第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
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7
当拉、压杆有二个以上的外力作用时，需要先画 出轴力图，然后上面的公式分段计算各段的变形，各 段变形的代数和即为杆的总伸长量(或压缩量)：
l
i
FNili
EAi
8
2. 相对变形、正应变
对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长 量表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变：
FN l
x
l l
f 这就是卸载定律。
材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
d g
o
f h
1、弹性范围内卸载、再加载 2、过弹性范围卸载、再加载
24
韧性材料拉伸时的力学性能
四
对于没有明显屈
服阶段的塑性材料，
形形式
拉压杆：以轴线拉压为主要变形的杆件
拉伸
压缩
F
FF
F
杆的受力简图为 3
√
4
6.1.1 应力计算
在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长 或缩短变形，因此根据材料均匀性的假定，杆件横截 面上的应力均匀分布。 这时横截面上的正应力为
FN
A
5
FN
A
该式为横截面上的正应力σ计
算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
2Fp
Fp
Fp
Fp
Fp
Fp
2Fp
Fp
Fp Fp
13
2. 计算直杆横截面上绝对值最大的正应力
横截面上绝对值最大的正应力将发生在轴力绝对值最 大的横截面上，或者横截面面积最小的横截面上 。
1 N 1Pa 106 MPa 109 MPa m2
1N 103 kN 106 MN
1m 10dm 100cm 1000mm 106 m
第六章 拉压杆件的应力变形与强度的设计
主讲教师：毛卫国 单 位：材料与光电物理学院
1
6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形
承受轴向拉(压)杆在工程中的应用非常广泛。
2
特点：
外力特征：外力或其合力的作用线通过横截面
的形心，并且沿杆件轴线
变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 轴向拉压：以轴向伸长或缩短为主要特征的变
e
b
b
e P
a c s
o
明显的四个阶段
2、屈服阶段bc（失去抵
f 抗变形的能力）
s — 屈服极限 3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力） b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
1、弹性阶段ob P — 比例极限
e — 弹性极限
E E tan
22
材料拉伸时的力学性能
0
两个塑性指标:
PB
PC
PD
N1
A
BC
D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
Fx 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P
16
N2 同理，求得AB、BC 、CD段内力分别为：
N2= –3P N3= 5P N4= P
轴力图如右图 N 2P + – 3P
EA AD EA DE EA EB EA BC
......
1.2 106 m 0.6 106 m 0.286 106 m 0.875106 m
1.211106 m
15
补充Baidu Nhomakorabea题：
图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、P 的力，方向 如图，试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
PA
圣 文 南 原 理
6
6.1.2 变形计算
1. 绝对变形、弹性模量
在弹性范围内，杆的伸长量与杆所受的轴向载荷成正比：
l FNl EA
EA为杆件的拉伸(压缩)刚度 (tensile compression rigidity)
这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形 的胡克定律(Hooke law)。
2. 计算各杆的应力
应用公式： FN
A
19
6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能
进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制 成标准试样(standard specimen)；然后将试样安装在试验 机上，使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的 加载过程， 试验机自动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应 变的关系曲线，称为应力-应变曲线(stress-strain curve)。
EA l
E
注意：
这是单向拉伸的
应力应变关系。
l FNl EA
只适用于各处均
匀变形的情形。
FN
A
9
而对于各处变形不均匀的情况，会是怎么样的呢？
我们考察杆内某一微段dx的相对变形
FN dx
x
dx dx
EA(x) x
dx E
无论变形是否均匀，正 应力与正应变之间的关 系都是相同的。
10
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
17
FNBD
FNCD
F’NBD
FNBD
Fx 0
Fy 0 FN' BD sin 45o FP 0
F' NBD
FNBD
2FP 31.40kN
F ' NBD
cos 45o
FNCD
0
FNCD FP 22.2kN
FP 18
14
3. 计算直杆的总变形量
直杆的总变形量等于各段杆变形量的代数和 。
由于各段材料存在差异，以及各段内的应力也存在差异， 所以要分段计算变形。
l i
FNi li EA i
lAD
lDE lEB
lBC
FNADlAD FNDElDE FNEBlEB FNBClBC
20
不同的材料，其应力—应变曲线有很大的差异。 典型的韧性材料(ductile materials)——低碳钢的拉伸应力—应变曲线 典型的脆性材料(brittle materials)——铸铁的拉伸应力—应变曲线。 通过分析拉伸应力一应变曲线，可以得到材料的若干力学性能指标。
21
6.3.2 韧性材料拉伸时的力学性能
3. 横向变形、泊松比
横向变形与轴向变形之间存在下列关系：
v y
x
v y x
横向变形 轴向变形
V为泊松比(Poisson ratio)
11
例题6-1
要注意各个外 力的作用点！
1. 作轴力图 由于杆件内材料不同，且各处受力载荷也不同，
所以应该首先确定各段杆的横截面上的轴力。
12
0
AD段 2Fp DE段 2Fp EB段 2Fp BC段 2Fp
断后伸长率 l1 l0 100% 断面收缩率 A0 A1 100%
l0
A0
5% 为塑性材料 5% 为脆性材料
低碳钢的 20 — 30% 60% 为塑性材料
23
韧性材料拉伸时的力学性能
三 卸载定律及冷作硬化
e
d
b
b
e P
a c s
即材料在卸载过程中 应力和应变是线形关系，
当拉、压杆有二个以上的外力作用时，需要先画 出轴力图，然后上面的公式分段计算各段的变形，各 段变形的代数和即为杆的总伸长量(或压缩量)：
l
i
FNili
EAi
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2. 相对变形、正应变
对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长 量表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变：
FN l
x
l l
f 这就是卸载定律。
材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
d g
o
f h
1、弹性范围内卸载、再加载 2、过弹性范围卸载、再加载
24
韧性材料拉伸时的力学性能
四
对于没有明显屈
服阶段的塑性材料，
形形式
拉压杆：以轴线拉压为主要变形的杆件
拉伸
压缩
F
FF
F
杆的受力简图为 3
√
4
6.1.1 应力计算
在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长 或缩短变形，因此根据材料均匀性的假定，杆件横截 面上的应力均匀分布。 这时横截面上的正应力为
FN
A
5
FN
A
该式为横截面上的正应力σ计
算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
2Fp
Fp
Fp
Fp
Fp
Fp
2Fp
Fp
Fp Fp
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2. 计算直杆横截面上绝对值最大的正应力
横截面上绝对值最大的正应力将发生在轴力绝对值最 大的横截面上，或者横截面面积最小的横截面上 。
1 N 1Pa 106 MPa 109 MPa m2
1N 103 kN 106 MN
1m 10dm 100cm 1000mm 106 m
第六章 拉压杆件的应力变形与强度的设计
主讲教师：毛卫国 单 位：材料与光电物理学院
1
6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形
承受轴向拉(压)杆在工程中的应用非常广泛。
2
特点：
外力特征：外力或其合力的作用线通过横截面
的形心，并且沿杆件轴线
变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 轴向拉压：以轴向伸长或缩短为主要特征的变
e
b
b
e P
a c s
o
明显的四个阶段
2、屈服阶段bc（失去抵
f 抗变形的能力）
s — 屈服极限 3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力） b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
1、弹性阶段ob P — 比例极限
e — 弹性极限
E E tan
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材料拉伸时的力学性能
0
两个塑性指标:
PB
PC
PD
N1
A
BC
D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
Fx 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P
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N2 同理，求得AB、BC 、CD段内力分别为：
N2= –3P N3= 5P N4= P
轴力图如右图 N 2P + – 3P
EA AD EA DE EA EB EA BC
......
1.2 106 m 0.6 106 m 0.286 106 m 0.875106 m
1.211106 m
15
补充Baidu Nhomakorabea题：
图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、P 的力，方向 如图，试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
PA
圣 文 南 原 理
6
6.1.2 变形计算
1. 绝对变形、弹性模量
在弹性范围内，杆的伸长量与杆所受的轴向载荷成正比：
l FNl EA
EA为杆件的拉伸(压缩)刚度 (tensile compression rigidity)
这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形 的胡克定律(Hooke law)。
2. 计算各杆的应力
应用公式： FN
A
19
6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能
进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制 成标准试样(standard specimen)；然后将试样安装在试验 机上，使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的 加载过程， 试验机自动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应 变的关系曲线，称为应力-应变曲线(stress-strain curve)。
EA l
E
注意：
这是单向拉伸的
应力应变关系。
l FNl EA
只适用于各处均
匀变形的情形。
FN
A
9
而对于各处变形不均匀的情况，会是怎么样的呢？
我们考察杆内某一微段dx的相对变形
FN dx
x
dx dx
EA(x) x
dx E
无论变形是否均匀，正 应力与正应变之间的关 系都是相同的。
10
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
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FNBD
FNCD
F’NBD
FNBD
Fx 0
Fy 0 FN' BD sin 45o FP 0
F' NBD
FNBD
2FP 31.40kN
F ' NBD
cos 45o
FNCD
0
FNCD FP 22.2kN
FP 18
14
3. 计算直杆的总变形量
直杆的总变形量等于各段杆变形量的代数和 。
由于各段材料存在差异，以及各段内的应力也存在差异， 所以要分段计算变形。
l i
FNi li EA i
lAD
lDE lEB
lBC
FNADlAD FNDElDE FNEBlEB FNBClBC
20
不同的材料，其应力—应变曲线有很大的差异。 典型的韧性材料(ductile materials)——低碳钢的拉伸应力—应变曲线 典型的脆性材料(brittle materials)——铸铁的拉伸应力—应变曲线。 通过分析拉伸应力一应变曲线，可以得到材料的若干力学性能指标。
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6.3.2 韧性材料拉伸时的力学性能
3. 横向变形、泊松比
横向变形与轴向变形之间存在下列关系：
v y
x
v y x
横向变形 轴向变形
V为泊松比(Poisson ratio)
11
例题6-1
要注意各个外 力的作用点！
1. 作轴力图 由于杆件内材料不同，且各处受力载荷也不同，
所以应该首先确定各段杆的横截面上的轴力。
12
0
AD段 2Fp DE段 2Fp EB段 2Fp BC段 2Fp
断后伸长率 l1 l0 100% 断面收缩率 A0 A1 100%
l0
A0
5% 为塑性材料 5% 为脆性材料
低碳钢的 20 — 30% 60% 为塑性材料
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韧性材料拉伸时的力学性能
三 卸载定律及冷作硬化
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即材料在卸载过程中 应力和应变是线形关系，