§5-4 差分方程的z变换解法
Z变换和差分方程
经常用于分析计算机系统的稳态误差！！
5、超前定理
n F ( z ) f ( nT ) z 则： 设函数f(t)的 Z变换为 n 0
Z [ f (t kT )] z F ( z ) z
k
k
n 0
n 1
f (nT ) z n
若
f (0) f (T ) f [(k 1)T ] 0 则：
k
求: y ( k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， • 得： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
• 对于 k 2, 将已知初始值 y(0) 0, y(1) 2代入上式，得：
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
第三节
差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k） 及其各阶差分的方程式。 是具有递推关系的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值 解。
差分方程的定义:
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时 刻的输出值 y(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有 关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)…有 关，还与过去的输出值y(k-1)、 y(k-2)…有关。可 以把这种关系描述如下：
i 1
n
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则:
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k, 算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。
差分方程的求解
计算机控制技术课程讲义
17
4.6 方框图及其分析
脉冲传递函数也可用方块图表示，增加一个部件 —— 采样开关
4.6.1 采样开关位置与脉冲传递函数的关系
1、连续输入，连续输出 2、连续输入，离散输出 3、离散输入，离散输出 4、离散输入，连续输出
例：方框图分析
例1、例2、
计算机控制技术课程讲义 18
计算机控制技术课程讲义 2
做Z反变换，由于 Y ( z) 1 1 1 2 z z 3z 2 z 1 z 2 z z 则Y ( z ) z 1 z 2 查Z变换表可得 y (k T) Z 1[Y ( z )] (1) k (2) k , k 0,1,2,...
两个环节中间无采样开关时
a z (1 e aT ) G ( z ) Z [G1 ( s )G2 ( s )] Z s ( s a ) ( z 1)( z e aT )
G1 ( z )G2 ( z ) G1G2 ( z )
计算机控制技术课程讲义 13
T
Y (s)
D( z ) G1 ( z ) R( z ) Y ( z ) G2 ( z ) D( z ) G1 ( z )G2 ( z ) R( z )
Y ( z) G( z) G1 ( z )G2 ( z ) R( z )
计算机控制技术课程讲义
脉冲传递函数等于两个环 节的脉冲传递函数之积。
但是，对离散系统而言，串联环节的脉冲传递函数不 一定如此，这由各环节之间有无同步采样开关来确定
计算机控制技术课程讲义
10
二、离散系统串联环节 1、串联各环节之间有采样器的情况
G( z)
G1 ( z ) G2 ( z )
Z变换及差分方程的求解
Z变换及差分⽅程的求解第⼆讲离散时间动态经济系统运动分析及稳定性分析2.1离散时间函数与Z变换⽬的要求：通过本节的学习使学⽣掌握离散时间函数及Z变换的概念，会使⽤Z变换的性质解决问题，掌握差分⽅程及离散时间系统的运动分析⽅法。
教学内容：我们经常会遇到利⽤离散时间函数表⽰的差分⽅程或差分⽅程组，这在经济管理中经常遇到。
现介绍离散时间函数，差分⽅程后⾯介绍。
⼀、离散时间函数例1 ⼈⼝离散时间函数设全国⼈⼝普查每年进⾏⼀次。
每年的7⽉1⽇凌晨零点的⼈⼝数代表该年的⼈⼝数。
我们以t=0 代表1990年7⽉1⽇凌晨的这个时刻，那么t=1,2,3,……分别表⽰1991年、1992年、1993年等各年度7⽉1⽇凌晨零点。
各年度普查的实际⼈⼝数如下表所⽰中国实际⼈⼝数据（亿⼈）x(0)=11.4333, x(1)=11.5823, x(2)=11.7171,x(3)=11.8517, x(4)=11.9850, x(5)=12.1121,x(6)=12.2389, x(7)=12.3626,……由于在离散时间离取值，故称之为离散时间函数例2 国民⽣产总值GNP(gross national product)离散时间函数。
则，GNP(t)表⽰第t年的GNP数值。
GNP(O)=33560.5, GNP(1)=46670.0, GNP(2)=57494.9,……例3 企业⽉产量离散时间函数。
表为电视机⼯⼚⽣产⽉报表（万台）则，Y(0)=1.5, Y(1)=2, Y(2)=1.8,……可以看出，经济管理实践中基本上采⽤离散时间函数来表达各种变量的变化，并该函数没有解析表达式，只有图象、列表表达式。
其⾃变量为离散时间。
⼆、Z 变换及其逆变换导⾔：Z 变换是怎么发明出来的？⽜顿、莱布尼兹等发明了微积分，之后发明了常系数微分⽅程及⽅程组。
在求解⽅程时总结经验，简化计算，如⽤符号s 表⽰微分运算s=d/dt,即s 〃f(t)=df(t)/dt 。
对差分方程两边进行Z变换
二.典型序列的收敛域 1.有限长序列：
x( z )
0 n1 n n2 x(n) 其它 0
n
n
x(n) z
n n1
n x ( n ) z (1)
n2
①
n1 0 n2 0
0 n n n1
（ 1 ）式 x(n) z
1 a n2 1 1. an 1 a n 0 n2 1
n2
a 1 a 1
a n1 a n2 1 a 1 n 2. a 1 a n n1 n2 n1 1 a 1
n2
1 n 3. a a 1 1 a n 0
n
a z
n 0
结论：（1）通常收敛域以极点为边界，且收敛域内无极点 1 z z z （2）根据x(n)是左边、右边、还是双边序列，直接 a z z a z b 1 1 写出收敛域形式 z b
a 1 z
n
a z b z
冲激，抽样 n 0
对上式取拉氏变换
xs (t ) x s (t )e st dt
0
[ x(nT ) (t nT )]e st dt
0 n 0
x( z ) x(n) z n x(0) x(1) z 1 x(2) z 2 x(n) z n
z 1
z 0.5
0.5 z 1
求三种可能收敛域的逆变换 解：1. 三种可能收敛域 2. 收敛域|z|>1时 （1）先求围线内所包含的极点个数x(z)zn-1
x( z ) z
n 1
z2 z n1 n 1 z ( z 1)(z 0.5) ( z 1)(z 0.5)
第七章 差分方程与z变换
z cos 0 z 2 z cos 0 1
2
因 为 ： Z [ e u ( n )]
bn
z ze z
b
Z [ e
n
in 0
u ( n )] u ( n )]
z e z
i 0
1 1 e
i 0
z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
,
Z [ e
n
in 0
1 1 e
2 2
利用幂级数展开法求Z变换
第四节
一.定义 二.求Z反变换的方法
1.留数法 2.部分分式法
Z反变换
3.幂级数展开法(长除法)
一.定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称 作Z反变换。
记作：x ( n) Z
1
[ X ( z )]
1 2 i
X ( z )z
i Im[ z ]
Re[ z ]
z
同样,对于级数 x ( n) z n ，满足 z z
n 0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
i Im[ z ]
Re[ z ]
z
[例1] 求序列 解：这相当
x(n) (n) 的Z变换及收敛域。
n1 n2 0 时的有限长序列，
第七章 差分方程与Z变换
• Fourier 变换，Laplace变换---连续信号 • 离散系统----17世纪经典数值分析技术，20 世纪40年代得到重大发展，60年代随着计算 机的发展，离散时间系统的理论与实践研究 得到了进一步发展。例如快速FFT，离散 Fourier变换, Z变换，
第一节 离散时间信号
差分方程及其Z变换法求解
例1：右图所示的一阶系统描述它的微分方程为
y(t ) Ke(t ) K (r (t ) y(t ))
y(t ) Ky(t ) Kr (t )
用一阶前向差分方程近似：
(1)
r( t ) e( t ) -
K
1/s
y( t )
y (k 1)T y (kT ) dy y (t ) lim dt T 0 T
由图：x1 (k 1)T x2 (kT )
zX 1 ( z ) zx1 (0) X 2 ( z )
x2(kT)
z
1
x1(kT)
z 1
x1(0) 1
x1 ( z)
x2(z) y[(k+1)T]
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k 1)T ] -( KT -1) y(kT ) + KTr (kT ) r(kT)
y (k 1)T y (kT ) T
(T 很小)
(2)
式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：
y (k 1)T (KT 1) y(kT ) KTr(kT )
y(k 1) ( K 1) y(k ) Kr (k )
(3)
二、离散系统差分方程的模拟图
连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件； 与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。 单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。
再利用初始条件，逐次迭代得到各采样时刻的值。
特点：适用于计算机处理求解。 例3：用迭代法解二阶差分方程 y(k+2) +3y(k+1)+2y(k)=1(k)
利用初始条件 y(0)=0, y(1)=1，则有： y(k+2) =-3y(k+1) -2y(k)+1(k) y(2) =-3y(1) -2y(0)+1(0)= -3*1-2*0+1= -2
Z变换和差分方程
• 引入变量： 引入变量：
z=e
Ts
sT s
或者写成： s = 1 ln z 或者写成：
S: 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期； 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期 采样周期； 一个复变量， 平面上， 变换算子， Z：一个复变量，定义在 Z 平面上，称为 Z 变换算子， 记为：采样信号的Z变换： 记为：采样信号的Z变换：Z［f*(t)] = F(z) 变换， F (z)是采样脉冲序列的 Z变换， 它只考虑了采样时刻的信号值。 它只考虑了采样时刻的信号值。
y ( 0 ) = 0 , y (1) = 2 , 激励 f （ k ）= 2 k ε ( k ),
求: y (k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， 以外的各项都移到等号右边， • 得： y (k ) = −3 y (k − 1) − 2 y (k − 2) + f (k ) • 对于 k = 2, 将已知初始值y (0) = 0, y (1) = 2代入上式，得：
s z 1 z R2 = lim ( s + jω ) = sT s → − jω ( s − jω )( s + jω ) z − e 2 z − e − jωT
例8—6 求
解:
f ( t ) = t 的Z变换
两阶重极点!! 两阶重极点!!
1 F (s) = 2 s
d z d z Tz 2 1 R = lim (s − 0) 2 = lim = sT sT 2 s →0 ds s →0 ds z − e s z −e ( z − 1)
c ( k ) = (1 − T ) k c ( 0 ) + T
∑
差分方程Z变换
第3章线性离散时间系统的描述及分析差分方程及其时域分析3.1.1 差分方程3.1.2 差分方程的解A递推解B古典解C Z变换求解Z变换3.2.1 Z变换的定义3.2.2 Z变换的性质3.2.3 Z反变换A长除法B留数法C部分分式法离散时间系统的Z域分析3.3.1 零输入响应3.3.2 零状态响应3.3.3 完全响应Z传递函数及其求法3.4.1 Z传递函数的定义3.4.2 离散系统的运算3.4.3 由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化A对G(s)的讨论B对离散化方法的评价C 留数法D直接代换法E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法G部分分式法3.4.4 离散化方法小结线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系3.5.2 稳定判据线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法第3章 线性离散系统的描述及分析 3.1 差分方程及其时域分析 3.1.1差分方程 在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u (k )与输出响应序列y (k )之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式1101101-1()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),...,(-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k y y y y y n y m n--+++-++++==+++-++++≥===≤有始性:初始条件:时间因果律:或写成∑∑==-+--+=+m i nj j i j n k y a i m k u b n k y 01)()()(上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当00,b m n ≠=）以及此前若干个输入和输出值有关。
推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。
利用z变换解差分方程 ppt课件
利用z变换解差分方程
6
于是 令 则
M
br z r
Y(z)
r＝0 N
X (z)
ak zk
k＝0
M
br z r
H (z)
r＝0 N
ak zk
k＝0
Y(z)X(z)H (z)
此时对应的序列为 F y(n) 1[X(z)H (z)]
利用z变换解差分方程
7
例： 已知系统的差分方达程式表为
y(n)0.9y(n1) 0.05u(n) 若边界条y件(1) 1,求系统的完全响应。
5
若系统的起始状态y(l)=0(-N≤l≤-1),即系统处于 零起始状态，此时式(2)变成
N
M
1
a kz k[Y (z)b rz r[X (z) x (m )z m ]
k ＝ 0
r＝ 0
m r
如果激励x(n)为因X(z)
k＝ 0
r＝ 0
利用z变换解差分方程
3
线性常系数差分一方般程形的式为
N
M
ak y(nk) brx(nr)
k0
r0
（1）
将 等 式 两 边 取 换单 ，边 利z用变z 变性换得位 移 特
N
1
M
1
akzk[Y(z) y(l)zl] brzr[X(z) x(m)zm] （2）
k＝0
lk
r＝0
mr
利用z变换解差分方程
§7.7 利用z变换解差分方程
• 主要内容
•z变换解差分方程的一般步骤 •举例说明
• 重点：利用z变换解差分方程的一般步骤
利用z变换解差分方程
1
解差分方程的方法： （1）时域经典法 （2）卷积和解法 （3）Z变换解法
用单边Z变换解差分方程
n
h( n)
15
可以稳定
x ( n)
h( n)
k
y(n) x(n) * h(n)
h(k ) x(n k )
x(n) M
y ( n)
k
h ( k ) x ( n k ) M h( k )
k
k x ( k ) z
1 m k k z x ( k ) z x ( k ) z k m k 0 1 m k z X ( z ) x(k ) z k m
4
（4）对于因果序列x(n)
k m k x ( k ) z 0 1
1 2 2
10 z Y ( z ) 0.1z [Y ( z ) zy (1)] 0.02 z [Y ( z ) z y (2) zy (1)] z 1 10 z (1 0.1z 1 0.02 z 2 )Y ( z ) 0.08 z 1 0.28 z 1
2 1
yss (n) B sin[n 2 ( )]
28
Y (e ) H (e ) j X (e )
j
j
H (e ) H (e ) e B H (e ) A
j
j
j
j ( )
B j[ 2 ( ) 1 ( )] e A
( ) 2 ( ) 1 ( )
§8.7 用单边Z变换解差分方程
解差分方程的方法： （1）时域经典法 （2）卷积和解法 （3）Z变换解法
1
（一）复习Z变换的位移特性
若x(n)分别是双边序列、双边左移序列、 双边右移序列时，它们的双边和单边Z变 换是不同的： （1）双边序列的双边Z变换(p79-p83)
利用z变换解差分方程ppt课件
N
l k
1
a z
k＝ 0
1
N
k
对应的响应序列是上式的逆变换，即
y ( n ) [ Y ( z )] F
若系统的起始状态y(l)=0(-N≤l≤-1),即系统处于 零起始状态，此时式(2)变成
m a z [ Y ( z ) b z [ X ( z ) x ( m ) z ] r k k k ＝ 0 r r ＝ 0 m r N M 1
解：第一步将差分方程 两边取z变换 1 1 1 2 得 Y(z) [z Y(z) y(1)] [z Y(z) z1y(1)y(2)] X(z) 2 2 将上式整理，得 1 1 1 y( 1)(z 1) y( 2) 1 2 2 Y(z) X(z) 1 1 1 2 1 1 1 2 1 z z 1 z z 2 2 2 2 Y zi(z) Y zs (z)
1
Y z A z A z 1 2 z z 1 z 0 . 9
Y z A z A z 1 2 z z 1 z 0 . 9
A 0 . 5 A 0 . 45 1 2
Y z z z 0 . 5 0 . 45 z z 1 z 0 . 9
达式为 例： 已知系统的差分方程表 y(n) 0.9y(n1) 0.05 u(n) 若边界条件 y(1) 1,求系统的完全响应。
解： 方程两端取z变换
z Y z 0 . 9 z Y z y 1 0 . 05 z 1 2 0 . 05 z 0 . 0 . 9
第二步求零输入响象 应函 的 数zY i( z ) 将y(1) 1,y(2) 0代 入 Y z i( z ) 表 达 式 中 得 1 1 1 1 ( z 1) z( z 1) z( z 1) Yzi( z) 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 z z z z ( z 1)(z ) 2 2 2 2 2 2 1 z z 3 6 z 1 z 1 2
第五章z变换-新修正版
Z域分析
修正版
1
本章的主要内容
z变换定义、典型序列的z变换 z变换的收敛域 逆z变换 z变换的基本性质 z变换与拉氏变换的关系 利用z变换解差分方程 离散系统的系统函数
修正版
2
第一节 引言
修正版
3
一、Z变换方法的发展历史
1730年，英国数学家棣莫弗（De Moivre 1667-175 4)将生成函数（generation function)的概念引入概 率理论中。
当a<
z
<b时，X(z)=
z z-a
z z-b
jIm(z)
收敛域为以零点为圆心、
a
内/外半径a/b的园环形
0 b
Re(z) （如例图8.2所示）
图8.2序列双边Z变换的收敛域
修正版
29
P104 8-2,8-12
作业
修正版
30
第四节 逆z 变换
修正版
31
一、逆Z变换
逆Z变换定义：
设某序列 x(n) z X(z)，z=es
0 z Rx2
2）如果n20，则收敛域包括z=0。即收敛域为
z Rx2
修正版
23
几类序列的Z变换收敛域
4、双边序列
双边序列是从n=- 延伸到n=+ 的序列，此序列的 Z变换为：
1
X(z)= x(n)z-n
x(n)z-n x(n)z-n
n
n
n0
双边序列看成右边序列和左边序列的z变换叠加。
修正版
43
第五节 z变换的基本性质
修正版
44
一、 Z变换的基本性质
１ 线性性：
§5-4_差分方程的z变换解法
《Signals & Systems》 》
N
设差分方程为： 设差分方程为： 两边同求z变换： 两边同求 变换： 变换
∑a
k =0
N k =0
k
y (n − k ) = ∑ br x(n − r )
r =0
−1 −k
M
∑a z
k
[Y ( z ) +
n= − k
∑ y ( n) z
−n
] = ∑ br z − r X ( z )
r =0
M
《Signals & Systems》 》
求反z变换 求反 变换
2 5 1 1 n n n ∴ y(n) = [− (0.2) + (0.5) + (0.2) + (0.5) n ]u (n) 3 3 5 2
零状态响应 零输入响应
= [−
7 13 (0.2) n + (0.5) n ]u (n) 15 6
自由响应
与拉氏变换解微分方程类似， 变换解差分方程可以一次求 与拉氏变换解微分方程类似，用z变换解差分方程可以一次求 出系统的全解。同样因为带有起始条件，使运算繁杂。 出系统的全解。同样因为带有起始条件，使运算繁杂。
信号与系统》 《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
§5-4
LTI系统 变换分析法 系统Z变换分析法 系统
利用Z变换求解线性常系数差分方程方法如下： 利用 变换求解线性常系数差分方程方法如下： 变换求解线性常系数差分方程方法如下 变换。 ⒈对差分方程两边求单边z变换。注意：方程左边应用非因果的移 对差分方程两边求单边 变换 注意： 位性，方程右边应用因果序列的移位性。 位性，方程右边应用因果序列的移位性。 变换Y(z)。 ⒉解代数方程，求输出序列的z变换 解代数方程，求输出序列的 变换 。 变换， ⒊求反z变换，得到输出的时间序列 求反 变换 得到输出的时间序列y(n)。 。
Z变换和差分方程
04
离散系统稳定性分析与判断
离散系统稳定性概念及意义
稳定性定义
离散系统的稳定性是指系统在受到外部 扰动后，能够恢复到原平衡状态的能力 。
VS
稳定性意义
稳定性是离散系统正常工作的前提，不稳 定的系统可能导致输出失控、性能恶化甚 至损坏。
基于差分方程稳定性分析方法
差分方程
描述离散系统动态行为的数学模型， 通过求解差分方程可得到系统输出。
若$x[n]$的Z变换为$X(z)$ ，则$x[n]e^{jomega n}$ 的Z变换为 $X(ze^{ jomega})$。证明 过程基于复指数函数的性质 和Z变换的定义。
若$x_1[n]$和$x_2[n]$的Z 变换分别为$X_1(z)$和 $X_2(z)$，则它们的卷积 $x_1[n]*x_2[n]$的Z变换为 $X_1(z)X_2(z)$。证明过程 利用卷积的定义和Z变换的 性质进行推导。
系统函数与稳定性分析
系统函数是描述系统频率响应特性的 重要工具，可通过Z变换求得。同时 ，利用系统函数可进行系统稳定性分 析，如判断系统是否稳定等。
Z变换和差分方程在其他领域应用前景探讨
数字信号处理
Z变换和差分方程在数字信号处理领域具有广泛应用，如滤波器设计 、信号压缩与重构等。
控制系统分析
在控制系统中，Z变换和差分方程可用于分析系统稳定性、设计控制 器等。
收敛域
Z变换的收敛域是指使得级数 $sum_{n=-infty}^{infty} |x[n]z^{n}|$收敛的所有$z$的集合。收敛域对 于Z变换的分析和性质至关重要。
常见函数Z变换表
单位样值信号
$delta[n]$的Z变换为$1$，收敛 域为整个复平面。
单位阶跃信号
差分方程的解法
差分方程常用解法1、 常系数线性差分方程的解方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （1）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （2）为方程（1）对应的齐次方程。
如果（2）有形如n n x λ=的解，代入方程中可得：0...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （3） 称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。
显然，如果能求出方程（3）的根，则可以得到方程（2）的解。
基本结果如下：（1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解：n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（3）有m 重根λ(即m 个根均为λ)，则通解中有构成项：n m m n c n c c λ)...(121----+++（3）若（3）有一对单复根 βαλi ±=，令：ϕρλi e ±=，αβϕβαρarctan ,22=+=，则（2）的通解中有构成项：n c n c n n ϕρϕρsin cos 21--+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（2）的通项中有构成项:n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ϕρϕρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（3）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。
通解可记为：-n x如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解： =n x -n x +*n x （4）方程（4） 的特解可通过待定系数法来确定。
例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的m 次多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为n 的m 次多项式；如果b 是r 重特征根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（1）中确定出系数即可。
z变换到差分方程
z变换到差分方程z变换（Z-transform）是一种在数字信号处理中广泛应用的数学工具，用于将离散时间域中的信号转换为连续时间域中的信号，从而更方便地对信号进行分析与处理。
通常情况下，我们可以将差分方程（difference equation）通过Z变换来求解，从而得到其对应的Z变换函数（Z-transform function）。
具体地说，对于给定的差分方程：y(n) + a1*y(n-1) + a2*y(n-2) + ... + ak*y(n-k) = b0*x(n) + b1*x(n-1) + b2*x(n-2) + ... + bm*x(n-m)其中，y(n)和x(n)分别表示输出和输入信号在时间点n的取值，a1、a2、…、ak和b0、b1、…、bm为常数系数，k和m为差分方程的阶数。
我们可以通过将差分方程中的所有项进行变换，得到其对应的Z变换函数：Y(z) + a1*Y(z)*z^{-1} + a2*Y(z)*z^{-2} + ... + ak*Y(z)*z^{-k} =b0*X(z) + b1*X(z)*z^{-1} + b2*X(z)*z^{-2} + ... + bm*X(z)*z^{-m}其中，Y(z)和X(z)分别表示输出和输入信号的Z变换函数，z^{-n}表示Z域中的时间延迟，也可以将其视为离散时间域中的退化因子，它对应的函数形式为z^{-n} = e^{-jwn}，其中w为频率。
通过对上述等式进行变换和整理，我们可以将Y(z)和X(z)表示为如下形式：Y(z) = [b0*X(z) + b1*X(z)*z^{-1} + b2*X(z)*z^{-2} + ... +bm*X(z)*z^{-m}] / [1 + a1*z^{-1} + a2*z^{-2} + ... + ak*z^{-k}]X(z) = [X(z) + X(z)*z^{-1} + X(z)*z^{-2} + ... + X(z)*z^{-m}] / [m0 + b1*z^{-1} + b2*z^{-2} + ... + bm*z^{-m}]其中，Y(z)表示差分方程的输出信号的Z变换函数，X(z)表示差分方程的输入信号的Z变换函数。
差分方程_z_变换___概述说明以及解释
差分方程z 变换概述说明以及解释1. 引言1.1 概述差分方程是描述离散时间系统行为的重要数学工具。
在现实生活中，许多系统的变化是按照离散时间步骤进行的，例如数字信号处理、数字滤波、通信系统等。
而差分方程则可以描述这些系统在每个时间步骤上的状态和演变。
与此同时，z变换是一种重要的数学工具，用于分析离散信号和离散系统。
它将差分方程从时域（自变量是时间）转换到z域（自变量是复平面上的复数z），并且能够提供更加简洁和便于分析的表达形式。
本文将概述差分方程z变换的基本概念以及其在离散系统分析和设计中的应用。
我们将解释差分方程z变换过程，并讨论其优势和局限性。
最后，我们将总结主要观点和结论，并对未来发展提出展望和建议。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、差分方程z变换概述、解释差分方程z变换过程、差分方程z变换的优势与局限性以及结论和总结。
1.3 目的本文的目的是介绍差分方程z变换的基本概念和原理，并探讨其在离散系统分析和设计中的应用。
通过阐述z变换与时域之间的关系，传递函数和频率响应描述以及求解差分方程的步骤与方法，读者将能够理解并运用这一重要数学工具。
同时，我们还将提供对差分方程z变换优势与局限性的考察，以及对未来发展的展望和建议。
2. 差分方程z 变换概述:2.1 差分方程基础知识:差分方程是离散时间系统建模和分析中的重要工具，它可以描述离散时间的动态过程。
差分方程以递推关系式的形式表示系统的行为，其中当前时刻输出值与过去一段时间内输入值和输出值之间存在着数学上的关系。
2.2 z 变换介绍:z 变换是一种用于将差分方程从时域转换到复平面上的方法。
在信号处理领域中，z 变换常被用于对离散系统进行频域分析和设计数字滤波器。
z 变换将离散时间信号表示成复变量z 的函数，使得我们可以通过对复平面上的频率响应进行分析来理解系统的特性。
2.3 z 变换的应用领域:z 变换在许多领域都有广泛的应用。
在控制系统工程领域，z 变换可用于建立数字控制器模型、设计数字滤波器以及实现各种控制算法。
用单边Z变换解差分方程
35
全通
p1
r r
p2
H (e j )
1
r z1
e j
1
r z2
e j
0
2
T
靠近单位圆周的 H(e j ) 极点附近有尖峰
2
36 T
例：（8-34）
y(n)
x(n)
z 1
z 1
z 1
cos
(
2 N
)
2
cos
(
2 N
)
1
(1)h(n) ? (2)H (z) ? (3) pk ? zr ? (4)H (e j ) ?
n 22
序列的傅立叶反变换
x(n) 1 X (z)zn1dz
2 j z 1
序列 的傅立叶 逆变换
1 X (e j )e jn e j d (e j )
2j z 1
x(n) 1 X (e j )e jn d
2
23
连续信号和离散序列的傅立叶变换的 比较
• 连续
• 离散
X ( j)) x(t)e jtdt
（一）复习Z变换的位移特性
若x(n)分别是双边序列、双边左移序列、 双边右移序列时，它们的双边和单边Z变 换是不同的：
（1）双边序列的双边Z变换(p79-p83)
ZT [x(n)] X (z) x(n)zn n
ZT [x(n m)] zm X (z)
ZT [x(n m)] zm X (z)
1
（2）双边左移序列的单边Z变换 X (z) x(n)u(n)zn n0 ZT[x(n m)u(n)] x(n m)zn n0
zm x(n m)z(nm) zm x(k)zk
n0
k m
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M
N
1
X (z) br zr ak zk [ y(n)zn ]
Y(z)
r0
k0 N
nk
ak zk
k0
M
br zr
Yzs (z)
r0 N
X (z)
ak zk
k0
N
1
ak zk [ y(n)zn ]
Yzi (z) k0
Y (z) 1 0.7z1 0.1z2 1 0.7z1 0.1z2
z2
z2 0.7z
0.1
z(0.7z 0.2) z2 0.7z 0.1
Y (z) z
z2
z
0.7z 0.1
0.7z 0.2 z2 0.7z 0.1
z
(z 0.2)( z 0.5)
x(n) u(n) , y(1) 2, y(2) 7
解：对方程两边同求z变换
Y (z) 0.7z1[Y (z) y(1)z] 0.1z2[Y (z) y(2)z2 y(1)z] X (z)(1 z1)
求输出y(n)的z变换
Y (z)(1 0.7z1 0.1z2 ) 0.7 y(1) 0.1[ y(2) y(1)z1] X (z)(1 z1)
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例如：有一因果系统方程为：y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
⑴ 若y(-1)=2，求系统的零输入响应；
⑵ 若x(n)=(1/4)nu(n)，求系统的零状态响应；
解：⑴ 求零输入响应，系统方程为齐次方程。
N
N
1
M
Y (z) ak zk ak zk [ y(n)zn ] br zr X (z)
k0
k0
nk
r0
N
M
N
1
Y (z) ak zk X (z) br zr ak zk [ y(n)zn ]
k0
r0
k0
nk
其中：
y(n) 1 y(n 1) 0 2
系统方程求z变换
Y (z) 1 z1[Y (z) y(1)z] 0 2
Y (z)(1 1 z1) 1 y(1)
2
2
Y
( z)
1 2
(1
y(1) 1 z1)
1 (1 1 z1)
2
2
y(n) ( 1)nu(n) 2
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§5-4 LTI系统Z变换分析法
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利用Z变换求解线性常系数差分方程方法如下： ⒈对差分方程两边求单边z变换。注意：方程左边应用非因果的移
位性，方程右边应用因果序列的移位性。
⒉解代数方程，求输出序列的z变换Y(z)。
⒊求反z变换，得到输出的时间序列y(n)。
N
M
Y(z)
(1 0.7z 1 0.1z2 )
1 z1
(0.7 0.1z1) y(1) 0.1y(2)
1 0.7z1 0.1z2 X (z)
1 0.7z1 0.1z2
代入x(n)的z变换1/(1-z-1)与起始条件
1
2(0.7 0.1z1) 0.7
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⑵ 求零状态响应，对方程两边求z变换，但不考虑起始条件。
y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
Y (z)(1 1 z1) 1 X (z)
2
2
X(z)
z
z
1
4
1 z2 Y(z) 2
, y(0) 4 3
3 x(n) (3)n u(n)
试求系统的响应，并指出零输入和零状态响应。
答案：练习1： 练习2：
y(n) 1 [(3n 2) 50(2)n ]u(n) 9
yzs
(n)
1 12
[9(3)n
(4n
7)(1)n
]u(n)
yzi (n) 0
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z 0.2 z 0.5 z 0.2 z 0.5
求反z变换
y(n) [ 2 (0.2)n 5 (0.5)n 1 (0.2)n 1 (0.5)n ]u(n)
3
3
5
2
零状态响应
零输入响应
[ 7 (0.2)n 13 (0.5)n ]u(n)
15
6
自由响应
与拉氏变换解微分方程类似，用z变换解差分方程可以一次求 出系统的全解。同样因为带有起始条件，使运算繁杂。
Y (z)(1 0.7z1 0.1z2 ) X (z)(1 z1) 0.7 y(1) 0.1[ y(2) y(1)z1]
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X (z)(1 z1) 0.7 y(1) 0.1[ y(2) y(1)z1]
0.7z 0.2 (z 0.2)( z 0.5)
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Y(z)
2 3
5 3
1 5
1 2
z z 0.2 z 0.5 z 0.2 z 0.5
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2z 5z
1z
1z
Y(z) 3 3 5 2
设差分方程为： ak y(n k) br x(n r)
k0
r0
两边同求z变换：
N
1
M
ak zk [Y (z) y(n)zn ] br zr X (z)
k0
nk
r0
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练习1：因果系统方程为：y(n) 2y(n 1) x(n) y(1) 2
x(n) (n 2)u(n) 试求系统的响应。
4
练习2：因果系统方程为： y(n) 2 y(n 1) y(n 2) x(n)
y(1) 0
nk N
ak zk
k0
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例如：已知因果系统的差分方程、输入序列与起始条件如下，试求：
系统的全响应，并指出零输入响应、零状态响应和自由响应
与受迫响应。
y(n) 0.7 y(n 1) 0.1y(n 2) x(n) x(n 1)
(z 1)(z 1) 24
1z 1z
Y (z)
3 z
1
6 z
1
2
4
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1
Y(z) 2 X (z) 1 1 z1 2
Y
(z) z
(z
1z 2 1)(z
1)
24
1
1
3 z 1
6 z1
2
4
y(n) [1 ( 1)n 1 (1)n ]u(n) 3 2 64