全排列的生成算法
java全排列递归算法
java全排列递归算法全排列是指将一组元素按照一定的顺序进行排列，使得每个元素都能够出现在每个位置上，且每个元素只能出现一次。
在Java中，可以使用递归算法来实现全排列。
递归算法是一种通过调用自身来解决问题的方法。
在全排列问题中，可以通过递归的方式来生成所有可能的排列。
首先，我们需要定义一个递归函数，该函数接受一个数组和两个整数作为参数。
其中，数组表示待排列的元素，第一个整数表示当前排列的起始位置，第二个整数表示当前排列的结束位置。
在递归函数中，我们首先判断当前排列是否已经完成。
如果起始位置等于结束位置，说明已经完成了一次排列，我们可以将当前排列输出。
否则，我们需要对当前排列进行递归调用。
在递归调用中，我们需要将当前排列的起始位置与结束位置进行交换，然后对剩余的元素进行递归调用。
递归调用完成后，我们需要将当前排列的起始位置与结束位置进行交换，以便进行下一次排列。
下面是一个使用递归算法实现全排列的Java代码示例：```javapublic class Permutation {public static void permute(int[] nums, int start, int end) {if (start == end) {for (int num : nums) {System.out.print(num + " ");}System.out.println();} else {for (int i = start; i <= end; i++) {swap(nums, start, i);permute(nums, start + 1, end);swap(nums, start, i);}}}public static void swap(int[] nums, int i, int j) { int temp = nums[i];nums[i] = nums[j];nums[j] = temp;}public static void main(String[] args) {int[] nums = {1, 2, 3};permute(nums, 0, nums.length - 1);}}```在上述代码中，我们定义了一个`permute`函数来实现全排列。
组合数学 第一章 排列组合6
习题
5， 10 ，19 ， 22
得.
nn
n k
n-k k
k=0
1.7若干等式及其组合意义
证2 在[1,n]的所有组合中,
含1的组合←→不含1的组合.有1—1对应
关系。在任一含1组合及与之对应的不含
1组合中，必有一奇数个元的组合与一偶
数个元的组合。将含奇数个元的组合做
成集，将含偶数阁元的组合做成另一集。
此二集的元数相等。
∑(
)i奇=∑ni(
证1(x+y) =∑( )x y ,令x=y=1,得(1.7.5)
组合证1 [m1,mm]mk的所k 有m-方k 案.每一子集都可 取k[1,m]或k不=0 取.这样有2m个方案.另可有
0-子集(空集),1-子集,…,m-子集.
组合证2 从(0,0)走m步有2m种走法,都落
在直线x+y=m上,而到(m,0),(m-1,1),(m-
1.8应用举例
通过基因将它的遗传信息传递给RNA,然 后再传给蛋白质来表现其功能。
(1)蛋白质分子中有20种氨基酸，在RNA 中以一定顺序相连的3个核苷酸决定1种 氨基酸，三联体遗传密码有43=64个排列 方式。它保证了20种氨基酸密码的需要。
(2)例如RNA链：CCGGUCCGAAAG 酶将它分解成为G片断(即利用G将
1.5.2字典序法
一般而言，设P是[1,n]的一个全排列。 P=P1P2…Pn=P1P2…Pj-1PjPj+1…Pk-1PkPk+1…Pn
I) j=max{i|Pi<Pi+1}, II) k=max{i|Pi>Pj} III) 对换Pj，Pk， IV) 将Pj+1…Pk-1PjPk+1…Pn翻转，
全排列生成算法
全排列的生成算法对于给左的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。
字典序法按照字典序求下一个排列的算法广例字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的全排列是：123,132,213,231,312,321o注意一个全排列可看做一个字符串，字符串可有前缀、后缀/生成给泄全排列的下一个排列所谓一个全排列的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。
这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。
广例839647521是1—9的排列。
1—9的排列最前而的是123456789,最后而的是987654321,从右向左扫描若都是增的，就到了987654321,也就没有下一个了。
否则找出第一次出现下降的位置。
算法：由P1P2...Pn生成的下一个排列的算法如下：1求j=max{j| Pj-I<pj}2.求|=max{k| Pi-1<Pk }3.交换Pi-1与PI得到P1P2...PI-1 （P i....Pn ）,将红色部分顺序逆转，得到结果.例求839647521的下一个排列1.确定i,从左到右两两比较找出后一个数比前一个大的组合，在这里有39 47,然后i 取这些组中最到的位宜号（不是最大的数）在这两组数中7的位置号最大为6,所以i=62.确立I.找岀在i （包括i）后面的所有比i前面那一位大的数的最大的位置号，在此例中7, 5都满足要求，则选5, 5的位置号为7,所以1=73.先将4和5交换，然后将5后的四位数倒转得到结果8396574213 839651247以上算法是在数论课上老师给岀的关于字典序全排列的生成算法，以前也经常要用到全排列生成算法来生成一个全排列对所有的情况进行测试，每次都是现到网上找一个算法，然后直接copy代码，修改一下和自己的程序兼容就行了，也不看是怎么来的，不是我不想看，实在是说的很抽象，那一大堆公式来吓人，一个实例都不给，更有甚者连算法都没有，只是在那里说，想看都看不懂，也没那个耐心取理解那些人写出来的那种让人无法忍受的解释。
排列组合的生成算法
2.组合的生成： 递归 由上一个组合生成下一个组合
program zuhe; const n=6;m=4; var a:array[0..m] of integer; i,j:integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to m do write(a[i]); writeln; end; procedure try(dep:integer); var i:integer; begin for i:=a[dep-1]+1 to n-(m-dep) do begin a[dep]:=i; if dep=m then print else try(dep+1); end end; begin a[0]:=0; try(1); end.
字典序法 按照字典序求下一个排列的算法 例字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的 全排列是:123,132,213,231,312,321。 生成给定全排列的下一个排列 所谓一个全排ห้องสมุดไป่ตู้的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。 这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后 缀上。 （1）求满足关系式pj-1<pj的j的最大值，设为i，即 i=max{j| pj-1<pj} （2）求满足关系式pi-1<pk的k的最大值，设为j，即 j=max{k| pi-1<pk} （3）将pi-1与pj互换 （4）将互换后的排列，从i开始到n之间的数逆转。
下一个组合的概念 给定集合S={1,2,…,n}，如何找出S的所有k—组合？ 因为组合无顺序，所以对S的任何一个k—组合{a1a2…ak}，我们恒假定a1<a2<…<ak． 在这个假定下恒有ai≤n－k+i，并称n-k+i为ai的最大值． 设{a1a2…ak} 和{b1b2…bk}是S的两个不同的k—组合．如果(a1a2…ak)(b1b2…bk)， 并且不存在异于{a1a2…ak}和{b1b2…bk}的k—组合{c1c2…ck}，使得 (a1a2…ak) (c1c2…ck) (b1b2…bk) 则称{b1b2…bk}为{a1a2…ak} 的下一个组合． 组合生成算法： 步骤1 置{a1a2…ak}={1,2,…,k}； 步骤2 设已有一个k—组合{a1a2…ak}． 置i：=k： ① 若ai<n－k+i,则令 bi=ai+1 bj+1=bj+1，j=i, i+1, …,k-1 并置 {a1a2…ak}:={a1a2…ai-1bibi+1…bk} 返回步骤2； ② 若ai=n-k+i： 如果i>1，置i：=I－1，返回①; 如果i=1，终止． 这样，所有k—组合即可数遍．
排列与组合,分步乘法计数原理,分类加法计数原理
排列：1、排列的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。
3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号白；表示。
4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1X2X3X・・・Xn表示。
规定：0!=15、排列数公式：*”n (n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)='卡—活"。
组合：1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C；表示。
b=屋=题…---掰+。
_ /3、组合数公式：1H史耀！的I一对；4、组合数性质：K - …,5、排列数与组合数的关系：量二5,排列与组合的联系与区别：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个(mWn, n, m£N) 元素，这是排列与组合的共同点。
它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a, b与b, a是两个不同的排列，但却是同一个组合。
排列应用题的最基本的解法有:(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法;(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。
排列的定义的理解：①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列；②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列，元素完全相同，但排列顺序不一样或元素不完全相同，排列顺序相同的排列，都不是同一个排列；③定义中规定了 mWn,如果m<n,称为选排列；如果m=n,称为全排列；④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意；⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题。
全排列的生成算法
全排列的生成算法全排列的生成算法就是对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。
任何n 个字符集的排列都可以与1～n的n个数字的排列一一对应，因此在此就以n个数字的排列为例说明排列的生成法。
n个字符的全体排列之间存在一个确定的线性顺序关系。
所有的排列中除最后一个排列外，都有一个后继；除第一个排列外，都有一个前驱。
每个排列的后继都可以从它的前驱经过最少的变化而得到，全排列的生成算法就是从第一个排列开始逐个生成所有的排列的方法。
全排列的生成法通常有以下几种：字典序法递增进位数制法递减进位数制法邻位交换法递归类算法1.字典序法字典序法中，对于数字1、2、3......n的排列，不同排列的先后关系是从左到右逐个比较对应的数字的先后来决定的。
例如对于5个数字的排列12354和12345，排列12345在前，排列12354在后。
按照这样的规定，5个数字的所有的排列中最前面的是12345，最后面的是54321。
字典序算法如下：设P是1～n的一个全排列:p=p1p2......pn=p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn1）从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j（j从左端开始计算），即j=max{i|pi<pi+1}2）在pj的右边的数字中，找出所有比pj大的数中最小的数字pk，即 k=max{i|pi>pj}（右边的数从右至左是递增的，因此k是所有大于pj的数字中序号最大者）3）对换pi，pk4）再将pj+1......pk-1pkpk+1pn倒转得到排列p’’=p1p2.....pj-1pjpn.....pk+1pkpk-1.....pj+1，这就是排列p的下一个下一个排列。
例如839647521是数字1～9的一个排列。
从它生成下一个排列的步骤如下：自右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字4 839647521在该数字后的数字中找出比4大的数中最小的一个5 839647521将5与4交换 839657421将7421倒转 839651247所以839647521的下一个排列是839651247。
组合数学：1-2 排列组合的生成
对上述过程，一般地，对于i，将前一步所得的每 一排列重复 i 次，然后将 i 由第一排的最后往前移， 至最前列，正好走了 i 次,下一个接着将 i 放在下一 排列的最前面，然后依次往后移，一直下去即得 i 元排列。 下面我们用较正式的语言来说这件事。
对给定的一个整数k，我们赋其一个方向，即在其 上写一个箭头（指向左侧或右侧）
1.2 排列组合生成算法
1. 全排列的生成算法 2. 组合的生成算法
3. 一般排列的生成算法
1. 全排列的生成算法
全排列的生成算法就是对于给定的字符集，用有 效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚 举出来。
这里介绍4种全排列算法： (A) 直接生成法 (B) 序数法 (C) 字典序法 (D) 换位法
n的p进制表示： n a i p i , 0 a i p
i 1
i 1 k
我们来看另一种表示
n!=((n-1)+1)(n-1)!=(n-1)(n-1)!+(n-1)!, (n-1)!=(n-2)(n-2)!+(n-2)!, …, 故 n!= (n-1)(n-1)!+ (n-2)(n-2)!+…+2×2!+2!
3. 一般排列的生成算法
n中取r的排列生成可以由组合生成和全排列生成 结合而得到。
839647521的下一个为839651247。
一般而言，设P是[1,n]的一个全排列。
P=P1P2…Pn=P1P2…Pj-1PjPj+1…Pk-1PkPk+1…Pn
(1) 找出 j=max{ i |Pi<Pi+1}，k=max{ i |Pi>Pj}； (2) 对换 Pj，Pk； (3) 将 Pj+1…Pk-1PjPk+1…Pn翻转， P1P2…Pj-1PkPn…Pk+1PjPk-1…Pj+1即是P的下一个。 该算法的优点是排列清晰，而且保持着字典序。 缺点是算法较繁琐。
全排列计算公式
则每一个九位数都是集合 A 的一个元素，集合 A 中共有 9个元素，即 S(A)=9。如果集合 A 可以分为若干个不相交的子集，则 A 的元素等于各子集元素之和。
全排列是从从n个元素中取出m个元素并按照一定的规则将取出元素排序我们称之为从n个元素中取m个元素的一个排列当mn时即从n个元素中取出n个元素的排列
全排列计算公式
全排列计ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公式
全排列数f(n)=n!(定义0!=1)。
全排列是从从N个元素中取出M个元素，并按照一定的规则将取出元素排序，我们称之为从N个元素中取M个元素的一个排列，当M=N时，即从N个元素中取出N个元素的排列。
全排列算法与全组合算法
全排列算法与全组合算法转载⾃董的博客：1. 前⾔本⽂介绍了经常使⽤的排列组合算法，包含全排列算法，全组合算法，m个数选n个组合算法等。
2. 排列算法常见的排列算法有：(A)字典序法(B)递增进位制数法(C)递减进位制数法(D)邻位对换法(E)递归法介绍经常使⽤的两种：(1) 字典序法对给定的字符集中的字符规定了⼀个先后关系，在此基础上依照顺序依次产⽣每⼀个排列。
[例]字符集{1,2,3},较⼩的数字较先,这样按字典序⽣成的全排列是:123,132,213,231,312,321。
⽣成给定全排列的下⼀个排列所谓⼀个的下⼀个就是这⼀个与下⼀个之间没有字典顺序中相邻的字符串。
这就要求这⼀个与下⼀个有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。
算法思想：设P是[1,n]的⼀个全排列。
P=P1P2…Pn=P1P2…Pj-1PjPj+1…Pk-1PkPk+1…Pn , j=max{i|Pi<Pi+1}, k=max{i|Pi>Pj} ,对换Pj，Pk，将Pj+1…Pk-1PjPk+1…Pn翻转， P’= P1P2…Pj-1PkPn…Pk+1PjPk-1…Pj+1即P的下⼀个样例:839647521的下⼀个排列.从最右開始,找到第⼀个⽐右边⼩的数字4(由于4<7，⽽7>5>2>1),再从最右開始,找到4右边⽐4⼤的数字5(由于4>2>1⽽4<5),交换4、5,此时5右边为7421,倒置为1247,即得下⼀个排列:839651247.⽤此⽅法写出全排列的⾮递归算法例如以下该⽅法⽀持数据反复，且在C++ STL中被採⽤。
(2) 递归法设⼀组数p = {r1, r2, r3, … ,rn}, 全排列为perm(p)，pn = p – {rn}。
则perm(p) = r1perm(p1), r2perm(p2), r3perm(p3), … , rnperm(pn)。
排列组合的计算公式和算法
排列组合的计算公式和算法
排列组合的计算公式是：
全排列：A(n,n)=n!
组合：C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)=n!/(m!*(n-m)!)
这个计算公式是通过对排列组合的一些基本概念的分析所得，所以其算法就是将排列组合的基本概念结合起来，从而得出最终计算结果。
具体的步骤如下：
1、首先，我们要弄清楚全排列和组合的概念，才能清楚的理解排列组合的计算公式。
2、然后，用这些基本概念去讨论排列组合的情况，得出一个公式去验证排列组合的情况是否正确。
3、接着，我们需要做出正确的推断，将基本概念和判断的概率公式综合起来，形成一个新的公式。
4、最后，用新的公式推导出排列组合的计算公式，并计算出结果。
计数的全排列与类的划分
类的应用
分类：将事物 按照一定的标 准进行分类， 便于管理和使
用
聚类：将相似 的事物聚类成 一组，用于数 据挖掘和机器
学习
决策树：通过 分类算法构建 决策树，用于
分类和预测
类的划分：根 据事物的属性 和特征进行划 分，形成不同
的类
计数原理
分类加法计数原理
添加 标题
定义：将问题分成若干个互斥的子事件，分别计算每个子事件的发生次数，然后将这些次数相加，得到总的 发生次数。
添加 标题
应用：在组合数学、概率论、统计学等领域有广泛的应用。
分步乘法计数原理
定义：将一个复杂问题分解为若干个简单子问题，分别求解子问题，然 后将子问题的解相乘得到原问题的解。
适用范围：适用于具有独立性、互斥性的多个事件或步骤的问题。
示例：从一个袋子中摸出不同颜色的小球，每种颜色的小球只能摸一次， 最后将各种颜色小球的数量相乘得到总的可能结果数。
排列与组合的异同点
排列：考虑顺序，有先后之分。
组合：不考虑顺序，没有先后之分。
异同点：排列和组合都是计数的方法，但排列考虑了顺序，而组合不考虑顺序。 应用场景：排列常用于有顺序的情况，如排队、安排活动等；组合常用于无顺序的情况，如从 几个数字中选取几个数字等。
计数与分类的关系
计数与分类的联系
计数是分类的基础 分类是计数的目的 计数和分类都是数据处理的手段 计数和分类在数据分析和决策中具有重要作用
数据分析：在数据分析中，计数和 分类是基础操作，通过对数据进行 分类和计数，可以挖掘出数据中的 模式和趋势。
如何正确使用计数与分类的方法
计数是分类的基 础，通过计数可 以确定分类的数 量和比例。
分类是计数的目 的，通过分类可 以将计数结果应 用到具体场景中， 实现数据的可视 化呈现和解释。
c语言 字符串全排列算法
c语言字符串全排列算法在计算机科学中，字符串全排列算法是一种常见的算法，它用于生成一个字符串的所有可能排列。
这对于测试算法或解决一些涉及字符串的问题非常有用。
下面，我们将介绍一种使用C语言实现字符串全排列的算法。
一、算法概述字符串全排列是指将一个字符串的所有字符重新排列，形成所有可能的字符串。
这种方法可以生成所有可能的字符串，其中每个字符都可能出现在任何位置。
二、C语言实现下面是一个使用C语言实现字符串全排列的简单示例代码：```c#include <stdio.h>#include <string.h>void swap(char *x, char *y) {char temp;temp = *x;*x = *y;*y = temp;}void permute(char *a, int l, int r) {int i;if (l == r) {printf("%s\n", a);} else {for (i = l; i <= r; i++) {swap((a + l), (a + i));permute(a, l + 1, r);swap((a + l), (a + i)); // backtrack}}}int main() {char str[100];printf("Enter a string: ");fgets(str, sizeof(str), stdin); // read string from user inputpermute(str, 0, strlen(str) - 1); // call the function to generate all permutationsreturn 0;}```这段代码首先定义了一个交换函数`swap()`，用于交换两个字符的位置。
然后，`permute()`函数用于生成字符串的全排列。
全排列算法解析(完整版)
void Permutation(int A[], int m, int n) {
int i, int temp; if(m = = n)
{ for(i = 0;i<n;i++) { if(i != n-1) printf("%d ",A[i]); //有加空格 else printf("%d" A[i]); //没加空格 } //直接输出，因为前 n-1 个数已经确定，递归到只有 1 个数。 printf("\n"); return;
【codeup】1959：全排列及全排列算法详解
【codeup】1959：全排列及全排列算法详解题⽬描述给定⼀个由不同的⼩写字母组成的字符串，输出这个字符串的所有全排列。
我们假设对于⼩写字母有'a' < 'b' < ... < 'y' < 'z'，⽽且给定的字符串中的字母已经按照从⼩到⼤的顺序排列。
输⼊输⼊只有⼀⾏，是⼀个由不同的⼩写字母组成的字符串，已知字符串的长度在1到6之间。
输出输出这个字符串的所有排列⽅式，每⾏⼀个排列。
要求字母序⽐较⼩的排列在前⾯。
字母序如下定义：已知S = s1s2...sk , T = ，则S < T 等价于，存在p (1 <= p <= k)，使得s1 = t1, s2 = t2, ..., sp - 1 = tp - 1, sp < tp成⽴。
注意每组样例输出结束后接⼀个空⾏。
样例输⼊xyz样例输出xyzxzyyxzyzxzxyzyx提⽰⽤STL中的next_permutation会⾮常简洁。
思路：由于题⽬提⽰使⽤next_permutation会简洁，所以这⾥我们使⽤此⽅法。
1 #include<iostream>2 #include<stdio.h>3 #include<queue>4 #include<string>5 #include<string.h>6 #include<algorithm>7using namespace std;89char a[10];1011int main()12 {13int n;14while(scanf("%s",a)!=EOF)15 {16 n=strlen(a);17do18 {19 printf("%s\n",a);20 }while(next_permutation(a,a+n));21 puts("");22 }23return0;24 }C++/STL中定义的next_permutation和prev_permutation函数是⾮常灵活且⾼效的⼀种⽅法，它被⼴泛的应⽤于为指定序列⽣成不同的排列。
1.5 组合数学之全排列的生成算法
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.5.1字典序法
方法2-1：
由72642321推算出839647521 中介数右端加一个 0扩成0 9位，先定 1，每定 72642321中未出现 ，1在最右边 一位，其左边未定位下加一点，从（位－ 位下点数=0）的位中选最左的。
=279905
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.5.2递增进位制数法 由(anan-1…a2)↑求p1p2…pn。
从大到小求出n,n-1,…,2,1的位置 _ ... _ n _ _ …_
\______ ______/ V
an个空格 n的右边有an个空格。 n-1的右边有an-1个空格。 ………… 2的右边有a2个空格。 最后一个空格就是1的位置。
83964752 1 726423210
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
2 的位置 3 4 5 6 7 8 9 定 1
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.5.1字典序法
方法2-2：
由72642321推算出839647521 已定出上标‘●’，找左起第一个0，下标‘__’
※※ 两个字符串，相同前缀越长的越靠近。
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.5 全排列的生成算法
如何生成给定全排列的下一个排列 所谓一个的下一个就是这一个与下一个之间没有 其他的。这就要求这一个与下一个有尽可能长 的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀 上。 例如 839647521是1--9的排列。1—9的排列最前 面的是123456789，最后面的是987654321，从 右向左扫描若都是增的，就到了987654321，也 就没有下一个了。否则找出第一次出现下降的 位置。
1.5排列的生成算法
1.5.1 翻转法
{1,2}的排列 {1} 1 {1,2,3}的排列 {1,2} 12 21
12 ↓ 12 21
123 ↓ 123 231 312
213 ↓ 213 132 321
1.5.1 翻转法
{1,2,3,4}的排列 {1,2,3} 123 231 312 213 132 321
1.5.2 换位法
(一)基本思想 构造集合{1,2,…,n}的所有排列可分步： (1)生成{1,2,…,n－1}的排列，有(n－1)！个 结果 (2)选定(1)的一个排列，将数n依次插入该排 列的元素之间(包括首尾位置)，有n个结果
1.5.2 换位法
从集合{1}的排列1开 始，归纳描述如下： n＝2 12 21 n＝3 1 23 132 31 2 32 1 231 2 13
一一对应
逆序列a1a2…an-1，其中ai(i＝1,2,3,…,n－1)为排列P 中先于i且大于i的整数的个数 全部逆序列a1a2…an-1的集合恰可表示为有限集合的 笛卡尔(Cartesian)积： {0,1,2,…,n－1}×{0,1,2,…,n－2}×…×{0,1}
1.5.3 序数法
序数法的成功之处 通过独立的选择来代替相关的选择。 构造集合{1,2,…,n}的一个排列 第一位 第二位
123 4 231 4 312 4 213 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 1234 2314 3124 2134 2341 3142 1243 1342 3412 1423 2431 3421 4123 4231 4312 4213 132 4 ↓ 1324 3241 2413 4132 321 4 ↓ 3214 2143 1432 4321
其中常数ai(i＝2,3,…,n－1,n)为该排列中排在 数i前和数i+1后的小于i的元素的个数(注意， 常数an即为该排列中排在数n前且小于n的元 素的个数，因该排列中无数n+1)。
排列组合生成算法
3个元素的全排列方法
3个元素的全排列方法一、理解概念全排列是指从给定元素中取出任意个（包括一个也不取）元素，按照一定的顺序排成一列。
对于3个元素的全排列，我们可以理解为从3个元素中取出任意个元素，按照一定的顺序排列。
二、排列计算对于3个元素的全排列，计算方法如下：1. 从3个元素中取出1个元素，有3种选择。
2. 从剩余的2个元素中取出1个元素，有2种选择。
3. 最后剩余的1个元素自动成为排列的一部分。
因此，3个元素的全排列数量为3×2×1=6种。
三、递归算法全排列的递归算法是一种常用的解决方法，其思路如下：1. 首先将3个元素分成两部分：已经排列好的部分和还未排列的部分。
2. 递归调用全排列函数，将还未排列的部分进行全排列。
3. 将已经排列好的部分和递归调用的结果合并，得到最终的全排列。
四、代码实现以下是Python语言的代码实现：```pythondef permute(arr, l, r):if l == r:print(''.join(arr))else:for i in range(l, r+1):arr[l], arr[i] = arr[i], arr[l]permute(arr, l+1, r)arr[l], arr[i] = arr[i], arr[l] # backtrack# 测试代码arr = ['A', 'B', 'C']n = len(arr)permute(arr, 0, n-1)```五、时间复杂度全排列的时间复杂度为O(n!)，其中n为元素的数量。
这是因为在最坏的情况下，我们需要进行n!次操作才能得到所有可能的排列。
六、应用实例全排列在很多领域都有应用，例如：1. 密码学：全排列可以用于生成密码，因为每个排列都是唯一的，可以增加密码的安全性。
2. 计算机科学：全排列可以用于解决一些组合优化问题，例如旅行商问题、背包问题等。
组合数学第4章[生成排列与组合]PPT教学课件
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§4.2 生成组合
生成组合
4.2.1 基2算法 若S是n个元素的集合，元素为{xn-1,...,x1,x0}， 则生成组合就是生成S的所有2n个子集。 任一子集可以描述成：
(an-1,...,a1,a0)=an-1...a1a0 其中，ai为1或0，表示xi在或不在子集中。
于是S的全部子集可以用0~2n-1的整数来描 述，只要生成这些整数，也就得到了所有组合。
其中，0表示空集，2n-1表示S本身。
全排列生 成算法
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3. 直接生成全排列的算法
全排列生 成算法
[定义]对排列中的每个元素k，赋予其一
个方向：k 或 k 。如果一个整数k的箭头 指向一个与其相邻但比它小的整数，则
称k是活动的。
例如，对于：263154
只有6、3、5是活动的。
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显然：
全排列生 成算法
a1+a2+...+an 度量了排列的无序程度。
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全排列生
[例]31524的逆序列是1,2,0,1,0。 成算法
[结论]对于逆序列，显然有0≤ak≤n-k。且 任何一个排列都可确定一个逆序列。
[定理]若b1,b2,...,bn是满足0≤bk≤n-k的整数 序列，则存在{1,2,...,n}的唯一的一个排 列，其逆序列为b1,b2,...,bn 。
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{1,2,3}的排列
全排列生
1 2 3 成算法 2 31 31 2 32 1 13 2 2 13
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n个数的所有排列
n个数的所有排列如果用P表示n个元素的排列，而Pi表示不包含元素i的排列，(i)Pi表示在排列Pi前加上前缀i的排列，那么，n个元素的排列可递归定义为：如果n=1，则排列P只有一个元素i如果n>1，则排列P由排列(i)Pi构成（i=1、2、....、n-1）。
根据定义，容易看出如果已经生成了k-1个元素的排列，那么，k 个元素的排列可以在每个k-1个元素的排列Pi前添加元素i而生成。
例如2个元素的排列是1 2和2 1，对每个元素而言，p1是2 3和3 2，在每个排列前加上1即生成1 2 3和1 3 2两个新排列，p2和p3则是1 3、3 1和1 2、2 1，按同样方法可生成新排列2 1 3、2 3 1和3 1 2、3 2 1。
主要代码如下：/*函数名称：Permutation函数功能：普通递归算法：输出n个数的所有全排列输入变量：int n：1，2，3，...，n共n个自然数输出变量：无*/void Permutation(int n){int *a = new int[n];//用来存储n个自然数for (int i=0; i<n; i++) //存储全排列的元素值a[i] = i + 1;Recursion(a, n, n-1); //调用递归函数delete []a;}/*函数名称：Recursion函数功能：递归输出n个数的所有全排列输入变量：int a[]：存储了1，2，3，...，n共n个自然数的数组int n：数组a[]的长度int k：正在处理的k个元素所组成的排列输出变量：无*/void Recursion(int a[], int n, int k){if (k == 0) //排列只有一个元素a[k]，直接输出Print(a, n);else{int temp;for (int i=0; i<=k; i++) //穷举，依次让第k个元素与前面的元素交换{temp = a[i];a[i] = a[k];a[k] = temp;Recursion(a, n, k-1); //递归生成k-1个元素的全排列temp = a[i]; //再换回来a[i] = a[k];a[k] = temp;}}void Print(int a[], int n){for (int i=0; i<n; i++)cout << a[i];cout << endl;}循环移位法是一种很容易理解的非有序全排列算法，它的原理是：如果已经生成了k-1个元素的排列，则在每个排列后添加元素k使之成为k个元素的排列，然后将每个排列循环左移（右移），每移动一次就产生一个新的排列。
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全排列的生成算法全排列的生成算法就是对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。
任何n个字符集的排列都可以与1〜n的n个数字的排列一一对应，因此
在此就以n 个数字的排列为例说明排列的生成法。
n 个字符的全体排列之间存在一个确定的线性顺序关系。
所有的排列中除最后一个排列外，都有一个后继；除第一个排列外，都有一个前驱。
每个排列的后继都可以从它的
前驱经过最少的变化而得到，全排列的生成算法就是从第一个排列开始逐个生成所有的排列的方法。
全排列的生成法通常有以下几种：字典序法递增进位数制法递减进位数制法邻位交换法
递归类算法
1. 字典序法
字典序法中，对于数字1、2、3 ......n 的排列，不同排列的先后关系是从左到右逐
个比较对应的数字的先后来决定的。
例如对于5个数字的排列 1 2354和12345，排列12345 在前，排列12354 在后。
按照这样的规定， 5 个数字的所有的排列中最前面的是 1 2345 ，最后面的是54321 。
字典序算法如下：
设P是1〜n的一个全排列：
p=p1p2 .... pn=p1p2 ...... pj-1pjpj+1 ..... p k-1pkpk+1 .... pn
1 ）从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j（j 从左端开始计算），即j=max{i|pi<pi+1}
2）在pj的右边的数字中，找出所有比pj大的数中最小的数字pk，即k=max{i|pi>pj}
（右边的数从右至左是递增的，因此k是所有大于pj的数字中序号最大者）
3）对换pi ，pk
4 ）再将pj+1 ................. pk-1pkpk+1pn 倒转得到排列p ' '
=p1p2 .... p j-1pjpn ..... pk+1pkpk-1 .... p j+1 ，这就是排列p 的下一个下一个排列。
例如839647521 是数字1〜9 的一个排列。
从它生成下一个排列的步骤如下：自右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字 4 839647521 在该数字后的数字中找出比 4 大的数中最小的一个 5 839647521 将5与4交换839657421
将7421 倒转839651247 所以839647521 的下一个排列是839651 247 。
2. 递增进位数制法
在递增进位制数法中，从一个排列求另一个排列需要用到中介数。
如果用ki 表示排
列p1p2...pi...pn 中元素pi 的右边比pi 小的数的个数，则排列的中介数就是对应的排
列k1 .... ki ...... kn-1 。
例如排列839647521 的中介数是72642321 ，7、2、6、..... 分别是排列中数字8、3、
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9、.. 的右边比它小的数字个数。
中介数是计算排列的中间环节。
已知一个排列，要求下一个排列，首先确定其中介数，一个排列的后继，其中介数是原排列中介数加 1 ，需要注意的是，如果中介数的末位
kn-1+1=2 ，则要向前进位，一般情形，如果ki+1=n-i+1 ，则要进位，这就是所谓的递增进位制。
例如排列839647521 的中介数是72642321 ，则下一个排列的中介数是
67342221+1=67342300 (因为1+1=2，所以向前进位，2+1=3，又发生进位，所以下一个中介数是67342300 )。
得到中介数后，可根据它还原对应得排列。
算法如下：
中介数k1 、k2 、、kn-1 的各位数字顺序表示排列中的数字n、n-1 、... 、2
在排列中距右端的的空位数，因此，要按k1、k2、... 、kn-1 的值从右向左确定n、
n-1 、 . 、2 的位置，并逐个放置在排列中：i 放在右起的ki+1 位，如果某位已放有
数字，则该位置不算在内，最后一个空位放1。
因此从67342300 可得到排列849617523，它就是839647521 的后一个排列。
因为9 最先放置，k1=6，9 放在右起第7 位，空出 6 个空位，然后是放8，k2=7，8 放在右起第8 位，但
9 占用一位，故8 应放在右起第9 位，余类推。
3. 递减进位制数法
在递增进位制数法中，中介数的最低位是逢 2 进1，进位频繁，这是一个缺点。
把递
增进位制数翻转, 就得到递减进位制数。
839647521 的中介数是67342221(k1k2...kn-1) ，倒转成为12224376(kn-1...k2k1) ，这是递减进位制数的中介数：ki(i=n-1,n-2,...,2) 位逢i 向ki-1 位进1。
给定排列p，p 的下一个排列的中介数定义为p 的中介数加1。
例如p=839647521，p 的中介数为12224376 ，p的下一个排
列的中介数为12224376+1=12224377,由此得到p的下一个排列为893647521。
给定中介数，可用与递增进位制数法类似的方法还原出排列。
但在递减进位制数中，可以不先计算中介数就直接从一个排列求出下一个排列。
具体算法如下：
1 )如果p(i)=n 且i<>n ,则p(i) 与p(i-1) 交换
2)如果p(n)=n ,则找出一个连续递减序列9、8、、i ,将其从排列左端删除,
再以相反顺序加在排列右端,然后将i-1 与左边的数字交换
例如p=893647521 的下一个排列是983647521。
求983647521 的下一个排列时,因为9在最左边且第 2 位为8,第3 位不是7,所以将8 和9从小到大排于最右端364752189, 再将7与其左方数字对调得到983647521 的下一个排列是367452189。
又例如求987635421 的下一个排列,只需要将9876 从小到大排到最右端并将 5 与其左方数字3 对调,得到534216789。
4. 邻位对换法
邻位对换法中下一个排列总是上一个排列某相邻两位对换得到的。
以4个元素的排列
为例,将最后的元素4逐次与前面的元素交换,可以生成4个新排列：
1 2 3 4 1 2 4 3 1 4 2 3 4 1 2 3
然后将最后一个排列的末尾的两个元素交换,再逐次将排头的4与其后的元素交换,
又生成四个新排列：
4 1 3 2 1 4 3 2 1 3 4 2 1 3 2 4
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再将最后一个排列的末尾的两个元素交换，将 4 从后往前移：
3 1 2
4 3 1 4 2 3 4 1 2 4 3 1 2 如此
循环既可求出全部排列。
5. 元素增值法（n 进制法）
1）从原始排列p=p1p2……pn 开始，第n位加n-1，如果该位的值超过n,则将它除以n，用余数取代该位，并进位（将第n-1位加1）
2）再按同样方法处理n-1 位, n-2 位, ..... ,直至不再发生进位为止,处理完一个
排列就产生了一个新的排列
3）将其中有相同元素的排列去掉
4）当第一个元素的值>n则结束
以3个数1、2、3的排列为例：原始排列是 1 2 3，从它开始，第3个元素是3，3+2=5，5 Mod 3=2 ，第2 个元素是2，2+1=3，所以新排列是1 3 2 。
通过元素增值，顺序产生的排列是： 1 2 3 ，1 3 2 ，2 1 1 ，2 1 3 ，2 2 2 ，2 3 1 ，2 3 3 ，3 1 2 ，3 2 1 有下划线的排列中存在重复元素，丢弃，余下的就是全部排列。
6. 递归类算法
全排列的生成方法用递归方式描述比较简洁，实现的方法也有多种。
1 ）回溯法
回溯法通常是构造一颗生成树。
以3 个元素为例；树的节点有个数据，可取值是1、2、3。
如果某个为0，则表示尚未取值。
初始状态是（0，0，0），第1 个元素值可以分别挑选1，2，3，因此扩展出3个子结点。
用相同方法找出这些结点的第2个元素的可能值，如此反复进行，一旦出现新结点的3个数据全非零，那就找到了一种全排列方案。
当尝试了所有可能方案，即获得了问题的解答。
2）递归算法
如果用P 表示n 个元素的排列，而Pi 表示不包含元素i 的排列，（i）Pi 表示在排列Pi 前加上前缀i 的排列，那么，n 个元素的排列可递归定义为：
如果n=1，则排列P只有一个元素i
如果n>1，则排列P由排列（i）Pi构成（i=1、2、•…、n-1 ）。
根据定义，容易看出如果已经生成了k-1 个元素的排列，那么，k 个元素的排列可以在每个k-1 个元素的排列Pi 前添加元素i 而生成。
例如2 个元素的排列是1 2 和2 1，对与个元素而言，
p1 是2 3 和3 2，在每个排列前加上1 即生成1 2 3 和1 3 2 两个新排列，p2和p3则是1 3、3 1和1 2、2 1，按同样方法可生成新排列 2 1 3、2 3 1和3 1 2、3
2 1 。