最新初中数学一题多变、一题多解

C

B

A

S 2

S 3

S 1

C

B

A

S 3

S 2

S 1

S 3

S 2S 1

C

B

A

一题多解、一题多变

原题条件或结论的变化

所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。

例1 求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 变式1 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。 变式2 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。 变式3 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。 变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？ 变式5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？ 变式6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？ ……

通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。 一、几何图形形状的变化

如图1，分别以Rt ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为321S S S 、、，则

321S S S 、、之间的关系是

图1 图2 图3

E S 3

S 2

S 1

D

C

B

A

S 3S 2

S 1

A

B

C

D

A

B

C

D S 3S 2

S 1

变式1：如图2，如果以Rt ∆ABC 的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是

变式2：如图3，如果以Rt ∆ABC 的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为

321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是

变式3：如果以Rt ∆ABC 的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为321S S S 、、，为使321S S S 、、之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。

,2,90,//,44321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、，其面积分别为为边向梯形外作正方形、、分别以且中，梯形：如图变式=︒=∠+∠之间的关系是

图4 图5 图6

,2,90,//,55321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、形，其面积分别为为边向梯形外作正三角、、分别以

且中，梯形：如图变式=︒=∠+∠之间的关系是

,2,90,//,66321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、，其面积分别为为直径向梯形外作半圆、、分别以且中，梯形：如图变式=︒=∠+∠之间的关系是

上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。 二、图形内部结构的变化

例2.已知：如图7，点C 为线段AB 上一点，∆ACM 、∆CBN 是等边三角形。

求证：AN=BM

图7 图8

MCB

ACN CB CN AC MC CBN ACM ∠=∠==∴∆∆,,是等边三角形

和证明：

ACN ∆∴≌MCB ∆

BM AN =∴

变式1：在例2中，连接DE ，求证：（1）∆DCE 是等边三角形（2）DE//AB

分析：(1)可证ADC ∆≌MEC ∆，则DC=EC,因为∠DCE=︒60,所以∆DCE 是等边三角形。 (2)由（1）易证∠EDC =∠ACM=︒60,所以DE//AB 变式2：例2中，连接CF ，求证：CF 平分∠AFB

分析：过点C 作C G ⊥AN 于G,CH ⊥BM 于H,由ACN ∆≌MCB ∆，可得到CG=CH,

所以CF 平分∠AFB

变式3：如图8，点C 为线段AB 上一点，∆ACM 、∆CBN 是等边三角形，P 是AN 的中点，Q 是BM 的中点，求证：CPQ ∆是等边三角形 证明：ACN ∆ ≌MCB ∆

BM AN =∴,ANC ABM ∠=∠

的中点、分别是、又BM AN Q P

BCQ ∆∴≌P N C ∆

是等边三角形

CPQ 60NCB NCQ BCQ NCQ NCP PCQ NCP

BCQ CP,CQ ∆∴︒=∠=∠+∠=∠+∠=∠∴∠=∠=∴

图7是一个很常见的图形，其中蕴含着很多的关系式，此题还可

适当引导学生探索当点C 不在线段AB 上时所产生的图形中的一些结论，通过该题的变式训练，让学生利用自己已有的知识去探索、猜想，进而培养了学生思维的创造性。 三、因某一基本问题迁移的变化

例4如图9，要在燃气管道L 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，问泵站修在什么地方使所用的输气管线最短？ 图9

分析：设泵站应建在P 处。取点B 关于L 的对称点B ’,如图1，PB ’=PB,要使PA+PB 最小只要PB ’+PA 最小，而两点之间距离最短，连接AB ’与L 的交点P 即是泵站所建的位置。本题特点：一直线同旁有两定点，关键要在直线上确定动点的位置，使动点到定 点的距离之和最短，我们常常把这类问题称作“泵站问题”。

变式1：如图2，在∆ABC 中，AC=BC=2,∠ACB=︒90,D 是BC 的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是

图2

解：C 、D 是两定点，E 是在直线AB 上移动的一动点，以CA 、CB 为边作正方形ACBF ，则C 关于AB 的对称点一定是F,连接DF 交AB 于E,这时EC+ED 最小。因为D 是BC 的中点，在直角三角形FBD 中， P

L

B'

B

A

F

E

D

C

B

A