幂函数图象规律

幂函数图象有规律

幂函数()n y

x n Q 的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那

么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？ 1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。 3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。 5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。

2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成一体。

3．各个象限内图象分布之规律：设p

n

q

，,p q 互质，,p Z q N 。

1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。

2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。

3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y 轴对称（如图2）。 4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。 5. 当n<0时，图像与x 轴，y 轴没有交点。 知识点：幂函数的图象特征:

（1）任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象．

先根据函数特征画出第一象限图象；

① 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 并且图象都过点（1，1）； ②0>α时，幂函数的图象通过原点， 并且在区间),0[+∞上是增函数．

③0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减

函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴， 当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．

（2）如果幂函数是奇函数，在第 象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第 象限内有其轴（y 轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内． （3）常见幂函数性质

y=x

y=x 2

y=x 3

y=x 2

1

y=x 1-

定义域 值域 奇偶性

单调性 定点

例2 请把相应的幂函数图象代号填入表格。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；

（6）；（7）

；（8）

；（9）

。

解析：利用上述规律，可很快地得出答案：E ，C ，A ，G ，B ，I ，D ，H ，F 。

例1.下列函数是幂函数的是（ ） A ．y=x

x

B.y=3x 2

C.y=x 2

1+1 D.y=x

3

-

练习1：已知函数22

21

(1)m m y m m x --=--是幂函数，求此函数的解析式．

练习2：若函数29

()(919)a f x a a x -=-+是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．

题型二：幂函数性质

例2：下列命题中正确的是（ ）

A ．当0α=时，函数y x α

=的图象是一条直线

B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点

C ．幂函数的y x

α

=图象不可能在第四象限内

D ．若幂函数

y x

α

=为奇函数，则在定义域内是增函数

练习3：如图，曲线c1, c2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限的图象，那么一定有（ ）

A ．n

B ．m

C ．m>n>0

D ．n>m>0 练习4：．（1）函数y ＝5

2x 的单调递减区间为（ ）

A ．（－∞，1）

B ．（－∞，0）

C ．［0，＋∞)

D ．（－∞，＋∞）

（2）．函数y ＝x 4

3-在区间上 是减函数．

（3）．幂函数的图象过点(2,41), 则它的单调递增区间是 ． 题型三：比较大小

.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： （1）433.2，4

34.2; （2）5631.0，5

635.0； （3）2

3)2(-

，2

3)

3(-

；

（4）2

11

.1-，2

19

.0-．

.

2.设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：

则a 的值为（ ）

（A ）1

（B ）－1

（C ）

2

5

1-- （D ）

2

5

1+-

3.图中的图象所表示的函数的解析式为（ ） Ａ．3

12

y x =

- (02)x ≤≤

第1题图

Ｂ．33

122y x =

-- (02)x ≤≤

Ｃ．3

12

y x =-- (02)x ≤≤

Ｄ．11y x =--

(02)x ≤≤

题型3：函数的图象变换．

1.函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ） （A ）0,1<>b a （B ）0,1>>b a （C ）0,10><

2.将函数)1lg()(x x f -=的图象 （ ）

（A ）沿x 轴向右平移1个单位所得图象与函数x y lg =的图象关于y 轴对称 （B ）沿x 轴向左平移1个单位所得图象与函数x y lg =的图象关于y 轴对称 （C ）沿y 轴向上平移1个单位所得图象与函数x y lg =的图象关于y 轴对称 （D ）沿y 轴向下平移1个单位所得图象与函数x y lg =的图象关于y 轴对称 3．若函数)1(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象关于 对称．

题型4：函数图象应用

3.已知定义在R 上的函数)(x f 关于原点对称，它在),0(+∞上的图象如图所示，则不等式0)(

x

<0的解集是（ ）．

A ．(－3,0)∪(0,3)

B ．(－∞,－3)∪(0,3)

C ．(－∞,－3)∪(3,＋∞)

D ．(－3,0)∪(3,＋∞)

5.函数)(x f y =的图象与函数2()log (0)g x x x =>的图象关于原点对称，则()f x 的表达式为（ ） （A ）21

()(0)log f x x x

=

> （B ）21

()(0)log ()

f x x x =

<-

（C ）2()log (0)f x x x =-> （D ）2()log ()(0)f x x x =--<

x

y

o

2