随机变量的概率

随机变量的概率 (选修2-3)
一、知识回顾
1. 离散型随机变量x 的概率分布
随机变量x 有n 个取值
x x x ,,, ，且),,2,1(,)(n i p x X P ===——概率分布列
性质：（1）01,(1,2,
,)i p i n ≤≤=；（2）121=+++n p p p 。

2. 两点分布或0-1分布： （0<p<1)
3. 超几何分布: ),,(~N M n H X
)),min(,2,1,0(,)(n M m m r C C C r X P n
N
r n M
N r M ====-- 注意：超几何分布是有限样本不放回抽样，超几何分布中的参数是n ，M ，N 。

4.事件的独立性
（1）条件概率：事件B 已经发生的条件下，事件A 发生的概率，称为B 已发生的条件下A 的条件概率，记作)|(B A P 。

计算公式：)
()
()|(B P AB P B A P =
；推论：)()()(B P B A P AB P ⋅=. （2）独立事件
（i ）事件A ，B 满足)()|(A P B A P =，则称事件A ，B 独立； （ii ）事件A ，B 独立)()()(B P A P AB P ⋅=⇔；
（iii ）事件n A A A ,,,21 相互独立，则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =。

注意：如果事件A 、B 独立，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是独立事件。

5. 二项分布：X ～),(p n B
（1）事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k 次．的概率()(1)k k n k
n n P k C p p -=-，其中p 为在一
次独立重复试验中事件A 发生的概率。

（2）随机变量x 的分布列：),,2,1,0(,)1()(n k p p C k X P k n k
k n
=-==-，其中10<<p ，则称X 服从参数p n ,的二项分布，X ～),(p n B 。

6. 离散型随机变量的数字特征 随机变量x 的概率分布：
（1）均值（数学期望） n n p x p x p x
X E +++== 2211)(μ——随机变量x 的均值（数学期望）
（2）方差
n n p X E x p X E x p X E x X V 2222121))(())(())(()(-++-+-= ——随机变量x
的方差
变形式：222221212)]([)()(X E p x p x p x X V n n -+++== σ。

标准差：)(X V =σ
注意：①数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差、标准差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

②b X aE b aX E +=+)()(，)()(2X V a b aX V =+
③若X ～),(p n B ,则E __________)(=X , ________)(=X V 。

若X 服从超几何分布, 即X ～)N ,M ,n (H ，则=)(x E ________。

7.概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”， B=“…”；②列式计算；③作答。

8．离散型随机变量分布列的解法步骤：
二、基础训练
1．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)= 。

2.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个3点”，则概率)(B A P 等于 。

3.小王通过听力测试的概率是
3
1
,他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的概率是___。

4.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a
n (n ＋1)
(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则
)2
5
21(<<X P = 。

三、典型例题
例1．某校从4名男生和2名女生中任选3人参加全市演讲比赛。

如果设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数。

求：(1) ξ的分布列；(2) ξ的数学期望；(3) “所选3人中女生人数1ξ≥”的概率。

例2．在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题。

规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设
4名考生选做这两题的可能性均为1
2
.(Ⅰ)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率;(Ⅱ)设这4名考生中选做第15题的学生数为X 个,求X 的分布列及数学期望.
例3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 12和
2
3
，假设两人射击是否击中目标相互之
间无影响，每人各次射击是否击中目标，相互之间也无影响
（1）若乙射击4次，记乙命中的次数为X ，求X 的概率分布及数学期望()E X ； （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； （3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，问乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
四、课后作业 姓名 班级 学号 1．若~(,)X B n p ，() 2.4E X =，() 1.44V X =，则(1)P X == 。

2．在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同),依次不放回地摸出2个球,在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球的概率是 3.随机变量ξ的分布列如右图： 其中a 、b 、c 成等差数列，若E(ξ)＝1
3
，则V(ξ)的值是________． 4.假设一个小孩是男或女是等可能的，已知一个家庭有3个小孩，且其中至少有一个是女孩，这个家庭至少有一个男孩的概率为_________________.
5.电子钟一天显示的时间是从00∶00到 23∶59，每时刻由四个数字组成，则一天中任一 时刻显示的四个数字之和为23的概率是________．
6.甲乙二人从1，2，…，15中依次任取一个数（不放回），已知甲取到的数字是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______________.
7.某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是1
2
，构造数列{a n }，使得a n ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
1 (第n 次抛掷时出现正面)，－1 (第n 次抛掷时出现反面)，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为 。

8.一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率都是1
2，且是相互独立的，则
灯亮的概率是________。

ξ －1 0 1 P
a
b
c
（第8题） （第9题 ）
9.如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝________。

10．某社区拟选拔一批综合素质较高的居民，参加2013年争创全国文明城市宣传活动．假定符合选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为45，34，12，1
3，且各轮问题能否正
确回答互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为X ，求随机变量X 的分布列．
11．袋子里有大小相同但标有不同号码的3个红球和4个黑球，从袋子里随机取出4个球. （Ⅰ）求取出的红球数ξ的概率分布列及数学期望E ξ；
（Ⅱ）若取到一个红球得3分，取到一个黑球得2分，求得分不超过10分的概率.
12．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记1x y x ξ=-+-．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列、数学期望及方差．。