾式的公式,先求出A的析取范式A,然后再 进行如下的构造性算法：
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二进制数 十进制数 记号mi 0 0 0 0 m0 0 0 1 1 m1 0 1 0 2 m2 0 1 1 3 m3 1 0 0 4 m4 1 0 1 5 m5 1 1 0 6 m6 1 1 1 7 m7
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一般地,n个变元的极小项是: m0 P1P2P3…Pn m1 P1P2P3…Pn ……… m2n-1 P1P2P3…Pn
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定理(范式存在定理) 任何命题公式都存在与之等价的析取范式和合取范式 求范式的构造性算法，其步骤如下：
① 对任何公式A，首先消去、等其它联结词,只保 留联结词、、。常用到公式 P Q P Q ， PQ (PQ)(QP), (PQ)(PQ) (合取范式) (PQ)(PQ) (析取范式)。
①展开 如果A的某基本积B中不含命题变元Pi或其否定Pi,则 将B展开如下: B BT B(PiPi) (BPi)(BPi) ②消去 将重复出现的命题变元(变元否定)、矛盾式、重复出现 的极小项都消去。 (用 PPP, PPF,mimimi)。 ③排序 将极小项按由小到大(或由大到小)顺序排列。 为表达简洁,用∑表极小项的析取。 如 m1m3m5,记成 ∑(1,3,5)
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主析取范式和主合取范式
范式为命题公式提供了一种统一的表达形式，给公 式的判定问题提供了一种比较简便的方法。但 ①析取范式和合取范式都不唯一，仍然给研究问题带 来不便; ②对偶然式，公式成真(假)的指派还不是一目了然。
重言式与矛盾式的主析取范式与主合取范式
重言式与矛盾式的主析取范式与主合取范式。
1、先看下列简单的问题：命题公式P→（Q→P）的主合取范式为。
解：根据蕴涵词的意义，当P为假时，P→（Q→P）为真；当P为真时，Q→P为真，因而P→（Q→P）为真，所以P→（Q→P）永远为真，即P→（Q→P）是一个重言式。
P→（Q→P）中总共有两个命题变元P和Q，因而对应有个不同的极大项，每个极大项对应着使得P→（Q→P）为假的一种赋值。
现在P→（Q→P）不可能为假，所以P→（Q→P）的主合取范式中不能含有极大项，因而其主合取范式只能是一个不含极大项的空范式。
我们约定：用1表示重言式的主合取范式。
所以命题公式P→（Q→P）的主合取范式为1。
2、一般地，如果一个命题公式G中共有n个命题变元。
每个变元有真和假两种不同的赋值。
因而G总共有2n种不同的赋值。
对应着每一种赋值，都有一个极小项和极大项，极小项在对应的赋值下为真，极大项在对应的赋值下为假。
如果G正好在m种赋值下为真，在另外的种赋值下为假，那么使得G为真的m种赋值所对应的m个极小项的析取就是G的主析取范式，使得G为假的其他种赋值所对应的个极大项的合取就是G的主合取范式。
如果G是重言式，全部2n种赋值都使得G为真，因而所有的2n个极小项的析取是G的主析取范式。
重言式G的主合取范式不含极大项，是空范式，就用1表示。
如果G是矛盾式，全部2n种赋值都使得G为假，因而所有的2n个极大项的合取是G的主合取范式。
矛盾式G的主析取范式不含极小项，是空范式，就用0表示。
3、P→（Q→P）的主析取范式为由P→（Q→P）对应的所有4个极小项的析取得到。
4、重言式和矛盾式的主析取范式和主合取范式，在教材中没有讲清楚，因而在做有关练习和考试题时，同学们感到茫然。
现在，大家应该清楚了。
这里也进一步明确了用真值表方法求主合取范式和主析取范式的依据和步骤。
22 析取范式与合取范式
注意 由例2.8与2.9可知，在求给定公式的主析取范
式（主合取范式）时，一定根据公式中命题变项 的个数决定极小项（极大项）中文字的个数.
3、主范式的应用 (1) 求公式的成真和成假赋值
成真赋值：主析取范式的极小项的下标对应的 二进制表示的值；
成假赋值：主析取范式的极大项的下标对应的 二进制表示的值。
由定理2.4可知
A
┐┐A (m j1 m j2 m ) j2n s m j1 m j2 m j2n s M j1 M j2 M j2n s
于是，由公式的主析取范式，即可求出它的主合取 范式。
例2.13 由公式的主析取范式，求主合取范式：
类似的讨论可知，若 Ai是含n个命题变项的 简单合取式，且 Ai 为矛盾式，则 Ai 中必同时含 有某个命题变项及它的否定式，反之亦然.
如：p∨┐p，p∨┐p∨r 都是重言式. ┐p∨q，┐p∨┐q∨r 都不是重言式.
二、范式
1、范式的定义 定义2.3 （1）由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式. （2）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式. （3）析取范式与合取范式统称为范式.
(2) 由于每个命题变项在极小项中以原形或否定式 形式出现且仅出现一次，因而n个命题变项共可产生2n 个不同的极小项.
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应用主析取范式分析和解决实际 问题
例2.12 某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑 选1～2名出国进修。由于工作原因，选派时 要满足以下条件： (1)若A去，则C同去。 (2)若B去，则C不能去。 (3)若C不去，则A或B可以去。 问应如何选派他们去？
分析： (1)将简单命题符号化
说明
• n个命题变项共可产生2n个不同的极小项。其 中每个极小项都有且仅有一个成真赋值。若 成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i ，就将所对应极小项记作mi 。 • 类似地，n个命题变项共可产生2n个极大项， 每个极大项只有一个成假赋值，将其对应的 十进制数i做极大项的角标，记作Mi。
表2.3 p,q形成的极小项与极大项
定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的主析取 范式和主合取范式，并且是唯一的。
定理2.4.5的证明
(只证主析取范式的存在和唯一性) (1)证明存在性。 设A是任一含n个命题变项的公式。 由定理2.3可知，存在与A等值的析取范式A′， 即AA′，若A′的某个简单合取式Ai中既不含 命题变项pj，也不含它的否定式┐pj，则将Ai展 成如下形式： Ai Ai∧1 Ai∧(pj∨┐pj) (Ai∧pj)∨(Aj∧┐pj)
析取范式和合取范式的性质
定理2.2 (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个 简单合取式都是矛盾式。 (2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个 简单析取式都是重言式。
范式存在的讨论
• 在范式中不会出现联结词→与，否则可使 用等值式消除 A→B ┐A∨B AB (┐A∨B)∧(A∨┐B) • 在范式中不会出现形如 ┐┐A,┐(A∧B),┐(A∨B)的公式： ┐┐A A ┐(A∧B) ┐A∨┐B • ┐(A∨B)┐A∧┐B
例2.8 求例2.7中公式的主析取范 式和主合取范式。
(2)求主合取范式 (p→q)r (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) ┐p∨q∨┐r M5 p∨r p∨(q∧┐q)∨r (p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r) M0∧M2 ┐q∨r (p∧┐p)∨┐q∨r (p∨┐q∨r)∧(┐p∨┐q∨r) M2∧M6 (p→q)r M0∧M2∧M5∧M6
例题
例2.9 求命题公式 p→q 的主析取范式和主 合取范式。 p q p →q
(1)求主合取范式 p→q p→q ┐p∨q M2 ┐p∨q （┐p∧（┐q∨q））∨（(┐p∨p)∧q） (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) (2)求析取范式 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1
解答
• (1) p p∧(┐q∨q) (p∧┐q)∨(p∧q) m2∨m3 • (p∧q)∨(p∧┐q) m2∨m3 • 两公式等值。 • (2) (p→q)→r m1∨m3∨m4∨m5∨m7 • (ｐ∧q)→r m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7 • 两公式不等值。
主析取范式的用途
• 求公式的成真赋值与成假赋值 • 判断公式的类型 • 判断两个命题公式是否等值 • 应用主析取范式分析和解决实际问题
求公式的成真赋值与成假赋值
• 若公式A中含n个命题变项，A的主析取范式 含s(0≤s≤2n)个极小项，则A有s个成真赋值， 它们是所含极小项角标的二进制表示，其余 2n-s个赋值都是成假赋值。
）
2.4 主析取范式和主合取范式
定义2.4.1 命题变项及其否定统称作文字（letters）。 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式。 一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
举例
• 简单析取式举例： p,┐q p∨┐p，┐p∨q ┐p∨┐q∨r,p∨┐q∨r • 简单合取式举例： ┐p,q ┐p∧p，p∧┐q p∧q∧┐r,┐p∧p∧q
定理2.4.5的证明
继续这个过程，直到所有的简单合取式都含任 意命题变项或它的否定式。 若在演算过程中出现重复的命题变项以及极小 项和矛盾式时，都应“消去”：如用p代替 p∧p，mi代替mi∨mi，0代替矛盾式等。最后 就将A化成与之等值的主析取范式A''。
定理2.4.5的证明
(2)证明唯一性。 假设某一命题公式A存在两个与之等值的主析 取范式B和C， 即AB且AC，则BC。 由于B和C是不同的主析取范式，不妨设极小 项mi只出现在B中而不出现在C中。 于是，角标i的二进制表示为B的成真赋值， 而为C的成假赋值。这与BC矛盾，因而B 与C必相同。
2.4 主析取范式和主合取范式
• 设Ai(i=1,2,…,s)为简单合取式，则 A=A1∨A2∨…∨As为析取范式。例如， A1=p∧┐q，A2=┐q∧┐r，A3=p，则由 A1,A2,A3构造的析取范式为 A=A1∨A2∨A3=(p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p
合取范式
• 设Ai(i=1,2,…,s)为简单析取式，则 A=A1∧A2∧…∧As为合取范式。 • 例如，取A1=p∨q∨r，A2=┐p∨┐q，A3=r， 则由A1,A2,A3组成的合取范式为 A=A1∧A2∧A3=(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r
2.4 主析取范式和主合取范式
• 为讨论方便，有时用A1,A2,…,As表示s个简单 析取式或s个简单合取式。 • 设Ai是含n个文字的简单析取式，若Ai中既含 某个命题变项pj，又含它的否定式┐pj， 即 pj∨┐pj，则Ai为重言式。
说明
• 反之，若Ai为重言式，则它必同时含某个命 题变项和它的否定式，否则，若将Ai中的不 带否定符号的命题变项都取0值，带否定号的 命题变项都取1值，此赋值为Ai的成假赋值， 这与Ai是重言式相矛盾。 • 类似的讨论可知，若Ai是含n个命题变项的简 单合取式，且Ai为矛盾式，则Ai中必同时含某 个命题变项及它的否定式，反之亦然。
例题
例题2.7 求下面公式的析取范式与合取范式： (p→q) r
解：(1) 求合取范式 (p→q) r
(┐p∨q) r
((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
（消去→）
（消去）
(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) （消去→） （否定号内移） (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)（∨对∧分配律）
判断公式的类型
设公式A中含n个命题变项，容易看出： • A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n 个极小项。 • A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何 极小项。此时，记A的主析取范式为0。 • A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含 一个极小项。
判断公式的类型
例2.10 用公式的主析取范式判断公式的类型： (1) ┐(p→q)∧q (2) p→(p∨q) (3) (p∨q)→r 解：(1)┐(p→q)∧q ┐（┐p∨q）∧q
• 在析取范式中不会出现形如A∧(B∨C)的公式： A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) • 在合取范式中不出现形A∨(B∧C)的公式： A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) • 定理2.3 任一命题公式都存在着与之等值的析取范式 与合取范式。
求给定公式范式的步骤
(1)消去联结词→、(若存在)。 A→B ┐A∨B AB (┐A∨B)∧(A∨┐B) (2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根 律)。 ┐┐A A ┐(A∧B) ┐A∨┐B ┐(A∨B)┐A∧┐B (3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式， ∨对∧的分配律求合取范式。 A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C)
求公式A的主合取范式的方法与步骤
方法一、等值演算法 (1)化归为合取范式。 (2)除去合取范式中所有永真的合取项。 (3)将合取式中重复出现的析取项和相同的变 元合并。 (4)对析取项补入没有出现的命题变元，即添 加如(p∧┐p)式，然后应用分配律展开公式。
求公式A的主合取范式的方法与步骤
方法二、真值表法 (1)写出A的真值表。 (2)找出A的成假赋值。 (3)求出每个成假赋值对应的极大项（用名称表 示），按角标从小到大顺序析取。
例题
(2) 求析取范式 (p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)
∨(p∧┐q∧┐r)
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)
(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
范式的规范化形式
• 定义2.4 在含有n个命题变项的简单合取式 （简单析取式）中，若每个命题变项和它的 否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅 出现一次，且第i个命题变项或它的否定式 出现在从左算起的第i位上（若命题变项无 角标，就按字典顺序排列），称这样的简单 合取式（简单析取式）为极小项（极大项）。
2.4 主析取范式和主合取范式
理学院 季丹丹
主要内容
一、命题逻辑部分练习 二、范式概念 三、极小项与极大项 四、主范式概念
命题逻辑练习 1、下列语句中为命题的是（ ） A.暮春三月，江南草长。 B.这是多么可爱的风景啊 C.大家想做什么，就做什么，好吗？ D.请勿践踏草地。 2、下列语句中为命题的是（ ） A.2x+3＜5 B.天空真蓝呀！ C.2013年元旦下大雪 D.你去图书馆吗？ 3、命题 P, Q 真值为“0”，命题 R, S 真值为“1”，则下 列 哪个命题真值为 “0”？（ ） A ( P (Q R)) ((P nQ) ( R S )) B ( P Q) R (((P Q) R) S ) C ( R S ) ( P Q) D (S R) (P Q) 4、只含 n个命题变项的命题公式共有多少种赋值（ 有 5、公式 ( P Q) (P R) 的成假赋值为（ ） 6、由n个命题变元组成不等值的命题公式的个数为( )
表2.4 p,q,r形成的极小项与极大项