随机变量的概率

随机变量的概率 (选修2-3)

一、知识回顾

1. 离散型随机变量x 的概率分布

随机变量x 有n 个取值

x x x ,,, ，且),,2,1(,)(n i p x X P ===——概率分布列

性质：（1）01,(1,2,

,)i p i n ≤≤=；（2）121=+++n p p p 。

2. 两点分布或0-1分布： （0

3. 超几何分布: ),,(~N M n H X

)),min(,2,1,0(,)(n M m m r C C C r X P n

N

r n M

N r M ====-- 注意：超几何分布是有限样本不放回抽样，超几何分布中的参数是n ，M ，N 。 4.事件的独立性

（1）条件概率：事件B 已经发生的条件下，事件A 发生的概率，称为B 已发生的条件下A 的条件概率，记作)|(B A P 。 计算公式：)

()

()|(B P AB P B A P =

；推论：)()()(B P B A P AB P ⋅=. （2）独立事件

（i ）事件A ，B 满足)()|(A P B A P =，则称事件A ，B 独立； （ii ）事件A ，B 独立)()()(B P A P AB P ⋅=⇔；

（iii ）事件n A A A ,,,21 相互独立，则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =。

注意：如果事件A 、B 独立，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是独立事件。 5. 二项分布：X ～),(p n B

（1）事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k 次．的概率()(1)k k n k

n n P k C p p -=-，其中p 为在一

次独立重复试验中事件A 发生的概率。

（2）随机变量x 的分布列：),,2,1,0(,)1()(n k p p C k X P k n k

k n

=-==-，其中10<

6. 离散型随机变量的数字特征 随机变量x 的概率分布：

（1）均值（数学期望） n n p x p x p x

X E +++== 2211)(μ——随机变量x 的均值（数学期望）

（2）方差

n n p X E x p X E x p X E x X V 2222121))(())(())(()(-++-+-= ——随机变量x

的方差

变形式：222221212)]([)()(X E p x p x p x X V n n -+++== σ。 标准差：)(X V =σ

注意：①数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差、标准差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

②b X aE b aX E +=+)()(，)()(2X V a b aX V =+

③若X ～),(p n B ,则E __________)(=X , ________)(=X V 。

若X 服从超几何分布, 即X ～)N ,M ,n (H ，则=)(x E ________。 7.概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”， B=“…”；②列式计算；③作答。 8．离散型随机变量分布列的解法步骤：

二、基础训练

1．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)= 。

2.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个3点”，则概率)(B A P 等于 。

3.小王通过听力测试的概率是

3

1

,他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的概率是___。 4.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a

n (n ＋1)

(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则

)2

5

21(<

例1．某校从4名男生和2名女生中任选3人参加全市演讲比赛。如果设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数。求：(1) ξ的分布列；(2) ξ的数学期望；(3) “所选3人中女生人数1ξ≥”的概率。

例2．在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题。规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设

4名考生选做这两题的可能性均为1

2

.(Ⅰ)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率;(Ⅱ)设这4名考生中选做第15题的学生数为X 个,求X 的分布列及数学期望.

例3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 12和

2

3

，假设两人射击是否击中目标相互之

间无影响，每人各次射击是否击中目标，相互之间也无影响

（1）若乙射击4次，记乙命中的次数为X ，求X 的概率分布及数学期望()E X ； （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； （3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，问乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

四、课后作业 姓名 班级 学号 1．若~(,)X B n p ，() 2.4E X =，() 1.44V X =，则(1)P X == 。

2．在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同),依次不放回地摸出2个球,在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球的概率是 3.随机变量ξ的分布列如右图： 其中a 、b 、c 成等差数列，若E(ξ)＝1

3

，则V(ξ)的值是________． 4.假设一个小孩是男或女是等可能的，已知一个家庭有3个小孩，且其中至少有一个是女孩，这个家庭至少有一个男孩的概率为_________________.

5.电子钟一天显示的时间是从00∶00到 23∶59，每时刻由四个数字组成，则一天中任一 时刻显示的四个数字之和为23的概率是________．

6.甲乙二人从1，2，…，15中依次任取一个数（不放回），已知甲取到的数字是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______________.

7.某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是1

2

，构造数列{a n }，使得a n ＝

⎩

⎪⎨⎪⎧

1 (第n 次抛掷时出现正面)，－1 (第n 次抛掷时出现反面)，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为 。 8.一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率都是1

2，且是相互独立的，则

灯亮的概率是________。

ξ －1 0 1 P

a

b

c