直线与抛物线的位置关系教案

课题：直线与抛物线的位置关系

教学目地

培养学生从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相验证的数学方法，提高数形结合的能力。

教学重点

运用解析几何的基本方法建立数形联系。

媒体运用

电脑powerpoint 课件，几何画板动态演示，实物投影

教学课型

新授课

教学过程

（一）复习引入

通过问题复习方程和曲线的关系。

1、怎样判断直线L 与抛物线C 的位置关系？

为了使学生思考更有针对性，给出具体的例题：已知直线L ：1(1)2

y x =+，抛物线C ：24y x =，怎样判断它们是否有公共点？若有公共点，怎样求公共点？

估计学生都能回答：由方程组21(1)2

4y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩

的解判断L 与C 的关系，紧接着提出问题： 2、问为什么说方程组21(1)2

4y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩

有解，L 与C 就有公共点，为什么该方程组的解对应的点就是L 与C 的交点？

通过这一问题，复习一下的对应关系：

直线L 上的点⇔方程1(1)2

y x =+的解；抛物线C 上的点⇔方程24y x =的解；L 与C 的公共点⇔方程组21(1)2

4y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩

的解。 既然有了这样的一一对应的关系，那么研究直线与抛物线的公共点，可以通过研究对应的方程组的解来解决；同样，讨论方程组是否有解，也可通过研究直线与抛物线是否有公共

点来解决。这样就引出了解决这一类问题的两种方法，代数法和几何法。

（二）分析讨论例题

讨论直线L ：(1)y m x =+与抛物线C ：24y x =公共点的个数。

请一位学生说一下解题思路，估计能回答出：考虑方程组2(1)4y m x y x =+⎧⎨=⎩

的解，然后让学生尝试自己解决。

提出下列几个问题：

1、从几何图形上估计一下，能否猜想一下结论？

如果被提问的学生不会回答，可作引导：直线L 有什么特点？m 表示什么？抛物线C 有什么特点？在解决这些问题的同时画出图形。

2、m 为何值时，L 与C 相切？

3、当m 很接近于零但不等于零时（在提问同时用图形表示），L 与C 是否仅有一个公共点？

后两个问题从图像看不准，对于问题3，可能有部分同学认为仅有一个公共点，另外一些同学认为会有两个公共点，带着这个问题用代数法验证。

探究：请学生画出图形表示上述几个位置关系，从图中发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？（几何画板动态演示）<有两种情况，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等。

（三）小结：

1、几何关系与代数结论的对照

直线L ：Ax+By+C ＝0与抛物线C ：y 2

＝2px 的位置关系⇔讨论方程组202Ax By C y px ++=⎧⎨=⎩的解，消元转化为关于x 或y 方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=或。

L 与C 的对称轴平行或重合⇔a=0；

L 与C 有两个不同的公共点⇔00a ≠⎧⎨∆>⎩；L 与C 相切于一点⇔ 00a ≠⎧⎨∆=⎩

L 与C 相离⇔ 00

a ≠⎧⎨∆<⎩

2、学会从几何、代数两个角度考虑问题。解决该类问题的一般步骤是：先从几何角度

观察估计，再用代数方法运算分析，最后利用较精确的图形验证结论。如遇矛盾，应从两方面检查：是几何估计偏差还是代数运算有误？从而总结经验教训。

（四）课堂训练（学生解答）

1、直线y x 1=+与抛物线2y x =的交点有几个？

2、讨论直线x=a 与抛物线22y x =的交点的个数？

3、若直线L ：()y 1a x 2-=-与抛物线22y x =有两个交点，求a 在什么范围内取值？

4、直线()y a 1x 1=+-与曲线2y ax =恰有一个公共点，求a 的值。

前两个题由学生口头回答，在学生回答时提醒他们从代数、几何两个不同的角度考虑。后两个题请学生动笔演算后在回答。其中3题作为依形判数的典型：先从几何角度得出结论（即当L 与x 轴平行时与C 交与一点，否则都交于两点），然后估计联立方程后将会得到什么相应的结论（消元后得到一元二次方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=或，必须在计算∆之前，先考虑二次项系数a 与零的关系）最后用代数解法验证以上估计。其中4题作为就数论形的典型，该题从几何图形上不易直接得出结论，因此只能先用代数方法分析，得出结论（40,1,5

a =--

）后，再利用图形逐一验证。 （五）总结

1、再一次强调要养成从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相补充，互相验证的数学方法。

2、对比几何、代数两种方法的优劣。

在总结中强调代数法能解决一般问题，不能让学生形成“代数法繁琐”这样的偏见，强调以代数法为主，以几何法为辅的思想。说到底，解析几何就数用代数方法研究几何问题的一门数学学科。

（六）布置作业

1、直线21y x =+与抛物线22y x =-的公共点的有几个？求出公共点坐标。

2、由实数p 的取值，讨论直线y x 1=+与曲线22y px =的公共点个数

3、若不论a 取何实数，直线(1)y m a x -=-与抛物线24y x =总有公共点，求实数m 的取值范围。

4、已知抛物线C:24y x =，直线L:1(2)y k x -=+,.当k 为何值时，直线L 与抛物线C 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

解：由题意，设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，

由方程组21(2)4y k x y x -=+⎧⎨=⎩

， （*） 消去x ，可得244(21)0ky y k -++=. ①

（1）当0k =时，由方程①得 y ＝1.

把y ＝1代入24y x =，得14

x =. 这时，直线l 与抛物线只有一个公共点1

(,1)4.

(2)当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-.

1°由0∆=，即2210k k +-=，解得

于是，当1,k =-或12

k =时，方程①只有一个解，从而方程组（*）只有一个解.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点. 2°由0∆>，即2210k k +-<，解得112k -<<

. 于是，当112

k -<<，且0k ≠时，方程①有两个解，从而方程组（*）有两个解.这时，直线l 与抛物线有两个公共点. 3°由0∆<，即2210k k +->，解得1,k <-或12k >

。 于是，当1,k <-或12k >

时，方程①没有实数解，从而方程组（*）没有解.这时，直线l 与抛物线没有公共点.

综上，我们可得

当1,k =-或12k =

，或0k =时，直线l 与抛物线只有一个公共点. 当112

k -<<，且0k ≠时，直线l 与抛物线有两个公共点. 当1,k <-或12

k >时，直线l 与抛物线没有公共点.