§5-4无穷区间上的广义积分

§5—4 广义积分

一、无穷区间上的广义积分

例1 如图，若求以y =

2

1

x 为曲顶、[21，A ]为底的

单曲边梯形的面积S (A )，则是一个典型的定积分问题，

S (A )=⎰A dx x 2

2

11=2－A 1

． 现在若要求由x =

21， y =21x

和x 轴所“界定”的区

域的“面积”S ，则因为面积累积区域是[2

1，+∞]，它已 经不是定积分问题了，也就是说，它不能再通过区间分划、局部近似、无限加细求极限的步骤来处理．但可以通过S (A )，即定积分的极限来得到S ：

S =)1

2(lim )(lim 1lim 221A

A S dx x A A A A -==+∞→+∞→+∞→⎰=2．

定义1 设函数f (x )在 [a ，+∞)内有定义，对任意A ∈[a ，+∞)，f (x )在[a ，A ]上可积(即

定积分⎰

A a

dx x f )(存在)，称极限⎰

+∞→A

a

A dx x f )(lim

为函数f (x )在[a ，+∞)上的无穷区间广义积

分(简称无穷积分)，记作⎰∞

+ )(a

dx x f ，即

⎰∞

+ )(a

dx x f =⎰+∞→A

a

A dx x f )(lim

． (1)

若(1)右边的极限存在，则称无穷积分⎰

∞

+ )(a

dx x f 收敛；否则就称为发散．

例1的问题可以用无穷积分表示为S =⎰∞

+ 22

11

dx x

，而且这个无穷积分是收敛的． 同样可以定义 ⎰

⎰-+∞→∞-=b

A

A b

dx x f dx x f )(lim

)( (极限号下的积分存在

);

⎰∞

+∞- )(dx x f =⎰

⎰+∞→-+∞

→+B

a

B a

A A dx x f dx x f )(lim

)(lim

(2)

(两个极限号下的积分都存在，a ∈(－∞，+∞))．

他们也称为无穷积分，所谓收敛，表示(2)式右边的极限都存在，否则就是发散． 对无穷积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数，则可以通过极限，同时解决敛散问题和求值问题．

例2 计算无穷广义积分：(1)⎰∞+- 0 2dx xe x ；(2)⎰-∞-1 31dx x ；(3)⎰∞+∞

-+ 2

11

dx x ． 解 (1)⎰-A x dx xe 0 2=－21⎰--A x x d e 0

2)(2=－)1(21212

2 0 --=--A A x e e ，

⎰∞

+- 0

2

dx xe x =+∞

→A lim

⎰-A

x dx xe 0

2

=－

21

+∞→A lim )1(2--A e =2

1. (2)2

1 21

321

2121

1A x dx x A

A +

-=-=----⎰

， 2

⎰-∞-1

31

dx x =+∞→A lim ⎰--1 31A dx x =+∞→A lim (22121A +-)=－2

1； (3)⎰⎰⎰+++=+--B A B A dx x

dx x dx x 0

20 2 2111111=arctan A +arctan B ， ⎰∞+∞-+ 211dx x =+∞→A lim ⎰-+0 211A dx x ++∞→B lim ⎰+B dx x

0 211

=+∞→A lim arctan A ++∞→B lim arctan B =2π+2

π=π．

在(3)中我们取0来分割⎰-+B A x 211

为两个积分，取任意a ∈(－∞，+∞)分割会改变结果吗？

例3 证明：无穷积分⎰∞+ 1

p x dx

，(p >0)，当p >1时收敛；当0

证明 （１）当p =1，⎰⎰==A A

A p

x x dx x dx 1 1 1 ln =ln A ， ⎰∞+ 1 p x

dx =+∞→A lim ⎰A x dx

1 =+∞→A lim ln A =+∞， 所以⎰∞+ 1

x

dx 发散；

（２）当p >0，p ≠1时，p p x x dx A p A

p

-=

-=-⎰

11)1( 1 1 1

(A 1－p －1)， （３）若0

0，所以+∞

→A lim ⎰A

p x dx 1

=p -11+∞

→A lim (A 1－p －1)= +∞，即⎰∞+ 1 p

x dx 发散；

（４）若p >1，则1－p <0，所以+∞

→A lim ⎰A

p x dx 1

=p -11+∞

→A lim (A 1－p －1)=11-p ，即⎰∞+ 1 p

x dx 收敛，且⎰

∞

+ 1

p x dx =

11-p ． 综合可知⎰∞+ 1

p x dx

当p >1时收敛于1

1-p ；当0

二、无界函数的广义积分 例4 如图，若求以y =

x

1为曲顶、[ε，2](ε>0)为底的单曲边梯形的面积S (ε)，这是一

个典型的定积分问题，

S (ε)=2

2 )2(1εε

x dx x

=⎰=2(ε-2)． 现在若要求由x =2， y =x 1

，x 轴和y 轴所“界定”的区域

的“面积”S ，则因为函数y =x

1

在x =0处无定义，且在(0，2)无

界，与例1类似，它已经不是定积分问题了． 可以通过S (ε)，

即定积分的极限来得到S ：