§5-4无穷区间上的广义积分

§5—4 广义积分
一、无穷区间上的广义积分
例1 如图，若求以y =
2
1
x 为曲顶、[21，A ]为底的
单曲边梯形的面积S (A )，则是一个典型的定积分问题，
S (A )=⎰A dx x 2
2
11=2－A 1
． 现在若要求由x =
21， y =21x
和x 轴所“界定”的区
域的“面积”S ，则因为面积累积区域是[2
1，+∞]，它已 经不是定积分问题了，也就是说，它不能再通过区间分划、局部近似、无限加细求极限的步骤来处理．但可以通过S (A )，即定积分的极限来得到S ：
S =)1
2(lim )(lim 1lim 221A
A S dx x A A A A -==+∞→+∞→+∞→⎰=2．
定义1 设函数f (x )在 [a ，+∞)内有定义，对任意A ∈[a ，+∞)，f (x )在[a ，A ]上可积(即
定积分⎰
A a
dx x f )(存在)，称极限⎰
+∞→A
a
A dx x f )(lim
为函数f (x )在[a ，+∞)上的无穷区间广义积
分(简称无穷积分)，记作⎰∞
+ )(a
dx x f ，即
⎰∞
+ )(a
dx x f =⎰+∞→A
a
A dx x f )(lim
． (1)
若(1)右边的极限存在，则称无穷积分⎰
∞
+ )(a
dx x f 收敛；否则就称为发散．
例1的问题可以用无穷积分表示为S =⎰∞
+ 22
11
dx x
，而且这个无穷积分是收敛的． 同样可以定义 ⎰
⎰-+∞→∞-=b
A
A b
dx x f dx x f )(lim
)( (极限号下的积分存在
);
⎰∞
+∞- )(dx x f =⎰
⎰+∞→-+∞
→+B
a
B a
A A dx x f dx x f )(lim
)(lim
(2)
(两个极限号下的积分都存在，a ∈(－∞，+∞))．
他们也称为无穷积分，所谓收敛，表示(2)式右边的极限都存在，否则就是发散． 对无穷积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数，则可以通过极限，同时解决敛散问题和求值问题．
例2 计算无穷广义积分：(1)⎰∞+- 0 2dx xe x ；(2)⎰-∞-1 31dx x ；(3)⎰∞+∞
-+ 2
11
dx x ． 解 (1)⎰-A x dx xe 0 2=－21⎰--A x x d e 0
2)(2=－)1(21212
2 0 --=--A A x e e ，
⎰∞
+- 0
2
dx xe x =+∞
→A lim
⎰-A
x dx xe 0
2
=－
21
+∞→A lim )1(2--A e =2
1. (2)2
1 21
321
2121
1A x dx x A
A +
-=-=----⎰
， 2
⎰-∞-1
31
dx x =+∞→A lim ⎰--1 31A dx x =+∞→A lim (22121A +-)=－2
1； (3)⎰⎰⎰+++=+--B A B A dx x
dx x dx x 0
20 2 2111111=arctan A +arctan B ， ⎰∞+∞-+ 211dx x =+∞→A lim ⎰-+0 211A dx x ++∞→B lim ⎰+B dx x
0 211
=+∞→A lim arctan A ++∞→B lim arctan B =2π+2
π=π．
在(3)中我们取0来分割⎰-+B A x 211
为两个积分，取任意a ∈(－∞，+∞)分割会改变结果吗？
例3 证明：无穷积分⎰∞+ 1
p x dx
，(p >0)，当p >1时收敛；当0<p ≤1时发散．
证明 （１）当p =1，⎰⎰==A A
A p
x x dx x dx 1 1 1 ln =ln A ， ⎰∞+ 1 p x
dx =+∞→A lim ⎰A x dx
1 =+∞→A lim ln A =+∞， 所以⎰∞+ 1
x
dx 发散；
（２）当p >0，p ≠1时，p p x x dx A p A
p
-=
-=-⎰
11)1( 1 1 1
(A 1－p －1)， （３）若0<p <1，则1－p >0，所以+∞
→A lim ⎰A
p x dx 1
=p -11+∞
→A lim (A 1－p －1)= +∞，即⎰∞+ 1 p
x dx 发散；
（４）若p >1，则1－p <0，所以+∞
→A lim ⎰A
p x dx 1
=p -11+∞
→A lim (A 1－p －1)=11-p ，即⎰∞+ 1 p
x dx 收敛，且⎰
∞
+ 1
p x dx =
11-p ． 综合可知⎰∞+ 1
p x dx
当p >1时收敛于1
1-p ；当0<p ≤1时发散．
二、无界函数的广义积分 例4 如图，若求以y =
x
1为曲顶、[ε，2](ε>0)为底的单曲边梯形的面积S (ε)，这是一
个典型的定积分问题，
S (ε)=2
2 )2(1εε
x dx x
=⎰=2(ε-2)． 现在若要求由x =2， y =x 1
，x 轴和y 轴所“界定”的区域
的“面积”S ，则因为函数y =x
1
在x =0处无定义，且在(0，2)无
界，与例1类似，它已经不是定积分问题了． 可以通过S (ε)，
即定积分的极限来得到S ：
S =22)2(2lim )(lim 1
lim
002
20=-==+++→→→⎰
εεεεε
εS dx x
． 定义2 设函数f (x )在(a ，b ]上定义，+→a
x lim f (x )=∞；对任意ε (b －a >ε>0)，f (x )在[a +ε， b ]上可积，即⎰+b
a dx x f )(ε
存在，则称极限+
→0
lim ε⎰+b
a dx x f )(ε为无
界函数f (x )在(a ，b ]上的广义积分，即
⎰
b
a
dx x f )(=+
→0
lim ε⎰+b
a dx x f )(ε (3)
若(3)式右边的极限存在，则称无界函数广义积分⎰b a
dx x f )(收敛，否则为发散．
例4的“面积”S 可以表示成S =⎰2
0 21
dx x
，而且无界函数广义积分收敛于22． 无界函数广义积分⎰
b
a
dx x f )(也称为暇积分，且称使f (x )的极限为无穷的那个点a 为暇
点．
暇点也可以是区间的右端点b 或[a ，b ]中间点，并且可以类似于(1)定义暇积分：
⎰
b
a
dx x f )(=+
→0
lim ε⎰ε
- )(b a dx x f
(b 为暇点，极限号下的积分存在)，
⎰b
a dx x f )(=+
→0
1lim ε⎰1
- )(εc a
dx x f ++
→0
2lim ε⎰+b
dx x f c 2
)(ε
(4)
(c ∈(a ，b )为暇点，两个极限号下的积分都存在)．
这种暇积分的所谓收敛，表示(4)式右边的极限都存在，否则就是发散． 对暇积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数，则可以通过极限同时解决敛散问题和求值问题． 例5 求无界函数广义积分(即暇积分)⎰-1
2
1x
dx ．
解 这是一个以x =1为暇点的暇积分．
εε
--=-⎰10
1 0
2
arcsin 1x
x dx =arcsin(1－ε)，
⎰
-1
2
1x dx =+
→0
lim ε⎰--ε
1 0
2
1x dx =+→0
lim εarcsin(1－ε)=
2
π． 例6 当p >0时，⎰1
p
x dx
是以x =0为暇点的暇积分．证明它在0<p <1时收敛，在p ≥1时发散．
证明 当p =1，⎰1
εp x
dx =1 1 )(ln εε
x x dx =⎰=－ln ε(ε>0)，
⎰
1
x dx
=+→0lim ε⎰1 εx dx =+→0
lim ε[－ln ε]=+∞.
当p >0，p ≠1，⎰
1
ε
p
x
dx =p
p x p
-=
--11
11 1ε
(1－ε 1－p ). 若p <1，则1－p >0，⎰
1
0 p x dx =+→0lim ε⎰1 εp x dx =+→0lim εp -11(1－ε 1－p
)=p -11； 若p ≥1，则1－p <0，⎰1 0 p x dx =+→0lim ε⎰1 εp x dx =+→0lim
εp
-11(1－ε 1－p
)= +∞． 所以⎰1 0 p x dx 当0<p <1时收敛于p
-11
，当p ≥1时发散
练习5－4
1. 下面的运算对吗？ (1)因为f (x )=
2
1x
x +是(－∞，+∞)内的奇函数，所以dx x
x ⎰
∞
+∞
-+ 2
1=0；
(2)[]2ln )1ln(21lim ln lim 11)11(2
1 2 1 1 2
-+-=+-=+-+∞→+∞→∞+∞+∞
+⎰⎰⎰
B A dx x x dx x dx x x x B A ， 由于⎰∞+ 1 1dx x ， dx x x
⎰∞++ 1
2
1均发散，所以dx x x x ⎰∞++- 1 2)11(发散； (3)23)1(2
312 0 2 0 3
32=-=-⎰x x dx (1－1)=0． 2. 计算下列广义积分： (1)⎰∞+ 1
21dx x ； (2)dx x ⎰∞--0 11； (3)⎰∞+∞
-++ 22
21
dx x x ．。