最新初中数学一题多变、一题多解

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一题多解的数学题初一

一题多解的数学题初一在初一的数学课堂上，我们常常会遇到一些有趣又具有挑战性的数学题目。

其中，一题多解的数学题更是考验我们的思维能力和创造力。

本文将以初一学生常见的一题多解题目为例，探讨不同的解题思路和方法，旨在帮助初一学生掌握灵活运用知识解决问题的能力。

题目：小明有10元钱，他要买苹果和香蕉，苹果每个0.5元，香蕉每个0.2元，他至少要买多少个水果？解法一：列方程法我们可以通过列方程的方法解决这个问题。

设小明买了x个苹果，y个香蕉，根据题意得到以下方程：0.5x + 0.2y ≤ 10其中，0.5x表示苹果的总价值，0.2y表示香蕉的总价值，10表示小明的总资金。

此方程实际上是一条直线方程，我们需要找到方程的解集。

解法二：逐个尝试法我们可以从最小值开始逐个尝试，找到满足条件的解。

苹果和香蕉的价格分别为0.5元和0.2元，所以我们可以从价格小的水果开始买，直到累计价值超过10元为止。

通过不断尝试，我们可以得到满足条件的解。

解法三：数学推理法我们可以通过数学推理的方法来解决这个问题。

假设小明买了a个苹果，b个香蕉，那么他所花费的总价值为0.5a + 0.2b。

由于小明至少要买一个水果，所以a和b的取值范围分别为1至20和0至50。

我们可以穷举所有可能的取值组合，并计算总价值是否超过10元。

通过以上三种解法，我们可以发现一题多解的数学题可以有不同的解决方法。

每个方法都有其独特的思路和特点，可以帮助我们更好地理解和掌握数学知识。

除了以上的解题方法，还有一些其他的解法。

例如，我们可以通过图形表示法将题目转化为图形问题，并通过图形的几何性质来解决。

我们还可以运用数列和集合的知识，将题目转化为求解等差数列或等比数列的问题。

通过多样的解题方法，不仅可以锻炼我们的数学思维能力，还可以拓宽我们的思维视野，培养我们的逻辑思维和创造力。

因此，在解题过程中，我们要敢于尝试，善于思考，灵活运用各种数学知识和解题方法，以达到更好的解题效果。

浅谈初中《几何》习题一题多解与多变

浅谈初中《几何》习题一题多解与多变当前学校教育改革的重点之一，就是实施素质教育，让学生具备更强的科学素养，着重发展学生的独立思考、分析和解决问题的能力，使其不断地拓宽认知，进行创造性思维的培养。

而学科数学，更是教育改革必不可少的学科，针对不同年级的学生，设计合适的、有效的教学内容与形式，是一项重要的工作。

本文就以学科数学几何中的一个典型习题“一题多解与多变”为研究对象，探讨这一习题的学习价值，与初中学生学习几何数学的深入性、逻辑性和创新性。

一、一题多解及其学习意义一题多解是指，某一问题接受着不同的解决方式，这样的习题有可能会有许多不同的结果，但这些结果依然正确无误。

学习数学的关键是搞清楚问题本身是什么这里，也就是在一个特定的几何图形中，求解某个特定的元素。

如果能够发现一个问题有多种解法，意味着学生正在思考、联想，它们有可能想出新的解法，这样的习题就有助于培养学生的创新能力。

二、一题多变及其学习意义一题多变指的是一道数学习题有多种变形，不只是改变原有问题的内容，而是根据原题的各个环节的条件变化，将该题的变化体现在这个新的习题上，新的习题和原题拥有同样的解法，但是有不同的答案。

如果学生能在解题过程中发现一题有多变，并能灵活运用多种方法把握不同情况、不同条件下的答案，这将有助于学生在解题中学习数学的逻辑性及深度，从而更好的处理复杂的数学问题。

三、适应初中学生的教学模式要想培养学生的独立思考、分析和解决问题的能力，应采取针对性的教学模式。

在几何习题中，能给学生更多的探究机会，鼓励他们更主动地发现规律，解题思路更加清晰。

教师在提问、引导学生探究过程中，可以发挥出归纳、说明、示范等方式，对学生异思维技能，如设计思维、模式匹配、解决冲突等的培养，具有重要的作用。

本文再次强调，一题多解与多变的几何习题，有助于培养学生的独立思考、分析和解决问题的能力，提高学生的科学素养，是改革初中数学教学的重要内容之一。

通过改进教学方式，让学生发现习题的多样性和多变，对于学生的学习有很大的帮助，以此来激发学生进行更多创新性和分析性的思维、解题，从而提高学生的学习能力。

初中几何的习题一题多解与一题多变-最新文档(可编辑修改word版)

初中几何的习题一题多解与一题多变数学课程标准中，要求使学生经历站在不同角度，探索分析和解决问题的方法这一重要过程。

使学生能够体验到解决问题的多样性方式，能够掌握分析及解决问题的基本技巧和方法。

数学中“一题多解”和“一题多变”，被普遍看作是培养学生能力，以及开发学生智力，最佳途径之一，能够培养出学生的发散性思维，以及创造性思维，提高学生对几何的学习兴趣。

一、初中几何“一题多解”和“一题多变”的相关问题初中生在学习几何的过程中，鉴于其概念和定理繁多，又要求学生需要具有较强的综合性能力，且巧妙多变的解题方法，导致学生学习的时候，有一种困难的感觉，提高了教师实施教学的难度。

在教学过程中，不仅要帮助学生理清概念和定理的条件、结论，而且有效将其系统化、条理化，进而建立较为完整的、独立的知识结构体系。

其中，为之重要的是要牢固掌握课本习题灵活多变的解题方法，比较各种方法，更深刻的领悟相关的概念与定理，归纳各种习题的解决方法，灵动的掌握各种题型，以至于可以轻巧熟练地运用相关的概念和定理来推理论证，提升学生的解题能力。

通过课本习题，多角度思考问题，寻求解题的一般规律，从而引领学生入门。

二、“一题多解”和“一题多变”需注重学生“猜测”能力“一题多解”和“一题多变”在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中，将学生从已知的彼岸，渡到未知的彼岸。

教师在教学生平面几何的过程中，不仅要教会学生怎么证明，而且重点是教会学生猜测和思考。

因为猜测可以导致发现，所有证题者在解决数学问题时，都要猜测，都是先猜测后证明的。

这就要求教师教学时要创立一个激发学生积极性思维、主动猜测的意境，提高学生自主探索的能力。

为了调动学生思维的主动性，形成有益的思维方式，教师要鼓励和引导学生去猜，千万不要制止，哪怕是不合理的猜测，更不要把全部的秘密立即说出来，由学生自己猜测出来不仅可以开阔他们的证题的思路，而且对培养学生探究以及深究问题能力有很大的帮助。

初中数学教学中“一题多变一题多问”实践策略

初中数学教学中“一题多变一题多问”实践策略摘要：数学是一门注重学生思维能力发展的学科，与此同时也更加考查学生综合运用知识和解决问题的能力，因此对于中学数学来说，对学生的思维进行发展，是目前教学中较为重要的内容。

通过一题多变一题多解的练习，老师可以更好地培养学生的思维，从而提升学生的学习能力。

还要求学生善于从多个角度和多个层次进行题目的分析，用不同的方法进行问题的解答。

对于老师来说也需要适当的引导学生从不同的方法、角度、思维方式去进行一些解题思路的探索，激发学生学习的兴趣和欲望，从而加深学生对所学知识的深刻理解，从而培养学生的思维品质和创造性思维。

鉴于此，本文对初中数学教学中“一题多变一题多问”的实践策略进行了探索。

关键词：初中数学；“一题多变一题多问”；实践策略一、现如今初中数学教学中的问题1、知识点较多，学生有畏难情绪初中数学与小学数学相比，知识点更密集，对学生理解和灵活运用数学知识的能力要求也更高。

但是对于初中生而言，他们还没有转换过来自己的学习方式，教师一味的灌输给学生知识，只能是增加学生的负担，不能帮助学生更好的吸收与理解教师所传授的知识。

随着学习的深入，学生对于数学学习感到越来越无力，由此产生抵触情绪，不愿进行数学的学习。

2、学生没有良好的数学学习品质数学的学习除了认真听教师讲课之外，还要有善于发现问题的眼睛，和努力解决问题的性格。

良好的学习品质是帮助学生进行高效学习的保障。

拥有良好的数学学习品质能够让学生在遇到数学难题时迎难而上，越战越勇，直到将难题拿下。

但是通过教学发现，学生对于数学知识的学习，没有认真钻研的态度一知半解，缺少良好的学习品质，这是阻碍学生进行高效数学学习的关键所在。

3、缺乏学习兴趣由于缺少对学生学习兴趣的培养，部分学生会由于难以学懂而自暴自弃，甚至对数学产生厌弃心理。

由于教师在课堂上主要是针对课本内容进行讲解，学生在这个过程中只是被动接受的一方，而导致学生难以培养独立思维能力和自主探索能力，在面对问题时不能对知识进行灵活运用，这都不利于学生数学核心素养的发展。

初中数学一题多变一题多解(六)

一题多解，一题多变（六）中考几何母题的一题多解(多变)一、三角形一题多解如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。

求证：FD=DE。

证法一证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM则△DBF≌△DME，故FD=DE；证法二证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM则△DBF≌△DME，故 FD=DE；证法二证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M，则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM，又∠4=∠3 ∠5=∠E所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。

二、平行四边形一题多解如图4，平行四边形ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE.证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，故∠3+∠4=900，表明∠COD=900，所以DF⊥CE。

证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。

证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则ΔAFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF⊥CE。

证法四、如图7，作DG∥CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE四\一题多解、多变《四边形面积》1.如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影都是长为c的矩形与平行四边形，则阴影部分面积是多少。

初中数学“一题多解与一题多变”教学研究

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０８初中数学一题多解与一题多变教学研究初中数学一题多解与一题多变教学研究Һ陈㊀斌㊀（昆山市新镇中学，江苏㊀苏州㊀２１５３００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解与一题多变是数学教师所要关注的重要内容，这两种解题训练模式的构建可以突破原有解题教学的结构，帮助学生更加深入地认识数学习题的解题方法，这对其解题能力的提升与发展有着重要的意义．为了构建一题多解与一题多变教学课堂，教师需要对其价值进行分析研究，再从实际教学的开展出发探寻有效教学设计的方法，对初中数学一题多解与一题多变教学的开展方法进行探究．ʌ关键词ɔ初中数学；一题多解；一题多变；教学研究数学是初中阶段学生所要学习的重要学科，在中考中占有重要的分数比例，为了帮助学生成功通过中考的考验，教师需要从实际出发进行数学习题的筛选，引领学生进行一题多解的研究，带领学生思考解题的多种方法，再通过习题变形设计的研究，来设计变式问题，以此推动学生的解题思考，发展学生的解题能力．在实际教学中，教师可以围绕解析原题结构㊁融合数学思想㊁设置多解训练㊁构建多变训练㊁引领学生归纳五个方面来开展教学．一㊁一题多解与一题多变的价值分析一题多解是多元解题方法的显现，其可以让学生针对一道习题进行多种解题方法的思考．一般而言，每一种解题方法都印证着一条不同的解题思路．多解题的展示与引导解析，可以帮助学生了解习题的解法与其背后隐含的解题思维，进而开阔学生的解题视野，提升学生的思维灵活度，对学生的发展有着重要的意义．一题多变是变式思想的显现，在一题多变的训练设计中，教师将选取典型的习题作为原式，通过题目条件调整㊁问题新拟㊁题目信息倒置等方法将原本的习题转化为多道表现形式不同的习题．此时，教师就可以从习题的不同特征出发引领学生进行训练，并发展学生的解题能力．在这一类习题的解题中，教师可以引导学生对习题的特征进行归纳，并围绕习题的快速解答进行建模设计，构建合理化的解题模型．二㊁一题多解与一题多变教学的开展方法（一）解析原题结构，分析习题特征原题的解析与研究是帮助学生进行一题多解或一题多变的基础，教师要展示原题，帮助学生认识原题的突出特点，并引领学生深入解析原题．在实际的展示过程中，教师需要利用课前时间进行检索，搜集教学展示所需的习题，并在课上对习题进行展现，重点围绕习题的考查点进行分析，解析相关习题解答需要的条件．如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下原题：例题㊀两个连续奇数的积是３２３，求出这两个数．分析㊀通过研究可以发现，习题考查的内容为一元二次方程的应用，习题的解题关键是条件中给出的描述语两个连续奇数的积是３２３．学生可以从一元二次方程的不同未知数设列出发得出多种不同的解法．其中，教师可以为学生展示将较小的奇数设为ｘ将较大的奇数设为ｘ将ｘ设为任意整数将两个连续奇数设为ｘ－１和ｘ＋１，这四种设列方法可以对应四种不同的解题方法．四种解题方法看似都是对一元二次方程的应用，但其切入思考的角度存在差异．通过这一展示，教师便可以引导学生对题目进行系统的认识与理解，为之后一题多解和一题多变的思索研究做好铺垫．为了让学生了解一题多变的意义，使其了解相关题目的特点，教师可以选择原题进行调整，构建一些简单的变式题．在变式题的设计上，针对该习题，教师通过调整问法的形式即可生成多个变式，如教师可以将习题改制为两个连续奇数的积是３９９，求出这两个数，通过调整题干的数字大小来实现对题目的简单变更，让学生进行解答．教师也可以将习题改制为两个连续偶数的积是４４０，求出这两个数，通过题目条件的对应变更，生成与原题相似的变式题．在完成变式题的设计后，教师可将其展示给学生，让学生就变式题与原题的差别进行分析，使其探析题目发生的变化．（二）融合数学思想，研究解题方法解题方法的掌握与否直接关系到学生解题能力的发展，教师要关注一题多解的教学，从解题方法的内涵思想入手进行解析，让学生联系解题方法进行分析，找出方法中隐含的解题理念．在实际教学中，一题多解的研究需要教师为学生创建相应空间，帮助学生探寻解答题目的多种解法．在实际教学中，教师要从学生的发展出发选择适于学生进行多解探究的例题，并结合问题的解法分析进行多方面㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０８展示．如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下习题，引导学生从习题的特点出发来研究相关题目的多种解法：例题㊀某人买１３个鸡蛋㊁５个鸭蛋㊁９个鹅蛋，共用去９．２５元；若买２个鸡蛋，４个鸭蛋，３个鹅蛋，则会用３．２０元，若每种蛋只买一个，需要用多少钱？分析㊀通过简要分析可以得出该题目考查的是三元一次方程组的内容，但由于题目中只提供了两组等量关系，因此若想分别求出三种蛋的单价是不现实的，但题目所求的内容为三种蛋的共价，所以可以通过式子的变形来求解．在明确了这一思路后，学生就可以围绕学过的数学方法选择方向，寻找有效列式解答的方法．方法一㊀凑整法解：设鸡㊁鸭㊁鹅三种蛋的单价分别为ｘ元㊁ｙ元㊁ｚ元，根据题意可以列出一个由两个式子组成的方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{通过将方程式相加化简的方式可以得到新式子，①＋②３：５ｘ＋３ｙ＋４ｚ＝４．１５㊀③将②和③相加可以得到７ｘ＋７ｙ＋７ｚ＝７．３５，化简可以得到ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５．通过分析可以发现，这一方法应用了化归的数学思想，利用这一思想可以转换与调整题目的条件，让算式简化，从而得出可以计算解答的式子．在讲授这一解题方法时，教师要注意开展数学思想的拓展活动，让学生了解化归思想及其在解题中的实际应用．方法二㊀主元法这一方法是对函数方程思想与化归思想的融合运用，其核心在于将方程的三个未知数进行区别看待，将ｘ，ｙ作为未知数处理，将ｚ视为一个常数，以此对方程变形：通过设列未知数的方式得出方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{此时视ｘ，ｙ为主未知数，ｚ为常数，使用移项代数的方法可以得到ｘ＝０．５－０．５ｚ，ｙ＝０．５５－０．５ｚ，此时，ｘ＋ｙ＋ｚ＝（０．５－０．５ｚ）＋（０．５５－０．５ｚ）＋ｚ＝１．０５．通过分析可以发现，主元法实质上是对函数与方程的运用，选择适当的字母作为主元可以起到化难为易的作用．在上述习题解答中所使用的主元法，其特征是将未知数进行区别看待，形成一个特殊的数学关系，符合方程思想的构成要求，即从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程（组）㊁不等式（组）㊁或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．在实际教学中，教师要为学生解读函数方程思想的构成，并展现函数方程思想在常见问题中的运用实例．方法三㊀参数法通过设列未知数的方式得出方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{再设ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ，此时可以得到新的方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ㊀③ìîíïïï观察式子之间的关系，得①－②ˑ３可以消去ｚ，再化简可得ｘ－ｙ＝－０．０５㊀④③ˑ３－②可以得到ｘ－ｙ＝３ｋ－３．２０㊀⑤此时通过式子④和⑤可以得到３ｋ－３．２０＝－０．０５，所以ｋ＝１．０５，此时可以得到ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５．解析㊀上述三种方法对应了三种解题思路，而每一种解题思路还可以延伸出新的解题方法，限于篇幅此处不再赘述，教师在进行解析教学时，可以让学生尝试着寻找额外的习题解答方法．参数法是指在解题过程中通过引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），再进行分析和综合，从而解决问题的方法．这一方法从数学思想的角度来看，其同样运用了化归的数学思想，通过参数的引入，用参数代指一部分数学量，从而将算式转换为有利于解答的形式，从而实现有效解答．通过上述三种解题方法与其对应数学思想的解读，学生就可以在不同解法的研究中认识数学思想的拓展应用价值，获得解题意识和认知的提升．为了发展学生的解题能力，让一题多解真正发挥作用，教师还需要为学生设计针对性的练习，用练习推动学生解题能力的提高与发展．（三）设置多解训练，推动学生探究一题多解的训练其目的在于帮助学生认识多种解题方法，从解题方法的探究入手，带领学生认识数学习题解答的多种思想．在实际教学中，教师要考虑学生的发展情况，选取难度合理且解法较多的习题进行展示，构建有效的多解训练，帮助学生学习解答问题的多种解法．如，在实际教学中，教师便可以给学生展示如下习题：练习题１㊀已知ａ，ｂ满足ａｂ＝１，那么１ａ２＋１＋１ｂ２＋１＝．练习题２㊀已知ｘ＋ｙ＝１，求ｘ３＋ｙ３＋３ｘｙ的值．㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０８练习题３㊀甲㊁乙㊁丙三种货物，若甲３件㊁乙７件㊁丙１件共需３．１５元；若甲４件㊁乙１０件㊁丙１件共需４．２０元．请问：买甲㊁乙㊁丙各一件需要多少钱？在展示了上述练习题后，教师需要引导学生解答题目，并要求每名学生至少找出两种解法．在这一环节，为了渗透分层理念，教师可以要求发展较好的学生最少找出３种解题方法，并要求其对解题方法的思路进行整理分析，以便在班级中进行汇报与展示．在学生实际解题过程中，教师要关注学生的解题情况，分析学生的思维拓展能力发展情况，并借助引导性的语言对学生进行点拨，推动学生主动思考．（四）构建多变训练，促进学生拓展一题多变的训练需要教师秉持万变不离其宗的核心思想，对习题的题干信息㊁提问方式㊁条件构成进行调整，并从学生的实际解答出发来引领学生分析相关的变式题组．在学生解答前，教师需要围绕解题模型的建立与公共解题思路的明确来提出问题，引导学生在解答问题的同时进行思考．为确保变式题具有较高的质量，教师在设计变式题时要从原式的各个角度思考延伸，选择不同的方向来设置对应的题目．如，在实际教学中，教师便可以展示如下习题：原式㊀依次连接任意四边形各边中点所得的四边形可称为中点四边形．求证平行四边形的中点四边形是平行四边形．变式一㊀按照原式所给条件，求证矩形的中点四边形是菱形．变式二㊀按照原式所给条件，求证正方形的中点四边形是正方形．变式三㊀一个四边形的中点四边形是平行四边形，请问这个四边形可能是什么图形？原式㊀一个宽为５０ｃｍ的长方形图案由１０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式一㊀一个宽为５０ｃｍ的长方形图案由２０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式二㊀一个宽为１００ｃｍ的长方形图案由１０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式三㊀一个宽为５０ｃｍ㊁长为１００ｃｍ的长方形图案由８个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．在实际教学中，教师在给出变式练习后，要引导学生对相关的题目进行分析㊁求解．在学生解答的过程中，教师要关注学生的解题情况，并予以帮助与引导，让学生总结各个变式题与原题的不同之处．对于学生给出的答案，教师要认真判定，并引导学生回顾与整理．在学生完成变式题的解答后，教师可以引导学生进行拓展思考，让其尝试着对原式进行变形，然后采用同桌互换的方式来完成相关习题的解答．在这一过程中，学生的思维会变得更为开阔，其创造能力也能得到培养与发展．（五）引领学生归纳，培养模型意识模型意识与能力是数学核心素养的关键构成，新课标强调对学生数学核心素养的培养．模型意识与能力的培养关系到学生解题能力的发展，具有较强建模能力的学生可以更好地实现一类习题的解答．为了培养学生的模型意识与能力，教师可以引导学生对一题多变习题进行分析思考，让其对比原式与变式题，逐一分析其差异，对相关习题进行二次分类．在分类完成后，教师可以引导学生对一类习题的解题方法进行系统总结与整理，构建解答相关题目的有效数学模型．如，在实际教学中，教师便可以依托一题多变教学的进行，引领学生对数学一题多变习题的原式与变式题进行归纳，从公共解答思路中总结出解题的通用方法，建立解题模型．在这一过程中，为了发挥学生群体的主动性，让其进行协作探究，教师可以从学生发展入手划分学生小组，并布置针对性的探究任务，让其合作完成整理探究任务．学生在探究思考中，其能力可以得到逐步的提升与发展．结㊀语综上所述，一题多解与一题多变是开展数学解题教学的一种有效模式．通过解题教学的进行，教师可以帮助学生实现解题理念的发展，有效地推动其解题能力水平的提升．在实际的教学中，教师需要进行习题的解析研究，从解题方法的多元介绍与习题的变式展示两个方面进行系统构建，帮助学生认识并掌握相关习题的有效解答方法．在学生了解了相关的内容后，教师还要依托教学的进行，推动学生进行归纳，发展并培养其模型意识．ʌ参考文献ɔ［１］黄跃惠．一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用［Ｊ］．试题与研究，２０１９（２８）：１４５．［２］王茁力．初中数学一题多解的教学价值［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１８（Ｚ３）：９９－１００．［３］罗春梅．一题多解与一题多变在初中数学教学中的应用以‘人教版九年级上册第二十四章圆中两道习题“为例［Ｊ］．散文百家，２０１９（０１）：１６２．［４］秦小刚．初中数学一题多解教学策略分析［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２１（０１）：２１．［５］张秀霞．一题多解与一题多变在人教版初中数学教学中的应用［Ｊ］．智力，２０２０（１０）：５０－５１．。

“一题多解,一题多变”教学片段及反思

“一题多解，一题多变”教学片段及反思一题多解、一题多变是数学教师在几何教学中常用的手段，它不仅有助于提高学生学习兴趣，活跃课堂气氛，更重要的是有助于开阔学生思维，能从多角度、多方位、多层次思考问题，把握问题的整体，即抓住它的基本特征，又能抓住它的细节和特殊因素，从而放开思路进行思考。

著名的数学教育家G．波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。

”因此，在课堂上抓好例题一题多解，一题多变的教学这一关无疑是培养学生良好思维能力的契机，那么，如何设计有效地例题教学策略使之发挥应有的功能，是一个值得我们探讨和努力地研究课题。

现就一题多解、一题多变例题的教学片段，谈谈自己的想法及反思。

(1)《数学课程标准要求》以创新精神和实践能力为重点，改变过于重视知识传授的倾向，强调形成主动性的学习方式，有利于学生探究、创新能力的发展。

而培养学生的创新精神是课程改革的核心目标之一。

创新的心理基础是创造性思维。

创造性思维是主动地、独创地发现新事物、提出新见解、解决新问题的思维形式，它的思维活动的高级水平。

数学思维作为一种特殊的思维形式，它是人脑和数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动，是数学思维的各种特性的综合表现。

由于数学教学的重要目的在于培养学生数学思维能力，而创造性是数学思维的最根本、最核心的智力品质。

因此，要提高学生的数学思维能力，完善人的数学思维的智力品质。

培养学生的数学创造性思维能力是数学教学的一个重要任务和教育工作者研究的重要课题。

在平时的教学中能借助一题多解，一题多变来培养学生多角度、多方位、多层次思考问题，也是对我们教师的创造性思维提出了要求。

教师在教学过程中，能在求同证法中及时捕捉到激发学生求异的思维亮点，将学生思维从特殊引向一般，有助于提高学生的数学思维品质。

同时教师能站在一题多解的“同”和“异”两个视角进行变式创新，无疑对学生的创新能力的培养有着潜移默化的作用的。

一题多解和一题多变

２０２４年１月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀一题多解和一题多变:一道有关抛物线焦半径问题的探究∗◉江苏省新沂市第一中学㊀吴玉章㊀苗庆硕㊀㊀抛物线的焦半径问题是抛物线综合问题中的一类特殊类型,其可以联系起抛物线的定义(问题的本质)㊁几何性质( 数的属性)与几何特征( 形的特征)㊁焦半径公式(三角形式)等, 串联起平面解析几何㊁平面几何㊁函数与方程㊁三角函数等众多相关知识,为问题的切入与解决提供较多的思维视角,给问题的解决提供更多的方案与技巧方法,是有效发散数学思维,考查学生四基㊁数学能力以及数学思想方法等方面比较有效的一个重要载体,备受各方关注．１问题呈现问题㊀已知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x 轴的交点为C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A F|＝．此题以抛物线为问题场景,通过设置过准线与x 轴交点的直线l与抛物线交于两点,利用两个角相等来创设定交点问题,进而求解相应焦半径的长度．涉及抛物线的焦半径问题,可以从解析几何的实质入手,利用解析几何思维来合理进行数学运算与分析处理;也可以从平面几何的图形入手,利用平面几何思维进行逻辑推理与分析处理;还可以从焦半径的公式入手,利用三角函数思维来合理数学运算㊁逻辑推理与综合应用等．不同思维视角的切入,都给问题的解决提供了切实可行的技巧与方法,实现问题的巧妙解决．２问题破解２．１解析几何思维解法１:设线法．依题意可得p＝４,则F(２,０),C(－２,０)．根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图１所示．设直线l的方程为x＝m y－２,其中m＞０．设A(x１,y１),B(x２,y２),y１＞y２＞０．图１联立x＝m y－２,y２＝８x,{消去参数x并整理,可得y２－８m y＋１６＝０．利用韦达定理,可得y１＋y２＝８m,y１y２＝１６,则|A B|＝１＋m２|y１－y２|＝１＋m２６４m２－６４＝８m４－１,|B C|＝１＋m２|y２|＝１＋m２ y２．由抛物线的定义,可得|A F|＝x１＋p２＝m y１－２＋２＝m y１．由于øA F B＝øC F B,则F B是øA F C的角平分线．由三角形内角平分线定理,得|C F||A F|＝|B C||A B|,即４m y１＝１＋m２ y２８m４－１．整理并化简,可得m y１y２＝３２m２－１,即１６m＝３２m２－１,则m２＝４３,解得m＝２３３．所以y１＋y２＝８m＝１６３３,又y１y２＝１６,解得y１＝４３,则|A F|＝m y１＝２３３ˑ４３＝８．解后反思:设线法是借助解析几何思维处理问题的一种通性通法 ,成为解决直线与圆锥曲线位置关系问题时首选的一种基本方法．２．２平面几何思维解法２:几何法．依题意可得,p＝４．根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图２所示．过点A,B作抛物线准线的垂线,垂足分别为D,３８∗课题信息:江苏省教育科学十四五规划普教重点课题指向关键能力的高中数学主题单元式教学的实践研究 ,课题编号为B/２０２１/０２/３４;江苏省教研室第十一期立项课题差异教学在课程基地中应用的实践研究 ,课题编号为２０１５J K１１ＧL O４２．解法探究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀图２E,延长E B交A F于点G．由于E GʊC F,因此øG B F＝øC F B,又øA F B＝øC F B,所以øA F B＝øG B F,可得|B G|＝|F G|．由øA F B＝øC F B,则F B是øA F C的角平分线,利用三角形内角平分线定理可得|A B||B C|＝|A F||C F|．结合抛物线的定义有|A D|＝|A F|,可得|A B||C F|＝|B C| |A D|．由于E GʊC FʊD A,因此|B G||C F|＝|A B||A C|,|B E||A D|＝|B C||A C|．所以有|B G| |A C|＝|B E| |A C|,可得|B G|＝|B E|,又结合抛物线的定义有|B E|＝|B F|,故|B G|＝|F G|＝|B F|,即әB F G是正三角形,从而øB F G＝６０ʎ,可得øA F x＝６０ʎ．利用抛物线的焦半径公式,可得|A F|＝p１－c o sθ＝４１－c o s６０ʎ＝８．解后反思:平面解析几何侧重数与形的结合与转化,借助代数思维中的数学运算来处理几何图形中的逻辑推理问题等,实现问题的突破与应用．２．３三角函数思维解法３:性质法．依题意可得,p＝４．图３根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图３所示,过点A,B作抛物线的准线的垂线,垂足分别为D,E．设øA F x＝θ,其中θ为锐角．结合øA F B＝øC F B,利用抛物线的焦半径公式可得|A F|＝p１－c o sθ＝p２s i n２θ２,|B F|＝p１－c o s(θ＋π－θ２)＝p１＋s i nθ２．由øA F B＝øC F B知,F B是øA F C的角平分线,则利用三角形内角平分线定理可得|C F||A F|＝|B C||A B|．结合比例性质,可得|C F||A F|＋|C F|＝|B C||A B|＋|B C|＝|B C||A C|．而由E BʊD A,可得|B E||A D|＝|B C||A C|．结合抛物线的定义有|A D|＝|A F|,|B E|＝|B F|,即|B C||A C|＝|B E||A D|＝|B F||A F|,所以|C F||A F|＋|C F|＝|B F||A F|,即pp２s i n２θ２＋p＝p１＋s i nθ２p２s i n２θ２,整理可得s i nθ２－２s i n２θ２＝０．解得s i nθ２＝１２,或s i nθ２＝０(舍去),结合θ为锐角,解得θ＝６０ʎ．所以|A F|＝p１－c o sθ＝４１－c o s６０ʎ＝８．解后反思:抛物线的焦半径三角公式|A F|＝p１－c o sθ(θ为直线A F的倾斜角),是解决与抛物线的焦半径相关问题常用的结论．借助三角函数思维,结合三角函数的相关知识来巧妙综合与应用．３变式拓展３．１同源变式变式１㊀己知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴的交点为C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|B F|＝．在此基础上,可以对问题进行一般化的归纳与总结．结论:已知抛物线y２＝２p x(p＞０)的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A F|＝２p,|B F|＝２p３．变式２㊀己知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A B|＝．３．２同阶变式变式３㊀已知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则直线A F的斜率为．变式１,２,３的参考答案分别为:８３,８７３,ʃ３．４教学启示此类涉及抛物线的焦半径问题,往往是多知识点交汇与融合的产物,这样的创设契合高考数学命题精神,而多知识点交汇也为问题的切入提供了更多的思维视角,给各层面的学生提供了更多的机会,从而更加有效地体现数学试题的选拔性与区分性．在数学学习中,针对此类涉及圆锥曲线的焦半径问题,要深刻体会并加以系统学习,把握问题的实质与内涵,构建知识体系,理解技巧方法,形成解题习惯,培养数学品质．Z４８。

一题多解,一题多变,激活数学课堂——减轻学生学习负担的有效方法

新时代的素质教育热潮滚滚，推动着教育改革的迅猛发展.在崭新的教育形势下，我们常常思考：我们的教学如何改？怎样变静态为动态？怎样的教学方法才能有效引导孩子们理解问题、分析问题和解决问题？什么教学策略可以引发情趣，激活课堂，让孩子们活力四射、灵感起飞，思维无限伸展，自由畅然飞翔？如何让孩子们在那一节节充满激情和快乐的魅力课堂自主投入，遨游知识的海洋，积极探索科学奥秘？基于以上思考，我们觉得“如何打造活力课堂，引导高效学习，力求减轻学生学习负担，让孩子们放飞思维的翅膀”就成为课程改革范畴中值得研讨和探究的重量级课题.作为一名初中数学教师，几年来一直在教学第一线，践行课程改革已有几年光景.如上的思考驱动着我也在数学课堂教学中尝试了很多，总结了很多.仅就我在多年来课堂教学改革的践行体验和感悟来说，“一题多解，一题多变”能引导学生发散思维，自主合作探究，激发兴趣，激活课堂，是有效指导学生达到事半功倍效果的上好策略.一题多解，一题多变，让公式更好记初中阶段，学生所要记忆的数学公式开始慢慢增多，且概念庞杂，一时间初中生很难招架.所以，学习多了杂了，他们的思维势必会出现混乱不清的局面.尤其是一些理解力、记忆力偏差的学生，他们不仅是课堂教学的一块短板，还会严重影响整体教学质量.那如何让学生对公式的理解和掌握更深刻、更扎实呢？笔者认为，在教学中提倡“一题多解，一题多变”不失为一个好的办法.其中，所谓一题多解，我们可以理解为：同一个问题通过多个渠道、多个方法、多个途径来解决.再或者，即使是同一个问题，答案却是不唯一的，而是多元的，不同分析方法和思维方式得出的结论是不同的，却全都合理，这属于开放性问题理念.而在初中课堂实施“一题多变”，就是把课本上的例题或习题通过合理的变式，或改变条件、改变结论、改变图形、改变数据、引申知识运用、拓展含义，以有效实现一题变多题，达到训练形式多样化和多元化，继而达到课堂教学举一反三的目的.以“平方差公式”的教学为例，在展开教学之际，我是这样进行引导的：“孩子们，我们学过多项式乘法了，下面请每个小组都写出两个‘两个二项式相乘’的例子在题板上.”听到我的要求，学生们纷纷开始动脑举例.这时，我继续说：“之后请大家观察一下两个二项式相乘的算式，在没有合并同类项之前有几项？”学生们异口同声说4项，我表示赞同，然后话锋一转：“那么，如果现在我们合并同类项，将会出现什么情况呢？”说到这儿，学生们立刻感到一题多解，一题多变，激活数学课堂———减轻学生学习负担的有效方法汤润华甘肃定西市通渭县通和初级中学743300［摘要］时代发展需要推进素质教育，而素质教育的发展必须要改革课堂教学.“一题多解，一题多变”引导学生发散思维，自主合作探究，激发兴趣，激活课堂，是有效指导学生达到事半功倍效果的上好策略.“一题多解，一题多变”教学引发学生尽兴探知，可谓趣味引导减负增效.［关键词］一题多解；一题多变；活力课堂*注院基金项目：2013年度定西市教育科学“十二五”规划课题“一题多解和一题多变减轻学生负担”（课题批准号DX ［2013］GHB084）成果）35好奇，我则顺势打出几行字引发他们的探究欲望“两个二项式相乘，在合并同类项以后，结果只有三项？还是两项？请各小组广泛交流，探究讨论”.这样一来，学生们的探究热情被激起，积极投入到小组合作交流探究中.经过孩子们的探究学习后，得出了“两个二项式相乘，得出的结果合并同类项后，积可能是二项式.当相乘的两个乘式是‘两数之和’‘两数之差’时，得到的积合并同类项后一定是二项式”的结论，继而推导出平方差公式.像这样的教学方法，孩子们对公式的记忆会更加深刻、牢固.一题多解，一题多变，让例题更形象在教学中，“一题多解”“一题多变”可以让孩子们放飞思维的翅膀，灵动智慧的光芒，继而实现多元化理解问题、多渠道解决实际问题；可以把抽象的新知识通过旧知识的变化迁移出来，引领孩子们顺势探究；还可以让困难的问题变得简单化、明了化，从而降低学生的负担和压力，提高他们的探究热情与信心.而在课堂教学中，如果我们稍加注意，就会发现新教材给我们教者带来了很多的拓展空间.尤其是一些相关例题，都具备情境化、多样化、开放性的特点，所以，我们完全可以把这样一个或几个教材例题通过变式和变通，演变成几个或更多个题目来探究.而且，知识是静态的，学生的思维是活动的，所以，一道例题在手，教师若能打开学生的思路，启动学生思维的窗扉，引导他们从不同侧面和各种角度去观察、分析、考虑，就能寻到不同的解题方法和策略，那将是教学的最大成功.初中三年级有这样一道例题：一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高是3米.把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内正好装满，这个圆柱形粮囤的高是多少米？在解答这道例题前，我首先将其进行了情境化，然后结合情境引发学生思考，并提出问题：“请大家结合已学知识思考一下，你们可以通过几种方法来求出答案呢？”通过我的提问，学生们的积极性和好胜心纷纷被激发，他们纷纷开动思维、着手演练，从而让课堂得以升华.通过学生的片刻探究，他们纷纷汇报出两种不同的解法：解法一，圆柱粮囤的体积和麦堆的体积相等，所以先求出麦堆的体积，然后直接与圆柱粮囤的底面积相除，从而得出粮囤的高度；解法二，根据麦堆的体积和圆柱粮囤体积相等的关系列方程，从而求解.当两种解法都被大家认同后，我又延伸、讨论：哪种方法是最佳的解决方法？学生们积极阐述自己的看法.像这种一题多解的习题演练方法，不仅能活跃初中生的思维，提高他们的数学能力，还能实现课堂教学的有效性.一题多解，一题多变，让练习更有趣合理的习题演练是巩固初中生对所学知识应用能力、使用能力的关键途径.所以，在学完某项知识点的时候，我们必须及时创设合理的巩固性习题，以加深初中生对所学知识的理解能力和实践能力.这样一来，还可以间接激发他们的探求热情，延伸他们对知识点的思考，从而让数学教学的真谛得以呈现.此外，在创设练习题时，我们还可以针对初中生的心理特征、知识结构等，联系生活实际，设计出满足时代性、教学性、思维性的习题，并适当参入竞争机制，从而引发初中生的探究欲望与学习热情.在这个基础上，实施一题多变的做法不失为一种知识拓展和应用扩展的好方法.比如，改变原有练习题的条件，那么结论将会出现相应的变化；保留练习题的原有条件，将结论做一下变动，那么该如何证明这个过程等.通过这样一系列的改变，不仅会让习题更具趣味性和探究价值，还能唤醒学生的探索积极性，从而让智慧在课堂中张灯结彩.在此，我们不妨举个“地板铺设”的例题，做法是引导学生剪六个完全一样的任意三角形，并把它们密铺在一起，然后提出问题：“若用正多边形来铺地板，可以吗？需要注意什么？有多少种拼法？”创造了这样的问题情境后便引导学生在题目变化后展开进一步的探究，这样可以更好地激发学生们的探究热情，从而将正多边形铺地板的拼接原理构建出来.在这个基础上，我继续变化题目条件：“如果采用的是正五边形或正十边形的地砖，可不可以把地板铺得密集而不留缺口呢？”这样，通过对问题的不断延伸和变化，探究活动将会慢慢延伸到教学本质，继而得出更多的答案.由此可见，一题多变很到位地培养了学生思维发展的递进性，而且整个过程是一个操作性探究的有趣过程，孩子们在探索过程中津津乐道，收获不小.综上所述，数学不仅具有严密的逻辑性，同时还是变通的.初中数学天地广阔，一题多解与一题多变的例题还有很多、很多，如果我们在实际教学中有针对性、有意识地去探索、研究和分析，那我们就会发现很多例题、很多练习题都可以作为“一题多解”“一题多变”的原型进而拓展开来，如此这样，举一反三的多变多解式趣味性探究教学将卓著实效、美不胜收.我们还可以利用可拓宽可展开的题目，细致观察、深入分析，然后打开解决问题的诸多思路，或者求其变式而增设训练强度，并将其带到课堂上，这样会在不知不觉中增大课堂的容量，培养学生各方面的技能，特别是自主探索、创新思维的能力.此外，“多解而归一，多变求多法”的课堂教学形式也非常利于激趣、引导、激活课堂，那活力奔放探研涌涌的课堂，一定会让我们收到举一棋而胜全盘的教学效果.36。

初中数学思维一题多变、一题多问、一题多解

一图多变、一题多问、
一题多解、一一聚多
目录
1
一图多变
2
一题多问
3
一题多解
4
一一聚多
1
一图多变
一图多变
如图1, a、b、c是△ABC的三边,
∠C=90°，下面我们对直角三角形
进行一题多问与一图多变,欣赏直角
三角形的迷人风采,享受直角三角形
的变化给我们带来的无限乐趣.
图1
.
A.开发原题探索结论
a b c, a c b, b c a.
__________________________
c a, c b.
4.考查垂线段最短得___________
sin A
a
b
a
b
, cos A , tan A , cot A
c
c
b
a
5.考查锐角A的三角形函数得___________________________.
2
(2)求以a为轴旋转一周所得的
几何体的表面积;
(3)求以b为轴旋转一周所得的
几何体的表面积;
(பைடு நூலகம்)求以c为轴旋转一周所得的
几何体的表面积.
0
C.原题不变添图变化
上面原题条件不变,添加一些条件得到19个新题!
下面我们探索原题条件不变,添加一些图形得到
许多新题!请大家欣赏下面一图多变.
27.如图2,原题增添斜边AB上的高CD,则有
5或 7
18.若△ABC的两边是3和4,则第三边的长为______.考查的知识点
分类讨论
是________思想及勾股定理.
B.变化原题探索结论
19.若△ABC的三边是连续整数,

拓展思维,一题多变,多题一解,一题多解

拓展思维,一题多变,多题一解,一题多解初三数学总复习是大家所关注的重要问题,确立复习的指导思想,选择正确的复习方法,使学生在毕业前把基础知识系统化,对所学教学内容有一个较全面的认识,并且得到综合和提高,以便为升学考试打好基础.在复习时间紧、内容多、任务重的情况下,选择典型题目进行精讲精练,探索研究揭示规律,训练解题技巧,以拓展学生思维,达到举一反三之功效,使知识融会贯通.因此,在复习解题中,应做到三个“一”,即一题多变,多题一解,一题多解.下面就举例说明.一、一题多变对培养学生分析问题和解决问题的能力,提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力都是十分有效的如:农机厂职工距工厂15千米的农村检修农机,一部分人骑自行车先走40分钟后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是自行车的3倍,求两种车的速度.分析:设自行车的速度是x千米/时,则汽车的速度是3x千米/时,速度、时间、路程三者间的关系如下表:■因为汽车晚开出40分钟(即■小时),与自行车同时到达,说明行驶15千米,汽车比自行车少用■小时,即有如下等量关系:汽车所用时间=自行车所用时间-■小时于是得■=■-■,此题可变换成如下题目:变换1:若把条件中“他们同时到达”分别变换成如下条件:(1)汽车比自行车早到10分钟;(2)汽车到达时,自行车距目的地2千米.则可根据时间关系列出方程:设自行车速度是x千米/时,有:(1)■=■-■-■;(2)■=■-■.变换2:若把条件“汽车速度是自行车的3倍”,分别作如下变换:(1)已知汽车的速度是自行车的3倍多0.5千米;(2)汽车与自行车相同路程所用时间比为1∶3,则可列出方程:设自行车速度为x千米/时,有:(1)■=■-■;(2)■=■-■.变换3:农机厂职工骑自行车到距工厂15千米的农村检修农机.(1)行车5千米后,因有人车坏,因而以比原速度少1千米/时的速度骑行,结果比原计划晚15分钟到达;(2)行车5千米后,以后以速度的1.2倍骑行,因而比原计划早20分钟到达;(3)在回来的路中,用原速度行了半小时后,因事停留半小时,以后每小时多骑2千米,结果往来时间一样.分别求骑自行车原来的速度.设自行车原来的速度为x千米/时,则可列出相应的方程:(1)■=■+■;(2)■=■-■;(3)■=■-■.以上一组题都是同向而行,也可变换成异向而行,此时,只要掌握异向、相向而行与同向而行的区别,仍可按时间关系列出方程.又如:已知:如图1,点c为线段ab上一点,△acm,△cbn是等边三角形.求证:an=bm.■分析:为证结论,首先可按题中条件画出图形,让学生从直观上比较an与bm的大小关系,然后给予证明.证明:由∠acm=∠bcn得∠acn=∠bcm,又ac=mc,bc=nc,故△can≌△mcb,从而an=bm.此题可作如下变换:变换1:设an、bm交于d点,试求∠adb的度数.分析:根据三角形外角的性质和全等三角形的对应角相等,可得∠adb=120°.变换2:若an交cm于e,bm交cn于f,求证ce=cf.分析:△cen≌△cfb不难得出ce=cf.变换3:若连结ef,试证fe∥ab.分析:由ce与cf的关系和∠ecf为60°,可知△ecf是等边三角形,进而可得ef∥ab.变换4:若an的中点为p,bm的中点为q,试证:cp=cq.分析:因为cp是△can的一边an上的中线,而cq是△mcb的一边bm上的中线,又△acn≌△mcb,全等三角形对应边上的中线相等,故cp=cq.变换5:如图2,点c为线段ab上一点,且ac∶cb=2∶1,△acm、△cbn是等边三角形,连结mn,试证mn⊥cn.■分析:利用已知条件,ac∶cb=2∶1,再取ac中点h,连结mh,显然mh为等边△acm的中线,故可知mh⊥ac,由全等三角形判定定理(sas)可得△mcn≌△mch,故mn⊥cn.变换6:如图3,若ac=3,cb=1,试计算△cef的面积.■分析:仍从条件ac∶cb=3∶1入手,不难发现ec∥nb,故有ce∶bn=ac∶ab,即ce∶1=3∶4,解得ce=■,因为△cef为等边三角形,用勾股定理,可迅速求得s△cef=■.对这道几何题,从各个方面进行变换,对提高学生的思维能力大有裨益.下面一组题是利用图形位置的变化进行变换的,变换后的题与原题证法完全相似.例.如图4,在正方形abcd中,ae⊥bf,求证:ae=bf.■本题利用全等三角形的知识不难给出证明,若将bf平移,则有: 变换1:如图5,在正方形abcd中,ae⊥mn,求证:ae=mn.■若再将ae作类似的平移,即有:变换2:如图6,在正方形abcd中,若mn⊥gh,求证:mn=gh.■这两个变题,只需利用平行的有关知识,作出如各自图中所示的辅助线,即可仿照原题给出证明.本题还可给出下列变式:变换3:点h在正方形的一边上,将纸片折叠,使点h正好与所在边的对边上一点g重合,若折痕长10cm,试求hg的长度.在几何教学中,使用从一些基本题出发变换的相关题组,可帮助学生在解题过程中掌握知识间的联系,培养良好的思维习惯,提高解题效率.二、多题一解能训练学生的集中思维,揭示各方面知识的内在联系和规律,从而加深对各方面知识的理解和应用,使知识融会贯通如:如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之比为2∶3,求证6b2=25ac.本题有多种证法,这里从略.若将两根之比推广到一般,即有命题:如果一元二次方程的两根之比为m∶n,求证mnb2=(m+n)2ac.证明:设已知方程的两根分别为mk、nk,则mk+nk=-■,mk·nk=■(m+n)k=-■,①mnk2=■②若m+n=0,则b=0,等式仍然成立;若m+n≠0,则由①得:k=-■,③将③代入②中,消去k,得:mn-■2=■.所以mnb2=(m+n)2ac,综上可知,命题成立.特别地,若m=n,这个等式就是b2=4ac,与方程有等根的条件一致. 利用此结论,解某些与一元二次方程两根之比有关的问题非常简单。

一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考

一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考引言在学习中，我们经常会遇到一些问题，这些问题有时候并不是只有一个答案或一个解决方法。

一题多问、一题多变、一题多解的思想，就是针对这种情况而提出的。

本文将介绍这种思想的具体含义，及其在学习中的运用和思考。

一题多问在学习过程中，我们在掌握问题的基本内容后，有时候会遇到一些疑点。

这时候我们可以通过反复询问问题、寻找答案来更深入地理解问题。

一题多问的思想，就是在问题的基础上反复提出问题，追究问题的本质和细节，获得更深入的理解。

例如，我们在学习物理学中的牛顿第一定律时，可以从以下几个方面去思考问题：•什么是牛顿第一定律？•牛顿第一定律的实验验证的是什么？•牛顿第一定律的本质是什么？•牛顿第一定律与运动无关，那么万有引力定律是否也是与运动相关？通过一题多问的思想，我们可以深入地理解一个问题的本质和意义，从而更好地掌握其知识。

一题多变一题多变指的是在学习中，同一个问题可以有不同的表述方法或角度，通过不同的表述方法或角度来理解问题。

这种思想能够帮助我们更好地理解问题，从而更好地掌握知识。

例如，在学习数学中的解方程时，我们可以从以下几种不同的角度来表述同一个问题：•消元法：将未知数移项并整理，得到最终的解；•因式分解法：将多项式转化为一元二次方程组的形式，然后通过因式分解法得到最终的解；•公式法：对于某些特定的方程，我们可以使用特定的公式来求解。

通过一题多变的思想，我们可以更全面地理解一个问题，并且可以寻找不同的解决方法，从而更好地掌握知识。

一题多解一题多解指的是一个问题可以有不同的解决方法或答案。

在学习中，我们常常会遇到一些问题，即使是同一个问题，也可能有多个解决方法或答案。

一题多解的思想，就是鼓励我们去尝试不同的解决方法或答案，从而更好地掌握知识。

例如，在学习编程时，解决一个问题可能有多种不同的方法，我们可以通过不同的方法比较优劣性质，例如：代码复杂度、效率等，找到最佳的解决方法。

“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用-最新文档

“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用引言：在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。

所谓“一题多解”，就是尽可能用多种例外方法去解决同一道题，更严重的是可以培养学生的思考能力和创造能力。

所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，有利于扩大学生的视野，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。

一、利用一题多解训练学生的思维能力发散思维是从同一来源材料中探求例外答案的思维过程，培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性和创新性等。

通过一题多解，引导学生就例外的角度、例外的观点审视分析同一题中的数量关系，用例外解法求得相同结果，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生对数学思想和数学方法的熟练运用，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。

二、利用一题多变培养学生的广漠思维提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的严重教学手段。

通过“一题多变”的练习可以达到这一目的。

在习题课教学过程中，通过一题多解的表现形式对于培养学生数学兴趣和培养发散性思维的创造能力等起着不可估量的作用。

即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。

这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广漠性和深刻性，从而培养创新思维的品质。

三、在例题讲解中运用一题多解和一题多变（一）在例题讲解中运用一题多解一题多解，一道数学题，因思考的角度例外可得到多种例外的思路，广漠寻求多种解法，提高学生分析问题的能力。

一题多变，对一道数学题或联想，可以得到一系列新的题目，积极开展多种变式题的求解，有助于增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。

下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种多见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

初中数学一题多变一题多解(一)

“一题多变”（一）一、“一题多变”的作用：在平时的数学教学过程中实施一题多变的训练，可以提高学生学习数学的积极性，增强学习数学的兴趣：1、新课中，实施一题多变，以简单题入手由浅入深，可使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。

2、习题课中，把较难题改成多变题目，让学生找到突破口，对难题也产生兴趣。

3、学生自己能够将题目中的问题或某一条件改变，对知识进行重组，自己将题目中的问题或某一条件进行改变，对已学知识进行重组，探索出新知识，解决新问题。

不就题论题，能多思多变。

在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。

如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。

二、“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、变换题型；3、深化条件，保留结论；4、减弱条件，加强结论；5、探讨命题的推广；6、考查命题的特例；7、生根伸枝，图形变换；8、接力赛，一变再变等等。

三、一题多变，挖掘习题涵量：1、变换命题的条件与结论即通过对习题的条件或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。

这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。

例1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。

求证：∠BEC=90°．变换1：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。

求证：CE⊥BE．变换2：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥BE．, E是AD中点．求证：BC=AB+CD．变换3：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD, CE⊥BE．判断E是AD中点吗？为什么？变换4：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，CE⊥BE．求证：AE=ED．2、变换题型即将原题重新包装成新的题型，改变单调的习题模式，从而训练学生解各种题型的综合能力，培养学生思维的适应性和灵活性，有助于学生创新思维品质的养成。

初中数学一题多解初中数学一题多解分析

初中数学一题多解初中数学一题多解分析一、圆的多解题型1、平面上一点到圆的最大距离、最小距离分别是6和2，求圆的直径。

（分点在圆内和圆外两种情况，直径是6+2或6-2）2、圆的两条弦长6和8，半径5，求两条弦的距离。

（分弦在圆心的同旁和两旁两种情况，距离是4+3或4-3）3、半径是4的圆中，长是4的弦所对的圆周角是多少度？（分弦所对的优弧和劣弧对的圆周角两种情况，度数是30或150）4、相切两圆半径分别是4和6，求圆心距。

（分内切、外切两种情况，圆心距是6-4或6+4）5、相交两圆半径分别是25和39，公共弦长30，求圆心距。

（分两圆心在公共弦的同旁和两旁两种情况，是36-20或36+20）6、三角形ABC的外接圆半径是4，BC=4，求角A的度数。

（分圆心在三角形内部和外部两种情况，是30度或150度)二、数的多解题型1、a的相反数是本身，b的倒数是本身，则a-b的值是多少？（倒数是本身的数有1和-1，结果是-1或1）2、平方是本身的数是_____(是0或1）3、a的立方根是2，a的平方根是几？（正数的平方根都有两个，是正负2根号2）4、a、b的平方相等，a+2=3，b-2的差是几？（平方相等的数要么相等要么互为相反数，b是1或-1，差是-1或-3）5、绝对值是5的数与平方根是3的数的和是几？（绝对值是正数的数有两个，和是8或-2）6、数轴上，与表示2的点距离等于6的点表示的数，是倒数等于1.5的数的多少倍？（距离是6的点表示的数是原数加上6或减去6，结果是-6倍或12倍）三、三角形的多解题型1、等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求顶角。

（分锐角三角形和钝角三角形两种情况，顶角30°或150°）2、等腰三角形两边长5和6，求周长。

（两边分别是腰和底两种情况，得周长16或17）3、直角三角形两边长3和4，求第三边。

（第三部边是斜边、直角边两种情况，是5或根号7）4、三角形的一个30°角对的边为5，一条邻边是8，求面积。

初中数学一题多变一题多解(二)

一题多解一题多变（二）1、一题多解，培养思维的发散性一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。

这方面的例子很多，尤其是几何证明题。

已知：点O是等边△ABC内一点,OA=4，OB=5，OC=3求∠AOC的度数。

练习：把此题适当变式:变式在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°OA=4，OB=6，OC=2求∠AOC的度数。

变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?2、一题多变，培养思维的灵活性一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。

一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。

例如：已知：C 为AB 上一点，△ACM 和△CBN 为等边三角形（如图所示）求证：AN=BM（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。

“一题多解、多变”练思维 “多解、多题归一”悟本质

文/王永坚近年来，在初中数学教学实践中，围绕着培养学生的创造性思维能力问题，已作出了许多有益的探索。

系统论指出：整体功能大于部分功能之和。

它的启示是：在数学教学中，如果能以某一主题为中心，注意把“一题多解”、“一题多变”、“多解归一”、“多题归一”等方法组成一个互相联系互相作用的综合整体，更有助于加深对知识的巩固与深化，提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力，增强思维的灵活性、变通性和创新性。

一、一题多解，激活学生思维的发散性一题多解，培养学生求异创新的发散性思维。

通过一题多解的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路。

例1：有两个完全相同的长方体恰好拼成了一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米。

如果把这两个长方体改拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是多少？【解法1】30-30÷6+30÷6×2=30-5+10=35（平方厘米）。

或：30+30÷6×（2-1）=30+5=35（平方厘米）。

【解法2】30+30÷6=30+5=35（平方厘米）。

【解法3】30÷6×（6+1）=30÷6×7=35（平方厘米）。

【评注】比较以上三种解法，解法2和解法3是本题较好的解法。

在数学解题过程中，可以通过“一题多解”训练拓宽自己的思路，在遇到新的问题时能顺利挖掘出新旧知识间的相互关系和内在联系，培养求异思维，使自己的思维具有流畅性。

二、一题多变，激励学生思维的变通性一题多变，培养学生思维的应变性。

把习题通过条件变换、因果变换等，使之变为更多的有价值、有新意的新问题，使更多的知识得到应用，从而获得“一题多练”、“一题多得”的效果。

这种习题，有助于启发引导学生分析比较其异同点，抓住问题的实质，加深对本质特征的认识，从而更好地区分事物的各种因素，形成正确的认识，进而更深刻地理解所学知识，促进和增强学生思维的深刻性。