人教版A版高中数学选修1-1：椭圆的定义和离心率 图文
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3.1.2椭圆的简单几何性质(离心率、焦半径公式)+课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
3 c 1 , 1 e 1
a3 3
课堂练习：
2、已知椭圆x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)的左、右焦点分别是F1, F2,
P是椭圆上一点.若 | PF1 | 2 | PF2 |,求椭圆的离心率的取值范围。
法二：解：| PF1 | | PF2 | 2a,| PF1 | 2 | PF2 |
求 | PF2 | • | PF1 | 范围
H
y
P
分析：| PF2 | a ex,| PF1 | a ex
F1 O
x F2
| PF2 | • | PF1 | (a ex)(a ex)
x a2
c
a2 (ex)2, x [a, a]
当x 0时，| PF2 | • | PF1 |max a2 当x a时，| PF2 | • | PF1 |min a2 c2 b2
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
长轴为A1A2=2a，短轴为B1B1=2b 关于x轴、y轴、原点对称
e c a
1
b2 a2
| F1F2 | | PF1 | | PF2
|
0 e 1
e越接近1, 椭圆越扁平; e越接近0, 椭圆越接近圆.
课前练习：
已知椭圆
x2
my 2
1的离心率
c
a
解：设d是点M到直线l : x a2 的距离，M (x, y). c
y
M
H
则动点M满足 | MF | c d a
oF
x
(x c)2 y2 c | a2 x | ac
整理得 x2 a2
y2 a2 c2
1
动点M的轨迹是椭圆。
a3 3
课堂练习：
2、已知椭圆x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)的左、右焦点分别是F1, F2,
P是椭圆上一点.若 | PF1 | 2 | PF2 |,求椭圆的离心率的取值范围。
法二：解：| PF1 | | PF2 | 2a,| PF1 | 2 | PF2 |
求 | PF2 | • | PF1 | 范围
H
y
P
分析：| PF2 | a ex,| PF1 | a ex
F1 O
x F2
| PF2 | • | PF1 | (a ex)(a ex)
x a2
c
a2 (ex)2, x [a, a]
当x 0时，| PF2 | • | PF1 |max a2 当x a时，| PF2 | • | PF1 |min a2 c2 b2
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
长轴为A1A2=2a，短轴为B1B1=2b 关于x轴、y轴、原点对称
e c a
1
b2 a2
| F1F2 | | PF1 | | PF2
|
0 e 1
e越接近1, 椭圆越扁平; e越接近0, 椭圆越接近圆.
课前练习：
已知椭圆
x2
my 2
1的离心率
c
a
解：设d是点M到直线l : x a2 的距离，M (x, y). c
y
M
H
则动点M满足 | MF | c d a
oF
x
(x c)2 y2 c | a2 x | ac
整理得 x2 a2
y2 a2 c2
1
动点M的轨迹是椭圆。
人教A版高中数学选修1-1课件：2.1.2椭圆的简单几何性质.pptx
B1（0,-b）、B2（0，b） （2）长轴：线段A1A2 短轴：线段B1B2
y
4 B2
3 2
长轴长:2a;长半轴长:a
A1
1
A2
短轴长:2b;短半轴长:b
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
（3）六个特殊点：四个顶点， 两个焦点。
-3
-4 B1
Hale Waihona Puke 短轴端点、中心、焦点构成一直角Δ，且三边长为a,b,c
y2 b2
1(a
b
0)
（1）由图知：-a≤x≤a;-b≤y≤b
（2）由方程：x2 a2
1
x2 a2
y2 1
y2 b2
b2
-a≤x≤a -b≤y≤b
by
a
椭圆位于直线x=±a和直线
-a
O
x
y=±b围成的矩形区域内。
-b
椭圆的几 何性 质.swfk
2、对称性
（1）由图知：关于x、y轴成轴对称，关于原 点成中心对称。
y
0
x
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
x 0
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对
（a,0称）。,(0,b)
（b,0）,(0,a)
(c,0)
(0,c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
题型一、椭圆的几何性质的简单应用
A. 2 2
B. 2 1 2
C .2 2 D. 2 1
椭圆的第二定义
人教A版高中数学选修1-1课件2.1.2椭圆的简单几何性质新.pptx
a
例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短 轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并 画出它的图形. 解：把方程化为标准方程:
x2 y2 1
25 16
所以:a=5,b=4
c= 25 16 3
所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8；
离心率为0.6；
焦点坐标为(-3,0),(3,0)
空白演示
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让我们一起研究：
标准方程为:的x椭2 圆 的y 2性质1 a2 b2
y
横坐标的范围：
B2
-axa
A1 F1 O
A2
F2
x
纵坐标的范围：
B1
-byb
由式子知x 2 y 2 1 a2 b2
x2 a2 1
所以 x2 a2 从而：-axa
y
解：如图建立直角坐标系， y
设所求椭圆方程为
A
x2 y2 1 a2 b2
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的性质知，| F1A | | F2 A | 2a
所以
a
1 2
(|
F1 A
பைடு நூலகம்
率为0.8.
x2 125
y2 45
1
或
y2 125
x2 45
1
16 16
16 16
例直3线：l:点的xM距 (离2x45,y的)与比定等点于F常(4数,0)，的求距M离点和54的它轨到迹定。
解：设d是点M到直线l:的x距 离245， 根据题意，点M的轨迹是集合
例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短 轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并 画出它的图形. 解：把方程化为标准方程:
x2 y2 1
25 16
所以:a=5,b=4
c= 25 16 3
所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8；
离心率为0.6；
焦点坐标为(-3,0),(3,0)
空白演示
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让我们一起研究：
标准方程为:的x椭2 圆 的y 2性质1 a2 b2
y
横坐标的范围：
B2
-axa
A1 F1 O
A2
F2
x
纵坐标的范围：
B1
-byb
由式子知x 2 y 2 1 a2 b2
x2 a2 1
所以 x2 a2 从而：-axa
y
解：如图建立直角坐标系， y
设所求椭圆方程为
A
x2 y2 1 a2 b2
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的性质知，| F1A | | F2 A | 2a
所以
a
1 2
(|
F1 A
பைடு நூலகம்
率为0.8.
x2 125
y2 45
1
或
y2 125
x2 45
1
16 16
16 16
例直3线：l:点的xM距 (离2x45,y的)与比定等点于F常(4数,0)，的求距M离点和54的它轨到迹定。
解：设d是点M到直线l:的x距 离245， 根据题意，点M的轨迹是集合
新课标人教A版选修1-1第二章第1节《椭圆的简单几何性质(一)》课件(共15张PPT)
（2）长轴长等于20 ,离心率等于
3 5
．
解:（1）由题意， a 3 b 2,又∵长轴在 x
轴上，所以，椭圆的标准方程为 x2 y2 1
．
94
（2）由已知，2a 20 ，e c 3
a5
∴ a 10 ，c 6 ，∴ b2 102 62 64 ，
短轴长是： 2
。
焦距是： 2 5
.离心率等于：
30 6
。
焦点坐标是： (0, 5) 。
顶点坐标是： (0, 6) (1, 0) 。
其标准方程是 x2 y2 1 16
a 6 b 1 则c a2 b2 5
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,0) 、Q(0, 2) ；
2.对称性：关于x轴，y轴，原点都对称 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3.椭圆的顶点
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
y
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ B2 (0,b)
A1
(-a，0) F1
b
oc
a A2(a，0) F2
x2 100
y2 64
1
或
y2 100
x2 64
1
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐 标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经 过点P（3，0），求椭圆的方程。
答案： x2 y 2 1 9
x2 y2 1 9 81
分类讨论的数学思想
3 5
．
解:（1）由题意， a 3 b 2,又∵长轴在 x
轴上，所以，椭圆的标准方程为 x2 y2 1
．
94
（2）由已知，2a 20 ，e c 3
a5
∴ a 10 ，c 6 ，∴ b2 102 62 64 ，
短轴长是： 2
。
焦距是： 2 5
.离心率等于：
30 6
。
焦点坐标是： (0, 5) 。
顶点坐标是： (0, 6) (1, 0) 。
其标准方程是 x2 y2 1 16
a 6 b 1 则c a2 b2 5
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,0) 、Q(0, 2) ；
2.对称性：关于x轴，y轴，原点都对称 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3.椭圆的顶点
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
y
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ B2 (0,b)
A1
(-a，0) F1
b
oc
a A2(a，0) F2
x2 100
y2 64
1
或
y2 100
x2 64
1
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐 标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经 过点P（3，0），求椭圆的方程。
答案： x2 y 2 1 9
x2 y2 1 9 81
分类讨论的数学思想
人教A版选修1-1第二章2.1椭圆的基本性质(第一课时)共17张PPT
方 程
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
x2பைடு நூலகம்b2
y2 a2
1(ab0)
性
Y
Y
图象
F1
o F1
F2
X
质 范围
顶点坐标
对称性
离心率
-a≤x≤a,-b≤y≤b (-a,0), (a,0), (0,-b), (0,b)
x轴、y轴、原点对称
0<e<1
X
F2
-a≤y≤a,-b≤x≤b (-b,0), (b,0), (0,-a), (0,a)
1－ba22求解.
(2)若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成c 的形式，并将其视为整体，就
a 变成了关于离心率 e 的方程，进而求解．
变式：若椭圆k＋x24＋y42＝1 的离心率为12，则 k＝________．
[解析] 当焦点在 x 轴上时，a2＝k＋4，b2＝4， ∴c2＝k，∵e＝12，∴ca22＝14，即k＋k 4＝14，∴k＝43. 当焦点在 y 轴上时，a2＝4，b2＝k＋4， ∴c2＝－k.由 e＝12，∴ac22＝14，∴－4k＝14. ∴k＝－1. 综上可知，k＝43或 k＝－1.
x轴、y轴、原点对称
0<e<1
1．椭圆上到中心距离最近和最远的点：短轴端点B1 或 B2到 中心O的距离最近；长轴端点A1或A2到中心O的距离最远. 2.椭圆上一点与焦点距离的最值：点A1(-a，0)， A2(a，0)与 焦点F1(－c，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最 大距 离（ a+c ） 和最小距离（ a-c ）．
例 2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， 且经过点 A(2，0)，求椭圆的标准方程．
人教A版高中数学选修1-1课件高二2.1.2.1椭圆的简单几何性质.pptx
还是在短轴上吗？
提示：椭圆的焦点在椭圆的长轴上.
2.能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示：可以，由于 e 又c , c a2 b2 ,
a
故ec
a
a2 b2 a
1
b2 a2
.
3.椭圆16x2+9y2=144的长轴长是_______;短轴长是_______;离
心率是_______.
【解析】先将椭圆16x2+9y2=144化为标准形式
F（1__0_,__-_c__）_,F（2 _0__,_c__）_ |F1F2|=__2_c_
顶点
焦点在x轴上
A1(_-_a_,_0_)_,A2（——a,—0—）—; B（1—0—,—-—b）—,B2—(—0—,b—)—
焦点在y轴上
A（1_0_,_-_a_）_,A2—(—0,—a—)—; B1(—-—b—,0—)—,B2—(b—,—0—)—
【想一想】通过本题中求离心率的过程，你掌握了哪种分析问 题的思想方法？ 提示：由于题设条件图形特征强，a，b，c相对于e的关系复杂， 因此我们在分析问题时要借助于图形来寻找与e有关的量的关 系，即要注重数形结合的方法分析和解决问题.
【规范解答】利用椭圆几何性质求解最值问题
【典例】(12分)（2012·淄博高二检测）中心在原点,焦点在
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线 x 3a 上一点，△F2PF1是底
2
角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
（A） 1
2
（B）2
3
（C）3
4
（D）4
5
2.已知B1，B2为椭圆短轴的两个端点，F1，F2是椭圆的两个焦 点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为______. 3.A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角 形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．
人教A版高中数学选修1-1课件2.1.1《椭圆及其标准方程(三)》
y
B M
O
Ax
课堂练习
2. 椭圆 x 2 y 2 1的两个焦点为F ，F ，过
1
2
4
F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个
交点为P，则 P F2 (
)
3 A.
2
B. 3
7 C.
2
D. 4
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程：
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时，
课堂小结
高中数学课件
灿若寒星整理制作
2.1.1椭圆及其 标准方程(三)
复习引入
1.椭圆的定义：
y MA
cc F1 O F2 x
复习引入
1.椭圆的定义：
把平面内与两个定点F1、F2的距离的
和等于常数2a(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫
作椭圆.
y
MA
cc F1 O F2 x
复习引入
1.椭圆的定义：
把平面内与两个定点F1、F2的距离的
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时， x2 y2 1 (a＞b＞0)．
a2 b2
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时， x2 y2 1 (a＞b＞0)．
a2 b2
当焦点在y轴上时，y2 x2 1
a2 b2
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时， x2 y2 1 (a＞b＞0)．
和等于常数2a(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫
作椭圆. 这两个定点
y
叫做椭圆的焦点，
MA
cc F1 O F2 x
复习引入
1.椭圆的定义：
把平面内与两个定点F1、F2的距离的
B M
O
Ax
课堂练习
2. 椭圆 x 2 y 2 1的两个焦点为F ，F ，过
1
2
4
F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个
交点为P，则 P F2 (
)
3 A.
2
B. 3
7 C.
2
D. 4
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程：
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时，
课堂小结
高中数学课件
灿若寒星整理制作
2.1.1椭圆及其 标准方程(三)
复习引入
1.椭圆的定义：
y MA
cc F1 O F2 x
复习引入
1.椭圆的定义：
把平面内与两个定点F1、F2的距离的
和等于常数2a(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫
作椭圆.
y
MA
cc F1 O F2 x
复习引入
1.椭圆的定义：
把平面内与两个定点F1、F2的距离的
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时， x2 y2 1 (a＞b＞0)．
a2 b2
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时， x2 y2 1 (a＞b＞0)．
a2 b2
当焦点在y轴上时，y2 x2 1
a2 b2
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时， x2 y2 1 (a＞b＞0)．
和等于常数2a(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫
作椭圆. 这两个定点
y
叫做椭圆的焦点，
MA
cc F1 O F2 x
复习引入
1.椭圆的定义：
把平面内与两个定点F1、F2的距离的
人教版A版高中数学选修1-1：椭圆及其标准方程_图文
y2 a2
x2 b2
1
焦点为(0,-c)，(0,c)焦距为2c。
练一练：（口答）
知
1、如果椭圆 x 2 y 2 1 上一点P到焦点F1的 距离等于
识 应
100 36
用
6，则点P到另一个焦点F2的距离是 。
技
2、动点P（x,y)，若满足 (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 10 则P点的轨迹方程是 。
y2 a2
x2 b2
1
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
a2 cx a (x c)2 y2 两边再平方，得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, 所以
a2 c2 0,设a2 c2 b2 (b 0),
所得方程： x2 y2 1 25 9
2、（1）若│F1F2│=7，且│MF1│+│MF2│=9。依照
上面结论不计算过程直接说出M的轨迹方程。
（2）若│F1F2│=10，且│MF1│+│MF2│=26。
3、用符号语言表达出椭圆的定义，猜想椭圆的 标准方程。
观
察 定义：已知平面内两个定点F1，F2，│F1F2│＝2C，
秋人教A版高二数学选修1-1课件：第二章 2.1 椭圆 (共73张PPT)
同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变 它。顽强的毅力改变可以征服世界上任何一座高峰。望远 镜可以望见远的目标，却不能代替你走半步。伟大的成就， 来自为远大的目标所花费的巨大心思和付诸的最大努力。 我不能说只要坚持就能怎样，但是只要放弃就什么都没有 了。有压力，但不会被压垮；迷茫，但永不绝望。沉湎于 希望的人和守株待兔的樵夫没有什么两样。你花时间做什 么事，你就会成为什么样的人！人生没有彩排，每一天都 是现场直播。人生最大的成就是从失败中站起来要做一件 事，成功之前，没有必要告诉其他人。成功之后不用你说， 其他人都会知道的。这就是信息时代所带来的效应。天下 最宝贵的，莫如时日；天下最能奢侈的，莫如浪费时不论 你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。面对 困境，悲观的人因为往往只看到事情消极一面。人生的路， 说长也很长，说短也很短。偶遇不幸或挫败只能证明某一 时候某一方面的不足或做得不够。如果把才华比作剑，那 么勤奋就是磨刀石。才能一旦让懒惰支配，它就一无可为。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
人教版A版高中数学选修1-1：2.1.2 椭圆的简单几何性质(1)
焦点的位置 范围
顶点 轴长 焦点
焦点在x轴上 __－__a_≤_x_≤__a_ _且__－__b_≤__y≤__b__
_A_1_(_－__a_，__0_)、__A__2(_a_，__0_) _B_1_(_0_，__－__b_)、__B__2(_0_，__b_)
焦点在y轴上 __－__b_≤_x_≤__b_ _且__－__a_≤__y≤__a__
练习：
说出下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、 顶点坐标。
（1）x2+4y2=64；（2）4x2+y2=16
（五）作业：
1、P49习题A组3；
2、求适合下列条件的椭圆的方程：
（1）焦点在x轴上，长半轴长9，短轴长为4 （2）焦点在y轴上，焦距为8，短轴长为6
_A_1_(_0_，__－__a_)、__A__2(_0_，__a_) _B_1_(_－__b_，__0_)、__B__2(_b_，__0_)
短轴长＝_2_b_，长轴长＝_2_a_
_F_1_(_－__c_，_0_)_、__F_2_(_c_，__0_) _F__1(_0_，__－__c_)_、__F_2_(0_，__c_)
因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a 10,2b 8
焦点坐标分别是
四个顶点坐标是
F1(3,0), F2(3,0)
A1(5,0), A2 (5,0), B1(0,4), B2 (0,4)
外切矩形面积为80
变式训练1：若椭圆方程变为25x2+16y2=400呢？
（三）例题精讲：
例2.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，
A1
y
B2
O
x
A2
B1
图2.1 8
高中数学新人教版选修1-1 2.1.1《椭圆及其标准方程》课件 (共20张PPT)
焦点位置的判定 项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪
个轴上，相应的那个项的分母就越大.
椭圆标准方程的求法： 一定焦点位置；
二设椭圆方程；
三求a、b的值.
作业：
一. 人教版选修P42 1,2
二. 思考题
方程Ax2+By2=1什么时候表示椭圆？ 什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么 时候表示焦点在y轴上的椭圆？
PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M 的轨迹方程。轨迹是什么图形？
解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为 x0, y0 辅
则
xx0,
yy0 2助y点 Nhomakorabea则
P法
P (x 0 ,y 0 )在 圆 x 2 y 2 4 上 M
x
x02 y02 4
0D
将x0 x, y0 2y代入上述方程
M
F1
F2
导入新课：
绘图纸上的三个问题
1．视笔尖为动点，两个图钉为定点， 动点到两定点距离之和符合什么条 件？其轨迹如何？ 2．改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
探究：
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| 椭圆 |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段 |MF1|+ |MF2|＜|F1F2| 不存在
神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地 点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公 里的圆形轨道.
数学 实验
❖ [1]取一条细绳，
❖ [2]把它的两端固定在 板上的两点F1、F2
❖ [3]用铅笔尖（M）把 细绳拉紧，在板上慢 慢移动看看画出的图 形
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆的简单几何性质
弦长公式：
| AB |
1 k 2 | xA xB |
1
1 k2
|
yA
yB
|
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆 的简单 几何性 质
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆 的简单 几何性 质
2弦长公式
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆 的简单 几何性 质
通法
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆 的简单 几何性 质
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆 的简单 几何性 质
直线与椭圆的位置关系
种类: 相相离切交((没一二有个个交交点点)) 相离(没有交点)
相切(一个交点)
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆 的简单 几何性 质
相交(二个交点)
一.复习 1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
Y
M
F1
0
F2
特别注意: 当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆;
X
当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y
最小距离是多少？
解得k1=25，k2 =-25
由图可知k 25，
x
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 o
且d 40 25 15 41 42 52 41
思考：最大的距离是多少？
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆 的简单 几何性 质
人教A版高中数学选修1-1课件：2.1.2《椭圆的几何性质》PPT(新人教版)
-4
4、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆
就越扁
2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆 就越圆
[3]e与a,b的关系:
ec a
a2 b2
x
轴上，所以，椭圆的标准方程为．x2 y2 1
（2）由已知，2，a 20 e c 3 9 4
a5
∴，a ，10∴，c 6
b2 102 62 64
所以椭圆的标准方程为或x2 ． y2 1
100 64
y2 x2 1 100 64
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴 上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3 ，0），求椭圆的方程。
a2=b2+c2
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤a,|y|≤b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短 半轴长为b.a>b
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2|）的
动点的轨迹叫做椭圆。
| PF | | PF | 2a(2a | F F |)
1
2
12
2.椭圆的标准方程是：
x2 y2
当焦点在X轴上时
1(a b 0) a2 b2
秋人教A版高二数学选修1-1课件：第二章 2.1 椭圆 (共73张PPT)
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
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高中数学人教A版选修1-1课件：2.1.1《椭圆及其标准方程》
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（问题：下面怎样化简？）
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
即：a2 cx a (x c)2 y2
焦点坐标
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
平于面常内数到（两大个于定F1F点2）F椭系1的，圆数点F2方为的的距轨程正离迹有加的特相和等点连
y 分母较大焦点y 定
P
右边数“1”F2记心P间
F1 O F2
x
O
x
F1
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
F1 -c , 0，F2 c , 0
条件的点都在曲线上（完备性）。
(证明一般省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)
2.如何求椭圆的方程？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
F1 O O OF2 x x x
y
M
F2
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平 分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
“天宫一号”与“神八” 将实现两次对接
压扁
椭圆的定义 自己动手试试看:取出课前准备好的一条定长为6cm的 细绳，把它的两端固定在画板上的F 1 和F 2 两点，用铅 笔尖把细绳拉紧,使铅笔尖在图板上缓慢移动,仔细观察, 你画出的是一个什么样的图形呢?
椭圆的离心率课件-高二上学期数学人教A版选修1-1
椭圆的离心率
一、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比,
（1）e范围：0 c a ，∴0<e<1
y
(2)e越接近1，椭圆越扁；
e越接近于0，椭圆越接近于圆.
o
x
(3)计算离心率e的常见情势
①
e c 2c a 2a
F1F2 PF1 PF2
P
c c2
a2 b2
b2
② e a a2 a2 1 a2
2
3
D. 3 4
B1
例2-5
椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的左焦点为F，过原点的直线l与椭圆交于P、Q两点，
PF 3QF , PFQ 1200,则椭圆的离心率为
例2-6
椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF
是正三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率为
.
e2
( c )2 a
a2 b2 a2
1
b2 a2
由题可知
b
a
2b.即
b a
1 2
,1
e2
1
b2 a2
0,
3 4
标准方程
练 习图 象
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
5
x
x
范围
小结 讨论6： 对 称 性
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
sin( )
sin 900
1
e sin sin sin 300 sin 600 1
一、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比,
（1）e范围：0 c a ，∴0<e<1
y
(2)e越接近1，椭圆越扁；
e越接近于0，椭圆越接近于圆.
o
x
(3)计算离心率e的常见情势
①
e c 2c a 2a
F1F2 PF1 PF2
P
c c2
a2 b2
b2
② e a a2 a2 1 a2
2
3
D. 3 4
B1
例2-5
椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的左焦点为F，过原点的直线l与椭圆交于P、Q两点，
PF 3QF , PFQ 1200,则椭圆的离心率为
例2-6
椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF
是正三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率为
.
e2
( c )2 a
a2 b2 a2
1
b2 a2
由题可知
b
a
2b.即
b a
1 2
,1
e2
1
b2 a2
0,
3 4
标准方程
练 习图 象
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
5
x
x
范围
小结 讨论6： 对 称 性
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
sin( )
sin 900
1
e sin sin sin 300 sin 600 1
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探索－嫦娥奔月
2010年10月8日中国“嫦娥”二号卫星成功实 现第 二次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度 约210公里，远月点高度约8600公里，且以月球 的球心为一个焦点的 椭圆形轨道。已知月 球半径约3475公里，
试求“嫦娥”二号卫 星运行的轨迹方程。
三）如何定义椭圆?
圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
的点的集合叫圆.
M
F1
F2
(1)由于绳长固定，所以点M到两个定点的距离 和是个定值
（2）点M到两个定点的距离和要大于两个定点 之间的距离
圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
的点的集合叫圆.
椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之和
的两个定点F1、F2 • (3)用铅笔尖（M）把细绳
拉紧，在板上慢慢移动看 看画出的 图形
1. 改变两图钉之间的距离， 使其与绳长相等，画出的图 形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距 离吗？
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
厦门海沧实验中学 韩耀辉
一、复习回顾
1.圆的定义是什么？圆的标准方程是 什么形式？
2.请同学们回答生活中各种椭圆的实 际图片
二、开始新课
一）列举生活中常见的椭圆形状
1.家具等等上面椭圆
2.车标上的椭圆 如福特、丰田
3.行星等天体的运行轨道
“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空
2c
c
2a a
利用上面的结论，说明离心率对椭圆圆扁 程度的影响。
例2：请比较适合下列条件的椭 圆的圆扁程度：
1）a=4，b=1，焦点在x轴上；
2）a=4，c=1，焦点在y轴上；
三、课堂小结
1）椭圆是怎样的点的轨迹？ 2）椭圆的两个标准方程是怎 样的？有什么区别？ 3）椭圆离心率的概念及其几 何意义。 4）你学会了哪些数学思想与 方法?
3）交换各自所做的椭圆，比较 圆扁的程度，思考如何做出一个 更圆（或者更扁）的椭圆？
当细线长度2a不变时，图钉尖的距 离2c越接近零，椭圆越圆；反之，越接 近2a，椭圆越扁。
当 图 钉 尖 的 距 离 2c 不 变 时 ， 细 线 长 度2a越大，椭圆越圆；反之，越接近2c ，椭圆越扁。
总结：
给出离心率定义： e
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
同 点
a、b、c 的关系
Hale Waihona Puke a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
口答：
1.
x2 52
y2 32
1，则a＝
，b＝
；
2.
x2 42
y2 62
1，则a＝
，b＝
；
x2 y2 3. 1
1. 回忆在必修2中是如何求圆的方程的？
以圆心O为原点，建立直角坐标系
y
设圆上任意一点P(x，y)
P(x, y)
r
O
x
OP r x2 y2 r
两边平方，得
x2 y2 r 2 变形为
x2 y2 r2 r2 1
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
y
F2 M
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
F2
M
ox
F1
♦再认识！
标准方程
不
图形
同
点
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2 y P
F1 O F2
x
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2 y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
4.建筑中的椭圆
请猜猜这是什么地方？看看地毯的形状。
5.其他椭圆的形状
思考：鸡蛋为什么是椭圆 形的呢？
二）椭圆的作法
自然界、生活中处处存在着 椭圆,我们如何用自己的双手画出 椭圆呢?
二）椭圆的作法
F1
F2
通过观察动画，更加直观了解 椭圆的形成过程
二）椭圆的作法
• (1)取一条细绳， • (2)把它的两端固定在板上
则a＝
，b＝
；
96
4. x2 y2 1 74
则a＝
，b＝
．
例1：写出适合下列条件的椭圆 方程:
1）a=4，b=1，焦点在x轴上;
2）a=4，c=1，焦点在y轴上.
五）椭圆的离心率
五）椭圆的离心率
1）观察老师用计算机演示不同 圆扁的椭圆；
2）观察老师用装了水的饮料瓶演示 水面形成的不同椭圆；
为固定值(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫作椭圆.
椭圆定义的文字表述：
M
F2
F1
• 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
• 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 • 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。
椭圆定义的符号表述：
MF1 MF2 2a (2a>2c)
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的
直线作为坐标轴.) (“对称”、“简洁”)
四）椭圆的标准方程
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1a b 0
y
F1 o
M
F2 x
焦点在y轴：