大学课程大一数学线性代数上册1.排列,行列式的定义课件

排列与排列的逆序数以及行列式的定义
定义1 由 1, 2, …, n 组成的有序数组称为一个 n 阶排列, 一般 记为: j1 j2 jn . 例如 12…n 是一个 n 阶排列, 叫自然排列, 有多少 n 阶排列?
定义2 在一个排列 j1 j2 jn中如果一个大数排在小数前面, 则 这两个数构成一个逆序. 一个排列的逆序总数叫逆序数, 记为:
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
那么三元一次方程组
a11 a 21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a 23 x3
b1 b2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
当 D 0 时解为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
线性代数（1）
第一讲
1
《线性代数与几何》序 言
4000年前，古巴比伦人会求解二元一次方程组。
2000多年前，《九章算术》中记载了求解含有三元一次方程组 的方法。
经过莱布尼兹，欧拉，高斯，柯西，维尔斯特拉斯，格拉斯 曼…几代数学家的努力，19世纪末建立起线性代数这门学科。
线性代数的研究范围由最初的线性方程组，扩展到行列式，矩 阵，线性变换，几何空间，向量空间，线性空间，二次型…
b2 a22 a21
两式相减消去 x2, 得 a11a22 a12a21 x1 b1a22 a12b2 ;
类似地, 消去 x1, 得 a11a22 a12a21 x2 a11b2 b1a21,
(1) (2)
b1 b2
(3) (4)
当 a11a22 a12a21 0 时, 得
x1
5
第一讲 排列与行列式的定义
用消元法解二元线性方程组
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
b1 a12 a11
2 a12 : a12a21x1 a12a22 x2 b2a12 ,
线性代数的概念和方法应用于数学的各个领域。
2
课程介绍
一、教材
俞正光，鲁自群，林润亮编，线性代数与几何，清华大学出版 社，2008.
二、教学与辅导
可在网络学堂下载本讲稿 欢迎网络学堂上提问讨论 答疑：第二周开始，周二、五下午3-5点；数学系A107 讨论课：5/7/9/11/13周，需要二次选课
,
x2
D3 D
;
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
其中 D1 b2 a22 a 23 , D2 a21 b2 a 23 , D3 a21 a22 b 3 ,
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a31 a32 b3
7
a11 a12 a13
三阶行列式的计算 D a21 a22 a23
( j1 j2 jn ). 问题 怎样计算一个排列的逆序数. 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和, 即
为所求排列的逆序数. 也可分别计算出排列中每个元素后面 比它小的数码个数之和, 亦为所求排列的逆序数.
0 1 1
1 2 1
D2 2 1 3 11 1 1 2 3 11 1 1 2 2 10,
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1111 5,
1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1, x2
D2 D
2, x3
D3 D
1.
9
问题 怎样定义 n 阶行列式?
8
例1 解线性方程组
x1 2 x1
2
x2 x2
x3 2, 3x3 1,
x1 x2 x3 0.
1 2 1
解 D 2 1 3 11 1 2 11 1 2 3
1 1 1
11 1 311 1 2 2 5 0,
2 2 1
D1 1 1 3 2 1 1 111 31 2 1 21 5,
3
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三、作业与考试
成绩 作业: 10%，每周一提交上周作业到相应的信箱
聂嘉明 njm13@mails.tsinghua.edu.cn 负责电33,34,生医3班 荷二办公室信箱#21 张宁 n-zhang11@mails.tsinghua.edu.cn 负责电31,32和其它同学 数学系信箱 #41
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
，x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
由方程组的四个系数确定, 定义
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
主对角线 系数行列式
副对角线
6
与二阶行列式的引入相同, 如果定义三阶行列式如下：
a11 a12 a13
D a21 a22 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
(2)对角线法
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
注意： 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的 乘积冠以负号．
说明： 以上方法只适用于二阶与三阶行列式．
a31 a32 a33
列标 行标
a11 a12 a13 a11 a12
(1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
机考: 20%，第7，11周末 期末: 70%
四、课程特点
内容抽象
概念多、符号多
计算原理简单但计算量大
证明简洁但技巧性强
应用广泛
4
五、学习中要注意的问题
不要急于求成, 不要急于做难题. 要分层次, 扎扎实实学习. 基本要求 提前预习, 体会思路, 掌握基本内容. 基本概念 （定义、符号） 基本结论 （定理、公式） 基本计算（计算行列式、解线性方程组、求逆矩阵等） 较高要求 多动手，勤思考，深入体会思想方法 自己动手推证书中每个结果 尽量体会结论、证明的思想方法 用自己喜欢的方式写出简要总结（包括习题中重要结论） 逐渐融会贯通 掌握代数课的基本规律