2014届临沂市高三一模理科数学试题

临沂市2014届高三教学质量检测考试

理 科 数 学

本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科

类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的

位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能 使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．复数12i

z i -=

+在复平面上对应的点的坐标为 (A) 1

1(,)5

5

- (B) 31(,)5

5

- (C) 11(,)55

(D) 13(,)5

5

- 2．已知集合{}

{}2|12,|log 2A x x B x x =-<=<，则A B =

(A) (-1,3) (B) (0,4) (C) (0,3) (D) (-1,4) 3．若向量(2cos ,1),(2,tan )a b αα=-=，且//a b ，则sin α= (A)

22 (B) 2

2

- (C) 4π (D) 4π-

4．下列说法正确的是

(A) “a >b ”是“2

2

a b >”的充分不必要条件

(B) 命题“2

,10x R x ∀∈+>”的否定是：200,10x R x ∃∈+< (C) 若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题

(D) 若(1)f x +为R 上的偶函数，则()f x 的图象关于直线x =1对称

5．函数()sin ln f x x x =⋅的部分图象为

(A) (B) (C) (D) 6．若曲线()sin 1f x x x =+在2

x π

=

处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则

251

()ax x

-展开式中x 的系数为

(A) 40 (B) -10 (C) 10 (D) -40 7．已知31,n a n n N *=+∈，执行右边的程序框图， 输出的S 等于

(A)17.5 (B)35 (C)175 (D)350 8．已知x 与y 之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为ˆˆˆy

bx a =+．若某同学根据上表中的最后两 组数据(5，2)和(6，0)求得的直线方程为''y b x a =+，则以下结论正确的是

(A) ˆˆ','b

b a a >> (B) ˆˆ','b b a a >< (C) ˆˆ','b

b a a << (D) ˆˆ','b b a a << 9．已知一个三棱锥的三视图如图，其中俯视图是斜边长为2的等 腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥 的体积为 (A)

23 (B)43 (C)23 (D)22

3

10．设1,F F 分别是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一

点M ，使1

1()0FM OF OM ⋅+=

，O 为坐标原点，且123F M F M = ，则该双曲线 的离心率为 ( A)312

+ (B)31+ (C)62

2+ (D)62+

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理 科 数 学

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的 模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60）， [60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计， 得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有 学生500名，据此估计，该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为_________． 12.在△ABC,中，,2,33

ABC AB BC π

∠=

==，则sin ABC ∠=_________．

13.若变量x ,y 满足约束条件8,24,0,0,

x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪

⎨≥⎪⎪≥⎩且z =5y - x 的最大值为m ，最小值n ，则

m +n=___________．

14．在长方形区域{}(,)|02,01x y x y ≤≤≤≤中任取一点P ，则点P 恰好取自曲线

cos(0)2

y x π

=≤≤

与坐标轴围成的区域内的概率为____________．

15．设()f x 是定义在(0，+∞)的可导函数，且()'()f x xf x >，则不等式2

1

()()0x f f x x

-<

的解集为___________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2

1

()3sin cos (0)2

f x xcos x x ωωωω=+-

>的最小正 周期是π，将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将

所得函数图象向右平移6

π

个单位，得到函数()g x 的图象．

（Ⅰ）()g x 的解析式；

（Ⅱ）在△ABC .中，4

(),225

g A b π-==，△ABC 的面积为3，求边长a 的值．

17．（本小题满分12分）某工厂生产A ，B 两种元件，已知生产A 元件的正品率为75%，生 产B 元件的正品率为80%，生产1个元件A ，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损 10元；生产1个元件B ，若是正品则盈利40元，若是次品则亏损5元． （Ⅰ）求生产5个元件A 所得利润不少于140元的概率；

（Ⅱ）设X 为生产1个元件A 和1个元件B 所得总利润，求X 的分布列和数学期望．

18.（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为菱形，

14AA =3,AC = 1

15,60BC BC ABB ==∠= ，D 为AB 的中点． （Ⅰ）求证：111B D BC ⊥；

（Ⅱ）求直线1AA ,与平面1CB D 所成角的正弦值．

19.（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,4n n n a S a a +==⋅． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

与的前n 项和为n T ，求证：

1

442n n T n <<+．

20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b +=与双曲线

22

1(14)41x y v v v

+=<<--有公 共焦点，过椭圆C 的右顶点B 任意作直线l ，设直线l 交抛物线2

2y x =于P 、Q 两点， 且OP OQ ⊥

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点R (m ，n )，使得直线:1l mx ny +=与圆2

2

:1O x y +=相

交于不同的两点M 、N ，且△OMN 的面积最大？若存在，求出点R 的坐标及对应 的△OMN 的面积；若不存在，请说明理由．

21.（本小题满14分）已知函数()ln f x x =.

（Ⅰ）若直线y x m =+与函数()f x 的图象相切，求实数m 的值；

（Ⅱ）证明曲线()y f x =与曲线1

y x x

=-有唯一公共点； （Ⅲ）设0a b <<，比较()()f b f a b a --与2

a b

+的大小，并说明理由．