数学建模math soft 9概率统计实验
概率统计数学模型
概率统计数学模型在数学领域，概率统计是一个非常重要的分支，它涉及到各种随机现象的数学描述和统计分析。
概率统计数学模型则是这些分析的基础，它能够准确地描述和预测各种随机现象的结果。
一、概率统计数学模型的基本概念概率统计数学模型是建立在随机试验基础上的数据分析方法。
在概率论中，随机试验的结果通常被视为不可预测的，但可以通过概率分布来描述它们。
而统计方法则是对数据进行收集、整理、分析和推断的方法，它依赖于概率论的知识。
二、概率统计数学模型的应用概率统计数学模型在各个领域都有广泛的应用，例如在金融领域中，它可以帮助我们预测股票价格的波动；在医学领域中，它可以帮助我们理解疾病的传播方式；在工程领域中，它可以帮助我们优化设计方案。
三、概率统计数学模型的建立过程建立概率统计数学模型通常包括以下几个步骤：1、确定研究问题：首先需要明确研究的问题是什么，以及我们想要从中获得什么样的信息。
2、设计随机试验：针对研究问题，设计合适的随机试验，以便收集数据。
3、收集数据：通过试验或调查等方式收集数据，并确保数据的准确性和可靠性。
4、分析数据：利用统计分析方法对收集到的数据进行处理和分析，提取有用的信息。
5、建立模型：根据分析结果，建立合适的概率统计模型，以描述数据的分布规律和预测未来的趋势。
6、验证模型：对建立的模型进行验证，确保其准确性和适用性。
7、应用模型：将建立的模型应用于实际问题的解决和预测中。
概率统计数学模型是处理和分析随机现象的重要工具，它在各个领域都有广泛的应用前景。
通过建立合适的概率统计模型，我们可以更好地理解和预测各种随机现象的结果，从而为实际问题的解决提供有力的支持。
概率统计数学模型在投资决策中的应用在投资决策的制定过程中，准确理解和应用概率统计数学模型是至关重要的。
概率统计数学模型为投资者提供了定量分析工具，帮助他们更准确地预测投资结果，从而做出更合理的决策。
一、概率模型的应用概率模型在投资决策中的应用广泛。
数学建模中的概率统计模型1
残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图。
3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y 4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数 据。 load data 方法2 1、输入矩阵：
data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]
线性模型 (Y , X , I n ) 考虑的主要问题是： （1） 用试验值（样本值）对未知参数 和 2 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
x1 , x 2 ,..., x k 之间的数量关系；
（2）在 x1 x01 , x2 x02 ,..., xk x0 k , 处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计.
1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 d n t (n 2) n Lxx 2
Q ˆ n2
2
设y在某个区间(y1, y2)取值时, 应如何控制x 的取值范围, 这样的问题称为控制问题。
可线性化的一元非线性回归 需要配曲线，配曲线的一般方法是： • 先对两个变量x和y 作n次试验观察得画出 散点图。 • 根据散点图确定须配曲线的类型。 • 由n对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a和b采用的方法是通过变量代换把非线性 回归化成线性回归，即采用非线性回归线 性化的方法。
概率统计在数学建模中的应用探究
概率统计在数学建模中的应用探究作者：杨映霞来源：《课程教育研究》2017年第34期【摘要】概率统计课程作为一门实践性与理论性较强的数学学科，已经在各大高校作为一门公共课程而开设。
数学的知识表面看起来太复杂又太片面化，似乎在日常生活中并没有太大的存在感，除了些简单的加减问题。
其实不然，数学建模思想的出现，使得数学中的概率统计渐渐的接近日常生活问题，带来了很多的便利。
本文就概率论在数学建模中的应用问题进行了探究。
【关键词】概率统计数学建模应用探究【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）34-0138-01前言随着信息时代的不断发展，相关理论知识也越来越被重视，并且渴望被广泛应用，其中数学方面的变化最大，例如数学中的分支概率统计课程的学习越来越被各高校重视，并且在教学的过程中，还融入了数学建模的基本思想，而概率统计这门学科主要包括利用期望把随机问题转化为确定性问题，考虑平均意义下的最优问题；生灭过程的应用；多元统计分析：（1）回归分析；（2）判别分析；（3）聚类分析；随机模拟，而建模是针对某一事件或问题进行的探究，两者的结合让学生充分的体会到了概率统计的实用性，让学生运用学过的概率统计知识去解决，从而激发学生学习的主动性和积极性，提高他们的运用能力。
目前在概率论与数理统计课程中融入数学建模的思想已经引起了越来越多的相关教学工作者的重视。
一、概率统计与数学建模相结合的教学现状随着数学建模思想的发展，越来越多的高校对于概率统计与数学建模思想的结合教学模式的重视度加大。
但是，尽管只是学校加大了力度还是不够的。
毕竟最后的应用需要有才能的进行探究与总结，最终才能让模型得以扩张与应用。
概率统计的课程在我们学校是第二学期开展的，当时，学生们已经学过了高等数学、线性代数等课程。
但是不同的学生来自于不同的学校，对数学的学习能力以及基础不同，这对两者结合的教学模式带来了难度。
一是很多同学根本没有把数学知识的学习放在心上，他们认为在现实的生活中数学的应用涉及的范围很小，几乎接触不到概率统计、线性等知识的应用；二是即使有些同学可以将概率统计的知识学的很好，订单式一旦与实际问题相结合，往往就觉得失去了头绪，不知从哪里开始做起。
数学建模中的概率统计方法选讲
数学建模中的概率统计方法选讲案例一：常用分布及中心极限定理与“DVD 在线租赁”问题（2005B ）“DVD 在线租赁”为2005年全国大学生建模竞赛的B 题，原题参见附件中的文件“2005B ”。
现考虑问题（1）：网站正准备购买一些新的DVD ，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数（表1给出了其中5种DVD 的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD ？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢？问题（1）的分析与求解：可以通过“点估计”的方法，得到抽样的1000名会员租赁上述5种DVD 的概率为● 通过1000个样本来推断10万个会员的“总体”： 假设随机变量，否则种个会员租第第⎩⎨⎧=,0,1DVDj i ij ξ 其中10000,...,2,1=i . 显然，ij ξ服从两点分布，即j ij p P ==)1(ξ,而上表就给出了这些概率的估计值。
进一步，设∑==Ni ij j 1ξη，10000=N ，即表示10000人中愿意租赁第j 张DVD 的人数，显然，随机变量),10000(~j j p B η。
● 由De Moivre —Laplace 中心极限定理，如果准备了)5.0(j E η张DVD ，则满足至少jη5.0人看到该DVD 的概率（可靠性）为5.0)0(}0)5.0()5.0(5.0{)}5.0(5.0{=Φ≈≤-=≤j j j j j D E P E P ηηηηη显然，为了增加右边的可靠性，比如，增加到0.99，则由等式99.0)33.2(})5.0()5.0()5.0()5.0(5.0{}5.0{=Φ≈-≤-=≤j j j j j j D E X D E P X P ηηηηηη,可知)1(100002133.25000)5.0(33.2)5.0(j j j j j p p p D E X -⨯⨯+=+=ηη如何考虑“60％的会员每个月会租赁DVD 两次，40％的会员每个月会租赁DVD 一次”的问题？方法一：10万人的60%为6万人，每个月租赁两次，即12万次；40%为4万人，每月租赁一次，即4万次，合计每月有16万人次的租赁，对于第j 张DVD ，能否类似地假设为∑==Mi ij j 1ξη，16000=M ，而且随机变量),16000(~j j p B η，然后再求？答案是否定的，因为),16000(~j j p B η不再成立。
数学建模第九章概率模型M09-2010详解
x)
p(r
)dr
dJ du
c 1
c 2
xu
0
p(r)dr
c 3 xu
p(r)dr
xu S
0
p(r)dr
1
(c1
c2 )
S 0
p(r)dr
(c3
c1
)
S
p(r
)dr
dJ 0 du
S
0
p(r)dr
S
p
(r
)d
r
c 3
c2
c 1
c1
P1 P2
4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统.
模型建立
• 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n
为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？
• 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp
(z)
dJ 0 dz
(z) ( z)(z) 0
(z) (z)
(
z)
z
(
y
)dy
(y)
1
y2
e2
2
z (z)/(z)
F(z) z F(z) (z) /(z)
求解 F(z) z F(z) (z) (z)简表
存在一个合 适的购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望
《数学建模》教学大纲
《数学模型》课程教学大纲一、《数学模型》课程说明（一）课程编号：07251105（二）英文名称：Mathmatic Modeling（三）开课对象：数学与应用数学专业（四）课程的性质：数学建模是为数学与应用数学专业开设的一门学科基础课，其先修课程有数学分析、高等代数、概率论与数理统计、数学实验等。
它是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际生活中存在问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。
（五）教学目的：数学建模是继本科生学习数学分析、高等代数、概率论与数理统计之后进一步提高运用数学知识解决实际问题，培育和训练综合能力所开设的一门新学科。
通过具体实例引入使学生掌握数学建模基本思想、基本方法、基本类型。
学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态．通过数学模型有关的概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生数学推导计算和简化分析能力、熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力、综合分析能力；培养学生应用数学解决实际问题的能力。
（六）教学要求和方法1.教学要求本课程主要介绍在数学应用中已经比较完善的数学模型，包括初等模型、简单优化模型、线性规划模型、离散模型、离散模型、微分方程模型、差分方程、概率统计模型等内容。
要求学生了解数学建摸的基本概念及基本方法，学会将学过的数学方法和知识同周围的现实世界联系起来，甚至和真正的实际问题联系起来。
不仅应使学生知道数学有用、怎么用，更要使学生体会到在真正的应用中还需要继续学习。
2.教学方法本课程将课堂讲授与上机实习结合起来，以课堂讲授为主。
课堂讲授旨在教学生如何建立模型，讲授中穿插各类数模实例，与现实中的各类实际问题相结合，启发学生自主思考和研究问题，找寻解决问题的数学模型和实际方法。
除此外，还会讲解数学建模论文的书写方法，以论文的形式完成建模和研究工作。
上机旨在教学生如何求解模型，以学生自主学习为主，结合课堂学习内容完成课堂布置的作业，利用数学软件求解模型结果。
数学建模-第四章-概率统计模型PPT参考课件
8
数
学 4.1.2 风险型决策问题
建
模
1．最大可能准则
由概率论知识，一个事件的概率就是该事
件在一次试验中发生的可能性大小，概率越 大，事件发生的可能性就越大。基于这种思 想，在风险决策中我们选择一种发生概率最 大的自然状态来进行决策，而不顾及其他自 然状态的决策方法，这就是最大可能准则。 这个准则的实质是将风险型决策问题转化为 确定型决策问题的一种决策方法。
建 解 悲观法：因为每个行动方案在各种状态下的
模 最大效益值为
m i nj {a1 j } min{50,10,5} 5
m i nj {a2 j } min{30,25,0} 0
m i nj {a3 j } min{10,10,10} 10
所以最大效益的最大值为
ma
x
i
m
29
数
学 建
4.2 报纸零售商最优购报问题
模
报纸零售商售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
数学建模
（Mathematical Modeling)
1
数 学 建 模
概率统计模型
2
数
学
建
概率统计模型
模
决策模型
报纸零售商最优购报问题
经济轧钢模型
线性回归模型
排队论模型
建模举例
重点:概率统计模型的建立和求解 难点:概率统计模型的基本原理及数值计算
3
数
学 建
4.1 决策模型
模
决策问题是人们在政治、经济、技术和
9
数
பைடு நூலகம்
数学建模中的概率统计
Z '常用数据分析函数corrcoef(x)---求相关函数；cov(x)---协方差矩阵；cross(x,y)---向量的向量积；diff(x)---计算元素之间差；dot(x,y)---向量的点积；gradient(z,dx,dy)---近似梯度；histogram(x)---直方图和棒图；max(x), max(x,y)---最大分量；mean(x)---均值或列的平均值；min(x), min(x,y)---最小分量；prod(x)---列元素的积；rand(x)---均匀分布随机数；rands(x)---正态分布随机数；sort(x)---按升序排列；std(x)---列的标准偏差；sum(x)---各列的元素和；subspace(A,B)---两个子空间之间的夹角。
常用统计函数一、参数估计（1）[N,X]=hist(data,k) 将区间[min(data),max(data)]分为k个区间（缺省为10），返回数据data落在每一个区间的频度数N和每一个区间的中点X。
（2）h=normplot(x)显示数据矩阵x的正态概率图，如果数据来自于正态分布，则图形显示出直线性形态，而其他概率分布分布函数显示出曲线形态。
（3）h=weibplot(x) 显示数据矩阵x的weibull概率图，如果数据来自于weibull分布，则图形显示出直线性形态，而其他概率分布分布函数显示出曲线形态。
（4）[muhat,sigmahat,muci,sigamaci]=normfit(x) [muhat,sigmahat,muci,sigamaci]=normfit(x,alpha)对于正态分布，命令[muhat,sigmahat,muci,sigamaci]=normfit(x,alpha)在置信度（1-alpha）下估计数据x的参数，[muhat,sigmahat,muci,sigamaci]=normfit(x)在置信度0.95下估计数据x的参数，返回值muhat是x的均值，sigmahat是方差，muci是均值的置信区间，sigmaci是方差的置信区间。
数学建模-概率统计模型
一个例子
• 二战时期，，为了提高飞机的防护能力，英国的科学家、 设计师和工程师决定给飞机增加护甲.
• 为了不过多加重飞机的负载，护甲必须加在最必要的地 方，那么是什么地方呢?
• 统计学家将每架中弹但仍返航的飞机的中弹部位描绘在 图纸上，然后将这些图重叠，形成了一个密度不均的弹 孔分布图.
中间距离法、重心法、类平均法、可变法和离差 平法和法。
• 最短距离法： 两个类别中距离最短的样品距离为类间距离。
• 最长距离法： 两个类别中距离最长的样品距离为类间距离。
方法选择
• 当数据量不大的时候，一般会利用系统聚类法， 从而达到最佳聚类结果。如果要聚类的数据量很 大，则利用系统聚类法会消耗太多计算时间，一 般选择K均值法，可以大大减少计算时间。
•
变量相似性度量
•
• 相关系数 •相关系数经常用来度量变量间的相似性。 代表第i个变量xi的平均值，则第i个变量和第j 个变量的相关系数定义为
分析
• 采用不同的距离公式，会得到不同的聚类结果。在聚类分析时， 可以根据需要选择符合实际的距离公式。在样品相似性度量中， 欧氏距离具有非常明确的空间距离概念，马氏距离有消除量纲影 响的作用；如果对变量作了标准化处理，通常可以采用欧氏距离。
• 分析：
评价电梯运行方案往往以电梯高峰期运行时间为依据。 一般来说，可以预估电梯可能停靠楼层数、电梯运载次数、电梯 停靠时间等参数来计算电梯高峰期运行总时间。 但这种估计的方法十分粗略，可能与实际结果相差巨大。 我们的目的是模拟电梯一次循环所需的平均时间，并设计电梯停 靠方案以使这个时间最短。 这里的主要随机量是各楼层乘客的到达数。 可以考虑采用蒙特卡罗方法对电梯上下楼的方案进行随机模拟。
高中数学建模的教学探究——以概率与统计教学内容为例
高中数学建模的教学探究——以概率与统计教学内容为例发布时间：2021-12-08T01:59:03.075Z 来源：《教学与研究》2021年第21期作者：刘爽[导读] 数学建模是高中数学学科核心素养之一，然而，当前许多所谓的数学建模教学其本质却只是套模和解模，缺乏真正的模型构建的过程。
刘爽大庆市第十三中学黑龙江大庆市 163000摘要：数学建模是高中数学学科核心素养之一，然而，当前许多所谓的数学建模教学其本质却只是套模和解模，缺乏真正的模型构建的过程。
因此，教师应提高培养学生数学建模素养重要性的认识，要多让学生在课堂中通过自主探索与应用来提升建模的素养，而缺乏数学建模素养意识是很多高中数学教师迫切需要解决的问题。
关键词：高中数学；建模教学；概率与统计教学；应用1数学建模的概念数学模型可将数学知识通过数学符号、式子、程序、图形等简捷的方式呈现出来。
数学建模则是从实际的课题中进行抽象和提炼数学模型的过程，是对客观现象以及发展规律的解释。
能够让学生对数学知识有一个形象且整体的了解，并培养学生解决实际问题的能力，同时通过实际生活案例来提升学生数学学习的兴趣，从而间接地起到提高学生数学学习效果的作用。
2高中数学建模教学策略的研究与实践2.1进行建模问题的合理选择首先教师要贴近学生的经验进行选择，教师要了解学生的日常生活，将学生所熟知的现实情景应用于建模问题的选择，这样才能让数学建模课程有序地进行，同时也能够提升学生的学习积极性。
其次，教师还要注意保持问题题材的趣味性。
数学建模题材的选择需要教师选择一些学生感兴趣的内容，这样就能够激发学生的求知欲，让学生对于数学建模课程拥有良好的兴趣。
教师要关注学生感兴趣的热门话题，在寻找数学建模课程与热门话题之间的连接点，从而能够拟订一个富有趣味的建模问题。
最后教师还要注意建模问题难度的适宜性，因为不同的学生具有不同的数学素养，所以教师要保证建模问题的难度适中，让不同层次的学生都能够通过已经具备的知识和方法解决相应的问题，从而就能让学生对数学建模的学习产生一定的自信心，在一定程度上也提升了学生学习的主观能动性。
初中数学建模实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景随着科学技术的飞速发展，数学建模作为一种重要的科学研究方法，越来越受到人们的重视。
初中数学建模实验旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的创新思维和团队协作能力。
本实验以某市居民出行方式选择为研究对象，通过建立数学模型，分析不同因素对居民出行方式的影响。
二、实验目的1. 理解数学建模的基本概念和步骤。
2. 学会运用数学知识分析实际问题。
3. 培养学生的创新思维和团队协作能力。
4. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、实验方法1. 收集数据：通过网络、调查问卷等方式收集某市居民出行方式选择的相关数据。
2. 数据处理：对收集到的数据进行整理、清洗和分析，为建立数学模型提供依据。
3. 建立模型：根据数据分析结果，选择合适的数学模型，如线性回归模型、多元回归模型等。
4. 模型求解：运用数学软件或编程工具求解模型，得到预测结果。
5. 模型验证：将预测结果与实际数据进行对比，验证模型的准确性。
四、实验过程1. 数据收集：通过问卷调查的方式，收集了500份某市居民的出行方式选择数据，包括出行距离、出行时间、出行目的、出行方式等。
2. 数据处理：对收集到的数据进行整理和清洗，剔除无效数据，得到有效数据490份。
3. 建立模型：根据数据分析结果，选择多元回归模型作为本次实验的数学模型。
4. 模型求解：利用SPSS软件对多元回归模型进行求解，得到以下结果：- 模型方程：Y = 0.05X1 + 0.03X2 + 0.02X3 + 0.01X4 + 0.005X5 + 0.002X6 + 0.001X7 + 0.0005X8- 其中，Y为居民出行方式选择概率，X1至X8分别为出行距离、出行时间、出行目的、出行方式、天气状况、交通拥堵状况、收入水平、家庭人口数量等自变量。
5. 模型验证：将模型预测结果与实际数据进行对比，结果显示模型具有较高的预测准确性。
五、实验结果与分析1. 模型预测结果：根据模型预测，出行距离、出行时间、出行目的、出行方式、天气状况、交通拥堵状况、收入水平、家庭人口数量等因素对居民出行方式选择有显著影响。
概率论与数理统计在数学建模中的应用【范本模板】
概率论与数理统计在数学建模中的应用——国 冰。
第一节 概率模型一、初等概率模型初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性,在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作）明显地,备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低。
因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量,使整个系统的工作可靠性最大？这是一个整体系统的可靠性问题。
我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N =,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用1()ni i p p x ==∏ (9.1）来表示。
又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ,总重量不超过W ,则问题的数学模型便写成为1max ()ni i p p x ==∏ （9。
2）11..,1,2,Ni i i Ni i i i c x cs t w x cx N i N==⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪∈=⎪⎩∑∑问题的目标函数为非线性的，决策变量取整数,属于非线性整数规划问题.2、传染病流行估计的数学模型问题分析和模型假设本世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地方流行.被传染的人数与哪些因素有关?如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？科学家们建立了数学模型来描述传染病的蔓延过程,以便对这些问题做出回答。
这里不是从医学角度探讨每一种瘟疫的传染机理，而是利用概率论的知识讨论传染病的蔓延过程.假定人群中有病人或更确切地说是带菌者，也有健康人,即可能感染者，任何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的。
数学建模概率统计方法
则有
D
(x
E )2
f
(x)dx
9
2021年4月17日
３ .常用的概率分布及数字特征
（1）两点分布：
设随机变量 只取 0 或 1 两个值，它的分布列为 P( k) pk (1 p)1k , k 0,1，则称 服从于两点分 布，且 E p, D p(1 p) 。
（2）二项分布：
设随机变量 可能的取值为 0,1,2,, n ，且分布列为 P( k) Cnk p k (1 p)1k , k 0,1,2,, n
2. 常用的统计量
（3）表示分布形态的统计量
偏度： P1
1 S3
n i 1
Xi X
3。
当 P1 0 时称为右偏态；
当 P1 0 时，称为左偏态；
当 P1 0 时，则数据分布关于均值对称。
峰度： P2
1 S4
n i1
Xi X
4 ，是反映数据形态的另一个度量。
24
2021年4月17日
（4）均匀分布：
设
为连续随机变量，其分布密度为
f
(x)
b
1
a
,
x
[a, b]
，
0, x [a,b]
则称 服从[a,b] 上的均匀分布，且 E a b , D 1 (b a)2 。
2
12
11
2021年4月17日
３ .常用的概率分布及数字特征
（5）正态分布：
若随机变量 分布密度函数为
f , (x)
7
2021年4月17日
2. 随机变量的数学期望与方差
（1）数学期望
设 为连续型随机变量，其分布密度函数为
f (x) ，如果 x f (x)dx 收敛，则称 xf (x)dx
数学建模简明教程课件：概率模型
31
图 7-4
32
5.决策树的优缺点
•决策树方法的优点：可以生成可以理解的规则；计 算量相对来说不是很大；可以处理连续和种类字段；决策 树可以清晰地显示哪些字段比较重要.
•决策树方法的缺点：对连续性的字段比较难预测； 对有时间顺序的数据，需要很多预处理的工作；当类别太 多时，错误可能就会增加得比较快；一般算法分类的时候 ，只是根据一个字段来分类.
(a b)np(r) d r
0
n
计算
(7.2.2)
d G (a b)np(n)
n
(b c) p(r) d r (a b)np(n)
(a b) p(r) d r
dn
0
n
n
(b c)0 p(r) d r (a b)n p(r) d r
18
令 d G 0 ，得到 dn
n
0
p(r)d r p(r)d r
14
2.问题的分析及假设
众所周知，应该根据需求量确定购进量.需求量是随机 的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需 求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量 为r份的概率是f(r)(r＝0，1，2，…).有了f(r)和a，b，c，就 可以建立关于购进量的优化模型了.
假设每天的购进量为n份，因为需求量r是随机的，故r 可以小于n、等于n或大于n，致使报童每天的收入也是随 机的.所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收 入，而应该是他长期(几个月或一年)卖报的日平均收入.
26
(4)设定变量： A——试销成功，——试销失败 B——大量销售成功，——大量销售失败
27
3.建立模型 先来计算两个概率，注意到P(A|B)＝0.84，P(B)＝0.6 ，P(A|)＝0.36，代入贝叶斯概率公式：
mathcup数学建模题型
mathcup数学建模题型
Math Cup数学建模题型包括但不限于以下几种：
1. 最优化问题：这类问题要求在一定的条件下，找出一个使某个目标函数取得最大（最小）值的变量取值。
常见的最优化问题有线性规划、整数规划、非线性规划等。
2. 区域划分问题：这类问题要求将一个区域划分成若干个子区域，满足某些条件。
常见的区域划分问题有图像分割、地理区域划分等。
3. 概率统计问题：这类问题涉及到概率、统计、随机过程等领域，需要利用数学模型对数据进行处理和分析，并得出结论。
4. 微分方程问题：这类问题涉及到微分方程的建立、求解和数值分析，需要利用数学模型对微分方程进行求解和分析。
5. 运筹学问题：这类问题需要利用运筹学中的理论和方法，对实际的问题进行数学建模和优化，得出最优解或近似最优解。
6. 组合数学问题：这类问题涉及到组合数学中的理论和方法，需要利用数学模型对组合问题进行建模和求解。
7. 离散概率问题：这类问题涉及到离散概率论中的理论和方法，需要对离散事件进行概率分析和建模。
8. 数值分析问题：这类问题涉及到数值分析中的理论和方法，需要对数值问题进行建模和求解。
以上是Math Cup数学建模的一些常见题型，具体题型可能会根据比赛的年份和难度有所不同。
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应用练习与思考（如何制定胖和瘦的标准)
观察：模拟身高和体重的数据（最好你自己收集数据）
产生n个正态随机数X，代表n个人的身高； 再产生n个零均值的正态随机扰动U 用Y=rX+s+U计算n个随机数Y，代表着这n个
人的体重。
simulationhigh_weight.m, hist
应用练习与思考（如何制定胖和瘦的标准)
热轧机的调整（优Байду номын сангаас）
（1）给定μ,模拟 n 个正态随机数 x=[x j , j=1 , 2 , …, n] ； (2）如果 xj ≥ l，这根成品材的浪费是 wj=xj–l， 如果 xj < l 则浪费的钢材长度是 wj = xj； (3)总的浪费是 x j l( x j l) x j l x
Galton钉板模拟(博彩问题)
在每一格子中放上适当价 值的奖品 如依次为 10 1 0.2 0.2 1 8 (元） 扔一次小球你要付1元给 庄主 如果小球落入某个格子 你将获得相应价值的奖品 你合算吗？庄主会赚钱吗？
Galton钉板模拟(扔1万个小球)
o 小球落入哪一个格子
是不确定的 o 所以要计算落入每一 个格子的可能性 o 试想向Galton板中 扔10000个小球 o 这些小球将堆积起来 o 小球的堆积形状告诉 了我们什么呢？
( X , )~ N ( μ , μ s , ,r σ Y r σ
2 2 2 2 σ u , X Y ) ρ
绘制二维直方图和二元正态分布密度函数 图象。 运行程序zxy9_4.m改变参数，观察二维 直方图和理论分布的图形和身高和体重的 概率关系。
如何制定胖和瘦的标准(条件正态分布法)
f Y |X ( y| x ) 1 2 π 1 ρ 2 σ2 2 e x p { [ y ( μ2 ρ ( xμ 1 ) ] } σ1 2 ( 1ρ 2 ) σ2 2 1
应用、思考和练习（电力供应问题 ）
某车间有200台车床互相独立的工作，
由于经常需要检修、测量、调换刀具等种种原 因需要停车，这使每台车床的开工率只有60％。 而每台车床在开动时需耗电1kW， 显然向该车间供电200kW可以保证有足够电力 供这些车床使用， 但是在电力比较紧张的情况下，给这个车间供 给电力太多将造成浪费，太少又影响生产。 如何解决这一矛盾？(模拟法？）
随机变量及其分布
实际上, 更应该关心的 是 X 的分布列 分布列是小球落在各 格子里的概率： P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(X=4)，P(X=5) 想一想，它是不是表 现了大量投球后小球 堆积的极限形状呢
备注（比较频率和概率）
Bernoulli试验和二项分布
一个模拟结果
扔100个小球 向右概率p=0.5
要改变参数观察一 下不同的模拟结果 吗？这很容易.自己 动手试试吧
随机变量及其分布
当你扔小球时，你和庄家关心什么？ ？？？？？？？？？？？？ 对，是小球落入格子的编号数 X
（有些绕口，但很重要）
在投球前，你不能说你的小球会落在第0个格 子。 但你可以说小球将落在第X个格子 X是一个随机数 是概率论中重要的讨论对象-----随机变量！！！
y f Y |X ( y| x ) d y μ 2
E ( Y| X x )
σ2 ρ ( x μ 1 ) σ1
2 V a r ( Y| X x ) ( y E ( Y| X x ) ) f Y |X ( y| x ) d y ( 1ρ 2 ) σ2 2
m0 / m
1 p1 f1
m1/ m
2 p2 f2
m2 / m
3 p3 f3
4 p4 f4
5 p5 f5
m5/ m
m3 / m m4 / m
一次抽奖获得的平均回报 = m 次 抽 奖 获 得 的 总 回 报/ m mi n n i0 f i i0 f ip i m n Ef(X) i0 f i p i 。
看一看：改变向右的概率，小球的堆积 形状是怎样的？ 增加钉板层数n，作进一步观察。
模拟二项分布随机变量
用R = binornd(5,0.5,1,1)模拟了一次 投球的结果。多次运行它，看看你的运 气。 用R = binornd(5,0.5,1,m)成批模拟 了m次投球结果，看看它的堆积形状。 (运行simulatingGalton.m)
不要把Galton钉板简单地当作消遣 它是一个有用的概率模型 当你学习了概率论，你将知道 Bernoulli试验模型 n重Bernoulli试验的成功次数X 服从 二项分布B(n, p). 上面模拟对应于n=5, p=0.5的情形
二项分布列
随机变量X～B(n,p)，则它的分布列为
pi P ( X
i i i) Cn p
q
n i
i 0,1,2, , n
统计工具箱
用指令f= binopdf(x, n, p)可计算二项 分布的分布列 用F= binocdf(x, n, p)可计算二项分 布的分布函数 用R = binornd(n,p,s,m)模拟m个二 项随机数
观察二项分布列
运行binopdfcompare.m 固定n , 改变p值，观察二项分布列的形 状
实验九 概率统计实验
Galton钉板和二项分布
分布列的意义
Galton钉板模拟
o英国生物统计 学家Galton设 计了Galton板 o右边是一个5层 Galton钉板
Galton钉板模拟(原理)
o 在一板上钉有n排钉子 o 自顶端扔进一小球任其自
由下落 o 在下落过程中小球碰到钉 子，左右落下的机会相等 o 最后小球落入底板中的某 一个格子 o 图中用0 1 2 3 4 5表示 这6个格子
Galton钉板模拟(程序zxy9_1.m)
(1)确定钉子的位置：将钉子的横、纵坐标存 储在两个矩阵X和Y之中。 (2)选取0<p<1,将[0,1]区间分成两段:[0, p) 和 [p，1]。 (3)产生随机数r=rand(1，1),如果r<p，让 小球向右落下；若r>p，让小球向左落下 。 (见备注） (4)将这一过程重复n次，并用直线连接小球 落下时所经过的点，这样就模拟了小球从顶端 随机地落入某一格子的过程。
运行观察程序zxy9_2.m 用正态分布发生器normrnd 模拟热轧 的结果。
观察哪些钢材需要切割，切割多少？哪 些则将整根报废。
观察正态参数的对轧钢结果的影响作为 对比观测，
热轧机的调整（优化zxy9_3.m,find）
目标函数W（μ)为得到一根成品材所浪费的平 均钢材长度 设 成 品 材 长 度 为 l=2, 热 轧 机 的 精 度 为 sigma=0.2. 仿真热轧机实际操作过程：对给定的μ值，模拟 热轧机轧制一批钢材，计算每得一根成品材所 浪费的平均钢材长度，得到的估计值； 通过改变μ的值，绘制的变化曲线，确定使浪费 达到最小的额定长度μ0 ，这就是热轧机应该设 置的最佳额定长度的估计值。
Galton钉板模拟(程序zxy9_1.m)
（6）动画指令结构 moviein(n)：创建动画矩阵； 制作动画矩阵数据；
getframe ：拷贝动画矩阵； movie(Mat,m)：播放动画矩阵 m 次，
（zxy7_6演示、讲解，备注）
Galton钉板模拟(程序zxy9_1.m)
运行zxy9_1.m
j
，
成品材总数是 length=满足 xj ≥ l 的 j 的个数 1 ˆ ( μ ) x j l( x j l) x j l x j W length
（4）用 m in 指令 计算最小值和最小点，
应用练习与思考（热轧机模型）
根据上面的结果，你得到什么印象。一根成品 材长为2 米，浪费为0.44783米，这样的结果 可以接受吗？你有办法减少浪费量吗？ 图中，曲线不是光滑的，这是正常的吗？不改 变程序中的参数，多次运行程序，结果会保持 不变吗？如何解释你观察到的情况？ 你可以加密mu的分点进行计算，也可以改变一 些参数重新运行程序，观察计算结果。
应用、思考和练习（
奖品的设计）
所有抽奖模型都是要赚钱的，没有人想 花费精力却一无所获，甚至亏本。 对Galton钉板抽奖模型，如何在各个 格子中摆放适当价值的奖品获取利润？ 试提出你的设计方案。
热轧机的调整（正态分布）
轧制钢材要经过两道工序，第一道是粗轧(热轧)， 第二道是精扎(冷轧)。 热轧机可以调整它的额定长度值，控制轧出钢材的 平均长度。 成品材具有一个规定的长度l，如果热轧出的钢材 长于l,精轧时就把多余的长度切掉。 如果粗轧时轧出的钢材长度比l短，则整根钢材报 废。 精轧设备精度很高，轧出的成品可以认为是完全符 合规定长度要求的。 问题是如何调整热轧机的额定值，使得钢材浪费最 小。
数学期望和平均收益
奖品的设置 格子编号 0 1 2 3 4 5 奖品价值 5 1 0.2 0.2 1 5 观察：模拟5000次抽奖过程，抽奖一次 支付1元，按上表获得回报。计算总收益 和一次抽奖所得的平均收益 计算理论均值 备注
数学期望和平均收益
格子编号X 分布列p 价值函数f 频率 0 p0 f0
热轧机的调整（正态模型）
输入 x 输入 y
f
输入μ 热轧机
输出 X
热轧机的调整（正态模型）
随机变量X ～N(μ,σ2)描述了热轧机轧 出的钢材长度。 Y = normpdf(X,MU,SIGMA), （运行normpdfobs.m）
f(x)
1 2 πσ
( xμ ) 2 σ2 e
2
热轧机的调整（模拟热轧机工作）
应用练习与思考（如何制定胖和瘦的标准)
描述某一类人群的身高，可以使用正态 随机变量。这是因为和热轧机模型一样， 大多数人的身高在人群的平均身高附近 波动，呈现着一种对称分布：特别高或 特别矮的人是很少的，与正态分布体现 的中间大两头小的特点比较吻合。 同理，也可用正态随机变量来描述这一 类人群的体重。