中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题

1987第二届年中国数学奥林匹克

1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整

除。

2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将

这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知

i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。

ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。

试求

3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。

4.所有结点上数的总和S。

3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确

定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。

结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。

4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可

以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。

5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们

两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。

6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m

与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

1.设a1, a2, ... , a n是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , r n为实数，如果不等式

r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+r n(x n-a n)≦√(x12+ x22+ ... + x n2) + √(a12+ a22+ ... + a n2)

对任何实数x1, x2, ... , x n成立，求r1, r2, ... , r n的值。

2.设C1、C2为同心圆，C2的半径是C1的半径的2倍，四边形A1A2A3A4内接于C1，

将A1A4延长，交圆C2于B1。设A1A2延长线交C2于B2，A2A3延长线交圆C2于B3，A3A4延长线交圆C2于B4。试证：四边形B1B2B3B4的周长2(四边形A1A2A3A4的周长)。并确定的号成立的条件。

3.在有限的实数列a1, a2, ... , a n中，如果一段数a k, a k+1, ... , a k+l-1的算术平均值大于1988，

那么我们把这段数叫做一条“龙”，并把a k叫做这条龙的“龙头”(如果某一项a n>1988，那么单独这一项也叫龙)。

假设以上的数列中至少存在一条龙，证明：这数列中全体可以作为龙弄的项的算术平均数也必定大于1988。

4.(1)设三个正实数a、b、c满足(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4)。

求证：a、b、c一定是某个三角形的三条边长。

(2)设n个正实数a1, a2, ... , a n满足

(a12+ a22+ ... + a n2)2>(n-1)(a14+ a24+ ... + a n4)其中n≧3。

求证：这些数中任何三个一定是某个三角形的三条边长。

5.给出三个四面体A i B i C i D i(i=1, 2, 3)，过点B i、C i、D i作平面αi、βi、γi(i=1, 2, 3)，分

别与棱A i B i、A i C i、A i D i垂直(i=1, 2, 3)，如果九个平面αi、βi、γi(i=1, 2, 3)相交于一点E，而三点A1、A2、A3在同一直线l上，求三个四面体的外接球面的放条(形状怎样？位置如何？)。

6.如n是不小于3的自然数，以f(n)表示不是n的因子的最小自然数，例如f(12)=5。

如果f(n)3，又可作f(f(n))。类似地，如果，f( f(n) )≧3，又可作f( f( f(n)))等等。如果f( f(...f(n) ...)) =2，共有k个f，就把k叫做n的“长度”。如果l n表示n的长度，试对任意自然数n (n≧3)，求l n。并证明你的结论。

1.在半径为1的圆周上，任意给定两个点集A、B，它们都由有限段互不相交的弧组

成，其中B的每段的长度都等于π/m，m是自然数。用A j表示将集合A反时针方向在圆同上转动jπ/m弧度所得的集合(j=1, 2, ...)。

求证：存在自然数k，使得L(A j∩B)≧L(A)L(B)/(2π)。这里L(x)表示组成点集x的互示相交的弧段的长度之和。

2.设x1, x2, ... , x n都是正数(n≧2)且x1+ x2+ ...+x n=1。求证：

。

3.设S为复平面上的单位圆同(即模为1的复数的集合)，f为从S到S的映射，对于任

意S的元素z，定义f(1)(z)=f(z)，f(2)(z)=f( f(z))，...，f(k)(z)=f( f(k-1)(z) )。如果S的元素c，使得f(1)(z)≠c，f(2)(c)≠c，...，f(n-1)(c)≠c，f(n)(c)≠c。则称c为f的n─周期点。

设m是大于1的自然数，f定义为f(z)=z m，试计算f的1989─周期点的总数。

4.设点D、E、F分别在△ABC的三边BC、CA、AB上，且△AEF、△BFD、△CDE

的内切圆有相等的半径r，又以r0的R分别表示△DEF 和△ABC的内切圆半径。求证：r+r0=R。

5.空间中有1989个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在

任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形。

6.设f：(1, +∞)→(0, +∞)满足以下条件：对于任意实数x、y>1，及u、v>0，有f(x u y v)

≦f(x)1/(4u) f(y)1/(4v)。试确定所有这样的函数。