二次函数的翻折规律和题目
二次函数经典例题 (365)
二次函数经典例题44．将函数y＝﹣x2+2x+m（0≤x≤4）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，在x轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为（）A．2.5B．3C．3.5D．4【解答】解：如下图，函数y＝﹣x2+2x+m的对称轴为x＝1，故顶点P的坐标为（1，m+1），令y＝0，则x＝1±√m+1，设抛物线于x轴右侧的交点A（1+√m+1，0），根据点的对称性，图象翻折后图象关于x轴对称，故翻折后的函数表达式为：﹣y′＝﹣x2+2x+m，当x＝4时，y′＝8﹣m，当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可；①当点A在直线x＝4的左侧时（直线n所处的位置），即1+√m+1＜4，解得：m＜8；当函数在点P处取得最大值时，即m+1≥8﹣m，解得：m≥3.5，当m＝3.5时，此时最大值最小为3.5；当函数在x＝4处取得最大值时，即m+1≤8﹣m，解得：m≤3.5，m最大为3.5时，此时最大值为m+1＝4.5，故m＝3.5；②当点A在直线x＝4的右侧时（直线m所处的位置），即1+√m+1＞4，解得：m＞8；函数的最大为m+1＞9＞3.5；综上，m＝3.5，故选：C．45．将抛物线y =−13x 2−13x +2（x ≤0）沿y 轴对折，得到如图所示的“双峰”图象．若直线y ＝x +b 与该“双峰”图象有三个交点时，b 的值为（ ）A ．2，73B ．2C ．73D ．0 【解答】解：将抛物线y =−13x 2−13x +2（x ≤0）沿y 轴对折，得到抛物线为y =−13x 2+13x +2（x ＞0），由抛物线y =−13x 2−13x +2（x ≤0）可知抛物线与y 轴的交点为（0，2），把点（0，2）代入y ＝x +b 求得b ＝2，由−13x 2+13x +2＝x +b 整理得x 2+2x +3b ﹣6＝0，当△＝4﹣4（3b ﹣6）＝0，即b =73时，直线y ＝x +b 与该“双峰”图象有三个交点， 由图象可知若直线y ＝x +b 与该“双峰”图象有三个交点时，b 的值是2和73， 故选：A ．。
二次函数翻折用顶点
二次函数翻折用顶点一、什么是二次函数翻折用顶点？顶点是二次函数图像的最高点或最低点，也是二次函数的一个重要特征。
二次函数的标准形式为：y=ax^2+bx+c (a≠0)。
其中，a、b、c分别为二次函数的系数。
在这个函数中，x的系数为正时，二次函数开口向上，顶点为图像的最低点；x的系数为负时，二次函数开口向下，顶点为图像的最高点。
顶点的横标记为x_0，纵标记为y_0，来表示顶点的坐标。
二、如何求解二次函数的顶点？求解二次函数的顶点需要使用一定的数学方法。
具体而言，可以通过以下步骤求得：1.将二次函数表示为标准形式。
2. 使用公式 x_0=-\frac{b}{2a} 求解顶点的横标。
3.将横标代入函数中，计算得到纵标y_0，即为顶点的纵标。
三、二次函数顶点的性质有哪些？二次函数的顶点具有以下一些性质：1.顶点为二次函数图像的最高点或者最低点。
2. x_0=-\frac{b}{2a} 为顶点的横标，即为图像的对称轴。
3. 顶点的纵标 y_0 是二次函数 y=ax^2+bx+c 的最小值或最大值。
4.当a>0时，二次函数开口向上，顶点为函数图像的最低点；当a<0时，二次函数开口向下，顶点为函数图像的最高点。
5.顶点与x轴的交点为二次函数的最值点。
四、二次函数翻折用顶点的应用举例下面通过一些例题，具体说明二次函数翻折用顶点的应用。
例题1：已知二次函数y=3(x-2)^2-1，求函数的顶点坐标。
求解过程：1.将函数表示为标准形式：y=3x^2-12x+112. 横标 x_0 的计算公式为：x_0=-\frac{-12}{2 \cdot 3}=23.将x_0=2代入函数，求解纵标y_0：y_0=3 \cdot 2^2 -12 \cdot 2 +11=3 \cdot 4 -24 +11=3所以，该二次函数的顶点坐标为(2,3)。
例题2：已知二次函数的顶点为(1,-4)，求解对应的二次函数方程。
求解过程：1.设二次函数的系数为a、b、c，代入顶点坐标得到方程：y=a(x-1)^2-42. 展开式为：y=ax^2-2ax+a-43.对比展开式和二次函数的标准形式得到：a=1、b=-2a=-2、c=a-4所以，对应的二次函数方程为y=x^2-2x-3例题3：已知二次函数的顶点为(-2,5)，且函数过点(1,10)，求解对应的二次函数方程。
二次函数图像的变化规律及应用
二次函数图像的变化规律及应用引言：二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的图像呈现出一种独特的形态，具有丰富的变化规律和广泛的应用。
本文将从图像的变化规律和应用两个方面，对二次函数进行深入的探讨。
一、图像的变化规律1. 平移变换二次函数的图像可以通过平移变换而得到不同的形态。
平移变换是指在坐标平面上将图像整体向左、右、上、下平移的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当平移向右时，a保持不变，b不变，c减小；当平移向左时，a保持不变，b不变，c增大；当平移向上时，a增大，b不变，c增大；当平移向下时，a减小，b不变，c减小。
通过平移变换，我们可以观察到二次函数图像在平面上的移动轨迹，进而掌握其变化规律。
2. 缩放变换缩放变换是指在坐标平面上将图像整体放大或缩小的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当缩放因子为k时，a不变，b不变，c增大（或减小）k倍。
缩放变换可以改变二次函数图像的大小和形状，通过观察不同缩放因子下的图像，我们可以总结出二次函数图像的缩放规律。
3. 翻折变换翻折变换是指在坐标平面上将图像关于某一直线进行对称的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当翻折轴为x轴时，a不变，b变号，c不变；当翻折轴为y轴时，a变号，b不变，c不变；当翻折轴为直线x=k时，a不变，b变号，c变号。
翻折变换可以改变二次函数图像的位置和形状，通过观察不同翻折轴下的图像，我们可以总结出二次函数图像的翻折规律。
二、图像的应用1. 最值问题二次函数的图像呈现出一个开口朝上或朝下的抛物线形态，通过观察图像的顶点，我们可以得出二次函数的最值。
当抛物线开口朝上时，顶点为最小值；当抛物线开口朝下时，顶点为最大值。
最值问题在实际应用中有广泛的应用，例如在物理学中，我们可以通过最值问题求解物体的最高点或最低点。
2. 零点问题二次函数的图像与x轴的交点称为零点，也叫根或解。
通过观察图像与x轴的交点，我们可以求解二次函数的零点。
专题05二次函数中的平移、旋转、对称(五大题型)解析版
专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k 均变号沿x 轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k 变号，h 不变沿y 轴翻折y=a(x+h)²+ka、h 不变，h 变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)y ax bx a a=+-<与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）．（2）当B 的纵坐标为3时，求a 的值；（3）已知点11(,2P a-，(2,2)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，请结合函数图象求出a 的取值范围．【分析】（1）令0x =，求出点A 坐标根据平移得出结论；（2）将B 的纵坐标为3代入求出即可；（3）由对称轴为直线1x =得出212y ax ax a =--，当2y =时，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，结合图象得出结论；【解答】解：（1）在21(0)y ax bx a a =+-<中，令0x =，则1y a =-，∴1(0,)A a-，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，则1(2,)B a-．（2）B 的纵坐标为3，∴13a-=，∴13a =-．（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，2b a ∴=-，∴212y ax ax a=--，当2y =时，2122ax ax a=--，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，当|1|2a a a -+≤时，结合函数图象可得12a ≤-，抛物线与PQ 恰有一个公共点，综上所述，a 的取值范围为12a ≤-．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．（2）根据抛物线2C 的顶点坐标在原点上可设其解析式为2y ax =，然后将点A 的坐标代入求得2C 的解析式，于是可设B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，利用4ABO OBN OAM ABNM S S S S ∆∆∆=--=梯形可求得t 的值，于是可求得点B 的坐标．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立抛物线与直线1l 的方程可得出12x x k +=-，124x x =-．再利用直线2l 、直线3l 分别与抛物线相切可求得直线2l 、直线3l 的解析式，再联立组成方程组可求得交点P 的纵坐标为一定值，于是可说明点P 在一条定直线上．【解答】解：（1）抛物线1C 的对称轴为：212ax a=-=-．故答案为：1x =-．故答案为：1x =-．（2） 抛物线1C 平移到顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，∴可设抛物线2C 的解析式为：2y ax = 点(2,2)A --有抛物线2C 上，22(2)a ∴-=⋅-，解得：12a =-．∴抛物线2C 的解析式为：212y x =-．点B 在抛物线2C 上，且在点A 的左侧，∴设点B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，如图，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点M 、N ．ABO OBN OAM ABNMS S S S ∆∆∆=-- 梯形2211111()()22(2)(2)22222t t t t =⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯--32311122424t t t t =--++++212t t =+，又4ABO S ∆=，∴2142t t +=，解得：13t +=±，4(2t t ∴=-=不合题意，舍去），则2211(4)822t -=-⨯-=-，(4,8)B ∴--．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组：2122y xy kx ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得：2240x kx +-=，122x x k ∴+=-，124x x =-．设过点M 的直线解析式为y mx n =+，联立得方程组212y xy mx n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，整理得2220x mx n ++=．①过点M 的直线与抛物线只有一个公共点，∴△2480m n =-=，∴212n m =．∴由①式可得：221112202x mx m ++⨯=，解得：1m x =-．∴2112n x =．∴过M 点的直线2l 的解析式为21112y x x x =-+．用以上同样的方法可以求得：过N 点的直线3l 的解析式为22212y x x x =-+，联立上两式可得方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1212212x x x y x x +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，12x x k +=- ，124x x =-．∴(,2)2k P -∴点P 在定直线2y =上．（如图）【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求解；（Ⅱ）根据抛物线的顶点式即可求得；（Ⅲ）利用平移的规律即可求得．【解答】解：（1） 抛物线21y ax bx =+-经过(2,3)，(1,0)两个点，∴421310a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21y x =-；（Ⅱ） 抛物线21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,1)-，故答案为：(0,1)-；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线2(1)12y x =---，即2(1)3y x =--．故答案为：2(1)3y x =--．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m的值．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，然后切成直线BC 的解析式，求出点D 的坐标，再根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+求出ABC ∆的面积；（3）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B 关于对称轴的对称点B '，求出BB '的长度即可；【解答】解：（1）把(1,2)B -，(3,0)C 代入23y ax bx =++，则933032a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为211322y x x =-++；（2） 抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，(0,3)A ∴，设直线BC 的解析式为y kx n =+，把(1,2)B -，(3,0)C 代入y kx n =+得230k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得1232k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+，设BC 交y 于点D，如图：则点D 的坐标为3(0,)2，33322AD ∴=-=，113()(31)3222ABC ABD ACD C B S S S AD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+=，（3）211322y x x =-++ ，∴对称轴为直线122b x a =-=，令B 点关于对称轴的对称点为B '，(2,2)B ∴'，3BB ∴'=，抛物线向左平移(0)m m >个单位经过点B ，3m ∴=．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）化成顶点是即可求解；（2）根据平移的规律得到2(1)4y x m =-+-+，把原点代入即可求得m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+- ，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)--．（2）该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为2(1)4y x m =+--， 新抛物线经过原点，20(01)4m ∴=+--，解得3m =或1m =-（舍去），3m ∴=，故m 的值为3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．【分析】（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式即可求出b 、c 值，再转化为顶点式即可；（2）根据抛物线平移规则“左加右减”得到2y 解析式，令20y =求出与x 轴的交点坐标即可；（3）利用待定系数法求出直线AB 解析式，再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式，联立消去y ，根据判别式为0解出n 值即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式得：2022b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得11b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2219212()48y x x x =+-=+-．∴抛物线解析式为：21192()48y x =+-．（2）将二次函数1y 向左平移1个单位，得函数22592()48y x =+-，令20y =，则2592(048x +-=，解得112x =-，22x =-，∴平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为1(2-，0)(2-，0)．故答案为：22592()48y x =+-，1(2-，0)(2-，0)．（3）设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，点(1,2)B 代入得：02k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为：1y x =+．将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后的解析式为1y x n =+-，与函数2y 联立消去y 得：2592(148x x n +-=+-，整理得：22410x x n +++=，直线AB 与抛物线有唯一交点，△1642(1))0n =-⨯+=，解得1n =．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．【分析】（1）由题意可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再代入B 的坐标求解即可．【解答】解：（1）令0x =，则1222y x =-+=，(0,2)B ∴，令0y =，则1202y x =-+=，解得4x =，(4,0)A ∴，抛物线2y x mx =-+经过点A ，1640m ∴-+=，解得4m =，∴二次函数的表达式为24y x x =-+；（2）224(2)4y x x x =-+=--+ ，∴抛物线向左平移n 个单位后得到2(2)4y x n =--++，经过点(0,2)B ，22(2)4n ∴=--++，解得2n =±，故n 的值为2-2+【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．【解答】解：（1）把(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -代入2y ax bx c =++，得：4239366a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为223y x x =-+；（2）若将该二次函数2y ax bx c =++图象平移后经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，设平移后的二次函数的解析式为2(4)y x k =-+，将点(5,0)D 代入2(4)y x k =-+，得2(54)0k -+=，解得，1k =-．∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为22(4)1815y x x x =--=-+．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线y x m =+的解析式，然后代入点B 判断即可；（3）设平移后的抛物线为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，根据题意得出2221511()24n p q p p p =-++=-++=-++，得出n 的最大值．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ，∴12421b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：221y x x =-++；（2）点B 不在直线y x m =+上，理由：直线y x m =+经过点A ，12m ∴+=，1m ∴=，1y x ∴=+，把2x =代入1y x =+得，3y =，∴点(2,1)B 不在直线y x m =+上；（3）∴平移抛物线221y x x =-++，使其顶点仍在直线1y x =+上，设平移后的抛物线的解析式为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +， 顶点仍在直线1y x =+上，11p q ∴+=+，p q ∴=，抛物线2()1y x p q =--++与y 轴的交点的纵坐标为21n p q =-++，2221511(24n p q p p p ∴=-++=-++=-++，∴当12p =-时，n 有最大值为54．54n ∴ ．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可．（2）将抛物线与x 轴的交点平移到原点即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，2222462(21)82(1)8y x x x x x =+-=++-=+-，所以抛物线的顶点坐标为(1,8)--．（2）令0y =得，22460x x +-=，解得11x =，23x =-．又因为将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以30m -+=，解得3m =．故m 的值为3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，绝对值，再算乘法，最后算加减法即可求解；（2）①把1x =分别代入代数式A ，B 即可求得；②根据代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1，即可得出二次函数A 、B 平移的规律是向右平移1个单位，据此即可得出代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3的P 的代数式．【解答】解：（1）原式19(5)2=-+--⨯19(10)=-+--1910=-++18=；（2）任务一：将1x =代入2212A x x =+-=；代入2(1)2(1)11B x x =-+--=-，故答案为：①2，②1-；任务二：将代数式A ，B 变形，得到2(1)2A x =+-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象向右平移1个单位（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式22(13)2(2)2P x x =+--=--．故答案为：①2；②1-；③1x +；④向右平移1个单位；⑤2(2)2P x =--．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，能够准确地列出解析式，并进行求解即可．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y时，直接写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|21)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①由图象可知，当函数值为1-时，直线1y =-与图象交点的横坐标就是方程2(||1)1x --=-的解．故答案为：2x =-或0x =或2x =．（2）问题解决：①若方程2(|1)x a --=有四个实数根，由图象可知a 的取值范围是10a -<<．故答案为：10a -<<．②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以12340x x x x +++=．故答案为：0．（3）拓展延伸：①将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，②当123y 时，自变量x 的取值范围是04x ．故答案为：04x．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．【分析】（1）根据对称轴公式以及当1x =时2y =，用待定系数法求函数解析式；（2）根据（1）可知抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，再由平移性质得出抛物线1C 解析式，然后把点(,1)c 代入抛物线1C ，再根据方程有解得出m 的取值范围；（3）先求出抛物线2C 解析式，再求出A ，B ，C ，D 坐标，然后求值即可．【解答】解：（1）由题意得，1212aa b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得23a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，将其向下平移m 个单位得到抛物线1C ，∴抛物线1C 的解析式为2(1)2y x m =-+-，存在点(,1)c 在1C 上，2(1)21c m ∴-+-=，即2(1)1c m -=-有实数根，10m ∴- ，解得1m，m ∴的取值范围为1m；（3） 抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，2(13)2k ∴-+=，解得2k =-，∴抛物线2C 的解析式为2(3)2y x =--，把(2)y n n =>代入到2(1)2y x =-+中，得2(1)2n x =-+，解得1x =1x =(1A ∴-，)n ，(1B +)n ，把(2)y n n =>代入到2(3)2y x =--中，得2(3)2n x =--，解得3x =或3x =+(3C ∴)n ，(3D +，)n ，(3(12AD ∴=+--=+，(1(32BC =+--=-+，(2(24AD BC ∴-=+--+=．【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x -时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，求m 的值．【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出1x =-及3x =时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)2y x m l =---，利用二次函数的性质，当25m +>，此时5x =时，5y =，即(52)215m ---=，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)21y x m =-+-，利用二次函数的性质得到2m l -<，此时1x =时，5y =，即(12)215m ---=，然后分别解关于m 的方程即可．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)，∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）当1x =-时，1438y =++=，当3x =时，91230y =-+=，2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴函数图象的顶点坐标为(2,1)-，∴当13x -时，y 的取值范围是18y - ；（3）设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =--21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，25m ∴+>，即3m >，此时5x =时，5y =，即(52)m --215-=，解得13m =+，23m =-（舍去）；设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =-+21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，21m ∴-<，即1m >，此时1x =时，5y =，即2(12)15m ---=，解得11m =-+，21m =--（舍去），综上所述，m 的值为3+1+【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x - 时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．【分析】（1）把(1,3)代入抛物线解析式求得c 的值；根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标；（2）根据抛物线的性质知：当0x =时，1y 有最大值为4，当3x =-时，1y 有最小值为5-．然后求1y 的最大值与最小值的和；（3）根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线2y 的函数解析式；然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答：当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．【解答】解：（1）抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)，∴当0x =时，2113y c =-+=，解得4c =．∴214y x =-+．顶点坐标为(0,4)；（2）10-< ，∴抛物线开口向下．当0x =时，1y 有最大值为4．当3x =-时，21(3)45y =--+=-．当12x =时，21115()424y =-+=．∴当3x =-时，1y 有最小值为5-．∴最大值与最小值的和为4(5)1+-=-；（3）由题意知，新抛物线2y 的顶点为(,42)m m +，∴22()42y x m m =--++．当12y y =时，22()424x m m x --++=-+，化简得：2220mx m m -+=．又0m > ，∴112x m =-．∴2211(1)4(2)424y m m =--+=--+．当21(2)404m --+=时，解得12m =-；26m =， 104-<，∴抛物线开口向下．当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．∴综上所述2213,06413,64m m m n m m m ⎧-++<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ （或21|(2)4|)4n m =--+．当26m <<时，n 随m 的增大而减小．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法．难度偏大．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E ，F 坐标，再利用四边形ACDE 的面积DFC EFCA S S ∆=+平行四边形解答即可；②依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E 坐标和线段DE ，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ ，则结论可求．【解答】解：（1） 抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，经过点(3,0)C ，∴229330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为243y x x =-+；（2）①2243(2)1y x x x =-+=-- ，(2,1)A ∴-．设抛物线的对称轴交x 轴于点G ，1AG ∴=．令0x =，则3y =，(0,3)D ∴，3OD ∴=．令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，(1,0)B ∴．如果//DE AC ，需将抛物线向左平移，设DE 交x 轴于点F ，平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H ，如图， 点C 的坐标为(3,0)，3OC ∴=．由题意：45ACB ∠=︒，//DE AC ，45DFC ACB ∴∠=∠=︒．3OF OD ∴==，(3,0)F ∴-，由题意：1EH =，1FH EH ∴==，(4,1)E ∴--．//AE x 轴，//DE AC ，∴四边形EFCA 为平行四边形，2(4)6AE =--= ，616EFCA S ∴=⨯=平行四边形．1163922DFC S FC OD ∆=⨯⋅=⨯⨯= ，∴四边形ACDE 的面积6915DFC EFCA S S ∆=+=+=平行四边形；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，DQE CDQ ∠=∠，如图，当点Q 在x 轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x 轴于F ，由题意：1EF =．3OD OC == ，45ODC OCD ∴∠=∠=︒，45FCE OCD ∴∠=∠=︒，1CF EF ∴==，(4,1)E ∴-．CD ==，CE ==DE CD CE ∴=+=DQE CDQ ∠=∠ ，EQ DE ∴==1QF EF EQ ∴=+=，(4,1)Q ∴-；当点Q 在x 轴的上方时，此时为点Q '，DQ E CDQ ∠'=∠' ，EQ DE ∴'==，1Q F EQ EF ∴'='-=，(4Q ∴'，1)-．综上，当DQE CDQ ∠=∠时，点Q 的坐标为(4,1)--或(4，1)-．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，即可求解；（2）求出平移后的抛物线的顶点(1,5)m -，再求出直线AC 的解析式4y x =-，当顶点在直线AC 上时，2m =，当M 点在AB 上时，4m =，则24m <<；（3）设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，分三种情况讨论：当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，Q 点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，Q 点横坐标为2；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，Q点横坐标为3【解答】解：（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，∴4931c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得24b c =-⎧⎨=-⎩，224y x x ∴=--，2224(1)5y x x x =--=-- ，∴顶点(1,5)M -；（2）由题可得平移后的函数解析式为2(1)5y x m =--+，∴抛物线的顶点为(1,5)m -，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴431b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，当顶点在直线AC 上时，53m -=-，2m ∴=，//AB x 轴，(1,1)B ∴--，当M 点在AB 上时，51m -=-，4m ∴=，24m ∴<<；（3）存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，点E 在点C 下方，4t ∴<-，Q点在第四象限，01q ∴<<，①当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，∴22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，解得334q p t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（舍)或116p q t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，∴22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，解得222q p t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为2，不符合题意；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，∴222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，解得332p q t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-+⎪⎩（舍)或332p q t ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩，Q ∴点横坐标为3-综上所述：Q 点横坐标为1或3-【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出6y =时，对应的x 值，再结合图象写出x 的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)3y x =--，根据题意可知3x =时，P 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上，再求m 的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上时，设2(,1233)Q t t t -+，由212(1233)92OAQ S t t ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,41)Q m m m -+，由212(41)92OAQ S m m ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可．【解答】解：（1）(2,1)C -，故答案为：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）243y x x =-+ ，∴当2436x x -+=时，解得2x =2x =-∴当6y <时，22x <<+，故答案为：22x -<<+；（3）2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)1y x =--，当3x =时，点P 在抛物线2(6)1y x =--的部分上，8m ∴=；（4）存在点Q ，使得9OAQ S ∆=，理由如下：当Q 点在抛物线2(6)1y x =--的部分上时，设2(,1235)Q t t t -+，212(1235)92OAQ S t t ∆∴=⨯⨯-+=，解得6t =+6t =，4t ∴<，6t ∴=-(6Q ∴-，9)；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,43)Q m m m -+，212(43)92OAQ S m m ∆∴=⨯⨯-+=，解得2m =+或2m =-4m ，2m ∴=+，2Q ∴，9)；综上所述：Q 点坐标为(6，9)或2+，9)．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN 的解析式，设2(,23)P m m m --+，则得到(,2)Q m m -，2(,23)G m m m --，利用m 的代数式分别表示出PQ ，QG 的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标，进而得出线段OA ，OC ，OD ，OE ，AC ，OF 的长，设直线FK 的解析式为5y kx =-，设直线FK 交x 轴于点M ，过点M 作MN EF ⊥于点N ，用k 的代数式表示出线段OM ．FM ，ME 的长，利用EFK OCA ∠=∠，得到sin sin EFK OCA ∠=∠，列出关于k 的方程，解方程求得k 值，将直线FK 的解析式与衍生抛物线l '的函数解析式联立即可得出结论．。
二次函数--抛物线的平移、翻折、旋转
22.1.4(5)---抛物线的平移、翻折、旋转
一．【知识要点】
1.抛物线的平移、翻折、旋转：图像平移.口诀：左加右减，上加下减.
二．【经典例题】
1.①将抛物线223y x x =-+向左平移3个单位,再向下平移5个单位后所得抛物线的解析式为________.
三．【题库】
【A 】
1．抛物线y=﹣x 2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为（ ）
A ．y=﹣（x+1）2
B ．y=﹣（x ﹣1）2
C ．y=﹣x 2+1
D ．y=﹣x 2﹣1
【B 】
【C 】
1．将抛物线y=（x ﹣1）2+3关于y 轴对称后所得抛物线的表达式为（ ）
A ．y=-（x+1）2 +3
B ．y=（x+1）2+3
C ．y=-（x-1）2-3
D ．y=（x+1）2-3
【D 】
1．如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点B（﹣2，0）和C，O 为坐标原点．
（1）求抛物线解析式；
（2）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围．。
二次函数(旋转,折叠)
二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△ND D1面积的2倍，求点N的坐标．2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=m x2+2mx+n上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC 绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=a x2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．5、在平面直角坐标系中点A（0，2）C（4，0），AB∥x轴，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）求出点B的坐标，并求出过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；（2）将△ABC直线AB翻折，得到△ABC1，再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到△AB1C2．请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题（1）所求的抛物线的图象上；（3）将题（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围．6、如图抛物线y=a x2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，与y轴交于C，若抛物线过点E（-1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．7、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB．（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD，（点A落到点C处），请画出△COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．8、在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的猜测加以证明．（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式．（3）当α=90°时，如图乙．请探究：经过点F，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由．9、在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90°，得到矩形DEFG （如图1）．（1）若抛物线y=- x 2+bx+c 经过点B 和F ，求此抛物线的解析式；（2）将矩形DEFG 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负方向平移，平移t 秒时，所成图形如图2所示．①图2中，在0＜t ＜1的条件下，连接BF ，BF 与（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q ，设矩形DEFG 与矩形OABC 重合部分的面积为S1，△AQF 的面积为S2，试判断S1+S2的值是否发生变化？如果不变，求出其值；②在0＜t ＜3的条件下，P 是x 轴上一点，请你探究：是否存在t 值，使以PB 为斜边的Rt △PFB 与Rt △AOC 相似？若存在，直接写出满足条件t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．10、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11.已知如图，抛物线n mx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，四边形OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点D （5，2），连结BC 、AD .(1)求C 点的坐标及抛物线的解析式；(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；(3)设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）答案1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．[解析] （1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；（3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．【解析】（1）本题需先根据题意把A （-2，4）和点B （1，0）代入抛物线y=mx2+2mx+n中，解出m、n的值即可．（2）本题需先根据四边形AA′B′B为菱形得出y的解析式，再把解析式向右平移5个单位即可得到平移后抛物线的表达式．（3）本题需根据平移与菱形的性质，得到A′、B′的坐标，再过点A′作A′H⊥x轴，得出BH和A′H的值，再设菱形AA′B′B的中心点M，作MG⊥x轴，根据中位线性质得到MG、BG的值，最后求出点M的坐标．3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．【解析】（1）依题意得点E在射线CB上，横坐标为4，纵坐标根据勾股定理可得点E．（2）已知∠BCD=60°，∠BCF=30°，然后可得∠α=60°．（3）设CG=x，则EG=x，FG=6-x，根据勾股定理求出CG的值．（4）设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a（x-4）2，把点A的坐标代入求出a值．当x=7时代入函数解析式可得解．4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC 绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．【解析】（1）根据四边形OABC是矩形，A（3，0），C（0，1）求出B′的坐标，设直线BB′的解析式为y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出M、N 两点的坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论．【解答】（3）①在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，所以，二次项系数和一次项系数不变，根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为0，新解析式就为：y=-12x2+2x；②在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为-12，这时根据已经求出的C′（-1，0），M（5，0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6，所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（-6，0），代入解出解析式为y=-12x2-3x；③当它向右移时要移一个单位C′与原点重合，此时另一点过（6，0），所以解出解析式为y=-12x2+3x．5、在平面直角坐标系中点A（0，2）C（4，0），AB∥x轴，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）求出点B的坐标，并求出过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；（2）将△ABC直线AB翻折，得到△ABC1，再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到△AB1C2．请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题（1）所求的抛物线的图象上；（3）将题（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围．【解析】（1）过C作CD⊥AB于D，根据A、C的坐标，易求得AD、CD的长，在Rt△ACB中，CD⊥AB，利用射影定理可求得BD的长（也可利用相似三角形得到），由此求得点B的坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）根据△ABC的两次旋转变化可知AB1落在y轴上，可过C2作C2D1⊥AB1，根据△ACD≌△AC2D1得AD1、CD1的长，从而求出点C2的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；（3）在（1）题中求得了抛物线的二次项系数，即可用m表示出平移后的抛物线顶点坐标，得(m，4m-m22)，由于此顶点在△ACB的边上或内部，因此顶点横坐标必在0≤m≤5的范围内，然后分三种情况考虑：①顶点纵坐标应小于或等于A、B的纵坐标．②求出直线AC和直线x=m的交点纵坐标，那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标．③求出直线BC和直线x=m的交点纵坐标，方法同②．结合上面四个不等关系式，即可得到m的取值范围．6、如图抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，与y轴交于C，若抛物线过点E（-1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．【解析】（1）抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）的对称轴是x=-a2a=-12，又因与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，求出A、B点的坐标，解决第一问；（2）因为S△ABC=3，△PBC的面积是3，说明P点一定在过A点平行于BC的直线上，且一定是与抛物线的交点，因此求出过A点的直线，与抛物线联立进一步求得答案；（3）连接DC、BC，证明三角形相似，利用旋转的性质解决问题．7、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB．（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD，（点A落到点C处），请画出△COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）根据旋转的性质知△COD≌△AOB，则OC=OA、OD=OB，由此可求出C、D 的坐标，进而用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）将（1）题所得的抛物线解析式化为顶点式，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律得出平移后的抛物线解析式；联立两个函数的解析式即可得到F点的坐标；取E点关于平移后抛物线对称轴的对称点E′，那么直线E′F与此对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线E′F的解析式，联立这条对称轴的解析式即可得到P点的坐标；（3）可根据对称轴方程设出P点坐标，分别表示出PE、PF、EF的长；由于△PEF的直角顶点没有确定，因此要分成三种情况考虑：①∠EPF=90°，②∠PEF=90°，③∠PFE=90°；可根据上述三种情况中不同的直角边和斜边，利用勾股定理列出关于P点纵坐标的方程，求出P点的坐标．8、在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的猜测加以证明．（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式．（3）当α=90°时，如图乙．请探究：经过点F，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由．【解析】（1）根据旋转的知识可得AB=AF，根据∠BAF=60°可得∴△ABF为等边三角形；（2）利用△AGB为直角三角形，根据勾股定理可得CG的长，也求得了G的坐标，利用点A、G的坐标可得所求的直线解析式；（3）易得F坐标，利用顶点式可得经过点F，且以点B为顶点的抛物线，易得H的坐标，把横坐标代入所得函数解析式，看是否等于纵坐标即可．9、在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形DEFG（如图1）．（1）若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F，求此抛物线的解析式；（2）将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，平移t秒时，所成图形如图2所示．①图2中，在0＜t＜1的条件下，连接BF，BF与（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q，设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1，△AQF的面积为S2，试判断S1+S2的值是否发生变化？如果不变，求出其值；②在0＜t＜3的条件下，P是x轴上一点，请你探究：是否存在t值，使以PB为斜边的Rt △PFB与Rt△AOC相似？若存在，直接写出满足条件t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．【解析】（1）首先确定点B、F的坐标，将点的坐标代入函数解析式，解方程组即可求得；（2）①首先求得对称轴，根据题意用t表示出S1、S2的值即可求得．②利用相似三角形的性质即可求得：过点F作FP⊥FB，FP交x同于点P，延长FE交AB 于点M，要使Rt△PFB∽Rt△AOC，只要FB：FP=2：1即可，而Rt△BMF∽Rt△PGF，所以根据FBFP=FMFG只须FMFG=21，列出方程解答即可求出此时点P的坐标．第10、11题答案省略。
二次函数图象的变换
二次函数图象的变换这里研究二次函数图象的平移变换、对称变换和翻折变换.二次函数图象的平移变换二次函数的图象作平移变换时,其开口方向和开口大小不会发生改变,故平移前后a 的值不变;改变的是顶点坐标和对称轴.一般地,二次函数k ax y +=2（0>k ）的图象是由二次函数2ax y =的图象沿y 轴正方向向上平移k 个单位长度得到的;二次函数k ax y -=2（0>k ）的图象是由二次函数2ax y =的图象沿y 轴正方向向下平移k 个单位长度得到的.抛物线k ax y +=2的对称轴是y 轴,顶点坐标是()k ,0.如例图（1）所示.一般地,二次函数()2h x a y -=的图象是由二次函数2ax y =的图象沿x 轴向左（0<h ）或向右（0>h ）平移h 个单位长度得到的.抛物线()2h x a y -=的对称轴是直线h x =,顶点坐标是()0,h .如例图（2）所示.一般地,二次函数()k h x a y +-=2的图象是由二次函数2ax y =的图象先沿x 轴向左（0<h ）或向右（0>h ）平移h 个单位长度,再向上（0>k ）或向下（0<k ）平移k 个单位长度得到的.抛物线()k h x a y +-=2的对称轴为直线h x =,顶点坐标是()k h ,.如下页例图所示.二次函数图象的对称变换如果两个二次函数的图象关于x 轴对称,那么它们的开口方向相反,开口大小相同,对称轴相同,顶点坐标关于x 轴对称,与y 轴的交点关于x 轴对称.故两个二次函数的解析式a 的值互为相反数.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ---=2;②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y ---=2.高中知识点 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于x 轴对称.如例图（3）所示.xy y = x 2 ()2 1y = x 2 ()2 + 1图 （3）O–1–21234–1–2–3–41234如果两个二次函数的图象关于y 轴对称,那么它们的开口方向相同,开口大小相同,与y 轴的交点相同,对称轴关于y 轴对称,顶点坐标关于y 轴对称.故两个二次函数的解析式a 的值相等.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ++=2②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y +-=2.高中知识点 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于y 轴对称.如例图（4）所示.图 （4）x 2 )2 + 1二次函数图象的翻折变换在同一平面直角坐标系中,通过对二次函数c bx ax y ++=2图象的翻折变换,可以得到函数c bx ax y ++=2的图象和函数c x b ax c x b x a y ++=++=22的图象.先画出二次函数c bx ax y ++=2的图象,保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方,即可得到函数c bx ax y ++=2的图象如下页例图（5）所示.先画出二次函数c bx ax y ++=2的图象,保留y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧,即可得到函数c x b ax c x b x a y ++=++=22的图象.如下页例图（6）所示.图 （5）图 （6）高中知识点在同一平面直角坐标系中,通过对函数)(x f y =图象的翻折变换,可以得到函数)(x f y =和)(x f y =的图象.（1）要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可;（2）要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧即可. 例题讲解例1. 把抛物线2x y -=向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为【 】（A ）()312---=x y （B ）()312-+-=x y（C ）()312+--=x y （D ）()312++-=x y分析 将函数的图象左右平移时,其解析式将发生有规律的变化——遵循自变量“左加右减”,函数值“上加下减”的原则.将二次函数的图象左右平移,其图象的开口方向和开口大小保持不变,所以平移前后a 的值不变,改变的是图象的顶点坐标和对称轴.其中顶点坐标的改变遵循“左减右加”的原则.解析 由题意可知,平移后抛物线的解析式为()312++-=x y .另外,抛物线2x y -=的顶点坐标为()0,0,平移后函数图象的顶点坐标为()3,1-,所以由顶点式可知平移后抛物线的解析式为()312++-=x y .所以选择答案【 D 】.例2. 函数()1122---=x y 的图象可由函数()3222++-=x y 的图象平移得到,平移的方法是【 】（A ）先向右平移3个单位,再向下平移4个单位 （B ）先向右平移3个单位,再向上平移4个单位 （C ）先向左平移3个单位,再向下平移4个单位 （D ）先向左平移3个单位,再向上平移4个单位分析 首先,要确定函数()3222++-=x y 的图象是平移的对象,平移后得到抛物线()1122---=x y .解析将函数()3222++-=x y 的图象先向右平移3个单位,得到函数()3122+--=x y 的图象,再向下平移4个单位,得到函数()1122---=x y 的图象.∴选择答案【 A 】.例3. 抛物线向右平移3个单位,再向下平移2个单位后得到抛物线x x y 422+-=,则平移前抛物线的解析式为________________.分析 把抛物线x x y 422+-=向左平移3个单位,在向上平移2个单位,即可得到平移前的抛物线.解析 ∵()2124222+--=+-=x x x y∴平移前抛物线的解析式为()()4222231222++-=+++--=x x y .即4822---=x x y .例4. 已知二次函数()1322+-=x y .（1）图象关于x 轴对称的抛物线的解析式为________________; （2）图象关于y 轴对称的抛物线的解析式为________________.分析 （1）抛物线()k h x a y +-=2关于x 轴对称的抛物线为()k h x a y ---=2;（2）抛物线()k h x a y +-=2关于y 轴对称的抛物线为()k h x a y ++=2.解析 （1）()1322---=x y ;（2）()1322++=x y .例5. 已知二次函数122--=x x y .（1）图象关于x 轴对称的抛物线的解析式为________________; （2）图象关于y 轴对称的抛物线的解析式为________________.分析 （1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线为c bx ax y ---=2;（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线为c bx ax y +-=2. 解析 （1）122++-=x x y ;（2）122-+=x x y .例6. 已知二次函数5432+-=x x y .（1）图象关于x 轴对称后再关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________; （2）图象关于y 轴对称后再关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________. 分析 （1）（2）中的两条抛物线关于原点对称:若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于原点对称的二次函数的解析式为()k h x a y -+-=2;若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于原点对称的二次函数的解析式为c bx ax y -+-=2. 解析 （1）5432---=x x y ; （2）5432---=x x y .例7. 画出函数12-=x y 的图象.分析 把二次函数12-=x y 的图象沿x 轴进行翻折变换,即可得到函数12-=x y 的图象,具体做法是:先画出二次函数12-=x y 的图象,保留x 轴及其上方的图象,然后把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可得到函数12-=x y 的图象. 解析 函数12-=x y 的图象如下图所示.。
二次函数中的翻折问题
备用图二次函数中的翻折问题1、．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根； （2）关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和2(568)k k k -+-+，两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．。
2、 已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数.（1）求k 的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.！-3、关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ．（1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的 值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．。
二次函数与翻折平移问题
二次函数与旋转翻折问题1、已知抛物线23y ax bx c =++（0b ＜）交x 轴于A 、B 两点（A 在B 点左侧），交y 轴负半轴于点C ，对称轴为直线2b x -=．（1）当4bc ==-时，求抛物线在x 轴上截得的线段长；（2）如图，过点B 的直线交y 轴于点D ，且BD ⊥AC 于点E ，若OE 平分∠AEB ，CD=2OD ，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，已知M 、N 是抛物线上两点，且以M 、N 、O 、B 为顶点的四边形是以OB 为对角线的平行四边形，求直线MN 的解析式．2、如图，已知等腰△AOB 中，AB=AO=4，tan∠AOB=34，抛物线经过点A(4，0)与点（-2，6）.（1）求OB 的长度及抛物线的函数解析式；（2）向下平移直线OB 得到直线m ，直线m 恰好经过点A ，且与y 轴交于点D ，动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运动；同时动点Q 在线段DA 上，从点D 出发向点A 运动；点P 的速度为每秒1个单位长，点Q 的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD 时，求运动时间t 的值；（3）将抛物线向上平移k 个单位（k 可以为负数，即向下平移k 单位长度），若平移后的抛物线与四边形ODAB 的四边恰好只有两个公共点时，求实数k 的取值范围.2y ax bx =+A OB CD E y x A OB Cyx3、抛物线y=ax2+4ax+b与x轴交于A,B两点，与y轴正半轴交于C点，且A(-5,0),OC=5OB.(1).求这个抛物线的解析式；(2). 如图1，若D（0,2），过C作CF⊥AD，交x轴于E,问射线CF上是否存在点G ,使得∠OGE=45 º?若存在，求出G的坐标，若不存在，说明理由；(3).如图2，过点B作BD⊥x轴，交AC的延长线于点D，设点C的上方有一点P（0，t）,且⊿PAD的面积为15，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与⊿PAD总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？4、已知: 如图1, 二次函数y＝a(x－1)2－4的图象交x轴负半轴于点A, 交x轴正半轴于点B, 交y轴负半轴于点C, 且OB＝3OA.(1) 求二次函数的解析式;(2) 如图2, M是抛物线的顶点, P是抛物线在B点右侧上一点, Q是对称轴上一点, 并且AQ⊥PQ, 是否存在这样的点P, 使得∠PAQ＝∠AMQ ? 若存在, 请求出P点坐标; 若不存在, 请说明理由.（3）如图3, 设(1)中抛物线的顶点为M,R为x轴正半轴上一点，将（1）中抛物线绕R旋转1800得到抛物线C1: y＝-a (x－h)2+k交x轴于D,E两点，.若tan∠BME=1,求R点的坐标。
初中数学竞赛——二次函数图像的翻折与对称汇编
第7讲 二次函数图像的翻折和对称典型例题一. 抛物线的翻折【例1】 将抛物线沿2234y x x =+-沿x 轴翻折，求所得抛物线的解析式.【例2】 （1）将抛物线2345y x x =+-沿直线2y =翻折，求所得抛物线的解析式.（2）将抛物线2321y x x =--沿直线3y =-翻折，求所得抛物线的解析式.【例3】 将抛物线2y ax c =+沿x 轴翻折以后与抛物线2142y x =-+重合，求a 和c 的值.【例4】 将抛物线沿2234y x x =+-沿y 轴翻折，求所得抛物线的解析式.【例5】 （1）将抛物线2321y x x =--沿y 轴翻折，求所得抛物线的解析式.（2）将抛物线2241y x x =-+沿直线2x =翻折，求所得抛物线的解析式.（3）将抛物线2321y x x =--沿直线1x =-翻折，求所得抛物线的解析式.【例6】 抛物线2y ax bx c =++关于直线x m =对称的曲线与x 轴的交点坐标是多少？二. 含绝对值的函数与方程【例7】 画出函数256y x x =--的图像.【例9】 （1）画出函数21y x =-+的图像；（2）为使方程21x x b -+=+有4个不同的实数根，求b 的变化范围.【例10】 画出函数256y x x =--的图像.【例12】 已知函数212y x x =--的图像与x 轴交于相异两点A 、B ，另一抛物线2y ax bx c =++过点A 、B ，顶点为P ，且APB ∆是等腰直角三角形，求a ，b ，c .【例13】 讨论函数237y x x =-+的图像与函数22336y x x x x =-+-+的图像的交点的个数.【例14】 设方程24x ax +=只有三个不相等的实根，求..的值和相应的3个根.作业1. （1）将抛物线2345y x x =+-沿直线x 轴翻折，求所得抛物线的解析式.（2）将抛物线2221y x x =--沿直线3y =-翻折，求所得抛物线的解析式.2. （1）将抛物线2242y x x =-+沿直线1x =-翻折，求所得抛物线的解析式.（2）将抛物线2323y x x =--沿直线x 轴翻折，求所得抛物线的解析式.3. （1）画出函数232y x x =-+的图像.（2）画出函数245y x x =--的图像.4. 讨论方程245x x m --=（m 为实数）的解的个数与m 的关系.5.6. 讨论方程2257x x m --=（m 为实数）的解的个数与m 的关系.7.8. k 为何值时，关于x 的方程210x x k ---=有3个或3个以上的实根?。
二次函数几何变换
注意问题：
1.是否可取等号问题 2.解析式是否发生变化 3.是否考虑全面
练1.二次函数 y = x2 + bx + c 的顶点坐标为M（1，-4）.
（1）求二次函数的解析式 （2）将二次函数的图象在X轴下方的部分沿X轴翻折，图象的 其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答： 当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围
△△△ >0 =0 <0 21无 个个交 交交点 点点
3 与非平行于坐标轴的直线交点
y
y=kx+b
x
基础练习
(1)判断直线y x 1
y 与x抛2 物3x线 1
交点情况？
如果有交点，请求y 出交x 点1 坐标。 解：联立 y x2 3x 1
x2 2x 0
得
△ =4 >0
所以有两个交点，交点坐标为（0，1）和（2，-1）
平移后的抛物线与 直线联立，根据判 别式来进行确定。
n=0
解题思路：
1 列出平移后的函数 解析式。 y=4x+6+n B(-1-n,0) C(3-n,0)
二次函数 几何变换与交点问题
新东方初中数学组 张志安
平移 旋转 翻折
一 平移
抛物线平移问题
例1.将抛物线 y = 2x2 + 4x - 3 向右平移3个单位， 再向上平移5个单位，求平移后所得抛物线的解析式。
方法一：顶点平移
y = 2x2 + 4x - 3 = 2(x +1)2 - 5
顶点坐标为（－1，－5）
y 2x2 - 4x - 2
练1：
第三次课二次函数的平移翻折与旋转问题abc符号问题
二次函数的平移、翻折与旋转以及a、b、c符号问题1、抛物线的一般式与顶点式的互化关系：y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a2、强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。
3、抛物线的平移抓住关键点顶点的移动；例题：1、（2015•龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．解答：解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得y=﹣2x2﹣4x﹣3，故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质．2、（2015•湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．考点：二次函数图象与几何变换．专题：新定义．分析：连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式．解答：解：连接AB，根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，∵OA=MA，∴△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），则，解得：则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x，抛物线C2的解析式为y=x2+2x，故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x．w W w .x K b 1.c o M点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．3、（2015•绥化）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．考点：二次函数图象与几何变换．分析：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．解答：解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为：y=2（x+1）2﹣2．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4、（2015•岳阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．考点：二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．分析：①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴结论③正确；∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．点评：（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．（2）此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．答案：。
二次函数翻折
（2013海淀期末）24．抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，OB=OC ． （1）求这条抛物线的解析式；（2）若点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，PQ=n .①求2124263x x n n -++的值；② 将抛物线在PQ 下方的部分沿PQ 翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与x 轴恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 .（2013西城期末）19．已知抛物线322--=x x y . （1）它与x 轴的交点的坐标为_______； （2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；（3）将该抛物线在x 轴下方的部分(不包含与x 轴的交点)记为G ，若直线b x y +=与G只有一个公共点，则b 的取值范围是_______．23. 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.（2012通州）22．已知关于x 的方程2(31)220mx m x m --+-= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(31)22y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点（0,0），求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系xoy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y x b =+与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围.（2012丰一）23．已知：关于x 的一元二次22240x mx m -+-=. （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224y x mx m =-+-与x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C 1,将图形C 1向右平移一个单位,得到图形C 2，当直线y=x b +(b <0)与图形C 2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围.（2012西一末）20．已知函数2y x bx c =++（x ≥ 0），满足当x =1时，1y =-，且当x = 0与x =4时的函数值相等．（1）求函数2y x bx c =++（x ≥ 0）的解析式并画出它的 图象（不要求列表）； （2）若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),() 2 (0),x bx c x f x x ⎧++≥=⎨-<⎩ 又已知关于x 的方程 ()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．（2012东二）23. 已知关于x 的方程2(1)(4)30m xm x -+-+=．（1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2） 若正整数m 满足822m->，设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）．（2012）23．已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。
二次函数翻折
二次函数翻折二次函数是数学中很重要的一种函数形式，一般用y = ax^2 + bx + c的形式表示。
这种函数形式在数学上有很多应用，特别是在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
二次函数的一种特殊形式是翻折，翻折有时也被称为对称，表示函数曲线相对于一个轴或一个点对称。
二次函数的翻折是一个非常重要的特性，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特征。
二次函数的翻折分为两种类型：关于y轴对称和关于定点对称。
对于关于y轴对称的翻折，它可以很容易地通过函数公式的系数来判断。
当二次函数的系数a为正数时，函数曲线在y轴的左右两侧翼部平衡地分布。
因此，这种二次函数在y轴上对称。
而当二次函数的系数a为负数时，函数曲线在y轴左侧有更多的点，而在右侧的点较少。
这时，我们可以在y轴上找到一个中心点，使左右两边曲线长度相等，从而实现对称。
这种对称是一种特殊的对称方式，称为对称轴。
对于关于定点对称的翻折，它是相对于一个点或轴对称的。
如果二次函数的抛物线是关于轴对称，那么轴一定与y轴垂直。
这种对称是一种中心对称，称为旋转对称。
如果抛物线关于点对称，则这个点是抛物线的中心。
这种对称称为平移对称。
平移对称是一种新型的对称方式，它可以帮助学生更好地理解二次函数的性质和特征。
二次函数的翻折有很多应用，其中最常见的就是求解最大值和最小值。
我们可以通过对称来解决这个问题。
当二次函数的系数a为正数时，在对称轴上会有一个最小值点，因为二次函数向左和向右的值都是递增的。
同样地，在二次函数系数为负数时，在对称轴上会有一个最大值点。
因此，只需找到对称轴即可求出最大值和最小值。
除了最大值和最小值，二次函数的翻折还可以应用于优化问题，如求解最优解或最优解的区间。
这种方法可以帮助解决很多实际问题，如物体的自由落体、车辆的速度和加速度等。
总之，二次函数的翻折是数学中一个非常重要的特性。
它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特征，并在实际应用中解决很多问题。
二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题
二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题目录题型01二次函数平移问题题型02二次函数翻折问题题型03二次函数对称问题题型04二次函数旋转问题题型05二次函数折叠问题题型01二次函数平移问题1. 二次函数的平移变换平移方式(n>0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x-h)2+k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.1(2023·上海杨浦·统考一模)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a≠0与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是线段BC 上一点，如果∠PAC =45°，求点P 的坐标；(3)在第(2)小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D 平移至点E 处，过点E 作EF ⊥直线AP ，垂足为点F ，如果tan ∠PEF =12，求平移后抛物线的表达式．【答案】(1)y =x 2-2x -3(2)P 53,-43(3)y =x +1792-4【分析】(1)设点A 的横坐标为x A ，点B 的横坐标为x B ，根据对称轴，AB =4，列式x A +x B2=1,x B -x A =4，利用根与系数关系计算确定a 值即可．(2)过点C 作AC ⊥MN 于点C ，交AC 右侧的AP 的延长线于点M ，交AC 左侧的AP 的延长线于点N ，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可．(3)设抛物线向左平移了t 个单位，则点E 1-t ,-4 ，过点F 作x 轴的平行线交过点P 和y 轴的平行线于点H ，交过点E 和y 轴的平行线于点G ，证明Rt △FGE ∽Rt △PHF ，根据相似三角形的性质得出GEHF=GF HP =EF FP =1tan ∠PEF =2即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =ax 2-2ax -3a ≠0 与x 轴交于点A 、点B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，且AB =4，∴x A +x B 2=1,x B -x A =4，解得x B =3,x A =-1，∴-3a=3×-1 ，解得a=1，故抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．(2)过点C 作AC ⊥MN 于点C ，交AC 右侧的AP 的延长线于点M ，∵∠PAC =45°，∴AC =CM ，过点M 作MT ⊥y 轴于点T ，∴∠ACO =90°-∠ECM =∠CMT ∵∠ACO =∠CMT ∠AOC =∠CTM AC =CM，∴△AOC ≌△CTM AAS ，∴AO =CT ,OC =EM ，∵抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，x B =3,x A =-1，∴AO =CT =1,OC =TM =3，A -1,0 ,C 0,-3 ,B 3,0 ，∴OE =2,TM =3∴M 3,-2 ，设AM 的解析式为y =kx +b ，BC 的解析式为y =px +q ∴-k +b =03k +b =-2 ,3p +q =0q =-3 ，解得k =-12b =-12,p =1q =-3 ∴AM 的解析式为y =-12x -12，BC 的解析式为y =x -3，∴y =x -3y =-12x -12 ，解得x =53y =-43，故P 53,-43；(3)∵y =x 2-2x -3=x -1 2-4，点D 1,-4 ,设抛物线向左平移了t 个单位，则点E 1-t ,-4 ，过点F 作x 轴的平行线交过点P 和y 轴的平行线于点H ，交过点E 和y 轴的平行线于点G ，由(2)知，直线AP 的表达式为：y =-12x -12，P 53,-43设F m ,-12m -12 ∵∠EFP =90°，∴∠GFE +∠HFP =90°，∵∠GFE +∠GEF =90°，∴∠GEF =∠HFP ，∴Rt △FGE ∽Rt △PHF ，∴GE HF =GF HP =EF FP =1tan ∠PEF=2，∵GE =y F -y E =-12m -12+4，HF =x P -x F =53-m ，GF =x F -x G =m -1-t ，HP=y F -y P =-12m-12+43，∴-12m -12+453-m =m -1-t -12m -12+43=2，解得：t =269，∴y =x -1+269 2-4=x +179 2-4．【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键．2(2023·广东湛江·校考一模)如图1，抛物线y =36x 2+433x +23与x 轴交于点A ，B (A 在B 左边)，与y 轴交于点C ，连AC ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE ∥AC 交抛物线于点E ，交y 轴于点P．(1)点F 是直线AC 下方抛物线上点一动点，连DF 交AC 于点G ，连EG ，当△EFG 的面积的最大值时，直线DE 上有一动点M ，直线AC 上有一动点N ，满足MN ⊥AC ，连GM ，NO ，求GM +MN +NO 的最小值；(2)如图2，在(1)的条件下，过点F 作FH ⊥x 轴于点H 交AC 于点L ，将△AHL 沿着射线AC 平移到点A 与点C 重合，从而得到△A H L (点A ，H ，L 分别对应点A ，H ，L )，再将△A H L 绕点H 逆时针旋转α(0°<α<180°)，旋转过程中，边A L 所在直线交直线DE 于Q ，交y 轴于点R ，求当△PQR 为等腰三角形时，直接写出PR 的长．【答案】(1)4+23975(2)1733-3或833【分析】(1)作FH ∥y 轴交DE 于H ．设F m ,36m 2+433m +23 ，求出直线DE 的解析式，联立方程得到x =-3时，FH 的值最大，求出答案；作点G 关于DE 的对称点T ，TG 交DE 于R ，连接OR 交AC 于N ，作NM ⊥DE 于M ，连接TM ，GM ，此时GM +MN +NO 的值最小，求出答案即可；(2)当△PQR 是等腰三角形时，易知∠QPR =120°，易知直线RQ 与x 轴的夹角为60°，得到直线RQ 的解析式为y =3x +3-3，进而求出答案，当△QPR 是等腰三角形，同理求出答案．【详解】(1)如图1中，作FH ∥y 轴交DE 于H ．设F m ,36m 2+433m +23 ．由题意可知A (-6,0)，B (-2,0)，C (0,23)，∵抛物线的对称轴x =-4，C ，D 关于直线x =-4对称，∴D (-8,23)，∴直线AC 的解析式为y =33x +23，∵DE ∥AC ，∴直线DE 的解析式为y =33x +1433，由y =33x +23y =33x +1433，解得x =8y=23 或x =2y =1633，∴E 2,1633 ，H m ,33m +1433，∵S △DEF =S △DEG +S △EFG ，△DEG 的面积为定值，∴△DEG 的面积最大时，△EFG 的面积最大，∵FH 的值最大时，△DEF 的面积最大，∵FH 的值最大时，△EFG 的面积最大，∵FH =-36m 2-3m +833，∵a <0．开口向下，∴x =-3时，FH 的值最大，此时F -3,-32．如图2中，作点G 关于DE 的对称点T ，TG 交DE 于R ，连接OR 交AC 于N ，作NM ⊥DE 于M ，连接TM ，GM ，此时GM +MN +NO 的值最小．∵直线DF 的解析式为：y =-32x -23，由y =-32x -23y =33x +23，解得x =-245y =235，∴G -245,232 ，∵TG ⊥AC ，∴直线GR 的解析式为y =-3x -2235，由y =33x +1433y =-3x -2235 ，解得x =-345y =1235，∴R -345,1235，∴RG =4,OR =23975，∵GM =TM =RN ，∴GM +MN +ON =RN +ON +RG =RG +ON =4+23975．∴GM +MN +NO 的最小值为4+23975．(2)如图3中，如图当△PQR 是等腰三角形时，易知∠QPR =120°，PQ =PR易知直线RQ 与x 轴的夹角为60°，L 3-32,23+32，直线RQ 的解析式为y =3x +3-3，∴R (0,3-3)，∴PR =1433-(3-3)=1733-3．如图4中，当△QPR 是等腰三角形，∵∠QPR =60°，∴△QPR 是等边三角形，同法可得R (0,23)，∴PR =OP -OC =1433-23=833综上所述，满足条件的PR 的值为1733-3或833．【点睛】本题属于二次函数证明题，考查了二次函数的性质，一次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题．3(2023·广东潮州·校考一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A (-2,0),B (4,0)两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接OP 交BC 于点Q ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PQ OQ 的值最大时，求点P 的坐标和PQ OQ的最大值；(3)把抛物线y =-12x 2+bx +c 沿射线AC 方向平移5个单位得新抛物线y ，M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N 点的坐标，并把求其中一个N 点坐标的过程写出来．【答案】(1)抛物线的函数表达式为y =-12x 2+x +4(2)当m =2时，PQ OQ取得最大值12，此时，P (2,4)(3)N 点的坐标为N 12,52 ,N 22,-112 ,N 32,-52.其中一个N 点坐标的解答过程见解析【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；(2)运用待定系数法求得直线BC 的解析式为y =-x +4，如图1，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ，设P m ,-12m 2+m +4 ，则D (m ,-m +4)，证明△PDQ ∽△OCQ ，得出：PQ OQ =PD OC=-12m 2+2m 4=-18(m -2)2+12，运用求二次函数最值方法即可得出答案；(3)设M t -12t 2+2t +92,N (2,s )，分三种情况：当BC 为▱BCN 1M 1的边时；当BC 为▱BCM 2N 2的边时；当BC 为▱BM 3CN 3的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．【详解】(1)∵抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A (-2,0),B (4,0)两点(点A 在点B 的左侧)，∴-12×(-2)2-2b +c =0-12×42+4b +c =0,解得：b =1c =4 ，∴抛物线的函数表达式为y =-12x 2+x +4；(2)∵抛物线y =-12x 2+x +4与y 轴交于点C ，∴C (0,4)，∴OC =4，设直线BC 的解析式为y =kx +d ，把B (4,0),C (0,4)代入，得：4k +d =0,d =4 解得：k =-1d =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4，如图1，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ，设P m ,-12m 2+m +4 ，则D (m ,-m +4)，∴PD =-12m 2+2m ，∵PD ∥OC ，∴△PDQ ∽△OCQ ，∴PQ OQ =PD OC=-12m 2+2m 4=-18(m -2)2+12,∴当m =2时，PQ OQ取得最大值12，此时，P (2,4)．(3)如图2，沿射线AC 方向平移5个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，∴新的物线解析式为y =-12(x -2)2+132=-12x 2+2x +92，对称轴为直线x =2，设M t ,-12t 2+2t +92,N (2,s )，当BC 为▱BCN 1M 1的边时，则BC ∥MN ,BC =MN ，∴t -2=4s =-12t 2+2t +92+4解得：t =6s =52，∴N 12,52;当BC 为▱BCM 2N 2的边时，则BC ∥MN ,BC =MN ，∴t -2=-4s =-12t 2+2t +92-4 ,解得：t =-2s =-112，∴N 22,-112;当BC 为▱BM 3CN 3的对角线时，则t +2=4-12t 2+2t +92+s =4，解得：t =2s =-52，∴N 32,-52;综上所述，N 点的坐标为：N 12,52 ,N 22,-112 ,N 32,-52.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．4(2023·湖北襄阳·校联考模拟预测)坐标综合：(1)平面直角坐标系中，抛物线C 1：y 1=x 2+bx +c 的对称轴为直线x =3，且经过点6,3 ，求抛物线C 1的解析式，并写出其顶点坐标；(2)将抛物线C 1在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线C 2：y 2=x 2-2mx +m 2-1，①如图1，设自变量x 在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1．此时，若y 2的最大值比最小值大12m ，求m 的值；②如图2，直线l ：y =-12x +n n >0 与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点.过点A 、点C 分别作两坐标轴的平行线，两平行线在第一象限内交于点B ．设抛物线C 2与x 轴交于E 、F 两点(点E 在左边)．现将图中的△CBA 沿直线l 折叠，折叠后的BC 边与x 轴交于点M ．当8≤n ≤12时，若要使点M 始终能够落在线段EF (包括两端点)上，请通过计算加以说明：抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向左还是向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？【答案】(1)抛物线C 1的解析式为y 1=x 2-6x +3，抛物线C 1的顶点坐标为3,-6(2)①m 的值为2或9-154；②抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向右平移，最少平移2个单位，最多平移7个单位【分析】(1)根据对称轴为直线x =3，可得b =-6，再把把6,3 代入，即可求解；(2)①根据配方可得当x =m 时，函数有最小值-1，再由自变量x 在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1，可得1≤m ≤2，然后两种情况讨论，即可求解；②先求出点A ，C 的坐标，可得点B 的坐标，再根据图形折叠的性质可得CM =AM ，在Rt △COM 中，根据勾股定理可得CM =54n ，从而得到点M 的坐标，继而得到n 的取值范围，然后根据点M 始终能够落在线段EF (包括两端点)上，可得m 取值范围，即可求解．【详解】(1)解：∵y 1=x 2+bx +c 的对称轴为直线x =3，∴-b2=3，解得：b =-6，把6,3 代入y 1=x 2-6x +c ，得3=62-6×6+c ，解得：c =3，∴抛物线C 1的解析式为y 1=x 2-6x +3，当x =3时，y 1=32-6×3+3=-6，∴抛物线C 1的顶点坐标为3,-6 ；(2)解：①∵y 2=x 2-2mx +m 2-1=x -m 2-1，∴抛物线C 2的对称轴为直线x =m ，当x =m 时，函数有最小值-1，∵在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1，∴1≤m ≤2，当1≤m ≤32时，x =2时y 2有最大值为m 2-4m +3，∴m 2-4m +3+1=12m ，解得m =9±154，∴m =9-154；当32≤m ≤2时，x =1时y 2有最大值为m 2-2m ，∴m 2-2m +1=12m ，解得m =2或m =12(舍)，综上所述：m 的值为2或9-154；②直线l ：y =-12x +n 与x 轴的交点A 2n ,0 ，与y 轴的交点C 0,n ，∴B 2n ,n ，∵△CBA 沿直线l 折叠，∴∠BCA =∠ACM ，∵∠BCA =∠CAM ，∴∠ACM =∠MAC ，∴CM =AM ，在Rt △COM 中，CM 2=CO 2+OM 2，即CM 2=n 2+2n -CM 2，解得CM =54n ，∴OM =34n ，∴M 34n ,0 ，∵8≤n ≤12，∴6≤34n ≤9，当x 2-2mx +m 2-1=0时，解得：x =m +1或x =m -1，∴E m -1,0 ，F m +1,0 ，∵点M 始终能够落在线段EF 上，∴m +1≥6，m -1≤9，∴5≤m ≤10，∵y 1=x 2-6x +3=x -3 2-6，y 2=x -m 2-1，当m =5时，抛物线C 1沿x 轴向右平移2个单位，向上平移5个单位，当m =10时，抛物线C 1沿x 轴向右平移7个单位，向上平移5个单位，∴抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向右平移，最少平移2个单位，最多平移7个单位．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，轴对称图形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．5(2023·浙江湖州·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2-4x +c 的图象与y 轴的交点坐标为0,5 ，图象的顶点为M ．矩形ABCD 的顶点D 与原点O 重合，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，顶点B 的坐标为1,5 ．(1)求c 的值及顶点M 的坐标，(2)如图2，将矩形ABCD 沿x 轴正方向平移t 个单位0<t <3 得到对应的矩形A B C D ．已知边C D ，A B 分别与函数y =x 2-4x +c 的图象交于点P ，Q ，连接PQ ，过点P 作PG ⊥A B 于点G ．①当t =2时，求QG 的长；②当点G 与点Q 不重合时，是否存在这样的t ，使得△PGQ 的面积为1？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)c =5，顶点M 的坐标是2,1(2)①1；②存在，t =12或52【分析】(1)把0,5 代入抛物线的解析式即可求出c ，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；(2)①先判断当t =2时，D ，A 的坐标分别是2,0 ，3,0 ，再求出x =3，x =2时点Q 的纵坐标与点P 的纵坐标，进而求解；②先求出QG =2，易得P ，Q 的坐标分别是t ,t 2-4t +5 ，t +1,t 2-2t +2 ，然后分点G 在点Q 的上方与点G 在点Q 的下方两种情况，结合函数图象求解即可．【详解】(1)∵二次函数y =x 2-4x +c 的图象与y 轴的交点坐标为0,5 ，∴c =5， ∴y =x 2-4x +5=x -2 2+1，∴顶点M 的坐标是2,1 ．(2)①∵A 在x 轴上，B 的坐标为1,5 ，∴点A 的坐标是1,0 ．当t =2时，D ，A 的坐标分别是2,0 ，3,0 ．当x =3时，y =3-2 2+1=2，即点Q 的纵坐标是2，当x =2时，y =2-2 2+1=1，即点P 的纵坐标是1．∵PG ⊥A B ，∴点G 的纵坐标是1， ∴QG =2-1=1． ②存在．理由如下：∵△PGQ 的面积为1，PG =1，∴QG =2．根据题意，得P ，Q 的坐标分别是t ,t 2-4t +5 ，t +1,t 2-2t +2 ．如图1，当点G 在点Q 的上方时，QG =t 2-4t +5-t 2-2t +2 =3-2t =2，此时t =12(在0<t <3的范围内)，如图2，当点G 在点Q 的下方时，QG =t 2-2t +2-t 2-4t +5 =2t -3=2，此时t =52(在0<t <3的范围内)．∴t =12或52．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．6(2023·江苏·统考中考真题)如图，二次函数y =12x 2+bx -4的图像与x 轴相交于点A (-2,0)、B ，其顶点是C ．(1)b =；(2)D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，tan ∠AOD =52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(k ,0)作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P 落在原抛物线上，连接PC 、QC 、PQ ．已知△PCQ 是直角三角形，求点P 的坐标．【答案】(1)-1；(2)k ≤-3；(3)3,-52 或-1,-52 ．【分析】(1)把A (-2,0)代入y =12x 2+bx -4即可求解；(2)过点D 作DM ⊥OA 于点M ，设D m ,12m 2-m -4 ，由tan ∠AOD =DM OM=-12m 2+m +4-m =52，解得D -1,-52，进而求得平移后得抛物线，平移后得抛物线为y =12x +3 2-92，根据二次函数得性质即可得解；(3)先设出平移后顶点为P p ,12p 2-p -4 ，根据原抛物线y =12x -1 2-92，求得原抛物线的顶点C 1,-92 ，对称轴为x =1，进而得Q 1,p 2-2p -72，再根据勾股定理构造方程即可得解．【详解】(1)解：把A (-2,0)代入y =12x 2+bx -4得，0=12×-2 2+b ×-2 -4，解得b =-1，故答案为-1；(2)解：过点D 作DM ⊥OA 于点M ，∵b =-1，∴二次函数的解析式为y =12x 2-x -4设D m ,12m 2-m -4 ，∵D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，tan ∠AOD =52，∴tan ∠AOD =DM OM=-12m 2+m +4-m =52，解得m =-1或m =8(舍去)，当m =-1时，12m 2-m -4=12+1-4=-52，∴D -1,-52，∵y =12x 2-x -4=12x -1 2-92，∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为y =12x +a 2-92，把D -1,-52 代入y =12x +a 2-92得-52=12-1+a 2-92，解得a =3或a =-1(舍去)，∴平移后得抛物线为y =12x +3 2-92∵过点(k ,0)作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，在y =12x +3 2-92的对称轴x =-3的左侧，y 随x 的增大而减小，此时原抛物线也是y 随x 的增大而减小，∴k ≤-3；(3)解：由y =12x -1 2-92，设平移后的抛物线为y =12x -p 2+q ，则顶点为P p ,q ，∵顶点为P p ,q 在y =12x -1 2-92上，∴q =12p -1 2-92=12p 2-p -4，∴平移后的抛物线为y =12x -p 2+12p 2-p -4，顶点为P p ,12p 2-p -4 ，∵原抛物线y =12x -1 2-92，∴原抛物线的顶点C 1,-92，对称轴为x =1，∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，∴Q 1,p 2-2p -72，∵点Q 、C 在直线x =1上，平移后的抛物线顶点P 在原抛物线顶点C 的上方，两抛物线的交点Q 在顶点P 的上方，∴∠PCQ 与∠CQP 都是锐角，∵△PCQ 是直角三角形，∴∠CPQ =90°，∴QC 2=PC 2+PQ 2，∴p 2-2p -72+92 2=p -1 2+12p 2-p -4+922+p -1 2+12p 2-p -4-p 2+2p +722化简得p -1 2p -3 p +1 =0，∴p =1(舍去)，或p =3或p =-1，当p =3时，12p 2-p -4=12×32-3-4=-52，当p =-1时，12×-1 2+1-4=-52，∴点P 坐标为3,-52 或-1,-52．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．7(2023·湖北宜昌·统考模拟预测)如图，过原点的抛物线y 1=ax (x -2n )(a ≠0,a ,n 为常数)与x 轴交于另一点A ，B 是线段OA 的中点，B -4,0 ，点M (-3,3)在抛物线y 1上．(1)点A 的坐标为；(2)C 为x 轴正半轴上一点，且CM =CB ．①求线段BC 的长；②线段CM 与抛物线y 1相交于另一点D ，求点D 的坐标；(3)将抛物线y 1向右平移(4-t )个单位长度，再向下平移165个单位长度得到抛物线y 2，P ，Q 是抛物线y 2上两点，T 是抛物线y 2的顶点．对于每一个确定的t 值，求证：矩形TPNQ 的对角线PQ 必过一定点R ，并求出此时线段TR 的长．【答案】(1)-8,0(2)①BC =5；②D -54,2716 (3)证明见解析，RT =5【分析】(1)根据中点公式求C 点坐标即可；(2)①设C x ,0 ，根据CM =CB ，建立方程(x +3)2+9=x +4，求出C 点坐标即可求BC ；②求出直线CM 的解析式为y =-34x +34，将A -8,0 代入y 1=ax (x -2n )，求出n =-4，将M 点代入y 1=ax (x +8)，求出a =-15，从而求出抛物线y 1=-15x (x +8)，直线CM 与抛物线的交点即为点D -54,2716；(3)根据平移的性质可求y 2=-15(x +t )2，则T (-t ,0)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，P m ,-15(m +t )2 ，Q n ,15(n +t )2 当kx +b =-15(x +t )2时，整理得x 2+(2t +5k )x +5b +t 2=0，由根与系数的关系可得m +n =-2t -5k ，mn =5b +t 2，过点P 作PF ⊥x 轴交于F 点，过Q 点作QE ⊥x 轴交于E 点，证明△FPT ∽△ETQ ，则PF TE =FT EQ ，即15(m +t )2n +t =-t -m 15(n +t )2，整理得，(m +t )(n +t )=-25，求出b =kt -5，所以直线PQ 的解析式为y =kx +kt -5=k (x +t )-5，对于每一个确定的t 值，直线PQ 必经过定点R (-t ,-5)，RT =5．【详解】(1)∵B 是线段OA 的中点，B -4,0 ，∴OA =8，∴A -8,0 ，故答案为：-8,0 ；(2)①设C x ,0 ，∵CM =CB ，∴(x +3)2+9=x +4，解得x =1，∴BC =5；②设直线CM 的解析式为y =k 'x +b '，∴k '+b '=0-3k '+b '=3 ，解得k '=-34b '=34，∴直线CM 的解析式为y =-34x +34，将A -8,0 代入y 1=ax (x -2n )，∴-8a (-8-2n )=0，∵a ≠0，∴-8-2n =0，解得n =-4，∴y 1=ax (x +8)，将M 点代入y 1=ax (x +8)，∴-3a (-3+8)=3，解得a =-15，∴抛物线y 1=-15x (x +8)，当-34x +34=-15x (x +8)时，解得x =-3或x =-54，∴D -54,2716；(3)证明：∵y 1=-15x (x +8)=-15(x +4)2+165，∴y 2=-15(x +t )2，∴T (-t ,0)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，P m ,-15(m +t )2 ，Q n ,15(n +t )2 ，当kx +b =-15(x +t )2时，整理得x 2+(2t +5k )x +5b +t 2=0，∴m +n =-2t -5k ，mn =5b +t 2，过点P 作PF ⊥x 轴交于F 点，过Q 点作QE ⊥x 轴交于E 点，∵四边形TPNQ 是矩形，∴∠PTQ =90°，∴∠FTP +∠ETQ =90°，∵∠FTP +∠TPF =90°，∴∠ETQ =∠TPF ，∴△FPT ∽△ETQ ，∴PF TE =FTEQ，即15(m +t )2n +t=-t -m15(n +t )2，整理得，(m +t )(n +t )=-25，∴mn +t (m +n )+t 2=-25，∴b -kt =-5，即b =kt -5，∴直线PQ 的解析式为y =kx +kt -5=k (x +t )-5，∴对于每一个确定的t 值，直线PQ 必经过定点R (-t ,-5)，∴RT =5．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，题型02二次函数翻折问题二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
二次函数沿x轴翻折公式
二次函数沿x轴翻折公式当事人们最兴奋的时候，大多数人都会想到翻折，无论是在纸张上还是在二次函数上，翻折操作都可以给大家带来惊喜。
有了不少发明家的努力，翻折现在可以用公式来描述，今天，让我们来看一下用来描述二次函数沿x轴翻折的精确公式。
标题探究二次函数翻折的神秘面纱：解开它的阴谋和机密！一、介绍1. 二次函数的定义二次函数是数学中两个重要数学概念的结合：函数和二次方程。
它们就像一个迷你跑车，性能强劲，动能源投入少，耗能低；它们可以帮助我们更好地了解许多自然现象，从小范围的抛物线到大范围的环境变化，它们的应用也是跨学科的。
正如许多人所熟悉的，二次函数的曲线可以描述一件美妙的作品，这就是所谓的爱情线。
就像爱情线一样，它们会带给人们美好的回忆，给人们带来更多的机会，并且更好地拥抱未来。
2. 翻折点的概念二次函数的翻折点可以说是充满神奇的，一步步实现了平面的“特技”，把一条最初水平的直线完美地翻折了一遍！看似极度普通的步骤，却有着非凡的运算原理--每一个翻折点的处理，都是一次变换的精华。
翻折点定义为一个把线段沿着一个轴翻折的点，根据位置，又可以分为上翻折点和下翻折点。
拉出一个坐标轴，用一个象征把它拉实，把它分割成左右两块，一般情况下，只要不是平行或者垂直于坐标轴的线都会到达它的两个极点，而翻折点跟这种极点不同，它不是线段的端点，而是把这条线段在x轴或y轴上翻折的承接点。
翻折点是二次函数的核心，它的重要性不是夸大的，它的位置有着重大的意义，其坐标表示一个特定的点，而一个特定的点也可以代表一个特定的函数。
只要找准了翻折点的位置，就可以利用它来把函数全部翻折完成。
二、求解翻折点1. 二次函数沿x轴翻折的公式任何一个二次函数都有可能沿着x轴翻折，但具体翻折规律如何，却让很多人陷入了迷思。
幸运的是，根据数学定理我们知道，二次函数沿x轴翻折的公式之所以使用如此的的巧妙，是因为它可以使得科学家们可以轻松地理解函数的变化过程，准确地预测函数的变化趋势，就像一颗神棍一样！下面，就来看看二次函数沿x轴翻折的公式：若二次函数y=ax²+bx+c沿着x轴翻折，则 c = -ab/4a；当a > 0时，翻折点位于x轴上横坐标为b/2a，纵坐标为ab2/4a当a < 0时，翻折点位于x轴上横坐标为b/2a，纵坐标为ab2/4a因此，在轻松理解并解决二次函数沿x轴翻折问题时，这一公式能够节省不少时间。
二次函数的变形和性质的推理归纳
二次函数的变形和性质的推理归纳一、二次函数的基本形式1.一般形式：y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k3.标准式：y = a(x - m)^2 + n二、二次函数的变形1.横向平移：h → h + p，m → m + p2.纵向伸缩：a → k * a (k > 1 或 0 < k < 1)3.横向拉伸：a → k * a (k > 1 或 0 < k < 1)，m → m + p4.旋转：顶点(h, k) → (h + p, k + q)三、二次函数的性质1.开口方向：a > 0 时，开口向上；a < 0 时，开口向下2.顶点坐标：(-b/2a, c - b^2/4a)3.对称轴：x = -b/2a4.判别式：Δ = b^2 - 4ac5.Δ > 0：抛物线与x轴有两个交点6.Δ = 0：抛物线与x轴有一个交点7.Δ < 0：抛物线与x轴无交点四、二次函数的增减性1. a > 0 时：2.x < -b/2a 时，y随x增大而减小3.-b/2a < x < +∞ 时，y随x增大而增大4. a < 0 时：5.x < -b/2a 时，y随x增大而增大6.-b/2a < x < +∞ 时，y随x增大而减小五、二次函数的图像特点1.顶点：最小值（a > 0）或最大值（a < 0）2.开口：a > 0 时，向上；a < 0 时，向下3.交点：Δ > 0 时，与x轴有两个交点；Δ = 0 时，与x轴有一个交点；Δ < 0 时，与x轴无交点4.对称性：以直线x = -b/2a为对称轴六、二次函数的应用1.最值问题：求函数在定义域内的最大值或最小值2.交点问题：求函数与x轴的交点坐标3.范围问题：求函数值域4.几何问题：求抛物线与坐标轴围成的三角形面积等七、二次函数的变换规律1.横向平移：改变顶点横坐标2.纵向伸缩：改变函数值3.横向拉伸：改变顶点横坐标，同时改变函数值4.旋转：改变顶点坐标八、二次函数与现实生活的联系1.抛物线：如投篮、射击、跳伞等运动的轨迹2.二次函数模型：如物体运动、人口增长、商品销售等领域的数学模型以上是对二次函数的变形和性质的推理归纳的知识点总结，希望能对您的学习有所帮助。
(完整)二次函数的翻折规律和题目
翻折规律1 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1。
关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---；2。
关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++;3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4。
关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5。
关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．操练:5.(2014•娄底27．（10分））如图甲，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm,BC=3cm ．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ．连接PQ,设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题：(1）设△APQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？(2)如图乙,连接PC ，将△PQC 沿QC 翻折,得到四边形PQP ′C ，当四边形PQP ′C 为菱形时，求t 的值；′ (3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？考点: 相似形综合题 分析：（1）过点P 作PH ⊥AC 于H,由△APH ∽△ABC ，得出=，从而求出AB ，再根据=,得出PH=3﹣t，则△AQP的面积为: AQ•PH=t（3﹣t），最后进行整理即可得出答案；(2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时,得出△APE∽△ABC，=，求出AE=﹣t+4，再根据QE=AE﹣AQ，QE=QC得出﹣t+4=﹣t+2，再求t即可；（3）由（1）知，PD=﹣t+3,与（2)同理得：QD=﹣t+4，从而求出PQ=,在△APQ中，分三种情况讨论:①当AQ=AP，即t=5﹣t，②当PQ=AQ,即=t，③当PQ=AP，即=5﹣t，再分别计算即可．解答：解:（1)如图甲，过点P作PH⊥AC于H，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴PH∥BC，∴△APH∽△ABC，∴=，∵AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，∴=，∴PH=3﹣t，∴△AQP的面积为:S=×AQ×PH=×t×（3﹣t）=﹣（t﹣）2+，∴当t为秒时,S最大值为cm2．(2)如图乙，连接PP′,PP′交QC于E,当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，∴△APE∽△ABC，∴=,∴AE===﹣t+4QE=AE﹣AQ═﹣t+4﹣t=﹣t+4，QE=QC=（4﹣t）=﹣t+2，∴﹣t+4=﹣t+2，解得:t=,∵0＜＜4，∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是s；（3）由（1）知，PD=﹣t+3，与(2）同理得：QD=AD﹣AQ=﹣t+4∴PQ===，在△APQ中，①当AQ=AP，即t=5﹣t时，解得：t1=；②当PQ=AQ,即=t时，解得：t2=,t3=5；③当PQ=AP，即=5﹣t时，解得：t4=0,t5=;∵0＜t＜4，∴t3=5，t4=0不合题意，舍去，∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形．点评:此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答．17. ( 2014年河南） (23. 11分）如图,抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A（－1，0）,B(5，0）两点，直线y=－34x+3与y轴交于点C，,与x轴交于点D。
二次函数翻折问题
二次函数专题——之体会翻折之美投石问路：已知函数（1）试写出分段函数的解析式（2）求出y随x增大而增大的自变量取值范围。
1.已知，二次函数的图像过点A（1，0）和C（0，2）（1）求二次函数的表达式及对称轴（2）将二次函数的图像在直线y=1上方的部分沿直线y=1翻折，图像其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G，点M（m，）在图像G上，且≥0，求m的取值范围。
2.抛物线与x轴交于A,B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为x=1.（1）求抛物线的表达式（2）若CD∥x轴，点D在点C的左侧，CD=AB,求点D的坐标（3）在（2）的条件下，将抛物线在直线x=t右侧的部分沿直线x=t翻折后的图像记为G，若图像G与线段CD有公共点，请直接写出t的取值范围3.在平面直角坐标系xoy中，抛物线经过点C（2，-3）,且与x轴的一个交点为B（3，0）（4）求抛物线的表达式（5） D是抛物线与x轴的另一个交点，点E的坐标为（m，0），其中m＞0，△ADE的面积为。
1 求m的值2 将抛物线向上平移n个单位，得到抛物线，若当0≤x≤m时，抛物线与x轴只有一个公共点，结合函数的图像，求n的取值范围。
课堂检测：已知抛物线（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及坐标轴（2）①试说明无论a为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标。
②将抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线，直接写出的解析式。
（3）若（2）中抛物线的顶点到x轴的距离为2，求a的值。
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翻折规律
1 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，
对称 ()2
y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
操练：
5.（2014•娄底27．（10分））如图甲，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题： （1）设△APQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？
（2）如图乙，连接PC ，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，当四边形PQP ′C 为菱形时，求t 的值；′
（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？
考点：相似形综合题
分析：
（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出=，从而求出AB，再根据=，得出PH=3﹣t，则△AQP的面积为：AQ•PH=t（3﹣t），最后进行整理即可得出答案；
（2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，=，求出AE=﹣t+4，再根据QE=AE﹣AQ，QE=QC得出﹣t+4=﹣t+2，再求t即可；
（3）由（1）知，PD=﹣t+3，与（2）同理得：QD=﹣t+4，从而求出PQ=，在△APQ中，分三种情况讨论：①当AQ=AP，即t=5﹣t，②当PQ=AQ，即
=t，③当PQ=AP，即=5﹣t，再分别计算即可．解答：解：（1）如图甲，过点P作PH⊥AC于H，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴=，
∵AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=5cm，
∴=，
∴PH=3﹣t，
∴△AQP的面积为：
S=×AQ×PH=×t×（3﹣t）=﹣（t﹣）2+，
∴当t为秒时，S最大值为cm2．
（2）如图乙，连接PP′，PP′交QC于E，
当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，
∴△APE∽△ABC，
∴=，
∴AE===﹣t+4
QE=AE﹣AQ═﹣t+4﹣t=﹣t+4，
QE=QC=（4﹣t）=﹣t+2，
∴﹣t+4=﹣t+2，
解得：t=，
∵0＜＜4，
∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是s；
（3）由（1）知，
PD=﹣t+3，与（2）同理得：QD=AD﹣AQ=﹣t+4
∴PQ===，
在△APQ中，
①当AQ=AP，即t=5﹣t时，解得：t1=；
②当PQ=AQ，即=t时，解得：t2=，t3=5；
③当PQ=AP，即=5﹣t时，解得：t4=0，t5=；
∵0＜t＜4，
∴t3=5，t4=0不合题意，舍去，
∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形．
点评：此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、
17. (2014年河南) (23. 11分）如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1,0),B(5,0）两点，
直线y=－3
4
x+3与y轴交于点C，，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过
点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE =5EF,求m的值；
（3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
解：(1)∵抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A (－1,0) , B(5,0)两点，
∴
2
2
0=1b+c
0=55b+c
⎧---
⎨
-+
⎩
（）
∴
b=4
c=5
⎧
⎨
⎩
∴抛物线的解析式为y=－x2+4x+5．………3分（2）点P横坐标为m，
则P(m,－m2＋4m＋5）,E(m,－3
4
m+3)，F(m,0),
∵点P在x轴上方，要使PE=5EF,点P应在y轴右侧，∴ 0＜m＜5.
PE=－m2＋4m＋5－(－3
4
m＋3)= －m2＋
19
4
m＋
2……4分
分两种情况讨论：
①当点E在点F上方时，EF=－3
4
m＋3.
∵PE=5EF，∴－m2＋19
4
m＋2=5(－
3
4
m＋3)
即2m2－17m＋26=0，解得m1=2，m2=13
2
（舍去）……………6分
②当点E在点F下方时，EF=3
4
m－3.
∵PE=5EF，∴－m2＋19
4
m＋2=5(
3
4
m
－3)，
即m2－m－17=0，解得m3
=1
2
+
，m4=
1
2
-
（舍去），
∴m的值为2
……………………………………………8分
(3),点P的坐标为P1(－1
2
，
11
4
),P2(4，5), P3(3
，
－3).………11分
【提示】∵E和E/关于直线PC对称，∴∠E/CP=∠ECP; 又∵PE∥y轴，∴∠EPC=∠E/CP=∠PCE, ∴PE=EC,
又∵CE＝CE/，∴．四边形PECE/为菱形．
过点E作EM⊥y轴于点M,∴△CME∽△COD，∴CE=5
m 4
.
∵PE=CE,∴－m2＋19
4
m＋2=
5
4
m或－m2＋
19
4
m＋2=－
5
4
m，
解得m1=－1
2
，m2=4，m3=3
，m4
（舍去）
可求得点P的坐标为P1(－1
2
，
11
4
),P2(4，5), P3(3
－3)。