概率论与数理统计-浙江大学数学系.

1 记 ij , ——总平均 rs i 1 j 1
r
s
1 s i ij , i 1,..., r, s j 1 1 r j ij , j 1,..., s, r i 1
i i , ——水平Ai的效应，i 1,..., r , j j , ——水平B j的效应，j 1,..., s.
X 11
B2
X 12 X 22
A1
... ... ... ...
Bs
X 1s
...
Ar
A2
X 21
...
X r1
...
Xr2
...
X rs
6
X 2s
设 X ij ij ij , ij ~ N (0, 2 ), 各 ij 独立， i 1,..., r , j 1,..., s. ij , 2均为未知参数.
当因子A与因子B对响应有交互作用时， X ijk i j （） ij ijk , ijk ~ N (0, 2 ), 各 ijk 独立， i 1,..., r , j 1,..., s, k 1,..., t. 交互效应模型 r s r s i 0, j 0，（ ） （） ij 0, ij 0. i 1 j 1 i 1 j 1 2 , i , j（ , ） ij , 均未知. 模型可写成
i i , ——水平Ai的（主）效应，i 1,..., r , j j , ——水平B j的（主）效应，j 1,..., s.
则
r s

i 1
i
0,

j 1
j
0.
3
若上式不成立，
现ij i （ ）不一定成立 j i 1,..., r, j 1,..., s
§7.4 双因子试验的方差分析
例1 农业生产中需要同时研究肥料和种子品种
对农作物产量的影响。这样的问题就存在两个因
子：一个因子是肥料的种类，一个因子是种子的 品种。它们两者同时影响着农作物的产量。 ---双因子试验”。
1
一、双因子等重复试验的统计模型
因子A有r个水平A1 , A2 , , Ar， 因子B有s个水平B1 , B2 , , Bs . 现对因子A，B的水平的每对组合( Ai , B j ) i 1,
则

i 1
r
i
0,

j 1
s
j
0.
7
注意到现在不存在交互作用，故 （） i 1,..., r, j 1,..., s. ij 0,
即 ij i j , i 1,..., r, j 1,..., s.
模型可写成 X ijk i j ij , 2 ij ~ N (0, ), 各 ij 独立， i 1,..., r , j 1,..., s. r s i 0, j 0. i 1 j 1 2 , i , j , 均未知.
A1
... ... ... ...
Bs
X 1s1 , X1s 2 , ..., X 1st X 2 s1 , X 2 s 2 , ..., X 2 st
...
Ar
A2
...
...
...
X r11 , X r12 , ..., X r1t
X r 21 , X r 22 , ..., X r 2t
X rs1 , X rs 2 , ..., X rst
得到如下结果：
因素B
, r; j 1,
, s
（称为水平组合）都作t (t 2源自文库次试验（称为等重复试验），
因素A
B1
X 111 , X112 , ..., X 11t X 211 , X 212 , ..., X 21t
B2
X 121 , X122 , ..., X 12t X 221 , X 222 , ..., X 22t
5
二、 可加效应模型的统计分析
因素A有r个水平A1 , A2 , 因素B有s个水平B1 , B2 , , Ar， , Bs .
现对因素A，B的水平的每对组合( Ai , B j ) i 1,
因素B
, r; j 1,
, s
只作一次试验（此时无法分离交互作用与误差），得到如下结果
因素A
B1
记 （） ij ij i j , ——水平Ai 和水平B j的交互效应, i 1,..., r , j 1,..., s. 易证 （） ij 0,
i 1 r
（） 0.
j 1 ij
s
当（） ij＝0对于一切的i 1,..., r , j 1,..., s都成立时， 称因子A与因子B对响应无交互作用，否则称有交互作用。 当因子A与因子B对响应无交互作用时， 模型可写成 X ijk i j ijk , ijk ~ N (0, 2 ), 各 ijk 独立， i 1,..., r , j 1,..., s, k 1,..., t. 称为可加（主）效应模型 r s i 0, j 0. i 1 j 1 4 2 , i , j , 均未知.
2
设 X ijk ij ijk , ijk ~ N (0, 2 ), 各 ijk 独立， i 1,..., r , j 1,..., s, k 1,..., t. ij , 2均为未知参数.
1 r s 记 ij , ——总平均（一般平均） rs i 1 j 1 1 s 1 r i ij , i 1,..., r, j ij , j 1,..., s, s j 1 r i 1