大学物理-一维定态薛定谔方程的应用
15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
2
2mE
2
2
, n 1, 2 ,
En n
π
2 2
,
n 1, 2 ,
2ma
n 为主量子数，表明粒子的能量是量子化的。
大学物理 第三次修订本
13
第15章 量子物理基础
波函数
nπ Ψ n x A sin a
2 a
x , n 1, 2 ,
i t Ψ (r , t ) Ψ (r )e
E
定态薛定谔方程
2m 2 2 2 Ψ( r ) 2 E V Ψ(r ) 0 x y z
2 2 2
若粒子在一维空间运动，则
d Ψ x
2
dx
2
2m
大学物理 第三次修订本
o
a
x
势能曲线
11
第15章 量子物理基础
薛定谔方程
d Ψ x
2
dx
2
2mE
2
Ψ x 0
d Ψ x
2
,0 xa
k Ψ x 0
2
令 k
2 mE
2
则
dx
2
方程通解
Ψ x A sin kx B cos kx
Ψ 利用边界条件 x = 0， 0 0 , 则 B = 0 。
物质波波函数是复数，它本身并不代表任 何可观测的物理量。 波函数是怎样描述微观粒子运动状态的？
大学物理 第三次修订本
3
第15章 量子物理基础
1926年德国物理学家玻恩提出了物质波的 统计解释：实物粒子的物质波是一种概率波, t 时刻粒子在空间 r 处附近的体积元 dV 中出现的 概率dW与该处波函数绝对值的平方成正比。
【大学物理】§3-2薛定谔方程 一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱
对于一维无限深方势阱有
一维势阱和势垒问题
∞
∞
U(x)
U
(
x)
0
(0 x a) ( 0 x, x a)
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
H
2
2
d2 d x2
定态薛定谔方程为
0
a
令
2E
k
薛定谔方程的解为
d 2
d x2
2E
2
0
(x) Asin(kx )
由此解得最大值得位置为
x (2N 1) a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x 1a 2
n 2, N 0,1, 最大值位置 x 1 a , 3 a Nhomakorabea44
n 3, N 0,1, 2, 最大值位置 x 1 a , 3 a , 5 a.
6 66
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
10
2m dx2
2. 波函数
(
x)
2 sin( n x), 0 x a
aa
0,
x 0或x a
3. 能量
En
n
2
22
2ma 2
n 1,2,3
4. 概率密度
(x) 2 2 sin 2 ( n π x)
a
a
4
讨论
n (x)
2 sin n x
a a
(0 x a)
1.n=0给出的波函数
1
根据 (0，)可以0确定 = 0或m，m =1,2,3,。于是上式改写为
根据 (a) 0，得
(x) Asin kx
ka = n， n = 1,2,3, ···
第一章+薛定谔方程,一维定态问题
第一章+薛定谔方程,一维定态问题
第一章+薛定谔方程，一维定态问题
本章主要介绍量子力学的基础概念和薛定谔方程的推导及其在
一维定态问题中的应用。
量子力学是描述微观世界中物质及其运动规律的理论。
在量子力学中，粒子的运动状态由波函数描述，波函数可以用来计算粒子在不同位置的概率密度。
薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，它描述了波函数随时间的演化规律。
一维定态问题是指一个粒子在一维空间中的运动状态是定态的，即粒子的波函数只包含一个能量本征态。
在一维定态问题中，薛定谔方程可以简化为一维薛定谔方程，可以通过求解该方程得到粒子的能量本征态和能量本征值。
本章将详细介绍薛定谔方程的推导过程和一维定态问题的求解
方法，包括定态薛定谔方程的解法和粒子在势阱和势垒中的运动规律。
同时还将介绍相关的数学工具和物理概念，如波函数、能量本征态、能量本征值和概率密度等。
通过学习本章内容，读者将能够了解量子力学的基本概念和薛定谔方程的应用，掌握一维定态问题的求解方法，为后续学习量子力学的进阶内容奠定基础。
- 1 -。
第一章 薛定谔方程,一维定态问题
第一章薛定谔方程,一维定态问题
薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子运动的基本方程，也是研究原子、分子、固体等微观粒子体系行为的重要工具。
在一维定态问题中，我们假设粒子在一个长度为L的有限区域内运动，边界处满足一定的边界条件。
这种假设简化了问题的复杂性，使得我们能够更加深入地研究粒子在有限区域内的定态行为。
一维定态问题的薛定谔方程可以写成如下的形式：
$$-
\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\Psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\Psi(x)=E \Psi(x)$$
其中，$\hbar$为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为粒子在x位置处的势能，E为粒子的总能量，$\Psi(x)$为描述粒子波函数的解析函数。
一维定态问题中，由于波函数只与一个坐标x有关，因此我们可以采用分离变量的方法将波函数表示为如下形式：
$$\Psi(x)=\psi(x)e^{ikx}$$
其中，$\psi(x)$为关于x的解析函数，k为波矢。
将上式代入薛定谔方程，可将其简化为如下形式：
$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+(V(x)-E)\psi(x)=0$$
这个简化后的方程可以通过求解得到波函数的解析表达式及对应的能量。
对于有限区域内的粒子，我们需要根据边界条件来限定波函数的形状，在定态问题中，我们通常采用周期性边界条件或硬壳边界条件。
通过分析一维定态问题的波函数和能谱，我们可以深入理解原子、分子、固体等复杂体系中微观粒子的行为规律，同时也可以为设计新的材料、光电子器件等提供理论基础和指导。
薛定谔方程的应用
n 1,2,3...0 x a
待定系数是由边值条件和归一化条件所决定，与机械波中完 全由初始条件决定所不同,这就体现了物质波是概率波的特点。
5
2 、方程解的物理意义
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
1)处在势阱中的微观粒子，其德布罗意波只能是驻波。
这是因为在阱壁处（即 x=0,x=a处）其Ψ(x)=0 ，只能是 波节，因此物质波在阱内运动要能够稳定下来，其在阱壁两端 来回反射,必定形成德布罗意驻波。
2) 最低能量 (零点能) ——波动性
22
E1 2ma2 0
9
n 不能取 0 ，如 n=0 ，则意味着Ψ（ x ）＝ 0 ，即在方 势阱中到处找不到粒子,这显然是没有意义的。
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
n ＝ 1 时，称基态能级（零点能）。基态能不为零，是经典
物理不能解释的。
3) 能级间距
E
En1
En
(2n 1)
2 2
2ma 2
(2n 1)E1
可看出，能级间距与粒子质量和阱宽的平方成反比。
对于微观粒子,若限制在原子尺度内运动时，ћ2~ma2，即阱宽 很小时，则能量的量子化是很显著的,因此必须考虑粒子的量子 性;
但即使是微观粒子，若其在自由空间运动 (相当于阱宽无穷
大) ，其能级间距就非常小,则可认为能量的变化是连续的;
一、一维无限深势阱
1 、一维无限深势阱薛定谔方程
U(x)
U(x)
1 ）势函数
0
a
x
阱内: （0＜x＜a) U x 0
阱外: (x<0 & x>a) U x
17.4定态薛定谔方程的应用——一维方势阱
=0（x0 xa）
由波函数连续性，边界条件 （0）= 0 （a）= 0
Acos 0 π
(ax)
AAscionsk(kxx
π
2
)
2
A sin ka = 0
ka = n
En
n2π2 2 2ma 2
k nπ a
n = 1,2,3……
2mEn 2
kn22 π 2 a2
d x2
2mE 2
0
(0
x a)
(2)解方程
令:
d2
d x2
k 2
0
2mE 2
k2
( x) Acos(kx )
2012-12-14（20）
大连理工大学 余 虹
1
( x) Acos(kx )
(3) 确定常数A、
势阱无限深，则阱外无粒子
A2a 1
A 2
2
a
π a
a
x )e i 2 π nt ——驻波
2012-12-14（20）
大连理工大学 余 虹
3
一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度
pn n 2
En
En
n
n= 3
p3 E3 9E1
3
2 sin 3π x aa
p2
n= 2
E2 4E1
n= 1
p1
E1
π2 2 2ma2
0
ax
0
2012-12-14（20）
大连理工大学 余 虹
2
2 sin 2π x aa
1
2 sin π x aa
18.4薛定谔方程在一维定态问题中的应用
48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.
2
E
2
k1
ik1x
2mE 2
O
V V0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
E
1 Ae
ik1x
Be
V 0
V 0
Ⅱ 区薛定谔方程为：
2 2 2 k2 2 0 2 x
x1
x2
x
k2
2
2m( V0 E ) 2
2 A2e k x B 2e k x
2 2
Ⅲ 区薛定谔方程为：
2 2 d x ˆ H x U x x E x 2 2m dx
2 d 2 x E x 阱内 2 2m dx 2 d 2 x U x x E x 阱外 2 2m dx
（2）定态薛定谔方程的通解
2 d 2 x E x 阱内 2 2m dx 2 d 2 x U x x E x 阱外 2 2m dx
阱外：
(x ) 0
阱内： 令
2
k
2
d x 2 k x 0 2 dx
2 3 2 k3 3 0 2 x
k3
2
2mE 2
3 A3e
ik3x
Ⅰ区粒子进入Ⅲ区的概率为
E E
O
Ⅰ
V V0
Ⅱ Ⅲ
P
3 x 1 x
2
2
2
2 x 2 x
2
2
2
e
2a 2 m(V 0 E )
V 0
V 0
22-6 薛定谔方程的应用
（） 1
待定常数C 和δ解由波函数的自然条件确定。
22-6 薛定谔方程的应用
在势阱外，定态薛定谔方程
2 d2 e ( x) E e ( x) 2 2m dx
V(x)
∞
0
V=0
∞
L
该方程的解只能是： x
e ( x) 0
（2）
无限深方势阱
表明：粒子入射到势垒上时，有被反射的几率， 亦有穿过势垒透射几率——隧道效应（势垒贯穿）
称为一维无限深方势阱。
第22章 量子力学
x
无限深方势阱
22-6 薛定谔方程的应用
在势阱内，定态薛定谔方程
d Φi ( x) EΦi ( x) 2 2m dx
令
2
2
V(x)
2mE k 2
2
得
∞
0
V=0
∞
L
d Φi 2 k Φi 0 2 dx
解为：
2
x
无限深方势阱
Φi ( x) C sin(kx )
黑色虚线为经典粒子位置的几率分布
第22章 量子力学
x
用经典理论无法解释
22-6 薛定谔方程的应用
22.6.3 一维散射问题
问题: 粒子以确定能量E从远处入射到某给定势 场中，确定粒子的波函数和位置分布。 1 矩形台阶势垒 实际金属中的电子在表面处遇到的势是有限高的：
0 , x 0 U ( x ) U , x 0 0
1 2 x2 2
(x)
n
2 π 1 1/ 2 2 ( x) ( ) [2 4( x)2 ]e 2 8 π
大学物理-第二章-薛定谔方程
的概率最大
4
4
n → ∞时，粒子在势阱内的概率趋于均匀与经典结论一致
2) 势阱中粒子的能量（能量本征值）：
由： k
2mE n
2
a
22
h2
E
n2
n2
2ma 2
8ma 2
Ek
p2 2m
说明势阱中粒子的能量是量子化的，整数 n 称为能量量子数。
能级图为n 4
n3
E4 16E1
E3 9E1
h2 En 8ma 2 n2
➢薛定谔方程是作为假设提出来的，它的正确性被无数事实所证实
i
[
2
2 U(r , t)]
t 2m
i Hˆ t
2) 由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理
（量子力学第一原理）
设：下列波函数均满足薛定谔方程：
1 2 3
——都是可能存在的状态
则： C11 C22 C33
势阱内：（0＜x＜a)
2 d 2( x)
E( x)
2m dx2
2mE k2 2
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
势阱外（x ≤ 0 或x ≥a）： (x) 0
势阱内（0＜x＜a) ：
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
k 2mE 2
其解为： (x) Asin(kx )
d 2 3
E
2m dx2
3
根据波函数要求是单值、有限、连续条件解得
Aeik1x Aeik1x 1
Bek2x 2
Ceik1x 3
在粒子总能量低于
势垒壁高 (E U ) 0
的情况下
“隧道效应”
粒子有一定的概率穿透势垒。粒子能穿透比其动能 更高的势垒的现象，称为隧道效应
定态薛定谔方程在一维势场中的应用
：
百… ’分别对 取 二阶偏 导和对 ｔ取
一
阶 偏导 ，得
一
一
一 Ｅ
‘
ｄｔ
因粒 子是 自由运动 ，能量 Ｅ＝Ｅｋ（动能 ），根据 非相对论 的动能
和动量 的关 系，即 Ｅｋ＝— 二＿＝Ｅ
这样 可得 自由粒子一维薛定谔方程 ｉ＇ｑ旦 一 —
波函数本身及其一 阶导数必须是单 值、连续和有限的，这称为波
薛定谔提出的量子力学基本方程建立于 １９２６年 ，它是一个非 相对论的波动方 程。它反映了描述微观粒子 的状态随时 间变化 的规 律 ，它在量子力学中的地位相 当于牛顿定律对于经典力学一样 ，是 量子力学的基 本假设 之一。设描述微观粒子状 态的波函数为 （ｒ， ｔ），质量为 ｍ的微观粒子在势场 Ｕ（ｒ，ｔ）中运动 的薛定 谔方程为在 给定初始 条件 和边界条 件以及 波函数所满足 的单 值 、有限 、连 续的 条件下 ，可解出波函数 （ｒ，ｔ），由此可计算粒子 的能量 、分布概率 等。当势能 ｕ（ｒ）与时间无关而只是坐标 的函数情况下 为定 态问题。 定态时 的波函数 可写成式 中 （ｒ）称为定 态波函数 ，满足定 态薛 定谔方程 ，这一方程在数 学上称 为本 征方程 ，式 中 Ｅ为本征 值，是 定态能量 ， （ｒ）又称为属于本征值 Ｅ的本征 函数 。
旦
（Ｅ—ｕ） ：０
考虑归一化条件 ： （ｘ）ｌ ｄｘ＝１
于是归一化波函数 为 （
ｓｉｎ ｘ
本征 能量 为 ：
ｌ、 ，、
ｋ： ］
’ｌｒ
鸯ＥＪ｝ ｎ＝ －ｎ２
Ｖ Ｕ
２ｍａ２
（ｎ：１，２，３… ）
’ｌｒ ｎ ’
． ＾、／
大学物理 薛定谔方程
说明 E:
——一维定态薛定谔方程 一维定态薛定谔方程
粒子能量 ; Ψ (x): 定态波函数 定态波函数. 概率密度在空间上的分布稳定. 概率密度在空间上的分布稳定
r r −i E t r 2 r 2 h Ψ(r , t ) =ψ (r )e ⇒ Ψ(r , t ) = ψ (r )
定态: 定态
3.波函数的标准条件： 波函数的标准条件： 波函数的标准条件
单值、连续、有限. 单值、连续、有限
4.波函数的性质： 波函数的性质： 波函数的性质
描写同一状态(C为常量 （1）ψ与 Cψ描写同一状态 为常量 ） 与 描写同一状态 为常量); 因为粒子出现的概率仅具有相对意义。 因为粒子出现的概率仅具有相对意义。 （2）|ψ|2 满足归一化条件 满足归一化条件: ）
P = ∫ ψn (x) dx = ∫
2 a 4 0 a 4 0
1 1 nπ 2 2 nπx sin sin dx = − 4 2π n 2 a a
a
n =1
n=∞
9 P= 1 100 25 P= 2 100
0
2 2 nπx ψn (x) = sin a a
2
0
a
（2）a/4 处的概率密度 ）
2 2 nπ a 2 2 nπ a ψn ( ) = sin ( ⋅ ) = sin 4 a a 4 a 4
Ψ (x)
n =4
当n很大时, 很大时, 很大时 量子概率分 布就接近经 典分布
n =3 n =2 n =1 a 0
0
a
3.一维无限深势阱粒子的驻波特征 3.一维无限深势阱粒子的驻波特征
E3 = 32 E1
E2 = 22 E1
E1
0
量子物理基础 15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
N
摄谱仪
v0 +△v v0 v0 - △ v
S z e
磁 矩 r
(2) 解释
• 磁场作用下的原子附加能量 磁矩和角动量的关系
r L
e r µ =− L 2me r
的方向） 向 z 轴（外磁场 B 的方向）投影
µ
e e µz = − Lz = − (mlh) = −ml µB µB ——玻尔磁子 2me 2me r r 由于磁场作用, 由于磁场作用 原子附加能量为 ∆E = −µ ⋅ B= −µ cosθ B l µBB = −µz B = m
2 (k12 − k2 )2 sin 2 (k2a) R= 2 2 2 (k1 − k2 ) sin 2 (k2a) + 4k12k2 2 4k12k2 T= 2 2 2 (k1 − k2 ) sin 2 (k2a) + 4k12k2
U0
Ⅰ
E
Ⅱ
Ⅲ
T + R =1
讨论
0
a
入射粒子一部分透射到达 III 区，另一部分被势垒反射回 I 区 。
N=3000 电子数 N=7 N=70000 N=20000 电子数 N=100 电子 双缝 干涉 图样
• t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 粒子在 r 2 dW =| Ψ(r , t) | dV r * r =Ψ(r , t)Ψ (r , t)dV
r Ψ(r ,t)
r r
o
dV
说明 • t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 粒子在
0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为 区域，
d2Ψ( x) 2mE + 2 Ψ( x) = 0 2 dx h
13-08 一维薛定谔方程的应用
k
2mE 2
基态能量
En
n2
h2 8ma2
E1
h2 8ma2
,
(n 1)
o
ax
激发态能量
En
n2
h2 8ma2
,
(n 2,3, )
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 .
13 – 8 一维定态薛定谔方程的应用 第十三章 量子物理基础
2
x2
k 2
0
(x) Asin kx
k n , n 1,2,3, 量子数
a
(x) Asin nπ x
a
U
o ax
归一化条件
2
dx
0a *dx
1
A2 a sin2 0
nπ a
xdx
1
A 2 a
(x) 2 sin n π x, (0 x a)
aa
13 – 8 一维定态薛定谔方程的应用 第十三章 量子物理基础
波动方程
d2
dx2
8π h2 2mE
0
U
波函数
由于电子的隧道效应，金属中的电子在表面以外
呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm .
只要将具有原子线度的极细探针以及被研究物质 的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近 （< 1nm）时，它们的表面电子云就可能重叠 .
13 – 8 一维定态薛定谔方程的应用 第十三章 量子物理基础
E)
o ax
13 – 8 一维定态薛定谔方程的应用 第十三章 量子物理基础
d2 1
dx 2
k12 1
0
d2 2
dx 2
k22 2
0
d2 3
dx 2
薛定谔方程应用举例
头五个Hermitian多项式是:
H 2 4 2 2, H3 8 3 12 , H 4 16 4 48 2 12,
H5 32 5 160 3 120.
三. 线性谐振子的能级和波函数 1.我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：
Enn Biblioteka 1 , n20,1,2,3,
(3.2 8)
无穷级数，那么在x→±∞的时候H(ξ)就→ eξ² ,仍然使ψ(ξ)发散。
能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止” 或“退化”为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。 设要求H(ξ)是ξ的n次多项式，那么就必须让
λ=2n+1 n=0,1,2,3…
这样，我们首先得到了能量本征值：
En
n
1 , n
2
0,1,2,3...
(3.2 5)
现在H(ξ)的方程成为：
d 2Hn
d 2
2
dH n
d
2nH n
0.
(3.2 6)
而不难验证下面的函数正满足这个方程:
H n ( ) (1) n e 2
dn
d n
e 2 .
(3.2 7)
它称为n次Hermitian多项式。
H0 1, H1 2 ,
STM样品必须具有一定程度的导电性； 在恒流工作模式下有时对表面某些沟 槽不能准确探测。任何一种技术都有 其局限性。
当n , En / E 2 / n 0 能级分布可视为连续的。
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
(x)
4 x 3 x 2 x
1x E1 o
4 x 2
E4
3 x 2
E3
2 x 2
E2
量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒
a
a2
能K量量子2m化E：E/ n2nn22/m2aa,22 . n 1,2,3,... 12
粒子的动量：
Pn
2mEn
n
a
K
.
粒子的德布罗意波长：
n
h Pn
2a
/
n
2
/
K
.
粒子的能量、动量、德布罗意波长 ( 及频率 )
均是量子化的。 其中最小能量和最小动量皆不为零，
其中 2m(V 0 E) / 2 .
当 x 0时 B 0, 当 x L 时C 0. 19
Cex , x 0 ;
(x) Acos(kx ) , 0 x L ;
Bex , x L.
k 2mE / 2 , 2m(V 0 E) / 2.
电子，当 E 1eV , V 0 2eV ,
o
a 2 A时 , T 0.51;
o
a 5A时 , T 0.006
制作扫描隧穿显微镜 ( STM )
15
STM下硅表面结构重现 16
利用STM搬迁原子为电子造的“量子围栏” 17
例：质量为 m的粒子处于一维
对称势场
V (x)
0 , 0 x L;
0, ,
x
a/2 a /
x a/2； 2, x a / 2
.
a/2 0 a/2 X
势壁无限高，阱内的粒子不可越出阱外：
( a) 0, (a) 0.
2
2
阱内 (a / 2 x a / 2) , 定态薛定谔方程：
d 2 (x) 2m E (x) 0 .
02 薛定谔方程及其应用
df = Edt ♦ 一个是变量为t 的方程 ih f 可以把它先解出来： 可以把它先解出来：
其解为
f = Ae
i t − E h
……（★） （
是待定复常数； 有能量量纲, （A 是待定复常数； E 有能量量纲,以后可知是 粒子的能量： 势能， 包括静能） 粒子的能量：动能 + 势能，不包括静能） 一个是变量为x ♦ 一个是变量为 的方程
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
奥地利物理学家 薛定谔 （Schrodinger 1887-1961） ）
1933年薛定谔获 年薛定谔获 诺贝尔物理奖。 诺贝尔物理奖。
说明： 说明： （1）它是一个复数偏微分方程； 它是一个复数偏微分方程； 复数偏微分方程 r 复函数。 其解波函数 Ψr, t) 是一个复函数。 ( 是一个复函数 （2）它的解满足态的叠加原理 r r 是薛定谔方程的解， 若 Ψ ( r , t )和 Ψ ( r , t ) 是薛定谔方程的解， 1 2 因为薛定谔方程是线性偏微分方程。 因为薛定谔方程是线性偏微分方程。 线性偏微分方程 （3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验 它并非推导所得，最初是假设， 检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律” 检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律”。 （4）它是非相对论形式的方程。 它是非相对论形式的方程。
于是对每一个
n
值，波函数的空间部分为
2 nπ sin x, n = 2,4,6,L ψon = a a 2 nπ cos x, n =1,3,5,L ψen = a a ψn = 0,
这些波函数也称为能量本征函数。 这些波函数也称为能量本征函数。 能量本征函数
｝
a x≤ 2
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一维定态薛定谔方程的应用授课人：物理科学与技术学院势 阱日常生活中的各种井（阱）物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名水井窨井陷阱UxOaU()U x xOa∞∞00()0 , x aU x x x a≤≤⎧=⎨∞<>⎩这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念这样的势能函数称为 一维无限深势阱建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 222d()()()2d U x x E x m x ψψ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 222d ()()2d x E x m xψψ-=x x a U x 0 , ()<>→∞阱外( )： 令： 222mE k =得通解： ()sin()x A kx ψϕ=+ 微观粒子的能量不可能达到无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。
()0x ψ≡222d 0d k xψψ+=利用标准条件确定 和 k ϕ因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0A kx x ax x x ϕψ+≤≤⎧=⎨<>⎩，(0)sin 0A ψϕ== a A ka ()sin()0ψϕ=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数2220π()d sin d a n x x A x xa ψ+∞-∞=⎰⎰221A a =⋅= 2A a= n a x x a x ax x aπ2sin0()00 , ψ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩()π()sin 1,2,3n x A x n aψ==⋅⋅， 0ϕ=πn k a=()1,2,3n =⋅⋅⋅，微观粒子在势阱中的能量只能取一系列不连续的分立值，即能量是量子化的。
整数称为量子数 确定能量的可能取值n 由及 222mE k =πk an =得 ()2221,2,3,8n hma n E n ==⋅⋅⋅ 1n =时， 称基态能量 2128h E ma =2228n h n E ma=O4n =3n =2n =1n =基态2228n h n E ma=O4n =3n =2n =1n =基态能级间隔： ()212Δ218n n n h E E E n ma +=-=+2Δ1n E α∝表明： 当 时（宏观尺度）， a →∞Δ0n E →能级消失、能量连续分布，回归经典情况。
当时 ，相对能级间隔 n →∞2Δ210n n E n E n+=→同样可视为连续分布，回归经典概率密度的分布 由归一化的定态波函数2πsin 0()0 0 ,n x x a x a ax x aψ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩概率密度函数22πsin0=0 0 , n x x a a a x x a⎧≤≤⎪⎨⎪<>⎩2()()n n p x x ψ=波函数()x ψ概率密度2()()p x x ψ=xψO xOψxOψa xOpxOpxOpa 2a 2aU x Oa 0U 0(0)()0(0,)U x a U x x x a ≤≤⎧=⎨<>⎩该势能函数称作一维矩形势垒假设能量为 的粒子从左侧射来 E 按经典观点，若 ，粒子可以 0E U >通过，若 ，粒子不能通过。
0E U < 按量子力学观点，无论 或0E U >粒子都有可能通过。
0E U <EⅠ Ⅱ Ⅲ若质量为的粒子在某力场中运动时，其势能函数为mUxOaU EⅠ Ⅱ Ⅲ0 , 0x x a U <>=当时，222d ()()2d x E x m x-= ψψ令 2122mEk =()02222m U E k -=令 2202d ()()2d U x E x m x ψψ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦0 x a <<当时，0()U x U E=>222d ()()()2d U x x E x m x ψψ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦由一维定态薛定谔方程可得2212d ()()0d x k x x += ψψ(0 , )x x a <>求解可得波函数的通解为( 0 )x a <<2222d ()()0d x k x x= -ψψ112211i i 1122i i 33e e ( 0 )()e e (0)e e( )k x k xk x k xk x k xA B x x A B x a A B x a ψ---⎧+<⎪=+<<⎨⎪+>⎩含时的一维定态波函数 i(,)()eEtx t x ψψ-= U xOaU EⅠ Ⅱ Ⅲ沿 x 轴正向传播的波 沿 x 轴负向传播的波，因Ⅲ区无反向波，故30B =U xOaU 11221i i 1122i 3e e ( 0 )()e e (0)e ( )k x k x k x k xk x A B x x A B x a A x a ψ--⎧+<⎪=+<<⎨⎪>⎩i(,)()eEtx t x ψψ-= 人们将微观粒子能够穿透比其总能量更高的势垒的现象形象地称为隧道效应。
由于 ，这说明当粒子的总能量时，粒子仍然有一定的概率穿透垒到达III 区。
30A ≠0E U <就好像在势垒中挖 了一些隧道，微观粒子可以从隧道中穿过势垒波函数的通解为()0002161exp 2E E a m U E U U ⎛⎫⎛⎫≈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭数值计算表明： 对 、 和 的变化非常敏感， T a 0()U E -m 而且随着 、 、和 的增大，按指数规律迅速减小。
a 0U m 透射系数 ： 透射波的强度 与入射波的强度 之比T 23A 21A 2321T AA=对于能量 不大 的低速粒子 E 粒子粒子能量势垒高度势垒宽度透射系数 电子 1eV 2eV 0.510.024质子1eV2eV10210m -⨯10510m-⨯10210m -⨯38310-⨯隧道效应只发生在微观领域，是微观粒子具有波动性的体现。
在宏观领域观察不到。
微观粒子的隧道效应已被许多实验所证实。
1981年，德国的宾尼希和瑞士 的罗雷尔利用电子的隧道效应，发明了扫描隧道显微镜，简称STM 。
两人因此与发明电子显微镜的卢斯卡一起分享了1986年诺贝尔物理学奖。
扫描隧道显微镜（STM ）罗雷尔 H Rohler 宾尼希 G Binning扫描隧道显微镜（STM ）因为隧道电流对探针与样品表面的距离十分敏感，若控制隧道电流 I T 保持不变，则针尖空间坐标的变化反映了样品表面原子阵列的几何结构及起伏情况。
电子云a自动测控系统数据处理及显示系统真空bU STM 能够显示被观测物表面原子排列的三维图像，横向（ x 、y ）分辨率已达到0.1nm ，纵向（z ）分辨率达到0.01nm 。
xyzSTM使人类能够实时地观察单个原子在物质表面的排列状态，并可对单个原子和分子进行移动和操纵，在表面科学、材料科学、生命科学等领域的研究中有着广泛的应用。
物理学家正在调整一台STM1990年美国IBM公司的研究人员首先运用STM技术在金属镍表面移动35个氙原子，使它们排列成IBM字样，成功地实现了原子级的字母书写。
一维谐振子无论在经典领域，还是在微观领域，谐振子都是都是一个重要的物理模型弹簧振子xO x晶体中原子的振动质量为 的粒子在一维空间中运动，如果其势能函数可表示为m 22211()22U x kx m xω==k m ω=式中 称为角频率。
这称为一维谐振子。
22222d 12d 2m x E m x ψωψψ-+=谐振子的定态薛定谔方程 令： 、 、 ，则： ξαx =m αω=2λE ω=22d ()0d ψλξψξ+-=因求解过程比较复杂，下面仅分析求解的结果一维谐振子定态薛定谔方程的求解结果定态波函数2()2()e() (0,1,2,)x n n n x A H x n αψα-==()()n n H x H αξ=式中 是厄米多项式，是量子数 n 谐振子的能量11 (0,1,2,)22n E n n h n ων⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=谐振子的能量——能量量子化1122n E n n h ων⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=能级间隔 1Δn n E E E h ν+=-=一维谐振子对求解结果的分析0,1,2,n=量子数 0n =1n =3n =2n =Ox()U x 12h ν32h ν72h ν52h ν谐振子的能级图与普朗克的能量子假设一致基态能量(零点能)的存在，是量子力学的一个重要结果，也是微观粒子具有波动性的本质表现，被光的散射实验证实。
对求解结果的分析n =1n =3n =2n =Ox()U x 12h ν32h ν72h ν52h ν谐振子的能级图存在基态能量（零点能）02E h ν=比较：经典弹簧振子的能量212E kA=式中 称为厄米多项式 ()()22d 1d nnn nH e e ξξξξ-=-定态波函数2()2()e() (0,1,2,)x n n n x A H x n αψα-==概率密度函数 2()()n n p x x ψ=2()200()ex x A αψ-=2()211()ex x A x αψ-=222()222()(21)ex x A x αψα-=-对求解结果的分析谐振子的波函数曲线 和 概率密度曲线Ox1()p x Ox2()p x Ox0()p x 定态波函数2()2()e() (0,1,2,)x n n n x A H x n αψα-==式中 称为厄米多项式 ()()22d 1d nnn nH e e ξξξξ-=-Ox0()x ψ0n =Ox1()x ψ1n =Ox2()x ψ2n =Ox11()p x本节结束！谢谢观看！。