拉压超静定问题
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拉压超静定
1 2
F
FN 1 FN 2 FN 3
y
A
x
列出变形几何关系 将A点的位移分量向各杆投 影.得
l1 y sin x cos
y
x
A x
整理得
l2 x l3 y sin x cos
变形关系为 l3 l1 2l2 cos
l1
l2
l3
4、补充方程
FN 1l FN 3l cos EA cos EA
FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得 F F cos 2 F FN 1 FN 2 N3 1 2 cos 3 1 2 cos 3 3
拉、压超静定问题
木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst （1） F 变形协调关系: l st l w FW l FW 物理关系: lW EW AW Fst Fst l lst Est Ast 补充方程:
2
拉、压超静定问题
超静定结构的求解方法： 1、列出独立的平衡方程 Fx 0 FN1 FN 2
y
F
0 2FN1 cos FN 3 F
2、变形几何关系 l1 l2 l3 cos 3、物理关系
FN 1l FN 3l l1 l3 EA cos EA
F
根据角钢许用应力，确定F
0.283F st st F 698 kN Ast 根据木柱许用应力，确定F 0.717F W W AW
拉压超静定问题
L FN L EA
4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。
三、注意的问题 拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。
例 设 1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
l1=l2、 l3=l；各杆面积为 A1=A2、 A3 ；各杆弹性模量为： E1=E2、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
B
DC
1
3
2
l
A G
(a)
B
DC
解：、平衡方程:
1 32
l3
A
l1
E
A
(c)
Fx 0 FN1 sin FN 2 sin 0 Fy 0 FN1 cos FN 2 cos FN3 G 0
、几何方程——变形协调方程：
L1 L3 cos
补充方程：由力与变形的物理条件得：
FN1 FN 3
工程力学
拉压超静定问题
一、概念
1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。
2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程不能求出所有的未知力。
3、多余约束：在超静定系统中多余维 持结构几何不变性所需要的杆或支座。
4、多余约束反力：多余约束对应的反力。
BDC
1
3
2
A G
5、超静定的分类（按超静定次数划分）： 超静定次数=多余约束个数=未知力个数-有效静力方程个数。 二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） 步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。
2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。
FN 2
4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。
三、注意的问题 拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。
例 设 1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
l1=l2、 l3=l；各杆面积为 A1=A2、 A3 ；各杆弹性模量为： E1=E2、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
B
DC
1
3
2
l
A G
(a)
B
DC
解：、平衡方程:
1 32
l3
A
l1
E
A
(c)
Fx 0 FN1 sin FN 2 sin 0 Fy 0 FN1 cos FN 2 cos FN3 G 0
、几何方程——变形协调方程：
L1 L3 cos
补充方程：由力与变形的物理条件得：
FN1 FN 3
工程力学
拉压超静定问题
一、概念
1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。
2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程不能求出所有的未知力。
3、多余约束：在超静定系统中多余维 持结构几何不变性所需要的杆或支座。
4、多余约束反力：多余约束对应的反力。
BDC
1
3
2
A G
5、超静定的分类（按超静定次数划分）： 超静定次数=多余约束个数=未知力个数-有效静力方程个数。 二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） 步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。
2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。
FN 2
材料力学 简单的超静定问题
l1 F N 1l1 E 1 A1
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
拉伸、压缩超静定问题
定结构的变形受到部分或全部约束, 温度变化时,
在图中, AB杆代表蒸汽锅炉与原动机间的管道。
与锅炉和原动机相比, 管道刚度很小, 故可把A, B两端简化成固定端。
固定于枕木或基础上的钢轨也类似于这种情况。
当管道中通过高压蒸汽, 或因季节变化引起钢轨温度变化时, 就相当于上述两端固定杆的温度发生了变化。
因为固定端限制杆
件的膨胀或收缩, 所以
势必有约反力F R A和
F R B作用于两端。
这将
引起杆件内的应力, 这
种应力称为热应力或
温度应力。
必须再补充一个变形协调方
这就是补充的变形协调方程。
超静定问题——精选推荐
西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室第八章简单的超静定问题§8-1 概述静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构的全部未知的约束反力或内力FAB2A F1BααC平面任意力系：3个平衡方程平面共点力系：2个平衡方程独立平衡方程数：超静定结构(静不定结构): 仅凭静力学平衡方程不能求解全部未知内力或反力的结构。
超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数。
BD C A 132FααF F CF B F A BC ABCADA FααF N1y xF N3F N2BD C A 132FααF F CF B F A BC AA FααF N1y xF N3F N2•习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约束，相应的约束反力称为多余未知力。
•超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。
•注意：从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的。
超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理关系列出需要的补充方程；则可求解超静定问题。
F F CF B F A BC A•补充方程的数目=多余未知力的数目=多余约束数。
•根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程，结合物理关系（胡克定律），则可列出需要的力的补充方程。
•补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧与关键。
此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进行说明。
BD C A 132FααF F CF B F A BC AA FααF N1yxF N3F N2§8.2 拉压超静定问题1拉压超静定问题解法例两端固定的等直杆AB ，在C 处承受轴向力F 如图，杆的拉压刚度为EA ，求杆的支反力.解：一次超静定问题=−+F F F B A F BA F AB ablFC (1) 由节点A 的平衡条件列出杆轴线方向的平衡方程（2）变形：补充方程(变形协调条件)可选取固定端B 为多余约束，予以解除，在该处的施加对应的约束反力F B ，得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构--称为原超静定结构的基本静定系或相当系统注意原超静定结构的 B 端约束情况，相当系统要保持和原结构相等，则相当系统在B 点的位移为零。
材料力学-第六章 简单的超静定问题
变形协调条件：
l1 l 3 cos
F N1
F N3
F N2
l3
l1
A
A
l2
例2.图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）
刚度均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装
到横梁后，求两杆内力。
解: 装配后各杆变形 1杆伸长 l1 2杆缩短 l 2 变形协调条件
A
1
l1
4、联解方程
FN 1 F E3 A3 2 cos 2 E1 A 1 cos
FN 3
F E1 A 3 1 1 2 cos E3 A3
●装配应力的计算
装配应力：超静定结构中由于加工误差， 装 配产生的应力。 平衡方程：
FN 1 FN 2
1
3 2
A
l
FN 3 ( FN1 FN 2 ) cos
2、AC和BC材料相同，面积不同，外力作用在 连接界面处，在外力不变的情况下，要使AC上 轴力增加，错误的方法有（ ）。 A、 增加AC的横截面积 B、 减小BC的横截面积 C、 增加AC的长度 D、 增加BC的长度
A l1 C F B l2
3、AB为等截面杆，横截面面积为A，外力F作 用在中间，则AC和BC上应力分别（ ）。
2
l 2
B
2( l1 ) l 2
解: 分析AB
A
aF 1 2aF 2 0
F1l 物理方程 l1 EA 变形协调条件
FA
F1
F2
B
F2 l l 2 (缩短) EA
2( l1 ) l 2
4EA 2EA F1 (拉力) F2 (压力) 5l 5l
材料力学(I)第六章
N2 y N1 N2 N3
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
工程力学—简单超静定问题
杆件的变形 简单超静定问题一 、基本要求1．熟练掌握拉（压）杆变形计算2．熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件 3．掌握积分法求梁的弯曲变形4．熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算5．理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法 6．了解弹性体的功能原理，掌握杆件基本变形的应变能计算二、 内容提要1．拉（压）杆的轴向变形、胡克定律拉（压）杆的轴向变形为l ∆,l l l -=∆1,式中l 、1l 分别为变形前、后杆的长度。
当杆的应力不超过材料的比例极限时，可以应用胡克定律计算杆的轴向变形，即EAlF l N ⋅=∆ （4.1） 图 4.1式中，EA 称为杆件的抗拉（压）刚度。
显然，轴力F N 为正时，△l 为正，即伸长变形；轴力F N 为负时，△l 为负，即缩短变形。
公式（4.1）的适用条件：（1） 材料在线弹性范围，即p σσ≤；（2） 在长度l 内，F N ，E ，A 均为应力常量。
当以上参数沿杆轴线分段变化时，则应分段计算变形，然后求代数和得总变形。
即∑==∆ni ii i N A E l F l i 1（4.2）当F N ，A 沿杆轴线连续变化时，式（4.2）化为 ()()⎰=∆lN x EA dxx F l 0 （4.3）2．拉压超静定问题定义 杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。
这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。
超静定问题的求解方法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与协调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知力。
解题步骤： （1） 画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次数； （2） 根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何方程； （3） 将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程； （4）联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。
超静定结构的特点：（1） 各杆的内力按其刚度分配；（2） 温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。
拉压超静定问题
材料力学
拉压超静定问题
1.1 超静定的概念 图2-35（a）、（b）所示杆件和结构，它们的 约束力与内力都可由静力平衡方程求出，这样 的杆件或结构称为静定杆件或静定结构。但在 工程中，有时为了提高强度和刚度，或构造上 的需要，往往还给杆件或结构增加一些约束。
例如在图2-35（a）所示杆件下端增加固定端约束［图2-35 （c）］，在图2-35（b）所示结构中增加一根杆［图2-35 （d）］。
σ1＝σ2＝FN1/A=δEcos2α/l（1+2cos2α） ＝6.52×106 Pa＝6.52 MPa （压）
σ3＝FN3/A＝2δEcos3α/l（1+2cos3α） ＝11.3×106 Pa＝11.3 MPa （拉）
在工程中，杆件制成后，其尺寸有微小的误差是常见的。对于超静定问
题，在强行装配后，将在各部分引起应力，这种应力称为装配应力。装配
1） 列静力平衡方程。取结点A为研究对象，设杆1、2的轴力FN1、FN2为 压力，杆3的轴力FN3为拉力［图2-38（b）］。
图2-38
列出平衡方程
∑X=0 FN1sinα-FN2sinα=0 ∑Y=0 -FN1cosα-FN2cosα+FN3=0 （a 可见这是一次超静定问题。 称2性）可列知补，充Δl1方＝程Δ。l2。设由杆图3伸2-长38了（Δal3），，杆变1、形2的分几别何缩关短系了为Δl1与Δl2。由对
【例2-13】在图2-38（a）所示结构中，三杆都是钢杆，钢的弹性模量E ＝200GPa，三杆的横截面面积均为A，α＝30°。由于制造上的误差，杆 3比原设计长度l短了δ，δ/l=1/1000。求装配后三杆的应力。
【解】为了使三杆连接在一起，装配时需要用力把杆3拉长，把杆1与杆2 压短，装配好以后，各杆处于图2-38（a）中虚线所示位置。
拉压超静定问题
1.1 超静定的概念 图2-35（a）、（b）所示杆件和结构，它们的 约束力与内力都可由静力平衡方程求出，这样 的杆件或结构称为静定杆件或静定结构。但在 工程中，有时为了提高强度和刚度，或构造上 的需要，往往还给杆件或结构增加一些约束。
例如在图2-35（a）所示杆件下端增加固定端约束［图2-35 （c）］，在图2-35（b）所示结构中增加一根杆［图2-35 （d）］。
σ1＝σ2＝FN1/A=δEcos2α/l（1+2cos2α） ＝6.52×106 Pa＝6.52 MPa （压）
σ3＝FN3/A＝2δEcos3α/l（1+2cos3α） ＝11.3×106 Pa＝11.3 MPa （拉）
在工程中，杆件制成后，其尺寸有微小的误差是常见的。对于超静定问
题，在强行装配后，将在各部分引起应力，这种应力称为装配应力。装配
1） 列静力平衡方程。取结点A为研究对象，设杆1、2的轴力FN1、FN2为 压力，杆3的轴力FN3为拉力［图2-38（b）］。
图2-38
列出平衡方程
∑X=0 FN1sinα-FN2sinα=0 ∑Y=0 -FN1cosα-FN2cosα+FN3=0 （a 可见这是一次超静定问题。 称2性）可列知补，充Δl1方＝程Δ。l2。设由杆图3伸2-长38了（Δal3），，杆变1、形2的分几别何缩关短系了为Δl1与Δl2。由对
【例2-13】在图2-38（a）所示结构中，三杆都是钢杆，钢的弹性模量E ＝200GPa，三杆的横截面面积均为A，α＝30°。由于制造上的误差，杆 3比原设计长度l短了δ，δ/l=1/1000。求装配后三杆的应力。
【解】为了使三杆连接在一起，装配时需要用力把杆3拉长，把杆1与杆2 压短，装配好以后，各杆处于图2-38（a）中虚线所示位置。
第九章-超静定
对于一个平衡物体，若独立平衡方程数目与未知数的数目恰 好相等，则全部未知数可由平衡方程求出，这样的问题称为静 定问题。（图a） 但工程上有时为了增加结构的刚度或坚固性，常设置多余的 约束， 未知数的数目多于独立方程的数目，未知数不能由平 衡方程全部求出，这样的问题称为静不定问题或超静定问题。 （图b）
（3）本构方程
LT 2aT ;
FN 1a FN 2 a LN EA1 EA2
由变形和本构方程消除位移未知量
FN 1 FN 2 2T EA1 EA2
（4）联立求解得
FN 1 FN 2 33.3kN
（5）温度应力
FN 1 1 66.7MPa A1
FN 2 2 33.3MPa A2
A
2
1
A P
2
1、问题的提出
两杆桁架变成 三杆桁架，缺一个 方程，无法求解
P
F
x
FN 1 sin FN 2 sin 0
F
y
FN 1 cos FN 2 cos FN 3 P 0
三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为 静不定（ Static indeterminate ）——静力不能确定 超静定问题（Hyperstatic ）——超出了静力范围 其实我们在拉压杆应力遇到过这类问题 拉压杆截面上有无穷个应力，单凭静力平衡方程 不能求解 —— 超静定问题： 补充变形协调方程 建立本构（或物理）方程予以沟通 结合平衡方程联立求解
q
1
2
3
如何求解？
1. 静力不定 2. 变形方程补充--------几何相容条件（不允许 一部分脱离另一部分，也不允许一部分嵌入 另一部分） 3. 物理方程在静力平衡与变形协调之间架桥
拉压超静定问题
第六章 超静定问题
(a)
(b)
图a所示静定杆系,为减小杆1、2中的内力或节点A的
位移，而增加了杆3 ，构成超静定杆系(如图b) 。
河南理工大学万方科技学院
材料力学
第六章 超静定问题
(b)
此时有3个未知内力FN1 、FN2 、FN3，但只有两个独立
的平衡方程── 一次超静定问题。
河南理工大学万方科技学院
(拉力）
材料力学
第六章 超静定问题
F N 1F N 22c F N 3 o s2co E sl33 A 3 e2E 1A 1 l1 co 2 s （压力）
至于各杆横截面上的装配应力，只需将装配内力(轴力) 除以杆的横截面面积即可。
由此可见，求解超静定杆系(结构)中的装配内力的关键， 仍在于根据变形几何相容条件，并结合应用物理关系列出补充 方程。
材料力学
第六章 超静定问题
例6-4 图示结构，AB为刚性梁，1、2两杆刚度相同。 求1、2杆的受力。
1l A
a
a
30o 2 B
A
FAX
a
FN1 a
30o FN2 B
P
FAY
P
平衡方程: m A 0F N 1 a F N 2 co 2 a s P 2 3 a 0 0
变形关系: coLs2302L1 物理关系: L1FEN1L A
P 假设均受拉力。
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材料力学
第六章 超静定问题
变形几何相容方程：
l1l32l2
1
2
3
a
a
即 l12l2l30（2） A
B
物理方程：
l1
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-简单的超静定问题(圣才出品)
图 6-2-4 （2）补充方程 作铰 A 的位移图，由几何关系可得变形协调方程： Δl1/sin30°＝2Δl2/tan30°＋Δl3/sin30°③ 其中，由胡克定律可得物理关系：
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Δl1＝FN1l1/EA1＝FN1l/（EA1cos30°） Δl2＝FN2l2/EA2＝FN2l/（EA2） Δl3＝FN3l3/EA3＝FN3l/（EA3cos30°） 代入式③可得补充方程： FN1l/（EA1sin30°·cos30°）＝2FN2l/（EA2tan30°）＋FN3l/（EA3sin30°·cos30°）④ （3）求解 联立式①②④，可得各杆轴力：FN1＝8.45kN，FN2＝2.68kN，FN3＝11.55kN。
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MB = 0
FN2 Leabharlann 2 2a+
FN4
2 2
a
+
FN3
2a − F ( 2 a + e) = 0 2
②
根据结构的对称性可得 FN2＝FN4③
（2）补充方程
如刚性板的位移图所示，根据几何关系可得：Δl1＋Δl3＝2Δl2④
由结构对称可知 Δl2＝Δl4，其中，由胡克定律可得各杆伸长量：
Δl1＝FN1l/EA，Δl2＝FN2l/EA，Δl3＝FN3l/EA
代入式④，整理可得补充方程：FN1＋FN3＝2FN2⑤
（3）求解
联立式①②③⑤，解得各杆轴力：
FN1
=
(1 4
−
e )F(压) 2a
FN2
=
FN4
=
F 4
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Δl1＝FN1l1/EA1＝FN1l/（EA1cos30°） Δl2＝FN2l2/EA2＝FN2l/（EA2） Δl3＝FN3l3/EA3＝FN3l/（EA3cos30°） 代入式③可得补充方程： FN1l/（EA1sin30°·cos30°）＝2FN2l/（EA2tan30°）＋FN3l/（EA3sin30°·cos30°）④ （3）求解 联立式①②④，可得各杆轴力：FN1＝8.45kN，FN2＝2.68kN，FN3＝11.55kN。
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MB = 0
FN2 Leabharlann 2 2a+
FN4
2 2
a
+
FN3
2a − F ( 2 a + e) = 0 2
②
根据结构的对称性可得 FN2＝FN4③
（2）补充方程
如刚性板的位移图所示，根据几何关系可得：Δl1＋Δl3＝2Δl2④
由结构对称可知 Δl2＝Δl4，其中，由胡克定律可得各杆伸长量：
Δl1＝FN1l/EA，Δl2＝FN2l/EA，Δl3＝FN3l/EA
代入式④，整理可得补充方程：FN1＋FN3＝2FN2⑤
（3）求解
联立式①②③⑤，解得各杆轴力：
FN1
=
(1 4
−
e )F(压) 2a
FN2
=
FN4
=
F 4
拉压超静定问题
l2 C
l1 A
B
B
C
A
F
（2） 变形几何方程 Δl1 Δl3 2Δl2
物理方程
Δl1
FN1l1 EA1
Δl2
FN 2 l EA
（3） 补充方程 FN1 FN3 2FN2
Δl3
FN 3 l EA
3
2
1
B
C
A
l
3 a
2 a
1
l 3
l2 C
l1 A
B
B
C
A
（4）联立F平衡方程与补充方程求解
Fx 0
n = 未知力的个数 －独立平衡方程的数目
2.求解超静定问题的步骤(Procedure for solving a statically indeterminate)
（1）确定静不定次数；列静力平衡方程
（2）根据变形协调条件列变形几何方程
（3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得 补充方程
温度变化将引起物体的膨胀或收缩.静定结构可以自由变形, 不会引起构件的内力,但在超静定结构中变形将受到部分或 全部约束,温度变化时往往就要引起内力,与之相对应的应力
称为热应力 (thermal stresses)或温度应力 (temperature stresses).
例题11 图 示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结.设两支承 的距离（即杆长）为 l,杆的横截面面积为 A,材料的弹性模量
直径 d=10mm,铜杆横截面积为2030mm的矩形,钢的弹性模量
E=210GPa,铜的弹性模量E3=100GPa. 铸件很厚,其变形可略去不
计,故可看作刚体.
B1
1
B
C1
杆的拉压超静定问题上课
E1 A1
B
RA
R Aℓ 1 ∆ ℓ AC = E A 1 1 (3) − RBℓ 2 ∆ℓ ( R B引起的轴力为压力 BC = E 2 A2
ℓ1
C
)
P
E 2 A2
ℓ2
B
RB
（4）依据几何方程和物理方程确立变形协调 ） 条件（或称相容方程、补充方程） 条件（或称相容方程、补充方程）
解：
L
高温蒸 汽锅炉
R A
原 动 机
R B
∑X =0⇒ RA = RB
∆ t =α×∆ ×L L T
R ×L ∆ = A L E A
∆ t =∆ 变形几何方程 L L
∆L
RA = RB =α⋅∆T ⋅ EA
思考：
B 3 1 D C 2
如图，1、2号杆的尺寸及材料都相 同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆 的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别 为αi ; △T= T2 -T1)
N2
∆L2
∆L3
A1
∆L1
N1
β β
A
、补充方程
N1L1 N 3 L3 + ∆Tα1L1 = ( + ∆Tα 3 L3 ) cos β E1 A1 E3 A3
解平衡方程和补充方程，得:
B 3 1
D
C 2
β β
A
E1 A1 (α1 − α3 cos2 β )∆T N1 = N2 = − 1 + 2 cos3 β E1 A1 / E3 A3
N 1
多余约束反力：与多余约束相 应的支反力或内力。如
N1 或
N2
N 2
超静定次数：所有未知约束反力和内力的总数 超静定次数 与结构所能提供的独立的静力平衡方程数之差。 也等于多余约束或多余支反力的数目。 基本静定系（相当系统） 基本静定系（相当系统）：解除超静定结构的 某些约束后，用多余约束力代替多余约束的静 定系统 变形协调条件: 变形协调条件: 相当系统在多余未知约束反力作用处相应的位 移应满足原超静定结构的约束条件
B
RA
R Aℓ 1 ∆ ℓ AC = E A 1 1 (3) − RBℓ 2 ∆ℓ ( R B引起的轴力为压力 BC = E 2 A2
ℓ1
C
)
P
E 2 A2
ℓ2
B
RB
（4）依据几何方程和物理方程确立变形协调 ） 条件（或称相容方程、补充方程） 条件（或称相容方程、补充方程）
解：
L
高温蒸 汽锅炉
R A
原 动 机
R B
∑X =0⇒ RA = RB
∆ t =α×∆ ×L L T
R ×L ∆ = A L E A
∆ t =∆ 变形几何方程 L L
∆L
RA = RB =α⋅∆T ⋅ EA
思考：
B 3 1 D C 2
如图，1、2号杆的尺寸及材料都相 同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆 的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别 为αi ; △T= T2 -T1)
N2
∆L2
∆L3
A1
∆L1
N1
β β
A
、补充方程
N1L1 N 3 L3 + ∆Tα1L1 = ( + ∆Tα 3 L3 ) cos β E1 A1 E3 A3
解平衡方程和补充方程，得:
B 3 1
D
C 2
β β
A
E1 A1 (α1 − α3 cos2 β )∆T N1 = N2 = − 1 + 2 cos3 β E1 A1 / E3 A3
N 1
多余约束反力：与多余约束相 应的支反力或内力。如
N1 或
N2
N 2
超静定次数：所有未知约束反力和内力的总数 超静定次数 与结构所能提供的独立的静力平衡方程数之差。 也等于多余约束或多余支反力的数目。 基本静定系（相当系统） 基本静定系（相当系统）：解除超静定结构的 某些约束后，用多余约束力代替多余约束的静 定系统 变形协调条件: 变形协调条件: 相当系统在多余未知约束反力作用处相应的位 移应满足原超静定结构的约束条件
材料力学--简单的超静定问题
故为一次超静定问题。
Mx 0， M A Me MB 0
2. 变形几何方程为：
AB 0
24
MA
MB
(a)
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
AB
M Bb GI p
(M B Me )a GI p
0
MB
Mea l
另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为
MA
A
A
2EA a
C
C
RA 解: 放 松B端，加支反力RA、RB
则，RA RB F 0 (1) 变形协调条件 : l总 0
F 2a
B EA
F
lAC
lCB
F RB a
2EA
RB 2a
EA
0
(2)
B
由（1）、（2）式得
RB
RB
F 5
,
RA
4F 5
14
B
D
C (2) 几何方程
1
3
aa
2
AA1 0
A
A0
l1 ( l3 ) cosa
(3) 物理方程及补充方程：
FN1l1 ( FN3l3 ) cosa
E1 A1
E3 A3
l3 A1
(4) 解平衡方程和补充方程，得:
FN1
FN2
l3
1
E1A1 cos2 a 2 cos3 a E1A1 /
(a)
26
Tb Ta
(b)
解: 1. 设铜杆和钢管的横截面上内力矩分别
Mx 0， M A Me MB 0
2. 变形几何方程为：
AB 0
24
MA
MB
(a)
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
AB
M Bb GI p
(M B Me )a GI p
0
MB
Mea l
另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为
MA
A
A
2EA a
C
C
RA 解: 放 松B端，加支反力RA、RB
则，RA RB F 0 (1) 变形协调条件 : l总 0
F 2a
B EA
F
lAC
lCB
F RB a
2EA
RB 2a
EA
0
(2)
B
由（1）、（2）式得
RB
RB
F 5
,
RA
4F 5
14
B
D
C (2) 几何方程
1
3
aa
2
AA1 0
A
A0
l1 ( l3 ) cosa
(3) 物理方程及补充方程：
FN1l1 ( FN3l3 ) cosa
E1 A1
E3 A3
l3 A1
(4) 解平衡方程和补充方程，得:
FN1
FN2
l3
1
E1A1 cos2 a 2 cos3 a E1A1 /
(a)
26
Tb Ta
(b)
解: 1. 设铜杆和钢管的横截面上内力矩分别
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1
sin 0
3
Y 0 F 1cos F 2cos F
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P 0
（1）
材料力学 变形几何方程：
第六章 超静定问题
L1 L3 cos
物理方程：
B （2） 1 3
D
C 2
A
FN 1 L1 L1 E1 A1
FN 3 L3 L3 E3 A3
（3）
Δ L2
Δ L3
补充方程：
FN1 2FN 2 FN 3 0
（4）
材料力学
FN1 a A P
第六章 超静定问题
FN2 a B FN3
1 A P
a
2
a
3 B
FN 1 FN 2 FN 3 P 0
联解（1）、（4）式得：
5 FN 1 P 6
F
2
FN 2 a FN 3 2a 0
（3）
L2
联解（1）、（2） 、（3）式得：
L3
A1
L1
FN 1 FN 2
P E3 A3 2 cos E1 A1 cos2
FN 3
P E1 A1 1 2 E3 A3 cos3
解答表明，各杆的轴力与其本身的刚度其它杆的刚度之比有关 。 河南理工大学万方科技学院
材料力学
支座B有一微小距离，
又该如何计算？
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材料力学
第六章 超静定问题
例6-2 1、2、3三杆用铰链连接如图，3杆长度和各杆刚度 如图所示。求：外力P 作用下，各杆的内力。
FN3 FN1
解： 平衡方程：
B
D 1 EA
A P
FN2
E3A3 2 EA
C
L
P
3
A
X 0 F 2sin F
(1)
⑵
a A
RA A
l AC lBC
物理方程：
RA a l AC EA
RB b l BC ⑶ EA
⑷
l b
C
P
B
P B RB
⑶代人⑵，得补充方程
RA a RB b
联解⑴、⑷得：
b a RA P , RB P l l
注意：比例分配关系。
思考：如杆件下端与
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材料力学
第六章 超静定问题
(b)
此时有3个未知内力FN1 、FN2 、FN3，但只有两个独立 的平衡方程── 一次超静定问题。
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第六章 超静定问题
2.求解方法和步骤：
对拉压超静定问题，主要目标是求解未知的轴力。单 凭静力平衡方程不能求解全部未知力，必须从变形几何相 容条件、物理关系和静力学平衡条件三方面入手，才可使 超静定问题得以求解。
例6-5 图示为一平面桁架，各杆刚度相同。求各杆的轴力 。
30
o
1
B 3
2
30o
FN N4 4
FN N3 3
FN N5 5
FN1
FN2
B
4
30o 30o
5
A P
FN N3 3
A P
由对称性，有 由A点平衡 由B点平衡
FN1 FN 2
FN 1 2FN 2 FN 3 0
3
（拉）
1 P （拉） F 3
1 P （压） 6
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材料力学
第六章 超静定问题
FN1 a
注意：受力图与变形图必 须一致！
FN2 a
FN3 B
A PΔ L2
L3 Δ
此时，变形协调条件变为
L1 Δ
ΔL2=(ΔL1-ΔL3)/2
材料力学
第六章 超静定问题
第六章 超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 弯曲超静定问题
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第六章 超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 1. 拉压超静定问题引例
(a)
(b)
图a所示静定杆系,为减小杆1、2中的内力或节点A的 位移，而增加了杆3 ，构成超静定杆系(如图b) 。
第六章 超静定问题
例6-3 如图所示刚性梁AB由1 、2、3杆悬挂，三杆的刚度均 为EA，长度均为l 。求P力作用 下三杆的轴力。 解： 平衡方程
1 A P
a
2
a
3 B
Y 0
F
1
FN1
2
FN2 a a
FN3 B
F
A
F
3
P 0
（1） A
P
M
F
0
a F
2a 0
假设均受拉力。
L2 2L1 变形关系: cos30
cos30 2a P 2a 0 2
物理关系: L1 联立解出:
FN 1 L EA
L2
F
2
FN 2
L cos30 EA
4P F 1 23 3
6P 23 3
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第六章 超静定问题
§6-2 拉压超静定问题 一、拉压超静定问题解法 例6-1 图示杆抗拉刚度EA，
求杆端的支反力。 解： 平衡方程：
a l A
RA A
RA RB P 0
变形几何相容方程：
(1)
C
C P
b
P
B
B RB
l AC l BC
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(2)
材料力学
第六章 超静定问题
RA RB P 0
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第六章 超静定问题
变形几何相容方程：
l1 l3 2l2
即
1 A P
Δ L1
a
2
a
3 B
l1 2l2 l3 0（2）
物理方程：
FN 1l l1 EA
FN 2l l2 EA
FN 3l l3 EA
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解题步骤：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 列静力平衡方程； 根据变形几何相容条件，列变形几何相容方程； 列物理方程（拉压胡克定律） ； ⑶代人⑵，得到补充方程； ⑴与⑷联立求解，即可求出所有未知力； 按题目要求进一步求解。
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第六章 超静定问题
“多余”约束力数(超静定次数) = 补充方程数(变形几
L1 L3 2(L2 L3 )
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第六章 超静定问题
例6-4 图示结构，AB为刚性梁，1、2两杆刚度相同。 求1、2杆的受力。
1 A a a P l
30
o
2
A FAX FAY
1 a F
FN1 B a aLeabharlann 30oFN2
B
P
平衡方程: m 0 F
何相容条件数)，因而任何超静定问题都是可以求解的。
3. 注意事项
(1) 超静定问题求解的关键在于列出变形几何相容方 程，所以除受力图外，还要画出变形图。对拉压超静定 问题，同一杆是拉还是压，两图中要保持一致。
(2) 不管伸长还是缩短，变形量一律取其大小。 河南理工大学万方科技学院
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第六章 超静定问题