人教新课标版数学高一 人教数学必修2 直线的一般式方程
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程课件 新人教A版必修2
②若 B=0,则 x=- C ,表示与 x 轴垂直的一条直线. A
③若 C=0,则 Ax+By=0,表示过原点的一条直线.
2.在什么条件下,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式方程?
提示:①若 B≠0,则直线的一般式方程可化为斜截式、点斜式,即
y=-
A B
x-
C B
与
y-
C B
即 x+3y+3=0.
题后反思 根据已知条件求直线方程的策略: 在求直线方程时,设一般式方程并不简单,常用的还是根据给定条件选用 四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程,一般选用规律为: (1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;(2)已知直线的斜 率和在y轴上的截距时,选用斜截式;(3)已知直线上两点坐标时,选用两 点式.(4)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选用截距式.
解:(1)由直线方程的点斜式得 y-3= 3 (x-5),即 3 x-y-5 3 +3=0. (2)由斜截式得直线方程为 y=4x-2,即 4x-y-2=0.
(3)由两点式得 y 5 = x 1 ,即 2x+y-3=0. 1 5 2 1
(4)由截距式得直线方程为 x + y =1. 3 1
解:法一 (1)由 l1:2x+(m+1)y+4=0, l2:mx+3y-2=0 知: ①当 m=0 时,显然 l1 与 l2 不平行.
②当 m≠0 时,l1∥l2,需 2 = m 1 ≠ 4 . m 3 2
解得 m=2 或 m=-3,所以 m 的值为 2 或-3.
(2)由题意知,直线 l1⊥l2. ①若 1-a=0,即 a=1 时,直线 l1:3x-1=0 与直线 l2:5y+2=0 显然垂直.
人教新课标版数学高一-人教必修2直线的一般式方程
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课时提升卷(二十一)直线的一般式方程（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.将方程3x-2y+1=0化成斜截式方程为( )A.y=x+B.y=x+C.y=x+1D.y=x+12.若(m2-1)x+(m2-4m+3)y+1=0表示直线,则m的取值范围是( )A.m=1B.m≠1C.m≠±1D.m≠33.下列说法中不正确的是( )A.两直线的斜率存在时,它们垂直的等价条件是其斜率之积为-1B.如果方程Ax+By+C=0表示的直线是y轴,那么系数A,B,C满足A≠0,B=C=0C.Ax+By+C=0和2Ax+2By+C+1=0表示两条平行直线的等价条件是A2+B2≠0且C≠1D.(x-y+5)+k(4x-5y-1)=0表示经过直线x-y+5=0与4x-5y-1=0的交点的所有直线4.(2013·宿州高一检测)直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象只可能是( )5.已知直线经过A(a,0),B(0,b)和C(1,3)三个点,且a,b均为正整数,则此直线方程为( )A.3x+y-6=0B.x+y-4=0C.x+y-4=0或3x+y-6=0D.无法确定二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·临沂高一检测)直线3x-2y+6=0的斜率和在y轴上的截距分别是.7.已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-4,则直线l的点斜式方程为;截距式方程为;斜截式方程为;一般式方程为.8.直线(2-m)x+my+3=0与直线x-my-3=0垂直,则m为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程.(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.10.(2013·哈尔滨高一检测)求平行于直线2x-y+3=0,且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程.11.(能力挑战题)求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点,并求此定点坐标.答案解析1.【解析】选B.由3x-2y+1=0可得:3x+1=2y,即y=x+.2.【解析】选 B.由题意m2-1和m2-4m+3不同时为0,得即所以m≠1.3.【解析】选D.A,B正确,C利用直线平行的等价条件可知也正确,D 中k取任意值都不能表示直线4x-5y-1=0,故D错误.4.【解析】选B.排除法:选项A中,直线l1的斜率大于0,在y轴上的截距小于0,所以a>0,b<0,故l2的斜率为-b>0,但图中l2的斜率小于0,故A不正确,同理排除C,D,故选B.5.【解题指南】先由A,B两点写出直线的截距式方程,由于点C也在该直线上,代入可得a,b的关系,利用a,b均为正整数,求得a,b的值. 【解析】选C.由直线经过A(a,0),B(0,b)知方程为+=1,又过点C(1,3),所以+=1,因为a,b均为正整数,所以a=>0,所以b>3,b=>0,所以a>1.由整除性可知a-1=3或a-1=1,所以或所以直线方程为x+y-4=0或3x+y-6=0.6.【解析】将直线方程化为斜截式得y=x+3,所以斜率为,在y轴上的截距为3.答案:,37.【解析】点斜式方程:y+4=(x-0),截距式方程:+=1,斜截式方程:y=x-4,一般式方程:x-y-4=0.答案:y+4=(x-0) +=1 y=x-4x-y-4=08.【解析】由题意,(2-m)+m(-m)=0,解得m=-2或m=1.答案:-2或19.【解析】(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,所以2-a=0,所以a=2,方程为3x+y=0;当直线不过原点时,a≠2,由=a-2,得a=0,方程为x+y+2=0,故所求的方程为3x+y=0或x+y+2=0.(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,欲使l不经过第二象限,当且仅当-(a+1)≥0且a-2≤0,解得a≤-1,故所求a的取值范围为a≤-1. 10.【解析】设所求的直线方程为2x-y+c=0,令y=0,x=-,令x=0,y=c,所以|(-)·c|=9,c=±6,故所求直线方程为2x-y±6=0.11.【解析】令m=得y=3;令m=-3得x=2.两直线交点为(2,3),将点(2,3)代入原直线方程,得(2m-1)×2-(m+3)×3-(m-11)=0恒成立,因此,直线过定点(2,3).【一题多解】将方程化为(x+3y-11)-(2x-y-1)m=0,因为m为任意实数,上式都成立,故当时,上式恒成立,解得即定点(2,3)恒满足原直线方程,因此,直线过定点(2,3).【拓展提升】证明直线过定点问题的方法(1)证明直线过定点问题,先用特殊值找到一定点,再证明其坐标始终满足直线方程.(2)也可以利用恒成立问题,得到方程组,解方程组即可.关闭Word文档返回原板块。
人教版高一数学必修二：3.2.3直线的一般式方程.pptx
x 2 y 4 (x y 2) 0
代（2，1）入方程，得：
2 2 4 (2 1 2) 0
4
所以直线的方程为：
3x+2y+4=0
例2:求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交 点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1)过点(2,1) (2)和直解线（32）x-：4y将+（51=）0中垂所直设。的方程变为：
2、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 │PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则 直线PB的方程是() A.2y-x-4=0B.2x-y-1=0 C.x+y-5=0D.2x+y-7=0
例3、设直线l的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列 条件确定m的值： （1）l在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.
例题分析
例2、把直线l的方程x–2y+6=0化成斜截式，求
出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画
图.
y
. B
.
A
O
x
一般式方程
l1 : A1x B1 y C1 0
l2 : A2 x B2 y C2 0
l1 // l2
A1 B1
A2 B2
C1 C2
即：l1 // l2 A1B2 A2B1且A1C2 A2C1
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3.2.3直线的一般式方程
所有的直线都可以用二元一次方程表示 所有二元一次方程都表示直线
Ax By C 0
（其中A，B不同时为0） 一般式
例题分析
人教新课标版数学高一必修2课件直线的一般式方程
3.2.3 直线的一般式方程
学习目标
1.掌握直线的一般式方程； 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都 表示直线； 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
我们共学习了哪几种直线方程的形式?
y y0 k (x x0 )
1 23 4
解析答案
课堂小结
1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法 (1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都 不存在，则还要判定不重合. (2)可直接采用如下方法： 一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0. 这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考 虑不周而造成失误的可能性.
答案
问题3 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示怎样的直
线？B＝0呢？ 答案 当 B≠0 时，由 Ax＋By＋C＝0 得，y＝－BA x－CB， 所以该方程表示斜率为－BA， 在 y 轴上截距为－CB的直线； 当 B＝0 时，A≠0，由 Ax＋By＋C＝0 得 x＝－CA， 所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．
点斜式
y kx b
斜截式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式
x y 1 ab
截距式
自主学习
知识点一 直线的一般式方程
形式 条件
Ax＋By＋C＝0 A，B 不同时为0
答案
知识点二 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
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合作探究
数学必修二直线方程知识点
数学必修二直线方程知识点
1. 直线的一般方程：一般地，直线的一般方程可表示为Ax + By + C = 0，其中A、B
和C为实数且A和B不同时为0。
2. 斜率截距方程：斜率截距方程是直线的另一种常用表示方法，可表示为y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
3. 斜率公式：直线的斜率可通过两点的坐标（x1, y1）和（x2, y2）计算，斜率m = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
4. 点斜式方程：点斜式方程是直线的一种特殊表示方法，可表示为y - y1 = m(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，m为直线的斜率。
5. 两直线的关系：两条直线可以相交、平行或重合。
两条直线平行的条件是它们的斜
率相等，两条直线重合的条件是它们的斜率相等且有一个公共点。
6. 垂直平分线：两条直线相互垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
7. 两点间的距离公式：可以使用两点的坐标（x1, y1）和（x2, y2）来计算两点间的距离d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
8. 角的平分线：直线和另一条直线的夹角的平分线将夹角分成两个相等的角。
9. 线段的中点：直线的中点是指直线上且离两个端点等距离的点。
10. 线段的延长线：直线上的延长线是指直线上的一条线段，其中一端点在直线上，另一端点在直线的外部。
这些是数学必修二中关于直线方程的一些重要知识点。
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直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+． （2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】 （1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0． （6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0． 【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】 所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示． 【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。
人教版 新课标 高中数学 2019-2020 必修二第三章 3.2.3 直线的一般式方程(共12张
22
2
直线的方程
例 3.一 束 光 线 从 点 A(8,3)发 出 ,经 x轴 反 射 到 y轴 ,
又 被 y轴 反 射 后 经 过 B(2,2)， 求 光 线 被 y轴 反 射
后 光 线 所 在 的 直 线 方 程
y
B’
B
A
o
x
A’
直线的方程
1.若 ac0,b, c0 ax 则b直 y线c不过0 第 三象限。
直线的一般式方程
复习回顾 思考: 这四种直线方程有什么共同点?
方程名称 已知条件 直线方程
局限性
点斜式 斜截式 两点式 截距式
点与斜率 斜率与截距
两点
两截距
yy0k(xx0)
ykxb
yy1 xx1 y2 y1 x2 x1
垂直于 x 轴直线
垂直于 x 轴直线 垂直于坐
标轴直线
x y 1 ab
练1:方 m 程x(m2m)y10表 示 一,条 直
则 实m的 数取 值 范 _m_≠_围 0 _._是 __
直线的方程 例1若 . 直l经 线过A点 (6,4),斜 率为 4,求l的 斜 截
3 式 方 程 和 一 般 式 在方 两 程 坐 及 标 轴 上. 的
练1求 . 满足下列条件 的的 一直 般线 式.方程
B
B
(2)当B0时, x C A
表示垂x直 轴于 的直 . 线
直线的方程
直线的一般式方程
A xB yC0 (A, B不 同 时 为 0)
注： 1.一般式对于所有的直线都适用;
2.一般式中的顺序x在前，y在中，常 数项在后，通常A为正数;
3.直线方程的最终结果均要化成斜截式 或一般式.
人教新课标版数学高一人教A版必修2教案 直线的一般式方程
3.2.3直线的一般式方程
课型：新授课
教学目标：
1、知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法:学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
教学重点：直线方程的一般式。
教学难点：对直线方程一般式的理解与应用
教学过程：
归纳小结：
（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
（2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。
（3）求直线方程应具有多少个条件？
（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？
作业布置：第101页习题3.2第10,11题
课后记:。
人教版高中数学必修二《直线的一般式方程》教学课件
根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成 一般式： (1)经过点A（8，-2），斜率是-—12； (2)经过点B（4，2），平行于x轴； 解：(程1为)经：过y+点2=A-（—218（，x--28）），斜率是-—21 的直线方
化为一般式为：x+2y-4=0 (2) 直线平行于x轴，即k=0 经过点B（4，2），k=0的直线方程为： y-2=0
5/27/2020
求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出
图形。
（1）3x+y-5=0 （2）—4x －—5y＝1
ly
4
解：（1）将一般式变形为：y= -3x+5
2
所以直线的斜率k= -3
-2 o 2 4 x
令x=0，那么y=5，则直线在y轴上的截距为5
（2）将直线方程变形为：y= —5 x-5
因此直线在x轴上的截距是 -6.
5/27/2020
把直线的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式， 求出直线的斜率以及它在x轴与y轴上的截距， 并画出图形.
解： 综上可知，直线与x轴、y轴的交 点为：A（-6，0），B（0，3）
过A，B两点作直线，得到直线的图形.
y
6
B4 l
A
2
-6 -4 -2 o
探究：在方程中，A，B，C为何值时，方程表示
的直线
①平行于x轴 ②平行于y轴 ③与x轴重合 ④与y轴重合
你能确定A，B，C 的值，让它能满足题 目中的条件吗？
5/27/2020
已知直线经过点A(6，-4)，斜率为-—4 ，求直线
的点斜式和一般式方程.
3
解：经过点A（6，-4），斜率为-—4 的点斜式方
5/27/2020
人教版新教材高中数学优质课件直线的两点式方程直线的一般式方程
的斜率为k时(此时直线的倾斜角α≠90°),其方程为y-y0=k(x-x0),这是关于x,y
的二元一次方程.当直线l的斜率不存在,即直线l的倾斜角α=90°时,直线的
方程为x-x0=0,可以认为是关于x,y的二元一次方程,此时方程中y的系数为0.
方程y-y0=k(x-x0)和x-x0=0都是二元一次方程,因此平面直角坐标系中的任
∵直线 l 与直线 3x+4y+1=0
3
平行,∴k=- .
4
又直线 l 经过点(1,2),
∴直线 l 的方程为
3
y-2=-4(x-1),整理得
3x+4y-11=0.
(方法二)设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0.
∵直线l经过点(1,2),
∴3×1+4×2+m=0,解得m=-11.∴直线l的方程为3x+4y-11=0.
2019普通
高中教科书
人教版新教材高中数学优质课件
REN JIAO BAN XIN JIAO CAI GAO ZHONG SHU XUE YOU ZHI KE JIAN
第二章
2.2
2.2.2 直线的两点式方程
2.2.3 直线的一般式方程
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
03
随堂练习
BC所在直线的方程.
分析:已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程.
解:由两点式,得边 AB
同理,边 BC
-(-1)
所在直线的方程为
0-(-1)
-3
所在直线的方程为
高一数学人必修二课件第三章直线的两点式方程直线的一般式方程
03
直线上任意两点的中点坐标满
足该直线的方程。
04
两条平行直线的斜率相等，即
$k_1 = k_2$。
05
两条垂直直线的斜率互为相反
数的倒数，即 $k_1 cdot k_2
= -1$。
06
02
两点式方程
两点式方程推导
通过已知两点坐标 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，推导直 线方程。
一般式方程与截距关系
截距定义
直线与坐标轴的交点到原点的距离称为该直线的截距。
一般式方程与截距的关系
直线的一般式方程可以直接反映出该直线在坐标轴上的截距。通过一般式方程 可以求出直线在x轴和y轴上的截距。
04
直线方程求解方法
代入法求解直线方程
已知直线上一点$P(x_0, y_0)$和斜率$k$，则直线方程可表示为$y - y_0 = k(x x_0)$。
直线在坐标轴上的截距可以通 过直线方程求出。
一般式方程形式
综合斜率和截距公式，可以得 到直线的一般式方程。
一般式方程应用
求解直线交点
求解点到直线的距离
两条直线的交点坐标可以通过联立两 条直线的一般式方程求解。
利用点到直线距离公式和直线的一般 式方程，可以求出点到直线的距离。
判断点与直线的位置关系
通过代入点的坐标到直线的一般式方 程中，可以判断点是否在直线上或者 直线的哪一侧。
两点式
已知直线上两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，则直 线可表示 $frac{y y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 x_1}$。
截距式
$frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$，其 中 $a$ 是直线在 $x$ 轴上的截距， $b$ 是直线在 $y$ 轴上的截距。
人教版高中数学必修2第三章直线与方程-《3.2.3直线的一般式方程》教案
3.2.3 直线的一般式方程整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想.三维目标1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.重点难点教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77yx +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式. 推进新课 新知探究 提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线?③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零. 结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA，在y 轴上的截距为-B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-AC，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式. 注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下：应用示例例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6). 化成一般式，得4x+3y-12=0. 变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线? （2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? （3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交? （4）系数满足什么条件时,是x 轴? （5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点, 证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0. 答案：（1）C=0； （2）A≠0且B≠0； （3）B=0且C≠0； （4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上, ∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0. ∴A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________. 答案：-32例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ① 移项，去系数得斜截式y=2x＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6. 即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”. 变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程. 答案：x+3y-3=0或x+2y=0. 知能训练课本本节练习1、２、３. 拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系. 解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点. 课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系； （2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式； （3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练. 作业习题3.2 A 组11.。
人教版高中数学必修二《直线的方程：一般式》教学课件
m≥ 32，或m≤
4 3
变式训练:
已知直线kx+y-k=0与射线3x-4y+5=0(x≥-1)有 交点，求实数k的取值范围.
k
，- 3 4
U
1 4
，
四、课堂小结：
1、直线方程的四种形式及适用范围要牢记； 2、五种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用； 3、直角坐标系是把方程和直线联系起来的桥梁， 一个二元一次方程就是直角坐标平面上的一条确 定的直线.
2、直线与二元一次方程的关系： 直线的方程都是二元一次方程； 任何一个关于x，y的二元一次方程都表示 一条直线。
3、关于直线一般式方程Ax＋By＋C＝0（A， B不全为0）的几点说明：
①两个独立的条件可求直线方程
若A 0,则方程化为x B y C 0,只需确定 B 、C 的值；
A
A
AA
若B 0,则方程化为 A x y C 0,只需确定 A 、C 的值.
直线的方程 —一般式
一、复习：直线方程的四种形式及相关信息
名
已知条件
标准方程 kx b 不垂直于x轴的直线
点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y y1 k(x x1) 不垂直于x轴的直线
两点式 点P1(x1，y1)和点P2 (x2，y2 )
y y1 x x1 y1 y2 x1 x2
不垂直于x、y轴的直线
在x轴上的截距a
截距式 在y轴上的截距b
一般式 两个独立的条件
x y 1 不垂直于x、y轴的直线
ab
不过原点的直线
Ax By C 0 A、B不同时为零
提问：上述四种方程最终都是一个怎样的方程？
二、新知探究：
1、方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）叫做直线 方程的一般式，任何一条直线的方程不管是用点 斜式、斜截式、两点式还是截距式表示的，都可 以化成一般式。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3直线的一般式方程课件
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
思考
(1)平面上任意一条直线都可以用一个关于 x , y 的二元一次方程表示吗？
⑴倾斜角α≠90°，直线的斜率k存在，其方程 y－y0 = k（x－x0）是关于x,y的二元一次方程。
⑵倾斜角α=90°，直线的斜率k不存在，其方程为 ｘ=ａ，可以看成是关于x,y的二元一次方程（y的 系数为0）。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一程，并把它化成一
般式： 1.过点A(6,-4),斜率为-
y43+;4=-43(x-6)4x+3y-12=0
2.经过点P(3,-2),Q(5,-4);
-y4++22=x5--33x+y-1=0
3.在x轴,y轴上的截距分别是
直角坐标系是把方程和直线联系起来的桥梁，这 是笛卡尔的伟大贡献。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
课堂小结
1、直线方程的一般式Ax+By+c=0（A，B不同时为 零）的两方面含义：
(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程。 (2)关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
探 究 (1)在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线：平行于x轴？
y
l
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
O
x
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
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1．直线3x ＋y ＋6＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则( )
A ．k ＝3，b ＝6
B ．k ＝－3，b ＝－6
C ．k ＝－3，b ＝6
D ．k ＝3，b ＝－6
解析：选B.化为斜截式，得y ＝－3x －6，
∴k ＝－3，b ＝－6，故选B.
2．若直线l 的一般式方程为2x －y ＋1＝0，则直线l 不经过( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D.直线方程变为y ＝2x ＋1，直线经过第一、二、三象限．
3．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率是( )
A.13
B ．－13
C ．－3
D ．3
解析：选B.把点(1，－1)代入方程ax ＋3my ＋2a ＝0得a ＝m ，∴直线方程为mx ＋3my ＋2m ＝0.
∵m ≠0，∴其斜率为－13
，故选B. 4．(2013·芜湖高一测评)直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为135°，则a 、b 满足( )
A ．a ＋b ＝1
B ．a －b ＝1
C ．a ＋b ＝0
D ．a －b ＝0
解析：选D.当直线的倾斜角为135°时，直线的斜率为－1，将直线方程化为y ＝－a b x －c b
，则其斜率k ＝－a b
＝－1，所以a －b ＝0，故选D. 5．点M (x 0，y 0)是直线Ax ＋By ＋C ＝0上的点，则直线方程可表示为( )
A ．A (x －x 0)＋
B (y －y 0)＝0
B ．A (x －x 0)－B (y －y 0)＝0
C ．B (x －x 0)＋A (y －y 0)＝0
D ．B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0
解析：选A.∵M (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，∴Ax 0＋By 0＋C ＝0，∴C ＝－Ax 0－By 0，
代入方程Ax ＋By ＋C ＝0得Ax －Ax 0＋By －By 0＝0，即A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0.
6．过点A (－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为________________． 解析：由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，
将点A (－1,3)代入可得m ＝7，
所以所求直线的方程为x －2y ＋7＝0.
答案：x －2y ＋7＝0
7．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围为________． 解析：方程可化为y ＝(3－2t )x －6，
∵直线不经过第一象限，
∴3－2t ≤0，得t ≥32
. 答案：⎣⎡⎭
⎫32，＋∞ 8．(2013·银川高一检测)直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角是45°，则实数m 的值为________．
解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，m 2－4≠0.∴m ＝3.
答案：3
9．已知直线l 1为x 2－2y 3
＝1，求过点(1,2)并且纵截距与直线l 1的纵截距相等的直线l 的方程．
解：∵l 1的方程可化为x 2＋y －32
＝1， ∴直线l 1的纵截距为－32
. 设直线l 的方程为x a ＋y －32
＝1，即x a －2y 3＝1. 并且直线l 过点(1,2)，所以1a －2×23＝1，解得a ＝37
. 因此直线l 的方程为7x 3－2y 3
＝1，即7x －2y －3＝0. 10．已知两直线方程l 1：mx ＋2y ＋8＝0和l 2：x ＋my ＋3＝0，当m 为何值时：(1)两直
线互相平行？
(2)两直线互相垂直？
解：(1)当m ＝0时，l 1与l 2显然不平行．
当m ≠0时，l 1的斜率k 1＝－m 2
，在y 轴上的截距b 1＝－4， l 2的斜率k 2＝－1m ，在y 轴上的截距b 2＝－3m
. ∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，且b 1≠b 2，
即－m 2＝－1m ，且－4≠－3m
， ∴m ＝±2.
综上可知，当m ＝±2时，两直线互相平行．
(2)当m ＝0时，l 1显然与l 2垂直．
当m ≠0时，l 1的斜率为k 1＝－m 2
， l 2的斜率为k 2＝－1m
. ∵l 1⊥l 2，∴－m 2·(－1m
)＝－1，此时无解． 综上可知，当m ＝0时，两直线垂直．。