6第六章正态随机过程

n 2 1 2
exp{−
1 rT −1 r y D y} 2
且
rT CYrT (V ) = C y1 (v1 )C y2 (v2 )...C yn (vn )
r yi ~ N (0, di )
di vi2 − 2
其中, C y (vi ) = e
i
则
d v dv d v rT − 11 − 2 2 − n n CYrT (V ) = e 2 e 2 ...e 2
r r 阵。记为 X ~ N (a , C )
r 则称 X 为n维正态随机变量，其中C为n维实对称正定
n维随机变量的性质 维随机变量的性质 r r 1. 若 X ~ N (a, C ) ，则存在 阶正交矩阵 ，使得向量 则存在n阶正交矩阵 阶正交矩阵A， 为一维正态分布N(0,di)。 且Yi为一维正态分布 。
−∞ +∞
=
+∞
−∞
∫ xf ( x)dx = E[ X ]
证明：
三、多维随机变量的特征函数 1）定义 ） 若
x1 r . X= . xn u1 r . u= . un
ju1 x1 + ju 2 x2 +.... ju n xn
=e
rT r jv b
r C X T (v T A)
比较： 比较： Y=aX+b
CY (u) = e jubC X (ua)
一维正态随机变量的概念： 一维正态随机变量的概念： 一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示 为 ( x−a )2 − 1 2σ 2 f X ( x) = e 2πσ 记为
X ~ N(a,σ2)
1 σ 12 (1 − ρ 2 ) = ρ − (1 − ρ 2 )σ 1σ 2 − 2 (1 − ρ )σ 1σ 2 1 2 σ 2 (1 − ρ 2 )
ρ
二维正态随机变量的联合密度也可表示为
1 r r T −1 r r f ( x1 , x2 ) = ( x − a ) C ( x − a )} 2 1 exp{− 2 2 2 (2π ) | C | 1
C X (u ) = ∫ e jux f ( x)dx
−∞
∞
+∞
C X (u ) = ∑ e jux P{x = xi }
i =0
已知特征函数，求概率密度函数。
1 f ( x) = 2π
∫
+∞
−∞
C X (u )e - jux dx
例题： 例题： X ~ N (0,1), 求C X (u ) 解：
σ2
)2 ]}
n维正态随机变量的定义： 维正态随机变量的定义： 维正态随机变量的定义 若n维随机变量的联合密度函数为 维随机变量的联合密度函数为
r f ( x) =
r X
1 (2π ) | C |
n 2 1 2
1 r r T −1 r r exp{− ( x − a ) C ( x − a )} 2
第五章： 第五章： 正态随机过程
多维正态随机变量的定义与 多维正态随机变量的定义与协方差矩阵 定义 多维正态随机变量的性质 多维正态随机变量的性质 正态随机过程的定义 正态随机过程的定义 正态随机过程的性质 正态随机过程的性质
定义： 如果对一个随机过程任意选取n个时刻 个时刻,则得 如果对一个随机过程任意选取 个时刻 则得 个相应的随机变量, 到n个相应的随机变量 若此 个随机变量的联合 个相应的随机变量 若此n个随机变量的联合 分布都是n维正态分布 则称随机过程X(t)是正态 维正态分布， 分布都是 维正态分布，则称随机过程 是 随机过程（高斯过程）。 随机过程（高斯过程）。
若随机变量X1,X2的联合概率密度函数可以表示为
σ2
)2 ]}
则称X1,X2为二维正态随机变量。其中ρ为X1和X2的相 相 关系数。对于上述二维随机变量，其边际概率密度函 关系数 数可表示为
1 f X1 ( x) = e 2πσ1
−
( x1 −a1 )2 2σ12
− 1 f X 2 ( x) = e 2πσ 2
(σu)2 jua 2
CY (u ) = e C X (σu ) = e
jua
3）矩定理 ）
设X和Y是随机变量，若E（X K），K = 1，...存在， 2 则称它为X的K阶原点矩。
K 若E（X - EX） ，K = 1，...存在，则称它为X的K阶中心矩。 2
若E[ X K Y l ]存在，K，l = 1，...，则称它为X和Y的K + l阶混合矩。 2
r r r 总存在正交矩阵A，通过变换 Y = A( X − a )
此时随机向量的协方差矩阵，且 ACAT = D
d1 0 D= . . 0 0 d2 . . 0 . 0 0 dn .
r 由性质1可以知道： Y 为n维独立随机变量，
r fYr ( y ) = 1 (2π ) | D |
其中
r x1 x = , x2
r a1 a = a2
σ 12 C= ρσ 1σ 2
ρσ 1σ 2 2 σ2
x1 − a1 2 ( x1 − a1 )( x2 − a2 ) 1 f ( x1, x2 ) = exp{ − [( ) − 2ρ 2 2 2(1 − ρ ) σ1 σ1σ 2 2πσ1σ 2 1 − ρ 1 +( x2 − a2
说明
r r r Y = A( X − a) 中的分量 1,Y2, …,Yn是独立的随机变量， 中的分量Y 是独立的随机变量，
r f (x) =
r X r r r Y = A( X + a )
1 (2π ) | C | r f ( y) =
r Y n 2 1 2
1 r r T −1 r r exp{− ( x − a ) C ( x − a )} 2 1 1 rT −1 r exp{− y D y} 2
σ2u2
2
特征函数为: 特征函数为
CX (u) =e
jau −
=exp( jau−
σu
2
2 2
)
二维正态随机变量的概念： 二维正态随机变量的概念：
(x1 − a1)(x2 − a2 ) x1 − a1 2 1 f (x1, x2 ) = exp{ − [( ) − 2ρ 2 2 σ1σ 2 2(1− ρ ) σ1 2πσ1σ 2 1− ρ 1 +( x2 − a2
−∞
2、边际特征函数 C X 、 推广到n个 推广到 个
1,X2
(u1 , 0) = C X1 (u1 )
C X1 ,... X n (u1 ,...un −1 , 0) = C X1 ... X n−1 (u1...un −1 )
解：
C X1 , X 2 (u1 , 0) = E[e ju1x1 + ju2 x2 ] |u2 =0 = E[e ju1x1 ] = C X1 (u1 )
C X (u ) = ∫ e juX
−∞ +∞
1 e 2π
−
x2 2
dx = e
−
u2 2
P8例题1.2
2 例题： 例题： X ~ N (a, σ ), 求C X (u ) ?
二、性质 1） ）
C X (u ) ≤ C X (0) = 1
2）X的特征函数为 C X (u) ，则Y=aX+b的特征函数为： ） 的特征函数为 的特征函数为： 的特征函数为
Cx1 , x2 (u1 , u2 ) = =
f ( x1 , x2 ) = f1 ( x1 ) f 2 ( x2 )
+∞ +∞ −∞ −∞ +∞
∫
e ju1x1 + ju2 x2 f1 ( x1 ) f 2 ( x2 )dx1dx2 ∫
+∞
−∞
e ju1x1 f1 ( x1 )dx1 ∫ e ju2 x2 f 2 ( x2 )dx2 = C X1 (u1 )C X 2 (u2 ) ∫
r r r rT r rT ju X 3、已知 C r T (u ) = E[e 、 ], 且Y = AX + b , 则 X
rT r rT rT jv b r CYrT (v ) = e C X T (v A)
r r rT ju T x r 证明： 已知C X T (u ) = E[e ], 则 : rT r rT r rT r r rT r rT CYrT (v ) = E[e jv Y ] = E[e jv (AX+b) ] = e jv b E[e j ( v A)X ]
随机变量的特征函数 随机变量的概率密度函数和特征函数之间存 随机变量的概率密度函数和特征函数之间存 概率密度函数 在一一对应关系， 在一一对应关系，因此在得知随机变量的特征函 数后，就可以知道它的概率密度函数。 数后，就可以知道它的概率密度函数。
一、特征函数的定义 设 X 为随机变量，称 e juX 的数学期望为随机 变量 X 的特征函数。记为 C X (u) = E[eiuX ]
( x2 − a2 )2 2σ 22
因此其边际分布为一维正态分布 X1 ~ N(a1,σ12)
，X2 ~ N(a2,σ2 )
2
二维正态分布的协方差矩阵可表示为
C11 C = C21 C12 σ 12 = C22 ρσ 1σ 2
ρσ 1σ 2 2 σ2
二维正态分布的协方差矩阵具有如下性质： 1. 实对称矩阵； 2. 正定矩阵 3. 其逆矩阵可表示为 C −1
K l 若E（X - EX） Y - EY）]存在，K，l = 1，...， （ 2 [
则称它为X和Y的K + l阶混合中心矩。
E[X n ] = ( j ) − n
证明： 当n=1时
d nC X (u ) |u =0 n du
+∞
d jux −1 dC X (u ) −1 j |u =0 = j ∫ [e f ( x)dx] |u =0 du du −∞ = j −1 ∫ jxe jux f ( x)dx |u =0
CY (u ) = e jub C X (au )
证明： 证明：
CY (u )=E[e ju ( aX +b ) ] = e jub E[e juaX ] = e jubC X (ua )
2 例题： 例题： X ~ N (a, σ ), 求C X (u ) ?
解：
构造 Y = σX + a
其中 X ~ N (0,1)
T
r r ju T a
r T −1 C (u A )
r y
=e =e =e
r 1r rT r − u T A−1 D ( u T A−1 )T ju a 2
e
r 1r rT r − u T A−1 DAu ju a 2
e
r r 1r r ju T a − u T Cu 2
3、n元正态分布中任意 维子向量亦为正态分 、 元正态分布中任意 元正态分布中任意m维子向量亦为正态分 布(m<n)
C x1 ,... xn (u1 ,...un ) = C X1 (u1 )...C X n (un )
+∞ +∞
解：
C x1 , x2 (u1 , u2 ) = E[e ju1 x1 + ju2 x2 ] =
−∞ −∞
∫∫
e ju1 x1 + ju2 x2 f ( x1 ,x2 ) dx1dx2
若独立，则
C x1 ...xn (u1 ...un ) = E[e
即：
r r rT ju T X r C X T (u ) = E[e ]
]
2）性质 ） 1、若X1，X2 统计独立，则： 统计独立， 、 ，
C x1 , x2 (u1 , u2 ) = C x1 (u1 )C x2 (u2 )
推广到n个 推广到 个
2
2
2
1 rT r rT − V DV CYrT (V ) = e 2
d1 0 D= . . 0
0 d2
. .
0 . 0 0 dn .
由特征函数线性变换的性质，对于
r r r −1 X = A Y +a
可以得到: r
C x T (u ) = e r
⇒
(2π ) | D |
0 d2 . . 0 . . . 0 0 dn .
n 2
1 2
d1 0 其中，D = . . 0
r r 2、 X ~ N (a, C ) 、
证明
的特征函数为 C
rT X
rT (u ) = e
r r 1 r r ju T a − u T C u 2
证明
已知:
C Xr T
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r r 1 r r ju T a − u T C u rT 2 (u ) = e
x1 : r xm X= xm +1 : x n