公式与函数(5-1~5-4)解读
高一数学第五章函数知识点
高一数学第五章函数知识点函数是数学中一种重要的概念，广泛应用于各个领域。
在高中数学的学习中，函数是其中的一个重要内容。
本文将介绍高一数学第五章函数的知识点，包括函数的定义、函数的性质、函数的图像、函数的运算等内容。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一一个元素上。
具体而言，如果存在一个集合A和一个集合B，对于集合A中的任意一个元素a，都存在一个集合B中的唯一元素b与之对应，那么我们就说集合A与集合B之间存在一个函数。
函数通常用符号f来表示，表示为f：A→B。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有与自变量对应的值的集合，而值域是指函数所有可能的取值的集合。
2. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域内的取值随自变量的增大或减小而增大或减小。
3. 奇偶性：如果对于函数中的任意一个x值，都有f(-x)=f(x)，那么函数是偶函数；如果对于函数中的任意一个x值，都有f(-x)=-f(x)，那么函数是奇函数。
4. 周期性：如果存在一个正数T，对于函数中的任意一个x值，都有f(x+T)=f(x)，那么函数具有周期性。
三、函数的图像函数的图像是用来描述函数关系的一种方法。
在平面直角坐标系中，我们可以通过绘制函数的图像来研究函数的性质。
函数图像的特点包括：在平面直角坐标系中，函数图像是一条曲线；曲线上的每个点都对应着函数中的一个值对（x，y）；曲线的形状可以反映函数的单调性、奇偶性等。
四、函数的运算1. 四则运算：对于给定的两个函数f(x)和g(x)，我们可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
加法和减法的运算规则与常规数的加减法类似，乘法和除法运算需要遵循特定的规则。
2. 复合函数：对于给定的函数f(x)和g(x)，我们可以通过将函数g(x)的输出作为函数f(x)的输入来构造一个新的函数。
复合函数的定义为(f ∘ g)(x) = f(g(x))。
3. 反函数：如果一个函数f(x)满足任意两个不同的自变量x1和x2，都有f(x1)≠f(x2)，那么我们称函数f(x)为可逆的，并将f(x)的逆函数记为f^{-1}(x)。
函数公式中文解释大全
函数公式中文解释大全在数学中，函数公式是一个重要的概念，用于描述数学对象之间的关系。
通过使用符号、数字和运算符等元素，函数公式可以表达数学中的各种关系和规律。
在本文中，我们将为您详细介绍函数公式中常见的各种术语及其中文解释。
一、基本概念1. 函数 (Function): 函数是一种特殊的关系，它把一个集合的元素（称为"输入"或"自变量"）映射到另一个集合的元素（称为"输出"或"因变量"）。
函数通常用 f(x) 或 y = f(x) 表示。
2. 自变量 (Independent variable): 自变量是函数中的输入变量，它的取值不依赖于其他变量。
在函数公式中常用字母 x 表示自变量。
3. 因变量 (Dependent variable): 因变量是函数中的输出变量，它的取值依赖于自变量的取值。
在函数公式中常用字母 y 表示因变量。
4. 输入 (Input): 输入是指自变量的取值，通过输入可以确定函数的输出。
输入也可以是多个自变量的组合。
5. 输出 (Output): 输出是指函数对于给定输入的结果，它是因变量的取值。
输出也可以是多个因变量的组合。
6. 范围 (Range): 范围是函数输出的所有可能取值的集合。
范围也称为函数的"值域"。
7. 定义域 (Domain): 定义域是函数输入的所有可能取值的集合。
在一些情况下，函数可能只对特定范围的输入有效。
二、常见函数类型1. 线性函数 (Linear function): 线性函数是形如 y = ax + b 的函数，其中 a 和 b 是常数。
它的图像是一条直线，具有固定的斜率和截距。
2. 二次函数 (Quadratic function): 二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c的函数，其中 a、b 和 c 是常数。
它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
高中数学函数部分的知识点详解
高中数学函数部分的知识点详解高中数学函数部分的知识点详解高中数学函数部分的知识点1. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像（或方程曲线的对称性）(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;数学学习的基本方法学习数学不仅要有强烈的学习愿望和学习热情，而且还要有科学的学习方法，才可能把数学学好。
从分析数学学习活动可知，学习方法既受课堂教学的制约，又具有自身的一些特点。
高中数学必修1、2、3、4、5公式及知识点总结大全
1 2)(x 是偶函数； )(x f 是奇函数。
3）.(0,1,0)a a N >≠>. 1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).).).二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量4、同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin . 5、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；αππ±+2k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．6、和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.7、二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.公式变形： ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+=sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2xk k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函 数性 质9、辅助角公式（化一公式）)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中ab =ϕtan 10.正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=11.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.12.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.13、三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 14、a 与b 的数量积(或内积)θcos ||||b a b a ⋅=⋅15、平面向量的坐标运算(1)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则b a ⋅=2121y y x x +. (3)设a =),(y x ，则22y x a +=16、两向量的夹角公式设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且0≠b ，则121cos ||||x a ba b x θ⋅==⋅+a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).17、向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0b a //⇔a b λ= 12210x y x y ⇔-=.)0(≠⊥a b a ⇔0=⋅b a 12120x x y y ⇔+=.*平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212x x y y +.三、数列18、数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).19、等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；20、等差数列其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 21、等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 22、等比数列前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或 11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.四、不等式23、xy y x ≥+2。
高一数学公式及理解知识点
高一数学公式及理解知识点一、一次函数1. 定义：一次函数是指函数的自变量的最高次数为1的函数。
2. 公式：y = kx + b，其中k和b为常数，k为斜率，b为截距。
3. 理解知识点：- 斜率：代表了函数图像的倾斜程度，正值表示递增趋势，负值表示递减趋势，斜率为0表示水平线。
- 截距：代表函数与y轴的交点，y轴上的值。
二、二次函数1. 定义：二次函数是指函数的自变量的最高次数为2的函数。
2. 公式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。
3. 理解知识点：- 抛物线：二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的曲线，称为抛物线。
- 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h为x轴对称的值，k为抛物线的最值。
- 轴对称性：二次函数关于垂直于x轴的直线x = h对称。
三、三角函数1. 定义：三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数。
2. 常见三角函数：- 正弦函数（Sine function）：y = sin(x)- 余弦函数（Cosine function）：y = cos(x)- 正切函数（Tangent function）：y = tan(x)3. 理解知识点：- 周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
- 幅值：正弦函数和余弦函数的函数值介于-1和1之间，正切函数的函数值没有上下界。
- 正交性：在一个周期内，正弦函数和余弦函数是相互正交的。
四、概率与统计1. 定义：概率与统计是研究随机现象的规律性和统计规律的数学分支。
2. 知识点：- 事件与样本空间：事件是样本空间的子集，样本空间是所有可能结果的集合。
- 随机变量：随机变量是样本空间到实数轴上的一个映射。
- 概率：概率是事件发生的可能性的度量，用一个介于0和1之间的数来表示。
五、立体几何1. 定义：立体几何是研究三维空间内图形的形状、大小、位置关系等的数学分支。
2. 知识点：- 体积：立体图形所占的三维空间的大小。
职高数学高一第四章知识点
职高数学高一第四章知识点第四章知识点一、函数的概念和基本性质函数是一种特殊的关系，它用来描述两个变量之间的依赖关系。
在数学中，常用字母y表示因变量，字母y表示自变量，函数可以用符号y = y(y)表示，其中y为函数名。
1. 定义和表示方法函数可以通过多种方式表示，包括用图像表示、用表格表示和用公式表示等。
- 图像表示：可以通过绘制函数的图像来表示函数。
- 表格表示：可以将自变量和对应的因变量值列成表格，便于观察函数的变化规律。
- 公式表示：可以用数学公式表示函数，例如y(y) = y^2表示一个关于y的平方函数。
2. 定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能的因变量值的集合。
在确定函数时，需要明确定义域和值域。
3. 函数的性质函数具有一些基本性质，包括单调性、奇偶性和周期性等。
- 单调性：函数可以是递增的（单调递增）或递减的（单调递减），也可以是不变的（常数函数）。
- 奇偶性：函数可以是奇函数（关于原点对称）或偶函数（关于y轴对称），也可以是既不奇也不偶的。
- 周期性：某些函数具有周期性，在一个周期内函数的值呈现重复性。
二、基本函数和常用函数1. 基本函数基本函数是一些最基础的函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
- 常数函数：函数的值始终为常数，例如y = 3。
- 幂函数：函数的定义域为实数集，形式为y = y^y，其中y为常数。
- 指数函数：函数的定义域为实数集，形式为y = y^y，其中y为正常数且y≠1。
- 对数函数：函数的定义域为正实数集，形式为y= yyyy(y)，其中y为正常数且y≠1。
- 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，函数的定义域为实数集。
2. 常用函数除了基本函数外，还有一些常用函数，如绝对值函数、分段函数、反函数等。
- 绝对值函数：函数的定义域为实数集，形式为y = |y|，表示自变量的绝对值。
- 分段函数：将定义域划分为不同的区间，每个区间使用不同的函数表达式。
函数常用公式及知识点总结
函数常用公式及知识点总结一、基本的函数类型及其表达式1. 线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式可以写成y = kx + b的形式，其中k和b是常数，k代表斜率，b代表截距。
线性函数的图像通常是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线和y轴的交点位置。
2. 二次函数二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数。
二次函数的图像通常是一条开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负。
3. 指数函数指数函数的一般形式是y = a^x，其中a是底数。
指数函数的特点是以指数形式增长或衰减，当底数a大于1时，函数图像呈现增长趋势；当底数a介于0和1之间时，函数图像呈现衰减趋势。
4. 对数函数对数函数的一般形式是y = log_a(x)，其中a是底数。
对数函数和指数函数是互为反函数的关系，对数函数的图像通常是一条斜率逐渐趋近于零的曲线。
5. 三角函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示了角的正弦值、余弦值和正切值。
三角函数的图像是周期性的波形，具有很强的周期性和对称性特点。
二、函数的常见性质和变换1. 奇偶性函数的奇偶性是指当x取相反数时，函数值是否相等。
如果函数满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
2. 周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性。
对于三角函数和指数函数等周期函数，周期可以通过函数表达式或图像来确定。
3. 平移、缩放和翻转函数可以通过平移、缩放和翻转等方式进行变换。
平移指的是将函数图像沿着x轴或y轴进行平移，缩放指的是改变函数图像的大小或形状，翻转指的是将函数图像进行对称变换。
4. 复合函数复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，通过这种方式可以得到新的函数。
复合函数的求导、积分和求极限等运算与单个函数类似，但需要注意变量的替换和链式求导法则。
函数的概念与性质(公式、定理、结论图表)高考数学必背知识手册
第三章函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）1．函数的概念定义一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数三要素对应关系y ＝f (x )，x ∈A定义域自变量x 的取值范围值域与x 的值相对应的y 的函数值的集合{f (x )|x ∈A }思考1：(1)有人认为“y ＝f (x )”表示的是“y 等于f 与x 的乘积”，这种看法对吗？(2)f (x )与f (a )有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x )外，还常用g (x )，F (x )，G (x )等来表示函数．(2)f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示定义R{x |x ≥a }{x |x ＞a }{x |x ≤a }{x |x ＜a }符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．3.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x 0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．4.分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．5．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时都有f (x 1)＜f (x 2)都有f (x 1)＞f (x 2)结论那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x 1，x 2有什么特征？提示：定义中的x 1，x 2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．思考2：函数y ＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．6.函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 是函数y ＝f (x )的最大值M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标思考：若函数f (x )≤M ，则M 一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x 0，使f (x 0)＝M 时，M 才是函数的最大值，否则不是．7.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I结论f (－x )＝f (x )f (－x )＝－f (x )图象特点关于y 轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称．8．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．9．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图所示：10．幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x ∈[0，＋∞)时，增函数x ∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x ∈(0，＋∞)时，减函数x ∈(－∞，0)时，减函数11.常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝f1(x)，x∈D1f2(x)，x∈D2……fn(x)，x∈D n<解题方法与技巧>1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]3.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.典例2：设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.4.求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.典例3：1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．5.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x))的形式时，应从内到外依次求值．6.．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．典例4：求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．x－1≠0，2x＋1≥0，x＋1≠0，解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．3－x≥0，x－1≥0，解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x x＋1≠0，1－x≥0，解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．已知函数f(x x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2<x<2，2x－1，x≥2.(1)求f(－5)，f(－3)，f f －52的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f －52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴f f －52－32＝－32＋2×－32＝94－3＝－34.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.7.利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.典例5：证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．[思路点拨]设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2)――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数[证明]设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1x 2＋1x 2＝(x 1－x 21x 1－1x 2x 1－x 2)＋x 2－x1x 1x 2＝(x 1－x 2)1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．8.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.典例6：(1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨](1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→求a 的范围(2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→求x 的范围(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)[(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4.∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，∴2x －3>5x －6，即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]9．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．典例7：已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解](1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f(4)＝2×4＋14＋1＝95.10.解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.典例8：一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y －x2＋32x－100，0<x≤20，160－x，x>20(x∈N*)．(2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．11.巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.典例9：已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.典例10：函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f (1)<f 52<72B．f 72<f (1)<52C．f 72<f 52f (1)D．f 52<f (1)<72[思路点拨]y ＝f (x ＋2)是偶函数―→f (x )的图象关于x ＝2对称――→[0，2]上递增比较大小B [∵函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴52f 32f 72＝12，又f (x )在[0,2]上单调递增，∴f 12<f (1)<3272f (1)<5213.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例11：(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f 12(1)B (2)13[(1)∵y ＝1x2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，∵f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴12＝12log 23＝13.]14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断.典例12：点(2，2)与点－2，－12f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．。
函数公式基础
函数公式基础函数公式作为数学中的重要工具，被广泛应用于各个领域，如物理、经济、计算机科学等。
它们能够描述数学关系，解决实际问题，并为科学研究提供了有力的工具。
本文将从函数公式的定义、性质以及应用等方面进行探讨，以帮助读者对函数公式有更深入的理解。
一、函数公式的定义函数公式可以看作是数学中一种特殊的关系表达方式。
通常情况下，函数公式由自变量和因变量之间的关系构成。
其中，自变量是输入值，而因变量则是输出值。
函数公式的一般形式可以表示为：y = f(x)。
其中，y表示因变量，x表示自变量，f表示函数。
函数公式的定义包括以下几个要素：定义域、值域、图像以及性质。
其中，定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围，图像则是函数公式在坐标系中的表现形式。
函数公式的性质包括奇偶性、单调性、极值、周期性等。
二、函数公式的性质1. 奇偶性：函数公式可以分为奇函数和偶函数。
如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数。
2. 单调性：函数公式可以是递增的或递减的。
如果对于任意x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)是递增函数；如果对于任意x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)是递减函数。
3. 极值：函数公式在定义域内可以有极大值或极小值。
极大值是指函数在该点的值比其邻近点的值都大，极小值则是指函数在该点的值比其邻近点的值都小。
4. 周期性：函数公式可以具有周期性。
如果对于任意x，有f(x + T) = f(x)，其中T为正数，则函数f(x)是周期函数，且T为函数的周期。
三、函数公式的应用函数公式在各个领域中有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用案例：1. 物理学中的运动学公式：如位移公式、速度公式、加速度公式等，它们可以用函数公式来描述物体在运动过程中的位移、速度和加速度之间的关系。
420个函数公式释义以及实例
1. 引言在数学领域，函数是一个非常重要的概念，被广泛应用于数学理论、物理学、工程学等各个领域。
函数的定义和性质对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将对420个函数公式进行详细释义，并提供实例进行说明，以便读者对函数概念有更深入的了解。
2. 基本概念函数是一个对应关系，它将一个或多个输入值映射到唯一的输出值。
函数通常用f(x)来表示，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。
函数在数学中有着丰富的性质和应用，因此学习和理解函数的公式和性质是十分重要的。
3. 常见函数类型(1) 线性函数线性函数的一般形式为y=ax+b。
其中，a和b都是常数，a表示斜率，b表示截距。
线性函数的图像是一条直线，它的特点是斜率恒定。
实例：y=2x+3(2) 二次函数二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c都是常数且a≠0。
它的图像是抛物线，开口方向由a的正负性决定。
实例：y=x^2+2x+1(3) 指数函数指数函数的一般形式为y=a^x。
其中，a为底数，x为指数。
指数函数的图像呈现出指数增长或指数衰减的趋势。
实例：y=2^x(4) 对数函数对数函数的一般形式为y=logₐx。
其中，a为底数，x为真数。
对数函数的图像呈现出对数增长或对数衰减的特点。
实例：y=log₂x(5) 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们与角度的正弦、余弦、正切值相关。
实例：y=sin(x)4. 其他常用函数公式(1) 绝对值函数：y=|x|(2) 反比例函数：y=k/x(3) 求和函数：y=f(x)+g(x)(4) 求积函数：y=f(x)g(x)(5) 最大值函数：y=max{f(x),g(x)}(6) 最小值函数：y=min{f(x),g(x)}5. 函数的性质函数具有许多重要的性质，包括奇偶性、周期性、单调性、极值、零点等。
理解函数的性质有助于深入理解函数的行为和特点，有利于解决实际问题。
6. 函数公式的应用函数公式在实际问题中有着广泛的应用，例如在物理学中描述物体的运动规律、在经济学中描述供求关系、在工程学中描述信号处理等。
函数加减乘除运算公式
函数加减乘除运算公式一、函数加法运算公式在数学中，函数加法是指两个或多个函数进行相加。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则函数加法的运算公式为：（f+g）(x)=f(x)+g(x)例如，如果f(x)=2x+3，g(x)=3x-4，那么函数加法的运算结果为：（f+g）(x)=(2x+3)+(3x-4)=2x+3x+3-4=5x-1二、函数减法运算公式函数减法是指两个函数相减的运算方式。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则函数减法的运算公式为：（f-g）(x)=f(x)-g(x)例如，如果f(x)=2x+3，g(x)=3x-4，那么函数减法的运算结果为：（f-g）(x)=(2x+3)-(3x-4)=2x+3-3x+4=-x+7三、函数乘法运算公式函数乘法是指两个函数相乘的运算方式。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则函数乘法的运算公式为：（f*g）(x)=f(x)*g(x)例如，如果f(x)=2x+3，g(x)=3x-4，那么函数乘法的运算结果为：（f*g）(x)=(2x+3)*(3x-4)=2x*3x+2x*(-4)+3*3x+3*(-4)=6x^2-8x+9x-12=6x^2+x-12四、函数除法运算公式函数除法是指两个函数相除的运算方式。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则函数除法的运算公式为：（f/g）(x)=f(x)/g(x)然而，函数除法在数学中并不常见。
因为两个函数相除的结果并不一定是一个函数，有时甚至无法得到解析表达式。
因此，函数除法在实际应用中较少使用。
综上所述，函数加减乘除运算是数学中常见的运算方式，用于计算数值的加、减、乘、除等基本运算。
这些运算公式帮助我们分析和计算函数之间的关系，从而更好地理解和应用数学知识。
函数知识点与公式总结
函数知识点与公式总结一、函数的定义和性质函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个集合的元素对应到另一个集合的元素。
一个简单的函数可以用如下的记号来表示：f：X→Y，表示一个函数f从集合X到集合Y的映射关系。
其中，X称为定义域，Y称为值域。
函数的性质：1. 定义域和值域：定义域是指函数的输入可以取的值的集合，值域是函数的输出可以取的值的集合。
2. 单调性：函数的单调性是指在定义域内，函数的增减趋势。
可以分为递增和递减两种情况。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数的图像是否关于原点对称。
如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=f（x），那么函数是偶函数；如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=-f（x），那么函数是奇函数。
4. 周期性：函数的周期性是指函数在一定范围内具有重复的性质。
5. 函数的图像：函数的图像是函数在直角坐标系中的点的集合，描述了函数的性质和特点。
二、常见的函数公式1. 线性函数线性函数是指函数的图像是一条直线的函数。
线性函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b 是常数，a称为斜率，b称为截距。
2. 二次函数二次函数是指函数的图像是一个抛物线的函数。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a≠0。
3. 指数函数指数函数是以常数e为底数的幂函数，一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
4. 对数函数对数函数是指以常数a为底数的对数函数，一般形式为y=log_a(x)，其中a为底数，x为真数。
5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们描述了角度和弧度之间的关系。
6. 反比例函数反比例函数是指函数的图像是一条反比例曲线的函数，一般形式为y=k/x，其中k是常数。
7. 绝对值函数绝对值函数的一般形式为y=|x|，它表示x的绝对值，即x的正数部分。
8. 分段函数分段函数是指在定义域的不同区间上有不同函数式的函数，一般形式为f(x)=```{g(x)，a≤x≤bh(x)，b＜x＜c}```9. 复合函数复合函数是指一个函数的自变量（或生成元素）是另一个函数的值域，即f[g(x)]，表示函数f和g的复合。
新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质 知识点易错点解题方法提炼汇总
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示............................................................................................. - 1 -3.1.1函数的概念.................................................................................................. - 1 -3.1.2函数的表示法(1) ......................................................................................... - 7 -3.1.2函数的表示法(2) ....................................................................................... - 13 -3.2函数的基本性质................................................................................................... - 18 -3.2.1单调性与最大(小)值(1) ............................................................................. - 18 -3.2.1单调性与最大(小)值(2) ............................................................................. - 22 -3.2.2奇偶性 ....................................................................................................... - 29 -3.3幂函数 .................................................................................................................. - 35 -3.4函数的应用(一) .................................................................................................... - 40 - 3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念知识点一函数的概念y＝x中x与y的对应关系，和y＝x2x中x与y的对应关系相同吗？知识梳理(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．值域是由定义域和对应关系决定的．(3)相同函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．知识点二区间的概念知识梳理(1)一般区间的表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间定义区间数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x＜b}(－∞，b)R(－∞，＋∞)解题方法探究探究一函数关系的判断[例1](1)下列集合A到集合B的对应f是函数的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值[解析]按照函数定义，选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C，元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义中集合A中的任意元素都对应唯一函数值的要求，只有选项A符合函数定义．[答案] A(2)下列图形中，不能确定y是x的函数的是()[解析]任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．[答案] D1．判断一个对应是否是函数的方法2．根据图形判断对应是否为函数的步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．如图所示：探究二求函数的定义域[例2](1)函数y＝21－1－x的定义域为()A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．[1，＋∞)(2)已知函数y ＝f (x )与函数y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，则函数y ＝f (x )的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，1](3)函数y ＝(x ＋1)0|x |－x 的定义域是( )A ．{x |x ＞0}B ．{x |x ＜0}C ．{x |x ＜0，且x ≠－1}D ．{x |x ≠0，且x ≠－1}(4)已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为________．[解析] (1)由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0解得⎩⎨⎧x ≤1，x ≠0.故选B.(2)由于y ＝f (x )与y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，故二者定义域相同，所以y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤1}．写成区间形式为[－3,1]．故选A.(3)∵⎩⎨⎧ x ＋1≠0，|x |－x ＞0，∴⎩⎨⎧ x ≠－1，|x |＞x ，∴⎩⎨⎧x ≠－1，x ＜0.故选C.(4)由题意知0＜y ＜10，即0＜10－2x ＜10，解得0＜x ＜5.又底边长y 与腰长x 应满足2x ＞y ，即4x ＞10，x ＞52.综上，52＜x ＜5.[答案] (1)B (2)A (3)C (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全．(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式． (3)一般地，形如y ＝f (x )，则f (x )≥0， 形如y ＝1f (x )，则f (x )≠0，形如y ＝(f (x ))0，则f (x )≠0.探究三 求函数值问题 [例3] [教材P 65例2拓展探究] (1)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，求f (f (－3))的值． [解析] ∵f (－3)＝－1. ∴f (f (－3))＝f (－1)＝－1＋3＋1－1＋2＝2＋1. (2)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，求f (x －1)的定义域． [解析] 法一：f (x －1)＝x －1＋3＋1x －1＋2＝x ＋2＋1x ＋1∴⎩⎨⎧ x ＋2≥0，x ＋1≠0， ∴⎩⎨⎧x ≥－2，x ≠－1.定义域为[－2，－1)∪(－1，＋∞)．法二：∵f (x )的定义域为{x |x ≥－3且x ≠－2}， ∴f (x －1)的定义域为x －1≥－3且x －1≠－2. 即{x |x ≥－2且x ≠－1}． (3)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，设g (x )＝x 2－3，求f [g (x )]． [解析] 首先g (x )≥－3，且g (x )≠－2， 即x 2－3≥－3且x 2－3≠－2， ∴x ≠±1.∴f [g (x )]＝g (x )＋3＋1g (x )＋2＝x 2＋1x 2－1＝|x |＋1x 2－1.∴f [g (x )]＝|x |＋1x 2－1(x ≠±1)．函数求值的方法及关注点(1)方法：①求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．易错点归纳一、抽象函数有“据”可依——抽象函数的定义域问题、求值问题所谓抽象函数，是指明显、具体的给出x与y之间的关系，只是借用函数符号来表达，指明了一些性质的函数．1．定义域问题求抽象函数定义域的原则及方法(1)原则：同在对应法则f下的范围相同，即f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)的范围相同．(2)方法：①已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)∈A，求x的范围；②已知f(g(x))的定义域为A，求f(x)的定义域，其实质是已知x∈A，求g(x)的范围，此范围就是f(x)的定义域．[典例](1)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2＋1)的定义域；(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，求f(1－3x)的定义域．[解析](1)因为函数f(x2＋1)中的x2＋1相当于函数f(x)中的x，所以0≤x2＋1≤1，即－1≤x2≤0，所以x＝0，故f(x2＋1)的定义域为{x|x＝0}．(2)因为f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x＜1，所以－1≤2x－1＜1.故f(x)的定义域为[－1,1)，所以－1≤1－3x＜1.解得0＜x≤23，所以f(1－3x)的定义域为⎝⎛⎦⎥⎤0，23.2．求值问题充分利用所给函数的性质或者特征，结合已知值，采用赋值法．[典例]定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f (－3)等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] f (1)＝f (1＋0)＝f (1)＋f (0)＋2×1×0＝f (1)＋f (0)，得f (0)＝0；又f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1＝f (－1)＋2－2＝f (－1)，得f (－1)＝0；f (－2)＝f (－1－1)＝2f (－1)＋2×(－1)2＝2×0＋2＝2；f (－3)＝f (－2－1)＝f (－2)＋f (－1)＋2×(－2)×(－1)＝2＋0＋4＝6. [答案] C点评 求解此类问题时要灵活选择赋值量，反复运用已知关系式． 二、求定义域时盲目化简[典例] 求函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．[解析] 要使函数有意义，须⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，得x ≤1且x ≠－1定义域为(－∞，－1)∪(－1,1]．纠错心得 从表达式特征上看，似乎将函数式化简为y ＝x ＋1－1－x ，求定义域更简单.1－x ≥0得x ≤1.这已经破坏了函数的概念．求定义域务必是针对原函数而求，化简也是定义域内保持等价才可以．3.1.2 函数的表示法(1)知识点 函数的三种表示方法比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？知识梳理 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系． 这三种方法是常用的函数表示法．解题方法探究探究一列表法表示函数[例1](1)某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：(2)下表表示函数y＝f(x)，则f(x)＞x的整数解的集合是________.(3)如表：则方程g(f(x))＝x[解析](1)观察表格可知，自变量(行进的站数)为7时函数的值为1.5，所以此人乘车的票价应为1.5元．(2)当0＜x＜5时，f(x)＞x的整数解为{1,2,3}．当5≤x＜10时，f(x)＞x的整数解为{5}．当10≤x＜15时，f(x)＞x的整数解为∅.当15≤x＜20时，f(x)＞x的整数解为∅.综上所述，f(x)＞x的整数解的集合是{1,2,3,5}．(3)当x＝1时，f(x)＝2，g(f(x))＝2，不符合题意；当x＝2时，f(x)＝3，g(f(x))＝1，不符合题意；当x＝3时，f(x)＝1，g(f(x))＝3，符合题意，综上，方程g(f(x))＝x的解集为{3}．[答案](1)1.5(2){1,2,3,5}(3){3}列表法表示函数的相关问题的解法解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．探究二函数的图象及应用[例2](1)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳[解析]2016年8月到9月，10月到11月等是逐月下降的，故A错．[答案] A(2)已知二次函数y＝－x2＋4x－3.①指出该函数图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、与坐标轴的交点的坐标，并画出函数图象的草图．②说明其图象由y＝－x2的图象经过怎样平移得来的．③当定义域为[0,3]时，结合该二次函数图象求该函数的值域．[解析]①y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，图象的开口向下，对称轴方程为x ＝2，顶点坐标为(2,1)．令y＝0解得，x＝1或x＝3，所以此函数图象与x轴相交于点(1,0)和(3,0)，令x＝0解得，y＝－3，所以此函数图象与y轴相交于点(0，－3)，画出此函数的图象，如图所示：②由y＝－x2的图象向右平移2个单位长度，得函数y＝－(x－2)2的图象，再向上平移1个单位长度，得函数y＝－(x－2)2＋1的图象．③画出函数y＝－x2＋4x－3，x∈[0,3]的图象，如图所示，观察图象可知该函数的值域为[－3,1]．作函数图象的基本步骤利用图象认识函数左右看范围→函数的定义域上下看范围→函数的值域左右看变化→函数值随x的变化情况探究三求函数解析式[例3](1)(待定系数法)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)．[解析]设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，∴k2x＋kb＋b＝16x－25.∴⎩⎨⎧k 2＝16，kb ＋b ＝－25， ∴⎩⎨⎧k ＝4，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝253.∴f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253.(2)换元法(或配凑法)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．[解析] 法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二(配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1. 因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (3)(方程组法)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )． [解析] ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，① ∴将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .② ∴由①②得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x .求函数解析式的方法易错点归纳一、一“图”胜万言——函数图象的应用[典例] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则b 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)[解析] 法一：由f (x )的图象知点(0,0)，(1,0)，(2,0)在图象上，得⎩⎨⎧d ＝0，a ＋b ＋c ＝0，8a ＋4b ＋2c ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝－3a ，c ＝2a ，d ＝0.∴f (x )＝ax 3－3ax 2＋2ax . 又由图象知f (－1)＜0，∴－a －3a －2a ＜0⇒a ＞0，则b ＝－3a ＜0. 故选A.法二：由三次函数f (x )的图象过(0,0)，(1,0)，(2,0)点，可设f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax .又∵f (3)＞0，得6a ＞0⇒a ＞0， ∴b ＝－3a ＜0.故选A. [答案] A二、忽视新元的范围 [典例] 已知f (x 2＋1)＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式． [解析] 设t ＝x 2＋1， ∴t ≥1， ∴x 2＝t －1，∴f (t )＝t －1＋1t ， ∴f (x )＝x ＋1x －1(x ≥1)．纠错心得 此题用换元法或配凑法求出f (x )后，易丢定义域的证明(x ≥1)．3.1.2 函数的表示法(2)知识点 分段函数 预习教材，思考问题函数y ＝|x |在x ≥0与x ＜0时的解析式相同吗？知识梳理 如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．解题方法探究探究一 分段函数的定义域、值域及求值问题 [例1] [教材P 68例6拓展探究](1)若已知函数M (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ≤－1，x ＋1，－1＜x ≤0，(x ＋1)2，x ＞0.求①M (－3)，②M (2)，③M [M (0)]，④f [M (－3)]，⑤F [M (a )]． [解析] ①当x ＝－3时，M (－3)＝(－3＋1)2＝4. ②当x ＝2时，M (2)＝(2＋1)2＝9. ③∵M (0)＝1，∴M [M (0)]＝M (1)＝(1＋1)2＝4. ④∵f (x )＝x ＋1，∴f [M (－3)]＝f (4)＝4＋1＝5. ⑤当a ≤－1时，M (a )＝(a ＋1)2， ∴f [M (a )]＝(a ＋1)2＋1.当－1＜a ≤0时，M (a )＝a ＋1， ∴f [M (a )]＝(a ＋1)＋1＝a ＋2. 当a ＞0时，M (a )＝(a ＋1)2， ∴f [M (a )]＝(a ＋1)2＋1.综上，f [M (a )]＝⎩⎨⎧(a ＋1)2＋1， a ≤－1，a ＋2， －1＜a ≤0，(a ＋1)2＋1， a ＞0.(2)∀x ∈R ，用m (x )表示f (x )、g (x )中的较小者，记为m (x )＝min {}f (x )，g (x ).求m (x )的解析式，并求m (x )的值域．[解析] 由(x ＋1)2＝x ＋1得x ＝－1或x ＝0，即函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象相交于两点(－1,0)和(0,1)． 结合f (x )与g (x )的图象得出 m (x )的解析式为m (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－1，(x ＋1)2，－1＜x ≤0，x ＋1， x ＞0，如图，值域为R .1．分段函数定义域、值域的求法(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集． (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集．2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决． 3．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．探究二 求分段函数解析式[例2] 如图①，在边长为6的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y .求：(1)y 与x 之间的函数关系式；(2)画出y ＝f (x )的图象．[解析] (1)按照题意，根据x 的变化，写出分段函数的解析式． 当点P 在线段BC 上移动时，即0＜x ≤6，BP ＝x ， 于是S △APB ＝12AB ·BP ＝12×6×x ＝3x ；当点P 在线段CD 上移动时，即6＜x ≤12，S △APB ＝12AB ·BC ＝12×6×6＝18； 当点P 在线段DA 上移动时，即12＜x ＜18，S △APB ＝12AB ·P A ＝12×6×(18－x )＝54－3x .于是y ＝⎩⎨⎧3x ，0＜x ≤6，18，6＜x ≤12，54－3x ，12＜x ＜18.(2)画出y ＝f (x )的图象，如图②所示．求分段函数解析式的关键点(1)明确自变量x 的分段区间及分段点．(2)明确每一段上的函数类型用待定系数法求.探究三 分段函数与方程、不等式[例3] (1)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x ＞2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.[解析] 当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)． 当x 0＞2时，f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 综上，x 0＝－6或x 0＝4. [答案] －6或4(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜43x ，x ≥4，，若f (a )＜－3，则a 的取值范围是________．[解析] 当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)； 当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3，此时不等式无解． 所以a 的取值范围是(－∞，－3)． [答案] (－∞，－3)由分段函数的函数值求自变量的方法已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．易错点归纳一、形分而神不分——分段函数问题的求解方法分段函数只是在自变量不同的范围下，有不同的解析式，但在定义域内，它还是一个函数，而不是多个函数，解决问题时，要“分段处理”，然后结果要合为一体．[典例] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ＞1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[解析] 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－a －1， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2. 因为f (1－a )＝f (1＋a )， 所以－1－a ＝3a ＋2， 所以a ＝－34.当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1 所以a ＝－32(舍去)． 综上所述，a ＝－34.[答案] －34 二、不分类讨论致错[典例] 若函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，－1≤x ≤2，x －3，2＜x ≤5，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4[解析] 当－1≤x ≤2时，由f (x )＝1得， 3－x 2＝1，所以x ＝2或x ＝－2(舍去)． 当2＜x ≤5时，由f (x )＝1得，x －3＝1，所以x ＝4. 综上，f (x )＝1的解是x ＝2或x ＝4.[答案] C纠错心得解决分段函数求值问题，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x范围的并集，求值时要重视x的取值范围．如本例当－1≤x≤2时，求出x＝2或x＝－2，通过检验应舍去x＝－ 2.3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值(1)知识点函数的单调递增、单调递减对于函数f(x)＝x2，如何用符号语言描述？知识梳理(1)定义域为I的函数f(x)的增减性(2)①特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function)．②特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing function)．③如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．解题方法探究探究一 由函数图象求函数的单调区间[例1] 作出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并指出它的单调区间． [解析] 根据绝对值的意义，y ＝－x 2＋2|x |＋3 ＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ＋3，x ≥0－x 2－2x ＋3，x <0＝⎩⎨⎧－(x －1)2＋4，x ≥0－(x ＋1)2＋4，x <0. 作出函数图象如图所示，根据图象可知，函数在区间(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在区间(－1,0)，(1，＋∞)上是减函数．一般来说，求函数单调区间可以根据函数的图象．在某区间内，由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调减区间．探究二 函数单调性的证明或判断 [例2] [教材P 79例3拓展探究]根据定义证明y ＝x ＋1x 在(0,1)上是单调递减． [证明] ∀x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2，有 y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)．由于0＜x 1＜1,0＜x 2＜1.∴0＜x 1x 2＜1. ∴x 1x 2－1＜0. 又由x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0， ∴x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)＞0，∴y 1＞y 2，∴函数y ＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：探究三 利用单调性求参数[例3] 已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上单调递减，求a 的取值范围． [解析] 当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1在(－∞，2)上单调递减，符合题意； 当a ≠0时，要使f (x )在(－∞，2)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－－12a ≥2，解得0＜a ≤14.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.根据函数的单调性求参数取值范围的方法(1)利用单调性的定义：设单调区间内x 1＜x 2，由f (x 1)－f (x 2)＜0(或f (x 1)－f (x 2)＞0)恒成立求参数范围．(2)利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数．需注意：若一函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．易错点归纳一、单调性定义的拓展及规律1.f(x1)－f(x2)x1－x2＞0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)是增函数．2.f(x1)－f(x2)x1－x2＜0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)是减函数．3．f(x)在区间A上是单调函数，则k＞0时，kf(x)的单调性不变；k＜0时，则相反．4．f(x)，g(x)在区间A上同单调，则f(x)＋g(x)的单调性不变．5．若f(x)在区间A上是单调函数，则1f(x)的单调性相反，2nf(x)(f(x)＞0)、2n－1f(x)(n∈N*)的单调性相同．6．图象关于轴(与x轴垂直)对称的函数在它们的对称区间上的单调性相反，图象关于中心对称的函数在它们的对称区间上的单调性相同．[典例] 1.判定函数y＝x2－2x＋x－1的单调性，并求单调区间．[解析]定义域为x≥1，函数y1＝x2－2x，y2＝x－1均为增函数，则y＝x2－2x＋x－1也为增函数，则y＝x2－2x＋x－1的增区间为[1，＋∞)．2．定义在R上的函数f(x)，对任意的x1，x2∈R，(x1≠x2)有f(x2)－f(x1)x2－x1＜0，若a＋b≤0，则有()A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)[解析]由题意知，f(x)在R上为减函数．由题意知，a≤－b，b≤－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故选D.[答案] D二、对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误[典例]若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，求实数a 的取值范围．[解析]函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.因为函数的单调递减区间是(－∞，4]，所以1－a＝4，解得a＝－3.故实数a的取值范围是{－3}．纠错心得单调区间是一个整体概念，例如函数的单调减区间是I，指的是函数递减的最大范围是区间I，而函数在某一区间上的单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．3.2.1单调性与最大(小)值(2)知识点函数的最值(1)函数f(x)＝x2图象的最低点的纵坐标是多少？(2)函数f(x)＝－x2图象的最高点的纵坐标是多少？知识梳理几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标解题方法探究探究一利用图象法求函数的最值[例1]已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－x(0≤x≤2)，2x－1(x＞2)，求函数f(x)的最大值、最小值．[解析]作出f(x)的图象如图：由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝12时，f(x)取最小值为－14.所以f(x)的最大值为2，最小值为－14.用图象法求最值的三个步骤探究二利用单调性求最值[例2]求函数f(x)＝x2＋9－x，x∈[－4,0]的最大值和最小值．[解析]设x1，x2是[－4,0]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x21＋9－x1－x22＋9＋x2＝(x1－x2)(x1＋x2)x21＋9＋x22＋9＋x2－x1.∵－4≤x1＜x2≤0，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜0，x2－x1＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[－4,0]上是减函数．∴f(x)min＝f(0)＝3，f(x)max＝f(－4)＝9.利用单调性求最值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．探究三二次函数的最值问题[例3][教材P80例4拓展探究](1)已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.①当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值；②当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值；③当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．[解析]f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．①当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是单调递减的，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.②当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.又|－2－1|＞|3－1|，所以f(x)的最大值为f(－2)＝11.③a.当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.b ．当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时， f (x )在区间[t ，t ＋1]上先递减后递增，故当x ＝1时，f (x )取得最小值，此时g (t )＝f (1)＝2. c ．当t ＋1＜1，即t ＜0时，f (t )在[t ，t ＋1]上单调递减， 所以当x ＝t ＋1时，f (x )取得最小值， 此时g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋2，综上得，g (t )＝⎩⎨⎧t 2－2t ＋3，t ＞1，2，0≤t ≤1，t 2＋2，t ＜0.(2)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值． [解析] f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a . ①当a <0时，由图可知，f (x )min ＝f (0)＝－1， f (x )max ＝f (2)＝3－4a .②当0≤a ＜1时，由图可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2， f (x )max ＝f (2)＝3－4a .③当1≤a ≤2时，由图可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1. ④当a >2时，由图可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ， f (x )max ＝f (0)＝－1.(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.探究四 利用单调性比较大小、解不等式[例4] (1)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，对任意实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )．试比较f (1)，f (2)，f (4)的大小．[解析] 由题意知，f (x )的对称轴为x ＝2， 故f (1)＝f (3)． ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ，∴f (x )在[2，＋∞)上为增函数． ∴f (2)＜f (3)＜f (4)， 即f (2)＜f (1)＜f (4)．(2)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，求a 的取值范围．[解析] 由题意可得⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜2a －1＜1，解得0＜a ＜1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，∴1－a ＞2a －1，即a ＜23.② 由①②可知，0＜a ＜23， 即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.1．利用单调性比较大小的方法(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，即已知f (x )在区间D 上为增函数，则对x 1，x 2∈D ，x 1＜x 2⇔f (x 1)＜f (x 2)．(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x 的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去．2．利用函数单调性解不等式 与函数单调性有关的结论(1)正向结论：若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)；当x 1＞x 2时，f (x 1)＞f (x 2)；(2)逆向结论：若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当f (x 1)＜f (x 2)时，x 1＜x 2；当f (x 1)＞f (x 2)时，x 1＞x 2.当y ＝f (x )在给定区间上是减函数时，也有相应的结论．易错点归纳一、抽象函数单调性及最值的求解抽象函数一般由方程(不等式)确定，这类函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要注意运用好所给条件，判断出函数值之间的关系，常见思路是：先在所证区间上设出任意x 1，x 2(x 1＜x 2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题．注意：若给出的是和型[f (x ＋y )＝…]抽象函数，判定符号时的变形为f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)，f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)－f [(x 1－x 2)＋x 2]；若给出的是积型[f (xy )＝…]抽象函数，判定符号时的变形为f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)．[典例] 已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值与最小值．[解析] (1)证明：令x ＝y ＝0，得f (0)＋f (0)＝f (0)， ∴f (0)＝0.又令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝f (x －x )＝f (0)＝0， ∴f (－x )＝－f (x )．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)． ∵x 2－x 1＞0，依题设x ＞0时，有f (x )＜0， ∴f (x 2－x 1)＜0，即f (x 2)－f (x 1)＜0， ∴f (x 2)＜f (x 1)．∴y ＝f (x )在R 上是减函数．(2)∵[－3,3]⊆R ，故f (x )max ＝f (－3)，f (x )min ＝f (3)． 由(1)可知f (－3)＝－f (3)，又∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1＋1)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2， ∴f (－3)＝－f (3)＝2，∴f (x )max ＝f (－3)＝2，f (x )min ＝f (3)＝－2. 二、忽视参数对最值的影响[典例] 函数y ＝ax ＋1在区间[－1,3]上的最大值为4，求a 的值． [解析] 当a ＞0时，y ＝ax ＋1为增函数． ∴当x ＝3时，∴y max ＝3a ＋1＝4.∴a ＝1. 当a ＜0时，y ＝ax ＋1为减函数．∴当x ＝－1时，y max ＝－a ＋1＝4.∴a ＝－3. 综上，a ＝1或a ＝－3.纠错心得 忽视对a ，即对函数单调性的讨论，直接认为y ＝ax ＋b 为增函数，只有一个解，当函数的单调性受参数影响时，要根据题意进行讨论．3.2.2 奇偶性知识点 函数奇偶性的定义(1)函数f (x )＝x 2的图象有什么对称性？ (2)函数f (x )＝1x 的图象有什么对称性？知识梳理 (1)一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数(even function)．偶函数的图象关于y 轴对称，反之成立．(2)一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数(odd function)．奇函数的图象关于原点对称，反之成立．解题方法探究探究一 函数奇偶性的判断 [例1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 4＋2x 2； (2)f (x )＝x 3＋1x ；(3)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (4)f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x 2＋1(x ＞0)，x 3＋3x 2－1(x ＜0)；(5)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2.[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )4＋2(－x )2＝x 4＋2x 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(2)∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，它关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )3＋1－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)∵f (x )的定义域为{－1,1}， 是两个具体数，但它关于原点对称， 又f (－1)＝f (1)＝0， f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )＝x 2－1＋1－x 2既是奇函数，又是偶函数．(4)函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ①当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )3＋3(－x )2－1＝－x 3＋3x 2－1 ＝－(x 3－3x 2＋1)＝－f (x )． ②当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝(－x )3－3(－x )2＋1＝－x 3－3x 2＋1 ＝－(x 3＋3x 2－1)＝－f (x )．由①②知，当x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时， 都有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(5)由题设得：⎩⎨⎧1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，∴函数f (x )定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且x ＋2>0，∴|x ＋2|＝x ＋2，∴f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，∴f (－x )＝1－(－x )2－x ＝－1－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．函数奇偶性的判定方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的对称区域，再判断f (－x )是否等于±f (x )，或判断f (x )±f (－x )是否等于零，或判断f (x )f (－x )是否等于±1等． 用定义判断函数奇偶性的一般步骤：①求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称． ②用－x 代x ，验证是否有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )， 若f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数； 若f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数；若f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数； 若f (－x )≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，则f (x )为非奇非偶函数． (2)图象法：奇(偶)函数的等价条件是它的图象关于原点(y 轴)对称．探究二 已知函数奇偶性求函数解析式 [例2] [教材P 86第11题拓展探究](1)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，求f (x )在R 上的解析式．[解析] 设x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x . 又y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2＋2x (x <0)． ∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0.(2)若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (2－x )，求函数f (x )的解析式．[解析] ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0.当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝－x (2＋x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x (x ＋2)．故f (x )＝⎩⎨⎧x (x ＋2)(x ＞0)，0(x ＝0)，x (2－x )(x ＜0).(3)设函数y ＝F (x )的定义域为[－m ，m ](m ＞0)．试探究y ＝F (x )可否写为奇函数f (x )，与偶函数g (x )的和的形式，若能，求出f (x )与g (x )．[解析] 设f (x )＋g (x )＝F (x )， ① x ∈[－m ，m ]．∴f (－x )＋g (－x )＝F (－x )． 又∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数， ∴－f (x )＋g (x )＝F (－x )． ② ①＋②得，2g (x )＝F (x )＋F (－x )， ∴g (x )＝12[F (x )＋F (－x )]．①－②得，2f (x )＝F (x )－F (－x )， ∴f (x )＝12[F (x )－F (－x )]． 故F (x )可写为f (x )＋g (x )的形式． f (x )＝12[F (x )－F (－x )]， g (x )＝12[F (x )＋F (－x )]．利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x )．探究三 已知奇偶性求值或参数[例3] (1)若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. (2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x ＞0为奇函数，则a ＋b ＝________.(3)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ＋b ，则f (－1)＝________.(4)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．[解析] (1)∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )， 即(x ＋a )(x －4)＝(－x ＋a )(－x －4)， 整理得，2a ＝8，∴a ＝4. (2)由题意知⎩⎨⎧f (2)＝－f (－2)，f (1)＝－f (－1)，则⎩⎨⎧4a ＋2b ＝－2，a ＋b ＝0， ∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1. 当a ＝－1，b ＝1时，经检验知f (x )为奇函数，故a ＋b ＝0. (3)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝b ＝0， ∴f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，∴f (－1)＝－f (1)＝－(1＋2)＝－3. (4)⎩⎨⎧f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4两式相加得g (1)＝3. [答案] (1)4 (2)0 (3)－3 (4)3利用函数奇偶性求参数值的方法(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决．(2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x 的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x 的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数．(3)利用奇偶性求参数值时，应根据x ∈R 等式恒成立的特征求参数．易错点归纳一、单调性与奇偶性珠联璧合的妙用(1)将函数的奇偶性与单调性相结合，可知： ①奇函数在(－b ，－a )和(a ，b )上有相同的单调性． ②偶函数在(－b ，－a )和(a ，b )上有相反的单调性． 这里，区间(－b ，－a )和(a ，b )都在函数定义域内．因此，若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图象等问题，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得．(2)研究函数的单调性、奇偶性必须在定义域上进行，如果没有给出定义域，则需先求出．[典例] 设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )＜f (m )，求实数m 的取值范围．[解析] 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数， 所以f (x )在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f (1－m )＜f (m )等价于⎩⎨⎧1－m ＞m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m ＜12.二、由奇偶性的对称特点拓展的图象对称性 1．函数图象的轴对称2.函数图象的中心对称[典例] 若函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，则下列结论正确的是( )A ．f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72[解析] ∵y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (1)＝f (3)． 又f (x )在(0,2)上为增函数，∴f (x )在(2,4)上为减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. [答案] B3.3 幂函数知识点一 幂函数的定义函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2、f (x )＝1x ，以前叫什么函数，它们有什么共同特征？ 知识梳理 (1)一般地，函数y ＝x α叫做幂函数(power function)，其中x 是自变量，α是常数．(2)幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数；。
公式与函数的应用解读
使用公式
运算符
算术运算符：＋（加号）、－（减号）、*（乘）、/（除）、 ^（乘方）、％ （百分号）。 关系（比较）运算符：=（等号）、<（小于）、>（大于）、 >=（大于等于）、<=（小于等于）、<>（不等于）。 结果 为逻辑值 TRUE 或 FALSE。 文本运算符：文本运算符“&”（与号）表示连接一个或多个 文本字符串以产生串文本。如 “ab”& “hg” 结果为“abhg” 引用运算符：引用运算符可以将单元格区域合并计算。
自动求和
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利用函数运算
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公式和函数
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单元格的引用
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高中数学必修四公式
高中数学必修四公式一、函数公式1. 一次函数的公式一次函数的一般公式为：y = kx + b其中，k为斜率，表示函数的变化速率；b为截距，表示函数与y轴交点的纵坐标值。
2. 二次函数的公式二次函数的一般公式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，a不等于0。
a决定了抛物线开口的方向，b影响了抛物线在x轴上的位置，c决定了抛物线与y轴的交点纵坐标。
3. 指数函数的公式指数函数的一般公式为：y = a^x其中，a为底数，x为指数。
指数函数的特点是随着指数增大，函数值也随之增大（当a大于1时），或者随着指数增大，函数值趋近于0（当0 < a < 1时）。
4. 对数函数的公式对数函数的一般公式为：y = log<sub>a</sub>(x)其中，a为底数，x为函数值。
对数函数表示的是一个数在某个底数下的指数，也可以看作是某个数的幂次方等于x。
二、三角函数公式1. 正弦函数的公式正弦函数的一般公式为：y = Asin(Bx + C) + D其中，A为振幅，表示正弦函数的最大值与最小值之间的差；B为周期，表示正弦函数的一个周期内的长度；C为相位，表示正弦函数的水平方向的偏移；D为垂直偏移，表示正弦函数的纵向平移。
2. 余弦函数的公式余弦函数的一般公式为：y = Acos(Bx + C) + D其中，A为振幅，表示余弦函数的最大值与最小值之间的差；B为周期，表示余弦函数的一个周期内的长度；C为相位，表示余弦函数的水平方向的偏移；D为垂直偏移，表示余弦函数的纵向平移。
3. 正切函数的公式正切函数的一般公式为：y = Atan(Bx + C) + D其中，A为振幅，表示正切函数的最大值与最小值之间的差；B为周期，表示正切函数的一个周期内的长度；C为相位，表示正切函数的水平方向的偏移；D为垂直偏移，表示正切函数的纵向平移。
三、立体几何公式1. 三角形面积的公式三角形的面积可以通过以下公式计算：S = 0.5 * 底边长度 * 高其中，S为三角形的面积，底边长度为三角形底边的长度，高为从底边到顶点的垂直距离。
高中数学一次函数公式总结
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函数公式中文解释大全
函数公式中文解释大全函数公式是一种用于定义数学关系的表达式或方程。
它描述了一个自变量和一个或多个因变量之间的关系。
函数公式可以包括各种数学运算符、变量、常数和其他数学函数。
以下是一些常见的函数公式及其中文解释：1.一次函数公式：f(x) = ax + b。
该公式表示了一个直线，并且a代表斜率，b代表截距。
2.二次函数公式：f(x) = ax^2 + bx + c。
该公式表示了一个抛物线，可以通过抛物线的开口和顶点位置来判断函数的性质。
3.指数函数公式：f(x) = a^x。
该公式表示了一个以常数a为底的指数函数，其中x是指数。
4.对数函数公式：f(x) = logₐx。
该公式表示了一个以常数a为底的对数函数，其中x是函数的输入。
5.正弦函数公式：f(x) = sin(x)。
该公式表示了一个正弦函数，函数的值由角度x确定。
6.余弦函数公式：f(x) = cos(x)。
该公式表示了一个余弦函数，函数的值由角度x确定。
7.正切函数公式：f(x) = tan(x)。
该公式表示了一个正切函数，函数的值由角度x确定。
8.高斯函数公式：f(x) = e^(-x^2)。
该公式表示了一个高斯函数，常用于概率和统计学中。
除了以上列举的函数公式，还有许多其他的函数类型，如幂函数、分段函数、三角函数等。
这些函数公式在不同的数学应用中有重要的作用，例如在物理学、工程学、计算机科学、经济学等领域中的模型建立和问题求解中经常用到。
需要拓展你所指的“函数公式”的具体内容，我将可以提供更详细和具体的帮助。
公式与函数的使用解读
公式与函数的使用解读公式和函数是数学和物理学中经常使用的两个概念，它们在描述和解决问题中具有重要的作用。
下面我将从解释二者的概念入手，介绍它们的使用方法以及其在实际问题中的应用。
首先，公式是用符号表示的数学关系式。
公式通常由符号、数字和运算符组成，用于描述数学和物理问题之间的关系。
每个符号代表一个数值或一个未知数，通过运算符对这些符号进行运算，得到一个数值或者一个表达式。
公式可以通过代入具体数值或解方程的方法来求得答案。
举例来说，牛顿第二定律的公式 F=ma，表示力等于质量乘以加速度。
在这个公式中，F代表力的大小，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
当给定物体的质量和加速度时，可以通过将具体数值代入公式计算力的大小。
其次，函数是将一个或多个输入映射到一个输出的关系。
函数也是用符号表示的，常用的表示方法是y=f(x)，其中y表示函数的输出，x表示函数的输入，f表示函数的规则。
函数可以描述各种数学和物理问题之间的关系，例如距离与时间的关系、温度与时间的关系等。
举例来说，速度和时间的关系可以表示为v=f(t)，其中v表示速度，t表示时间，f表示速度随时间的变化规律。
当给定时间时，可以通过将具体数值代入函数计算速度的大小。
在实际应用中，公式和函数的使用可以帮助我们理解和解决各种问题。
它们有以下几个重要的作用：1.描述关系：公式和函数可以描述物理和数学问题之间的关系。
通过建立合适的公式和函数，我们可以清楚地了解变量之间的关系，从而更好地理解问题。
2.解决方程：公式和函数可以被用来解决方程。
通过将具体数值代入方程，我们可以计算未知量的值。
这在解决实际问题时非常重要，例如计算贷款利息、解决物理问题等。
3.预测和模拟：通过公式和函数，我们可以预测和模拟未来的变化。
例如，通过建立一个描述人口增长的函数，我们可以预测未来的人口数量。
这对于做出决策和规划非常有帮助。
4.优化问题：在一些问题中，我们需要求解一个函数的最大值或最小值。
函数运算知识点总结归纳
函数运算知识点总结归纳一、函数的概念1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它把一个或多个输入值映射到一个唯一的输出值。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
2. 函数的符号表示函数通常用f(x)、g(x)、h(x)等符号表示，也可以用其他字母或符号表示。
3. 函数的图像函数的图像是在直角坐标系中表示函数的一种方法，可以直观地看出函数的性质和特点。
二、函数的运算1. 函数的加减法如果有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的和是h(x)=f(x)+g(x)，差是h(x)=f(x)-g(x)。
2. 函数的乘法如果有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的乘积是h(x)=f(x)g(x)。
3. 函数的除法如果有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的商是h(x)=f(x)/g(x)，其中g(x)不等于0。
三、函数的性质1. 奇偶性如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么它是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，那么它是偶函数。
2. 周期性如果函数满足f(x+T)=f(x)，其中T是一个常数，那么它是周期函数。
3. 单调性如果函数在定义域内满足f'(x)>0，那么它是严格单调递增的；如果函数在定义域内满足f'(x)<0，那么它是严格单调递减的。
四、复合函数1. 复合函数的定义如果有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的复合函数是h(x)=f(g(x))。
2. 复合函数的性质复合函数的性质包括结合律和交换律。
五、反函数1. 反函数的定义如果函数f(x)有一个逆函数f^(-1)(x)，那么f^(-1)(f(x))=x，f(f^(-1)(x))=x。
2. 反函数的求法求反函数的方法包括代数法和图像法。
六、函数的极限1. 函数的极限定义当自变量x趋于某个值a时，函数f(x)的极限是一个数L，记作lim(x->a)f(x)=L。
2. 函数的极限性质包括四则运算法则、复合函数极限、无穷大与无穷小、夹逼定理等。
初中函数所有公式总结归纳
初中函数所有公式总结归纳函数作为数学中的重要概念，在初中数学学习中占据着重要的位置。
函数通过一组有序配对的数值来描述两个变量之间的关系。
在学习函数时，我们需要掌握一些基本的函数公式和性质。
本文将对初中函数的公式进行总结归纳，以帮助同学们更好地理解和运用函数知识。
一、一次函数一次函数又被称为线性函数，它的函数表达式为：y = kx + b。
其中，k表示斜率，b表示截距。
1. 点斜式公式：点斜式公式是一次函数的一种表达形式，它通过一个点和该点处的斜率来表示一次函数。
公式如下：y - y₁ = k(x - x₁)其中，(x₁, y₁)为一次函数上的已知点，k为斜率。
2. 两点式公式：两点式公式用两个已知点来表示一次函数，公式如下：(y - y₁) / (y₂ - y₁) = (x - x₁) / (x₂ - x₁)其中，(x₁, y₁)、(x₂, y₂)为一次函数上的两个已知点。
3. 斜截式公式：斜截式公式将一次函数表示为截距和斜率的形式，公式如下：y = kx + b其中，k为斜率，b为截距。
二、二次函数二次函数是关于变量的二次多项式函数，它的函数表达式为：y = ax² + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
1. 顶点坐标公式：二次函数的顶点坐标可通过以下公式求得：x = -b / (2a)，y = -Δ / (4a)其中，Δ = b² - 4ac为判别式，用于判断二次函数的图像与x轴交点的情况。
2. 一般式公式：一般式公式将二次函数表示为标准形式，公式如下：y = ax² + bx + c其中，a为二次系数，决定了函数的开口方向；b为一次系数，决定了函数图像在x方向的平移；c为常数项，决定了函数图像在y方向的平移。
3. 因式分解公式：二次函数的因式分解形式为：y = a(x - x₁)(x - x₂)其中，(x₁, 0)和(x₂, 0)为二次函数的两个零点。
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為什麼公式要有這麼多種參照 方式？
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為什麼公式要有這麼多種參照 方式？
在公式中，分配盈餘應該固定指向 B1 儲存格，不論公式複製到其他的儲存格 也不會改變。所以，我們應將 E4 的公 式修正為 "=$B$1*((C4+D4)/B4)，亦即 使用絕對位址的參照方式來指定 $B$1 這個儲存格，然後再複製到 E5：E8。 依據不同的工作表設計，公式也必須適 當地使用不同的參照方式，才能確保在 複製公式到其他儲存格，其結果會是正 確的。
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絕對位址公式
B3 的公式 = $B$1＋$B$2，使用了絕對 位址，因此不管公式複製到哪裡，Excel 都是找出 B1 和 B2 的值來相加，所以 B3 和 B4 的結果都是一樣的：
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混合參照
我們可以在公式中同時使用相對參照與 絕對參照，這種情形稱為混合參照。例 如：
這種公式在複製後，絕對參照的部份 (如 $B1 的 $B) 不會變動，而相對參照 的部份則會隨情況做調整。 23
意思是， Excel 會將 A1 儲存格的值 ＋ A2 儲存格的值，然後將結果顯示在 A3 儲存格中。 4
運算子
Excel 的公式運算共分為參照、算術、 文字、與比較四大類，下表按運算的優 先順序列出所有的運算子：
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輸入公式
輸入公式必須以等號 "=" 起首，譬如 = A1 + A2 ，這樣 Excel 才知道我們輸入 的是公式，而不是一般的文字資料。 現在我們就來練習建立公式：
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實例說明
2. 按下 鍵，則 B1 便切換成 $B$1，成 為絕對參照位址了：
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實例說明
3. 接著輸入 "+B2"，再按 鍵將 B2 變成 B$2，最後按下 鍵，將公式建立完成：
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實例說明
A3 及 B3 的公式分別是由相對位址與絕 對位址組成，但兩者的計算結果卻一樣。 到底它們差別在哪裡呢？請選定 A3：B3， 拉曳填滿控點到下一列，將公式複製到 下方的儲存格中：
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輸入函數 － 使用函數方塊
2. 接著請您按下函數方塊右側的下拉鈕， 在函數列示窗中選取 SUM，此時會開啟 函數引數交談窗來協助函數的輸入。
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輸入函數 － 使用函數方塊
3. 再來就是要設定函數的引數。請先按下 第一個引數欄 Number 1 右側的摺疊鈕 將函數引數交談窗收起來，再從工作 表中選取 B4：B6 當作引數：
混合參照
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為什麼公式要有這麼多種參照 方式？
當我們在設計公式時，並不是每一次都 使用相對位址的參照方式就可以了。舉 個例子來說，我們要計算股利，其公式 為 "=分配盈餘 ＊((原有股數＋配股數) / 業績)" ，若以相對參照位址設計公式， 再拉曳填滿控點來複製公式，就會發現 計算出來的結果有錯：
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輸入公式
4. 最後按下資料編輯列上的輸入鈕 或 鍵，公式計算的結果馬上顯示在 儲存格 E2 中：
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更新公式計算的結果
公式的計算結果會隨著儲存格的內容變 動而自動更新。以上例來說，假設當公 式建好以後，才發現 "王書桓" 的物理 成績打錯了，應該是 "90" 分才對，當 我們將儲存格 B2 的值改成 "90"，您將 發現在 E2 儲存格中的計算結果立即從 220 更新為 225：
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輸入函數 － 使用函數方塊
4. 請按一下 Number 1 欄右側展開鈕 再度將函數引數交談窗展開： ，
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快速設定引數
一個引數欄只用來設定一個儲存格位址， 譬如上面的例子本來應該要做如下的設 定：
但為了節省時間，我們通常會將整個引 數範圍都設定在一個引數欄中。
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輸入函數 － 使用函數方塊
使用自動計算 自動計算的功能項目
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使用自動計算
請您開啟 Ch05-05 範例檔案，接著選取 B2：D2 儲存格範圍，則這三個儲存格的 加總值馬上就會顯示在狀態列上：
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自 動 計 算 的 功 能 項 目
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自動計算的功能項目
無：取消自動計算的功能。 項目個數：計算選定範圍中，有幾個非 空白的儲存格。 數字項目個數：計算選定範圍中，資料 為數值的儲存格個數。 最大值：找出選定範圍中，最大的數字 資料。 最小值：找出選定範圍中，最小的數字 資料。
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引數的資料類型
函數的引數可不僅是數字類型而已，它 還可以是文字，或是： Nhomakorabea
位址：如 SUM (B1, C3) 即是要計算 B1 儲存格的值 + C3 儲存格的值。 範圍：如 SUM (A1：A4) 即是要加總 A1： A4 範圍的值。 函數：如 SQRT (SUM(B1：B4)) 即是先求 出 B1：B4 的總和後，再開平方根的結果。
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切換相對參照與絕對參照位址： 鍵
鍵可循序切換儲存格位址的參照類型， 每按一次 鍵，參照位址的類型就會 改變，其切換結果如下：
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相對位址公式
A3 的公式 = A1 + A2，使用了相對位址， 表示要計算 A3 往上找兩個儲存格 (A1、 A2) 的總和，因此當公式複製到 A4 後， 便改成從 A4 往上找兩個儲存格相加， 結果就變成 A2 和 A3 相加的結果：
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相對參照位址與絕對參照位址
相對與絕對參照的差異 實例說明
切換相對參照與絕對參照位址： 相對位址公式 絕對位址公式
鍵
混合參照
為什麼公式要有這麼多種參照方式？
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相對參照與絕對參照位址
公式中會運用到的位址有兩種類型：相 對參照位址與絕對參照位址。 相對參照位址的表示法如：B1、C4；而 絕對參照位址的表示法則須在儲存格位 址前面加上 "$" 符號，如：$B$1、$C$4。
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輸入函數 － 使用函數方塊
函數也是公式的一 種，所以輸入函數 時，也必須以等號 "=" 起首。請開啟 範例檔案 Ch0503 ，假設我們要 在 B8 儲存格運用 SUM 函數來計算班 費的總支出：
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輸入函數 － 使用函數方塊
1. 首先選取存放計算結果的儲存格 B8，並 在資料編輯列中輸入等號 "="。
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輸入公式
1. 請選定要輸入公式的儲存格，即 E2 ， 接著將指標移到資料編輯列中輸入等號 "="：
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輸入公式
2. 接著輸入 "= " 之後的公式，即 "B2 + C2 + D2" 。請在儲存格 B2 上按一下， Excel 便會將 B2 輸入到資料編輯列中：
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輸入公式
3. 再來請輸入 "+" ，然後選取 C2、再輸 入 "+" ，選取 D2，如此公式的內容便 輸入完成了：
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相對與絕對參照的差異
假設您要前往某地，但不知道該怎麼走， 於是就向路人打聽。結果得知您現在的 位置往前走，碰到第一個紅綠燈後右轉， 再直走約 100 公尺就到了，這就是相對 參照位址的概念。 另外有人乾脆將實際地址告訴你，假設 為 "中正路二段 60 號"，這就是絕對參 照位址的概念。
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輸入其它函數–插入函數 交談窗
2. 接著我們要從插入函數交談窗中選取 SUM 函數：
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輸入其它函數–插入函數 交談窗
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變更引數設定
當您將函數存入儲存格以後，若想變更 引數設定，請選取函數所在的儲存格， 然後按下插入函數鈕 ，即可展開函數 引數交談窗來重新設定引數。
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自動計算功能
5. 按下確定鈕，函數的計算結果就顯示在 B8 儲存格內：
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自動加總鈕
一般工具列上的自動加總鈕 讓我們快速輸入函數：
，它可
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自動加總鈕
除了加總功能之外，自動加總鈕還提供 數種常用的計算供我們選擇使用。您只 要按下 鈕旁邊的下拉鈕，即可選擇 要進行的計算：
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輸入其它函數–插入函數 交談窗
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函數的使用
函數的格式
引數的資料類型
輸入函數 ─ 使用函數方塊
快速設定引數 自動加總鈕
變更引數設定
輸入其它函數 – 插入函數交談窗
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函數的格式
每個函數都包含三個部份：
函數名稱。 引數。 和小括號。
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加總函數 SUM
SUM 即是函數名稱，從函數名稱可大略 得知函數的功能、用途。 小括號用來括住引數，有些函數雖沒有 引數，但小括號還是不可以省略。 引數是函數計算時所必須使用的資料， 例如 SUM (1,3,5) 即表示要計算 1、3、 5 三個數字的總和，其中的 1，3， 5就 是引數。
混合參照
請依照下列步驟將 B4 儲存格中的公式 改成混合參照公式 = $B1 + B2： 1. 請雙按 B4 進入編輯模式，將插入點移 至 “+” 之後，接著按兩次“F4”鍵， 讓 $B$1 變成 $B1。 2. 將插入點移至“+”之後，按三次“F4” 鍵將 $B$2 變成 B2 ，最後按下 鍵， 公式便輸入完成。 3.接著選定 B4 ，分別拉曳填滿控點至 C4 及B5： 24
插入函數交談窗是 Excel 函數的大本營， 當您在函數方塊列示窗中找不到需要的 函數時，就可從這裡來輸入函數。 1. 請選取儲存格 B8，然後按下資料編輯列 上的插入函數鈕 (或執行『插入 / 函 數』 命令)，您會發現資料編輯列自動 輸入等號 "="，並且開啟插入函數交談 窗：