大学课程大一数学线性代数上册1.排列,行列式的定义课件
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线性代数第一章课件,数学
n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11
线性代数课件第1章行列式
? ? ?
a11 x1 a 21 x1
? ?
a12 x2 a22 x2
? ?
b1， b2，
(1.2.1)
引入符号
D ? a11 a21
a12 a22
? a11a22 ? a12a21
称 D 为二阶行列式（（ 1.2.1）的系数行列式），它代
表一个数，简记为 D ? det( aij )，其中数 aij (i ? 1, 2; j ? 1, 2)
数是，全体元素的逆序数的总和就是此排列 的逆序数，即
?( p1p 2
pn ) ? t1 ? t2 ?
n
? ? tn ? ti i?1
．
课件
4
? 例1 求下列排列的逆序数：
? （1） 436251 ； （2） nn( ? 1) 21 ．
? ? 解 （436251）= 0+ 1+ 0+ 3+ 1+ 5= 10 此排列为偶排列． ? （2）同理可得
求解三元一次方程组
? ? ?
a11 x1 a 21 x1
? ?
a12 x2 a22 x2
? ?
a13 x3 a23 x3
? ?
b1， b2，
?? a31x1 ? a32 x2 ? a33x3 ? b2，
引入符号
a11 a12 a13
D ? a21 a22 a23
a31 a32 a33
(1.2.2)
称为三阶行列式（（1.2.2)的系数行列式）．
线性代数
牛莉 等编著
课件
1
第1章 行列式
1.1 全排列及其逆序数
课件
2
? 1.1.1 排列与逆序
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
行列式的定义ppt课件
能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14 第2列只能取a32 四个元素的乘积为
a21a43a14a32 即a14a21a32a43 其列标排列为4123 它的逆序数为3 是奇排列 所以
D=(-1)3a14a21a32a43=-a14a21a32a43=-1
26
排列的对换
❖对换 在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得
1
b1
a2a21
a11 b1
x1= —ba—211 —2aa21— x2= —a1a—211 —ab12—
a2
2 2
a2 2
1 a2
1 a2
2
2
4
我们用 a11 a1 a2 2
表示代数和a11a22-a12a21 并称它为二阶行
列式
1 a2
2
行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线
D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3 D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31 D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31
=
7
0
D1
=
12 1
-
2 1
=12-(-2)
=14
D2
=
3 2
12 1
=
3-
24
=
-21
因此
x1
=
D1 D
=
14 7
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
任意一项前面的符号就是
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
线性代数行列式课件
行列式与空间向量的关系
总结词
行列式可以用来表示空间向量的方向和大小。
详细描述
在三维空间中，行列式可以用来表示向量的 方向和大小。通过行列式，我们可以计算出 向量的模长以及向量的方向余弦值，从而确 定向量的方向和大小。此外，行列式还可以 用来表示向量的外积和混合积，进一步揭示 了行列式与空间向量的关系。
END
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PART 05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
总结词
行列式在解决线性方程组问题中起到关键作 用，通过克拉默法则，我们可以利用行列式 值来求解线性方程组的解。
详细描述
在解决线性方程组问题时，克拉默法则是一 个重要的工具。该法则指出，如果一个线性 方程组中的系数行列式不为零，则该方程组 有唯一解。通过计算系数行列式和将系数行 列式设置为零，我们可以找到使方程组无解
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线性代数行列式课件
目 录
• 行列式的定义与性质 • 行列式的展开定理 • 行列式的计算技巧 • 行列式在几何中的应用 • 行列式的应用实例
PART 01
行列式的定义与性质
行列式的定 义
总结词
行列式是n阶方阵所有可能的二阶子 方阵的行列式之积。
详细描述
行列式是由n阶方阵的元素构成的，按 照一定的排列顺序形成的n阶方阵，其 值是一个标量，表示n阶方阵的线性变 换对单位体积的改变量。
行列式的性 质
总结词
行列式的性质包括转置、交换、代数余子式等。
详细描述
行列式的一个重要的性质是转置，即把行列式的行变为列，得到的新的行列式的值与原行列式的值互为转置。交 换行列式的两行，行列式的值变号。代数余子式是去掉一个子行列式后剩下的元素构成的行列式，其值等于原行 列式值的负一倍。
高等数学线性代数行列式教学ppt(1)
例1 计算下列排列的逆序数.
1） ２１７９８６３５４
解： 2 1 7 9 8 6 3 5 4 01 00 13 4 45
t 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18
1.2 行列式的性质
一、行列式的性质 二、利用性质计算行列式
返回
一、行列式的性质
a11
记D
a22
ann
a11
DT
a22
ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行 列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
a11 a12 a1n 上三角行列式 0 a22 a2n
0 0 ann
a11a22 ann .
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
an1 an2
ann an1 an2
a1n bin . ann
性质6 把行列式的第 j 行(列)元素的 k 倍加到第 i 行(列)的对应元素上去，行列式值不变．
1
2 2, 1
2 2r1r2 1
2 2.
34
34 58
二、利用性质计算行列式
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
1） ２１７９８６３５４
解： 2 1 7 9 8 6 3 5 4 01 00 13 4 45
t 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18
1.2 行列式的性质
一、行列式的性质 二、利用性质计算行列式
返回
一、行列式的性质
a11
记D
a22
ann
a11
DT
a22
ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行 列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
a11 a12 a1n 上三角行列式 0 a22 a2n
0 0 ann
a11a22 ann .
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
an1 an2
ann an1 an2
a1n bin . ann
性质6 把行列式的第 j 行(列)元素的 k 倍加到第 i 行(列)的对应元素上去，行列式值不变．
1
2 2, 1
2 2r1r2 1
2 2.
34
34 58
二、利用性质计算行列式
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
《线性代数》课件第1章
3
1
1 r1 6
1131
1113
1 1 1 1 r2 r1 1 1 1 1
1 3 1 1 r3 r1 0 2 0 0
6
6
48
1 1 3 1 r4 r 1 0 0 2 0
11 1 3
0002
例1.3.4 计算
a1 a1 0 0
0
a2 a2
0 .
0 0 a3 a3
11 1 1
解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将
an1 an2
a nj
a nn
an1 an2
bn
a nn
性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后 加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变，即
a11
a1n
a11
a1n
ai1
ain ri krj ai1 ka j1
ain a jn
a j1
a jn
(1.3.1.3) a1…alabb1…bmc1…cn
再作m+1次相邻对换，式(1.1.4) a1…albb1…bmac1…cn
(1.1.2) (1.1.3) (1.1.4) ( 1.1.5)
1.2 行列式的定义
1.2.1
定义1.2.1 由4个元素aij(i=1，2；j=1，2)排成两行两列， 并定义
3a11 a12
5a23 2 3a21 a22
5a33
3a31 a32
a11 2 (3) 5 a21
a31
5a13 5a23 5a33
a12 a13 a22 a23 a32 a33
2 (3) 51 30.
例1.3.2 计算
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3
《高等代数行列式》课件
向量的内积和外积的应用：在几何学、物理学等领域中的应用，如向量的加法、减法、数乘等 运算规则
高等代数行列式的注意事项 与易错点
第六章
计算过程中的符号问题
行列式的定义与性质 展开式中的符号规律 计算过程中的符号变化 易错点：符号使用不当导致的错误
计算过程中的化简问题
符号问题：行列式 中的正负号容易混 淆，需要注意区分
矩阵的逆：利用行列式和矩阵的性质，求出矩阵的逆，进而求解线性方程 组
矩阵的运算
矩阵加法 矩阵乘法 矩阵转置 矩阵求逆
向量的内积与外积
向量的内积定义：两个向量的点乘，表示它们的夹角和长度之间的关系
向量的外积定义：两个向量的叉乘，表示它们之间的垂直关系和长度之间的关系
向量的内积和外积的性质：内积为实数，外积为向量，它们的性质和运算规则
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汇报人：PPT
03
代数余子式：行列式中任意一行或一列去掉后得到的子行列式称为代数 余子式。
04
拉普拉斯展开式：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果是 该行或该列的代数余子式的乘积之和。
05
行列式的展开定理：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果 是该行或该列的代数余子式的乘积之和。
06
行列式的计算公式：行列式的计算公式是对于n阶行列式，其 计 算 公 式 为 D = a 1 *A 1 + a 2 *A 2 + . . . + a n *A n ， 其 中 A1,A2,...,An为行列式中不同行不同列的元素构成的代数余子 式。
特点：适用于具有某种规律性的数列，如等差数列、等比数列等
应用：在高等代数行列式中，递推法可以用于计算行列式的值
注意事项：在使用递推法时，需要注意初始项和递推公式是否正确，以及递推的终止 条件是什么
高等代数行列式的注意事项 与易错点
第六章
计算过程中的符号问题
行列式的定义与性质 展开式中的符号规律 计算过程中的符号变化 易错点：符号使用不当导致的错误
计算过程中的化简问题
符号问题：行列式 中的正负号容易混 淆，需要注意区分
矩阵的逆：利用行列式和矩阵的性质，求出矩阵的逆，进而求解线性方程 组
矩阵的运算
矩阵加法 矩阵乘法 矩阵转置 矩阵求逆
向量的内积与外积
向量的内积定义：两个向量的点乘，表示它们的夹角和长度之间的关系
向量的外积定义：两个向量的叉乘，表示它们之间的垂直关系和长度之间的关系
向量的内积和外积的性质：内积为实数，外积为向量，它们的性质和运算规则
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03
代数余子式：行列式中任意一行或一列去掉后得到的子行列式称为代数 余子式。
04
拉普拉斯展开式：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果是 该行或该列的代数余子式的乘积之和。
05
行列式的展开定理：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果 是该行或该列的代数余子式的乘积之和。
06
行列式的计算公式：行列式的计算公式是对于n阶行列式，其 计 算 公 式 为 D = a 1 *A 1 + a 2 *A 2 + . . . + a n *A n ， 其 中 A1,A2,...,An为行列式中不同行不同列的元素构成的代数余子 式。
特点：适用于具有某种规律性的数列，如等差数列、等比数列等
应用：在高等代数行列式中，递推法可以用于计算行列式的值
注意事项：在使用递推法时，需要注意初始项和递推公式是否正确，以及递推的终止 条件是什么
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下特页点
结束
a11 a12 … a1n
a21
…
a22 … a2n … ……
=
(-1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn 。
an1 an2 … ann
n阶行列式共有n!项，且冠以正号的项和冠以负号的 项各占一半。
在行列式中，a1 j1 a2 j2 anjn 是取自不同行不同列
结束
例2．计算 n 阶下三角形行列式D的值： a11 0 0 … 0 a21 a22 0 … 0
D = a31 a32 a33 … 0 … … … …… an1 an2 an3 … ann
其中aii0(i=1, 2, , n)。
解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，
第一行只能取a11，第二行只能取a22，第三行只能取a33， ， 第 n 行只能取ann。 这样不为零的乘积项只有
结束
对换：
在一个排列i1isitin中，将两个数码 is与it对调， 就得到另一个排列 i1 it is in ，这样的变换称为一个 对换，记为对换(is , it)。
例如，排列 21354 经对换(1, 4)，得到排列24351。 提问：
排列 21354 经对换 (1, 4)，得到的排列是 24351， 排列的奇偶性有无变化？ 提示：
的 n 个元素的乘积。
a1 j1 a2 j2 anjn 之前的符号是 (-1) N(j1 j2 jn) 。
行列式有时简记为| a ij |。一阶行列式|a|就是a。
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四阶行列式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
线性代数-行列式(完整版)ppt课件
设 D
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
线性代数课件1-1-2n阶行列式的定义
线性代数课件1-1-2n阶行列式的 定义
• 引言 • n阶行列式的定义 • 特殊类型的n阶行列式 • n阶行列式的性质与运算 • n阶行列式的应用举例 • 课程小结与思考题
01
引言
行列式的起源与发展
最初形态
重要成果
行列式的概念最初起源于17世纪，由 日本数学家关孝和与德国数学家莱布 尼茨在解线性方程组时独立提出。
和，反映了方阵的线性变换性质。
03
n阶行列式可以用递归的方式定义，即n阶行列式可
以由n-1阶行列式表示。
n阶行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等。
互换行列式的两行（列），行列式变号。 行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列 式。
n阶行列式的性质
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
在行列式的发展过程中，涌现出了许多重 要的成果，如拉普拉斯定理、范德蒙德行 列式等，为线性代数的发展奠定了基础。
发展历程
经过多个世纪的发展，行列式逐渐从最 初的二阶、三阶形式扩展到n阶，同时 其性质和应用也得到了深入研究。
行列式在数学中的地位
基础工具
行列式是线性代数中的基础工具 之一，对于研究向量空间、矩阵 等概念具有重要意义。
上三角行列式
举例 $$begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}
上三角行列式
0 & a_{22} & cdots & a_{2n} vdots & vdots & ddots & vdots
上三角行列式
• 0 & 0 & \cdots & a_{nn}
• 引言 • n阶行列式的定义 • 特殊类型的n阶行列式 • n阶行列式的性质与运算 • n阶行列式的应用举例 • 课程小结与思考题
01
引言
行列式的起源与发展
最初形态
重要成果
行列式的概念最初起源于17世纪，由 日本数学家关孝和与德国数学家莱布 尼茨在解线性方程组时独立提出。
和，反映了方阵的线性变换性质。
03
n阶行列式可以用递归的方式定义，即n阶行列式可
以由n-1阶行列式表示。
n阶行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等。
互换行列式的两行（列），行列式变号。 行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列 式。
n阶行列式的性质
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
在行列式的发展过程中，涌现出了许多重 要的成果，如拉普拉斯定理、范德蒙德行 列式等，为线性代数的发展奠定了基础。
发展历程
经过多个世纪的发展，行列式逐渐从最 初的二阶、三阶形式扩展到n阶，同时 其性质和应用也得到了深入研究。
行列式在数学中的地位
基础工具
行列式是线性代数中的基础工具 之一，对于研究向量空间、矩阵 等概念具有重要意义。
上三角行列式
举例 $$begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}
上三角行列式
0 & a_{22} & cdots & a_{2n} vdots & vdots & ddots & vdots
上三角行列式
• 0 & 0 & \cdots & a_{nn}
线性代数基本知识-PPT精品文档
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3 5 2 A 1 0 1 2 3 1 i j A ( 1 ) 3 0 1 5 1 2 1 3 2 ij 2 0 2 1 5 1 3 3 1 2
上一页 下一页
a1n a2n ain ann
返回目录
补充：线性代数基础知识
判断A是否有逆矩阵： 若|A|=0，则称A为奇异方阵，没有逆阵； 若|A|≠0，则称A为非奇异方阵，有唯一的逆阵。
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补充：线性代数基础知识
§2 矩阵及其基本运算
矩阵的乘法
Cij等于左矩阵A的第i行各元素与右矩阵B的第j列
对应元素乘积之和。 必须：左矩阵A的列数=右矩阵B的行数。
2 A 1 3 3 2 1
8 7 6 1 2 3 3 0 3 B C AB 2 1 0 5 7 9
a 11 a 12 A a a a a 11 22 12 21 a a 21 22
用加减消元法，得
b 1 a 22 b 2 a 12 x1 a 11 a 22 a 12 a 21 b 2 a 11 b 1 a 21 x2 a 11 a 22 a 12 a 21
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a 11 a 21 A a n1
xj
Aj A
克莱姆法则：有n元线性 方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an2 x2 annxn bn
一、一般概念
行矩阵（行向量） 列矩阵（列向量） n×n阶矩阵（n阶方阵）
矩阵的相等 同阶矩阵A=(aij), B=(bij)； 当且仅当aij=bij时，A=B。
3 5 2 A 1 0 1 2 3 1 i j A ( 1 ) 3 0 1 5 1 2 1 3 2 ij 2 0 2 1 5 1 3 3 1 2
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判断A是否有逆矩阵： 若|A|=0，则称A为奇异方阵，没有逆阵； 若|A|≠0，则称A为非奇异方阵，有唯一的逆阵。
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补充：线性代数基础知识
§2 矩阵及其基本运算
矩阵的乘法
Cij等于左矩阵A的第i行各元素与右矩阵B的第j列
对应元素乘积之和。 必须：左矩阵A的列数=右矩阵B的行数。
2 A 1 3 3 2 1
8 7 6 1 2 3 3 0 3 B C AB 2 1 0 5 7 9
a 11 a 12 A a a a a 11 22 12 21 a a 21 22
用加减消元法，得
b 1 a 22 b 2 a 12 x1 a 11 a 22 a 12 a 21 b 2 a 11 b 1 a 21 x2 a 11 a 22 a 12 a 21
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a 11 a 21 A a n1
xj
Aj A
克莱姆法则：有n元线性 方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an2 x2 annxn bn
一、一般概念
行矩阵（行向量） 列矩阵（列向量） n×n阶矩阵（n阶方阵）
矩阵的相等 同阶矩阵A=(aij), B=(bij)； 当且仅当aij=bij时，A=B。
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8
例1 解线性方程组
x1 2 x1
2
x2 x2
x3 2, 3x3 1,
x1 x2 x3 0.
1 2 1
解 D 2 1 3 11 1 2 11 1 2 3
1 1 1
11 1 311 1 2 2 5 0,
2 2 1
D1 1 1 3 2 1 1 111 31 2 1 21 5,
线性代数（1）
第一讲
1
《线性代数与几何》序 言
4000年前，古巴比伦人会求解二元一次方程组。
2000多年前，《九章算术》中记载了求解含有三元一次方程组 的方法。
经过莱布尼兹，欧拉，高斯，柯西，维尔斯特拉斯，格拉斯 曼…几代数学家的努力，19世纪末建立起线性代数这门学科。
线性代数的研究范围由最初的线性方程组，扩展到行列式，矩 阵，线性变换，几何空间，向量空间，线性空间，二次型…
5
第一讲 排列与行列式的定义
用消元法解二元线性方程组
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
b1 a12 a11
2 a12 : a12a21x1 a12a22 x2 b2a12 ,
a31 a32 a33
列标 行标
a11 a12 a13 a11 a12
(1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
，x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
由方程组的四个系数确定, 定义
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
主对角线 系数行列式
副对角线
6
与二阶行列式的引入相同, 如果定义三阶行列式如下：
a11 a12 a13
D a21 a22 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
排列与排列的逆序数以及行列式的定义
定义1 由 1, 2, …, n 组成的有序数组称为一个 n 阶排列, 一般 记为: j1 j2 jn . 例如 12…n 是一个 n 阶排列, 叫自然排列, 有多少 n 阶排列?
定义2 在一个排列 j1 j2 jn中如果一个大数排在小数前面, 则 这两个数构成一个逆序. 一个排列的逆序总数叫逆序数, 记为:
(2)对角线法
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
注意： 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的 乘积冠以负号．
说明： 以上方法只适用于二阶与三阶行列式．
0 1 1
1 2 1
D2 2 1 3 11 1 1 2 3 11 1 1 2 2 10,
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1111 5,
1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1, x2
D2 D
2, x3
D3 D
1.
9
问题 怎样定义 n 阶行列式?
,
x2
D3 D
;
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
其中 D1 b2 a22 a 23 , D2 a21 b2 a 23 , D3 a21 a22 b 3 ,
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a31 a32 b3
7
a11 a12 a13
三阶行列式的计算 D a21 a22 a23
b2 a22 a21
两式相减消去 x2, 得 a11a22 a12a21 x1 b1a22 a12b2 ;
类似地, 消去 x1, 得 a11a22 a12a21 x2 a11b2 b1a21,
(1) (2)
b1 b2
(3) (4)
当 a11a22 a12a21 0 时, 得
x1
3
三、作业与考试
成绩 作业: 10%，每周一提交上周作业到相应的信箱
聂嘉明 njm13@ 负责电33,34,生医3班 荷二办公室信箱#21 张宁 n-zhang11@ 负责电31,32和其它同学 数学系信箱 #41
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
那么三元一次方程组
a11 a 21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a 23 x3
b1 b2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
当 D 0 时解为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
( j1 j2 jn ). 问题 怎样计算一个排列的逆序数. 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和, 即
为所求排列的逆序数. 也可分别计算出排列中每个元素后面 比它小的数码个数之和, 亦为所求排列的逆序数.
线性代数的概念和方法应用于数学的各个领域。
2
课程介绍
一、教材
俞正光，鲁自群，林润亮编，线性代数与几何，清华大学出版 社，2008.
二、教学与辅导
可在网络学堂下载本讲稿 欢迎网络学堂上提问讨论 答疑：第二周开始，周二、五下午3-5点；数学系A107 讨论课：5/7/9/11/13周，需要二次选课
机考: 20%，第7，11周末 期末: 70%
四、课程特点
内容抽象
概念多、符号多
计算原理简单但计算量大
证明简洁但技巧性强
应用广泛
4
五、学习中要注意的问题
不要急于求成, 不要急于做难题. 要分层次, 扎扎实实学习. 基本要求 提前预习, 体会思路, 掌握基本内容. 基本概念 （定义、符号） 基本结论 （定理、公式） 基本计算（计算行列式、解线性方程组、求逆矩阵等） 较高要求 多动手，勤思考，深入体会思想方法 自己动手推证书中每个结果 尽量体会结论、证明的思想方法 用自己喜欢的方式写出简要总结（包括习题中重要结论） 逐渐融会贯通 掌握代数课的基本规律