信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换

3
1 的正弦分 T1
（1） f (t ) = c0 + ∑ cn cos ( nω1t + ϕ n )
n =1
∞
⎧ ⎪c0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨c n = a n + bn ⎪ bn ⎪ϕ n = − arctan an ⎩
∞
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
（2） f (t ) = d 0 + ∑ d n sin ( nω1t + θ n )
第三章
傅里叶变换
江禹生
3.1 周期信号的频谱分析
一、正交函数与正交函数集 1、函数正交 如果两个函数 f1 (t ) 、 f 2 (t ) 在区间（ t1 ，t 2 ）满足 ∫ f 1 (t ) f 2 (t )dt = 0 ，则称 f1 (t )
t2 t1
和 f 2 (t ) 在（ t1 ， t 2 ）内正交。 2、正交函数集 假设有 n 个函数 g1 (t ) ， g 2 (t ) ，L ， g n (t ) 构成一个函数集，这些函数在区间 （ t1 ， t 2 ）内满足如下正交特性： ⎧ t2 g (t )g (t )dt = 0 i ≠ j j ⎪∫t1 i ， K i 为一常数。 ⎨ t2 2 ( ) g t dt = K ⎪∫t i i ⎩ 1 则函数集称为正交函数集。也称 g1 (t ) ， g 2 (t ) ，L ， g n (t ) 构成一个 n 维的正 交信号空间。 当 K i = 1 时，称为归一化正交函数集。 任一函数 f (t ) 在区间（ t1 ， t 2 ）内，可以用组成信号空间的 n 个正交函数的 线性组合来近似地表示为：
（2）虚指数函数集
2
jnω t 虚指数函数集 e 1
Fra Baidu bibliotek
{
} (n = 0,±1,±2,L) 在区间 (t , t
0
0
+ T1 ) 组成完备的正交函数
集。 这是因为它在区间 (t 0 , t 0 + T1 ) 内满足 二、三角函数形式的傅里叶级数 1、三角函数形式的傅里叶级数的第一种形式（基本形式） 设周期信号为 f (t ) ，周期为 T1 ，角频率为 ω1 = 时，它可以展开成三角函数形式的傅里叶级数：
k
f(
k)
FS ( t ) ←⎯→ ( jnω1 )
Fn
FS f ( t − t0 ) ←⎯→ Fn e− jnω1t0
五、函数的对称性与傅里叶系数的关系 1、偶函数 若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足 f (t ) = f (− t ) ，此时 f (t ) 是偶函数。
5
f (t )
E
L
−
T1 2
f1 (t ) f 2∗ (t )dt = ∫ f 1∗ (t ) f 2 (t )dt = 0
t2 t1
∫
t2
t1
复变函数正交函数集： 如果在区间（ t1 ， t 2 ）内，复变函数集 g1 (t ) ， g 2 (t ) ，L ， g n (t ) 满足如下关 系式： ⎧ t2 g (t )g ∗ (t )dt = 0 j ⎪∫t1 i ⎨ t2 ∗ ⎪∫t g i (t )g i (t )dt = K i ⎩ 1 i≠ j
f (t ) ≈ c1 g 1 (t ) + c 2 g 2 (t ) + L + c r g r (t ) + L + c n g n (t ) = ∑ c r g r (t )
r =1 n
完备正交函数集： 如果在正交函数 g1 (t ) ， g 2 (t ) ， L ， g n (t ) 之外，不存在函数 x(t ) （ 0 < ∫ x 2 (t )dt < ∞ ） ，满足等式 ∫ x(t )g i (t )dt = 0（ i 为任意正整数） ，则称此
{1, cosω1t , cos 2ω1t ,L, cos nω1t,L, sin ω1t, sin 2ω1t,L, sin nω1t,L} 在 区 间
(t 0 , t 0 + T1 ) 组成完备的正交函数集。 ω1 = 2π
T1
这是因为它在区间 (t 0 , t 0 + T1 ) 内满足：
∫
t0 +T1
P= f
2
(t ) =
1 T1
∫
T1
0
f
2
(t )dt
2、帕塞瓦尔定理
P= f
2
(t ) =
1 T1
∫
T1
0
f
2
(t )dt = a02 + 1 ∑ (a n2 + bn2 ) = c02 + 1 ∑ c n2 = ∑ Fn 2 2 2
∞
∞ ∞
n =1
n =1
n = −∞
上式表明：周期信号的平均功率等于直流、基波及各次谐波分量有效值的平 方和。也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 证明：对于三角函数形式的傅里叶级数
7
f (t ) = a0 + ∑ ⎡ ⎣ an cos ( nω1t ) + bn sin ( nω1t ) ⎤ ⎦
n =1
∞
平均功率为
1 P= T1
2 0
∫
T1
0
1 f (t )dt = T1
2
∫
T1
0
∞ ⎧ ⎫ ⎨a0 + ∑ [a n cos(nω1t ) + bn sin (nω1t )]⎬ dt n =1 ⎩ ⎭ 2
4
Fn + F− n = cn
Fn + F− n = an
bn = j ( Fn − F− n )
2 2 cn = d n2 = an + bn2 = 4 Fn F− n
注意： （1） 三角函数形式的傅里叶级数和虚指数形式的傅里叶级数虽然形式不同， 但实际上它们是属于同一性质的级数， 即都是将一个周期信号表示为直流分量和 谐波分量之和。 （2）在虚指数形式的级数中，虽然因引用 − n 而出现了 − nω1 ，但这并不表 示存在着什么负频率， 而只是将第 n 次谐波的正弦分量分写成了两个虚指数项后 出现的一种数学形式。 四、傅里叶级数的主要性质 若 则
t2 t2 t1 t1
函数集为完备正交函数集。 一般说，完备正交函数集中将包含有无限多个相互正交的函数。 这样 f (t ) = c1 g1 (t ) + c 2 g 2 (t ) + L + cr g r (t ) + L 3、复变函数的正交特性
1
设 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 是实变量 t 的复变函数， 两个函数 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 在区间 （ t1 ，t 2 ） 内相互正交的条件是：
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
2
∞ 1 ∞ 2 ⎛ 1 ⎞ 1 ∞ 2 2 2 2 = c0 + ∑ cn = c0 + ∑⎜ cn ⎟ ) = a + ∑ (a n + bn 2 n =1 2 n =1 n =1 ⎝ 2 ⎠
对于指数形式的傅里叶级数
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
平均功率为
P= 1 T1
∫
T1
0
0
T1 2
L
t
偶函数的傅里叶级数展开式的系数为：
4 an = T1
bn = 0
∫ f (t )cos(nω t )dt
1
T1 2 0
Fn =
an ，ϕn = 0 2
偶函数的 Fn 为实数。在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含 有直流项和余弦项。 2、奇函数 若信号波形相对于纵坐标是反对称的，即满足 f (t ) = − f (− t ) ，此时 f (t ) 是奇 函数。
则称此复变函数集为正交函数集。 对于一个完备的正交复变函数集，任意（实或复）函数 f (t ) 在区间（ t1 ，t 2 ） 可以表示为：
f (t ) = c1 g1 (t ) + c 2 g 2 (t ) + L + cr g r (t ) + L
4、两个常用的完备正交函数集 （1）三角函数集 三角函数集
FS f ( t ) ←⎯→ Fn FS f ∗ ( t ) ←⎯→ F−∗n FS f ( −t ) ←⎯→ F− n
FS f ( t ) cos (ω1t ) ←⎯→
1 ( Fn−1 + Fn+1 ) 2
FS f ( t ) s in (ω1t ) ←⎯→
1 ( Fn−1 − Fn+1 ) 2j
4 an = T1
4 bn = T1
∫ f (t )cos(nω t )dt
1
T1 2 0
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
（ n 为奇数）
在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而 不会包含偶次谐波项。 六、周期信号的平均功率 1、周期信号平均功率的定义 为了方便，研究周期信号在 1 电阻上消耗的平均功率。称为归一化平均功 率。如果周期信号是实函数，无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率定义 为
f (t ) = a0 + ∑ ⎡ ⎣ an cos ( nω1t ) + bn sin ( nω1t ) ⎤ ⎦
n =1 ∞
∫
t0 +T1
t0
⎧0 ∗ e jmω1t e jnω1t dt = ⎨ ⎩T1
(
)
m≠n m=n
1 ，当满足“狄利克雷条件” T1
根据三角函数集的正交特性得： ⎧ 1 t0 +T1 a0 = ∫ f ( t ) dt ⎪ t0 T 1 ⎪ ⎪ 2 t0 +T1 f ( t ) cos ( nω1t ) dt ⎨an = ∫t 0 T 1 ⎪ ⎪ 2 t0 +T1 f ( t ) sin ( nω1t ) dt ⎪ bn = ∫t T1 0 ⎩
f
2
(t )dt =
1 T1
∫ f (t ) f (t )dt
n = 1, 2,3,L n = 1, 2,3,L
a 0 ， a n ， bn 称为傅里叶系数，它们是 n 或 nω1 的函数。 注意： （1） a 0 是 f (t ) 在区间（ t 0 ， t 0 + T1 ）内的平均值，亦即直流分量。 a n 为余 弦分量的幅度， bn 为正弦分量的幅度。 （2）当 n 为 1 时， a1 cos(ω1t ) 和 b1 sin (ω1t ) 合成一角频率为 ω1 = 量，称为基波分量， ω1 称为基波频率。 当 n 大于 1 时， a n cos(nω n t ) 和 bn sin (nω n t ) 合成一角频率为 nω n 的正弦分量， 称为 n 次谐波分量， nω1 称为 n 次谐波频率。 （3）任何周期信号只要满足“狄利克雷条件” ，就可以用一直流分量和一系 列谐波分量之和来表示。 2、三角函数形式傅里叶级数的另外两种形式
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
n = 0, ±1, ±2,L
Fn 是第 n 次谐波分量的复数振幅。
jnω t 虚指数形式的傅里叶级数可由虚指数函数集 e 1 的正交特性，周期信号
{
}
f (t ) 直接展开而成，或者由三角函数形式的傅里叶级数间接导出。
Fn 与其它系数有如下关系： F0 = c0 = d 0 = a0
Fn = Fn e jϕn = 1 ( an − jbn ) 2 1 F− n = F− n e − jϕn = ( an + jbn ) 2 1 1 1 2 2 Fn = F− n = cn = d n = an + bn 2 2 2