数学建模math soft 9概率统计实验

随机变量及其分布
实际上, 更应该关心的 是 X 的分布列 分布列是小球落在各 格子里的概率： P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(X=4)，P(X=5) 想一想，它是不是表 现了大量投球后小球 堆积的极限形状呢
备注（比较频率和概率）
Bernoulli试验和二项分布
应用练习与思考（如何制定胖和瘦的标准)
观察：模拟身高和体重的数据（最好你自己收集数据）
产生n个正态随机数X，代表n个人的身高； 再产生n个零均值的正态随机扰动U 用Y=rX+s+U计算n个随机数Y，代表着这n个
人的体重。
simulationhigh_weight.m, hist
应用练习与思考（如何制定胖和瘦的标准)
Galton钉板模拟(程序zxy9_1.m)
（6）动画指令结构 moviein(n)：创建动画矩阵； 制作动画矩阵数据；
getframe ：拷贝动画矩阵； movie(Mat,m)：播放动画矩阵 m 次，
（zxy7_6演示、讲解，备注）
Galton钉板模拟(程序zxy9_1.m)
运行zxy9_1.m
热轧机的调整（优化）
（1）给定μ,模拟 n 个正态随机数 x=[x j , j=1 , 2 , …, n] ； (2）如果 xj ≥ l，这根成品材的浪费是 wj=xj–l， 如果 xj < l 则浪费的钢材长度是 wj = xj； (3)总的浪费是 x j l( x j l) x j l x
( X , )~ N ( μ , μ s , ,r σ Y r σ
2 2 2 2 σ u , X Y ) ρ
绘制二维直方图和二元正态分布密度函数 图象。 运行程序zxy9_4.m改变参数，观察二维 直方图和理论分布的图形和身高和体重的 概率关系。
如何制定胖和瘦的标准(条件正态分布法)
f Y |X ( y| x ) 1 2 π 1 ρ 2 σ2 2 e x p { [ y ( μ2 ρ ( xμ 1 ) ] } σ1 2 ( 1ρ 2 ) σ2 2 1
应用、思考和练习（电力供应问题 ）
某车间有200台车床互相独立的工作，
由于经常需要检修、测量、调换刀具等种种原 因需要停车，这使每台车床的开工率只有60％。 而每台车床在开动时需耗电1kW， 显然向该车间供电200kW可以保证有足够电力 供这些车床使用， 但是在电力比较紧张的情况下，给这个车间供 给电力太多将造成浪费，太少又影响生产。 如何解决这一矛盾？(模拟法？）
不要把Galton钉板简单地当作消遣 它是一个有用的概率模型 当你学习了概率论，你将知道 Bernoulli试验模型 n重Bernoulli试验的成功次数X 服从 二项分布B(n, p). 上面模拟对应于n=5, p=0.5的情形
二项分布列
随机变量X～B(n,p)，则它的分布列为
pi P ( X
Galton钉板模拟(程序zxy9_1.m)
(5)模拟小球堆积的形状。


输入扔球次数 m （例如 m =100) 计算落在第 i 个格子的小球数在总球数m 中所占的比例f(i) 当模拟结束时，就得到了频率: f(0),f(1),f(2),f(3),f(4) 画出它们的图形。就是小球堆积的形状
j
，
成品材总数是 length=满足 xj ≥ l 的 j 的个数 1 ˆ ( μ ) x j l( x j l) x j l x j W length


（4）用 m in 指令 计算最小值和最小点，
应用练习与思考（热轧机模型）
根据上面的结果，你得到什么印象。一根成品 材长为2 米，浪费为0.44783米，这样的结果 可以接受吗？你有办法减少浪费量吗？ 图中，曲线不是光滑的，这是正常的吗？不改 变程序中的参数，多次运行程序，结果会保持 不变吗？如何解释你观察到的情况？ 你可以加密mu的分点进行计算，也可以改变一 些参数重新运行程序，观察计算结果。
运行观察程序zxy9_2.m 用正态分布发生器normrnd 模拟热轧 的结果。
观察哪些钢材需要切割，切割多少？哪 些则将整根报废。
观察正态参数的对轧钢结果的影响作为 对比观测，
热轧机的调整（优化zxy9_3.m,find）
目标函数W（μ)为得到一根成品材所浪费的平 均钢材长度 设 成 品 材 长 度 为 l=2, 热 轧 机 的 精 度 为 sigma=0.2. 仿真热轧机实际操作过程：对给定的μ值，模拟 热轧机轧制一批钢材，计算每得一根成品材所 浪费的平均钢材长度，得到的估计值； 通过改变μ的值，绘制的变化曲线，确定使浪费 达到最小的额定长度μ0 ，这就是热轧机应该设 置的最佳额定长度的估计值。
你有兴趣用解析的方法解决这一问题吗？模拟 的方法和解析的方法有什么联系和区别？
应用练习与思考（热轧机模型）
如何进一步减少浪费？一种想法是提高热轧机的精 度，固定l的值，减少均方差重新进行计算，看看 会发生什么结果？ 你可以通过绘制均方差～浪费量曲线的方法为管理 者提供决策依据。 另一种方法是改变问题的提法：可以考虑将成品材 分为若干级别，例如分为两个档次。长度在l1 ~ l2之间的降级使用，只有当长度小于才l1整根报废。 试对这一问题进行思考，选用合适的目标函数建立 优化模型，使某种意义下的浪费达到最小。并结合 前面已经计算的结果，为管理者提供一个可行性建 议。
m0 / m
1 p1 f1
m1/ m
2 p2 f2
m2 / m
3 p3 f3
4 p4 f4
5 p5 f5
m5/ m
m3 / m m4 / m
一次抽奖获得的平均回报 = m 次 抽 奖 获 得 的 总 回 报/ m mi n n i0 f i i0 f ip i m n Ef(X) i0 f i p i 。
一个模拟结果
扔100个小球 向右概率p=0.5
要改变参数观察一 下不同的模拟结果 吗？这很容易.自己 动手试试吧
随机变量及其分布
当你扔小球时，你和庄家关心什么？ ？？？？？？？？？？？？ 对，是小球落入格子的编号数 X
（有些绕口，但很重要）
在投球前，你不能说你的小球会落在第0个格 子。 但你可以说小球将落在第X个格子 X是一个随机数 是概率论中重要的讨论对象-----随机变量！！！
Galton钉板模拟(程序zxy9_1.m)
(1)确定钉子的位置：将钉子的横、纵坐标存 储在两个矩阵X和Y之中。 (2)选取0<p<1,将[0,1]区间分成两段:[0, p) 和 [p，1]。 (3)产生随机数r=rand(1，1),如果r<p，让 小球向右落下；若r>p，让小球向左落下 。 (见备注） (4)将这一过程重复n次，并用直线连接小球 落下时所经过的点，这样就模拟了小球从顶端 随机地落入某一格子的过程。
数学期望和平均收益
奖品的设置 格子编号 0 1 2 3 4 5 奖品价值 5 1 0.2 0.2 1 5 观察：模拟5000次抽奖过程，抽奖一次 支付1元，按上表获得回报。计算总收益 和一次抽奖所得的平均收益 计算理论均值 备注
数学期望和平均收益
格子编号X 分布列p 价值函数f 频率 0 p0 f0
实验九 概率统计实验
Galton钉板和二项分布
分布列的意义
Galton钉板模拟
o英国生物统计 学家Galton设 计了Galton板 o右边是一个5层 Galton钉板
Galton钉板模拟(原理)
o 在一板上钉有n排钉子 o 自顶端扔进一小球任其自
由下落 o 在下落过程中小球碰到钉 子，左右落下的机会相等 o 最后小球落入底板中的某 一个格子 o 图中用0 1 2 3 4 5表示 这6个格子
y f Y |X ( y| x ) d y μ 2

E ( Y| X x )
σ2 ρ ( x μ 1 ) σ1
2 V a r ( Y| X x ) ( y E ( Y| X x ) ) f Y |X ( y| x ) d y ( 1ρ 2 ) σ2 2
热轧机的调整（正态模型）
输入 x 输入 y
f
输入μ 热轧机
输出 X
热轧机的调整（正态模型）
随机变量X ～N(μ,σ2)描述了热轧机轧 出的钢材长度。 Y = normpdf(X,MU,SIGMA), （运行normpdfobs.m）
f(x)
1 2 πσ
( xμ ) 2 σ2 e
2
热轧机的调整（模拟热轧机工作）
Galton钉板模拟(博彩问题)
在每一格子中放上适当价 值的奖品 如依次为 10 1 0.2 0.2 1 8 (元） 扔一次小球你要付1元给 庄主 如果小球落入某个格子 你将获得相应价值的奖品 你合算吗？庄主会赚钱吗？
Galton钉板模拟(扔1万个小球)
o 小球落入哪一个格子
是不确定的 o 所以要计算落入每一 个格子的可能性 o 试想向Galton板中 扔10000个小球 o 这些小球将堆积起来 o 小球的堆积形状告诉 了我们什么呢？
E X μ , E Y rHale Waihona Puke Baiduμ s D X σ 2 D ( Y ) r 2σ 2 σ 2 u
ρ
XY
r 1 | r | 1 σ 2 / r2σ 2 u
如何制定胖和瘦的标准(回归分析)
alpha=0.01; polytool(x',y',1,alpha) 这时将出现一图形窗口， 用鼠标水平移动十字线 可得到不同身高对应的预测值， 在正上方degree输入框中可改变拟合多项式次数， 在左下角的列表框中有不同的输出选项， 可输出相应的参数，例如选择all将输出参数: beta (多项式系数)、betaci (多项式系数置 信区间)、yhat（预测值）、yci（预测值置信区 间）residuals（残差）。
应用、思考和练习（
废品问题 ）
一工厂生产某种大量耗用的零件，经过统计方法估计 出废品率为p=0.015。工厂将100个零件装成一盒， 销售给用户。但是不久接到用户反馈意见：声称100 盒产品大约只有22盒全是正品，用户希望将这个比例 提高到80盒左右。 管理人员希望采取某种措施满足用户的要求。为此他 们进行了技术分析，希望减少废品率，但是这样做成 本太高而不现实。 一名管理人员提出了一个简单想法，他认为可以在每 盒产品的100个零件之外奉送额外的若干零件，这样 希望基本保证用户得到100个正品，从而满足他们提 出的要求。这一方法可行吗？请用概率论知识对此进 行分析。
i i i) Cn p
q
n i
i 0,1,2, , n
统计工具箱
用指令f= binopdf(x, n, p)可计算二项 分布的分布列 用F= binocdf(x, n, p)可计算二项分 布的分布函数 用R = binornd(n,p,s,m)模拟m个二 项随机数
观察二项分布列
运行binopdfcompare.m 固定n , 改变p值，观察二项分布列的形 状
看一看：改变向右的概率，小球的堆积 形状是怎样的？ 增加钉板层数n，作进一步观察。
模拟二项分布随机变量
用R = binornd(5,0.5,1,1)模拟了一次 投球的结果。多次运行它，看看你的运 气。 用R = binornd(5,0.5,1,m)成批模拟 了m次投球结果，看看它的堆积形状。 (运行simulatingGalton.m)
应用练习与思考（如何制定胖和瘦的标准)
描述某一类人群的身高，可以使用正态 随机变量。这是因为和热轧机模型一样， 大多数人的身高在人群的平均身高附近 波动，呈现着一种对称分布：特别高或 特别矮的人是很少的，与正态分布体现 的中间大两头小的特点比较吻合。 同理，也可用正态随机变量来描述这一 类人群的体重。
应用、思考和练习（
奖品的设计）
所有抽奖模型都是要赚钱的，没有人想 花费精力却一无所获，甚至亏本。 对Galton钉板抽奖模型，如何在各个 格子中摆放适当价值的奖品获取利润？ 试提出你的设计方案。
热轧机的调整（正态分布）
轧制钢材要经过两道工序，第一道是粗轧(热轧)， 第二道是精扎(冷轧)。 热轧机可以调整它的额定长度值，控制轧出钢材的 平均长度。 成品材具有一个规定的长度l，如果热轧出的钢材 长于l,精轧时就把多余的长度切掉。 如果粗轧时轧出的钢材长度比l短，则整根钢材报 废。 精轧设备精度很高，轧出的成品可以认为是完全符 合规定长度要求的。 问题是如何调整热轧机的额定值，使得钢材浪费最 小。