第四章 圆与方程 章末复习与总结
2020版人教A数学必修2：第四章 圆与方程 章末总结
题型探究·素养提升
题型一 圆的方程 [典例1] (2018·安徽宿州高二期末)求适合下列条件的圆的方程. (1)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);
解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
b 4a,
则有 3 a2 2 b2 r2, 解得 a=1,b=-4,r=2 2 .
2 选 C.
4.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点 A(1,0),B(0, 3 ),C(2, 3 ),则△ABC 外 接圆的圆心到原点的距离为( B )
(A) 5 3
(B) 21 3
(C) 2 5 (D) 4
3
3
解析:设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,
所以
1 D F 0, 3 3E F 0, 7 2D 3E F
解析:圆 M:x2+y2-2ay=0 的圆心 M(0,a),半径为 a.所以圆心 M 到直线 x+
y=0 的距离为 a ,由直线 y+x=0 被圆 M 截得弦长为 2 2 知 a2- a2 =2,
2
2
故 a=2.即 M(0,2),且圆 M 半径为 2.又圆 N 的圆心 N(1,1),且半径为 1,
由|MN|= 2 ,且 2-1< 2 <2+1.故两圆相交.故选 B.
题型二 直线与圆的位置关系 [典例2] 已知点P(1,5),圆C:x2+y2-4x-4y+4=0. (1)过点P作圆的切线PT,T为切点,求线段PT的长; 解:(1)化圆 C:x2+y2-4x-4y+4=0 为(x-2)2+(y-2)2=4, 得圆心为 C(2,2),半径 r=2.
人教A版必修二第四章圆与方程复习课件
y
B
O
x
2 2 2 2 x y 4 25 x y 3．已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长
|AB|的值
解法二：（弦长公式）
x 2 y 2 25
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2
联立方程组 消去二次项
2 2 x y 2x 8 y 8 0 ① 2 2 x y 4x 4 y 2 0 ②
①-②得 x 2 y 1 0 ③ 把上式代入①
x 2x 3 0 ④ (2)2 4 1 (3) 16
• 1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等 于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点 叫做圆心，定长叫做圆的半径. • 2.圆的方程 • （1）标准方程：以（a,b）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a） 2+（y-b）2=r2.
• （2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. • 当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的
画板 直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 的距离为 d
| Aa Bb C | A B
2 2
则
位置 d与 r
图形
相离
d>r
d
相切 d=r
d r
相交 d<r
d r
r
交点个数
当-2 2 <b<2
高中数学《第四章圆与方程小结》65PPT课件
即 x－3＝0.
又点 C(1，2)到直线 x－3＝0 的距离 d＝3－1＝2＝r， 即此时满足题意，所以直线 x＝3 是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为 y－1＝k(x－3)， 即 kx－y＋1－3k＝0， 则圆心 C 到切线的距离 d＝|k－2k＋2＋1－1 3k|＝r＝2，
解得 k＝34. ∴切线方程为 y－1＝34(x－3)，即 3x－4y－5＝0. 综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x－3＝0 或 3x－ 4y－5＝0.
4．若经过两点 A（－1，0）、B（0，2）的直线l 与圆（x 1）2 ( y a)2 1
相切，则a =
.
5．求圆（x 1）2 ( y 1)2 1上的点到直线3x 4y 3 0 的距离的最大最小 值 [解] 最大距离为3 最小距离为1
知识像一艘船
让它载着我们 驶向理想的 ……
[解] 如图，直线L过圆心，且与直 线3x+4y=25垂直于点M， 此时，l 与圆有两个交点A、B， ∵原点到直线3x+4y=25的距离 |OM|=5， ∴圆上的点到直线3x+4y=25的距离 的 最大值为：|AM|=|OM|+r=5+1=6 最小值为：|BM|=|OM|-r=5-1=4
知识点三：切线问题
例 3 已知点 P( 2 1,2 2) ，点 M(3，1)，圆 C：(x 1)2 ( y 2)2 4 (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程； (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长．
[解] 由题意得圆心 C(1，2)，半径长 r＝2.
(1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4，
例 4 设圆的方程为 x2 y2 13 ，它与斜率为- 2 的直线相切，求切线的
必修2第四章直线和圆复习
必修2第四章直线和圆复习一圆的标准方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程；能用待定系数法、几何法求圆的标准方程.知识要点：1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程； （2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程. 例题精讲：【例1】过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）.A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C.（x －1）2＋（y －1）2＝4D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4解：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件, 再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程. A 不满足条件. 所以，选C.另解：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r , 因为圆心C 在直线x +y －2=0上, ∴b =2－a .由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1. 因此，所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=4. 选C.【例2】求下列各圆的方程：（1）过点(2,0)A -，圆心(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B -- 解：（1）设所求圆的方程为222(3)(2)x y r -++=. 则222(23)(02)r --++=， 解得229r =. ∴ 圆的方程为22(3)(2)29x y -++=. （2）圆心在线段AB 的垂直平分线3y =-上，代入直线270x y --=得2x =，圆心为(2,3)-，半径r =∴ 圆C 的方程为22(2)(3)5x y -++=.【例3】一个圆经过点(5,0)A 与(2,1)B -，圆心在直线3100x y --=上，求此圆的方程.解：设圆心(,)P a b ，则3100a b --=⎧= 解得13a b =⎧⎨=-⎩.圆的半径5r ===. ∴ 圆的标准方程为22(1)(3)25x y -++=.另解：线段AB 的中点'5201(,)22P -+，即'31(,)22P . 直线AB 的斜率101257k -==---. 所以弦AB 的垂直平分线的方程为137(22y x -=-，即7100x y --=.解方程组31007100x y y --=⎧⎨--=⎩，得13x y =⎧⎨=-⎩， 即圆心(1,3)P -.圆的半径5r ===. ∴ 圆的标准方程为22(1)(3)25x y -++=.点评：两种解法，都是先求出圆心与半径，第一种解法用设圆心坐标后列方程而求，第二种解法用两条直线的交点求圆心. 由上可得，解法关键都是如何求圆心与半径.二圆的一般方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的一般方程；能用待定系数法求圆的一般方程.知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是(,22D E--，半径长的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式.例题精讲：【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程. 解：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 则442202595309130D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩， 解得8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩. ∴ 圆的方程为2282120x y x y +--+=.【例2】设方程222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.解：配方得[]222(3)(14)16x m y m m ⎡⎤-++--=+⎣⎦，该方程表示圆，则有160m +>，得1(,)6m ∈-+∞，此时圆心的轨迹方程为2314x m y m=+⎧⎨=-⎩，消去m ，得24(3)1y x =--， 由1(,)6m ∈-+∞得x =m +317(,)6∈+∞. ∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，17(,)6x ∈+∞ 【例3】已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点轨迹方程. （教材P 133 例5 另解）（利用中点坐标公式可更简单）解：设圆22(1)4x y ++=的圆心为P (-1,0)，半径长为2，线段AB 中点为M(x , y ).取PB 中点N ,其坐标为(142-+,032+)，即N (32,32).∵ M 、N 为AB 、PB 的中点, ∴ MN ∥P A 且MN =12P A =1. ∴ 动点M 的轨迹为以N 为圆心，半径长为1的圆. 所求轨迹方程为：2233()(122x y -+-=.点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质，将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长，即圆的定义. 解法关键是连接PB ，取PB 的中点N ，得到MN 的长度为定值. 教材中的解法是通过设动点的坐标，然后找出相关的几何条件，得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程.【例4】求经过(4,2),(1,3)A B -两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.解：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 当0x =时，20y Ey F ++=，则122E y y +=-； 当0y =时，20x Dx F ++=，则122D x x +=-. 则1644201930((422D E F D E F D E ⎧⎪++++=⎪+-++=⎨⎪⎪-+-=⎩， 解得352D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩. ∴ 圆的方程为223520x y x y +--+=.点评：用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组）→求（解方程组）→写（写出所求方程）”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解.三 直线与圆的位置关系学习目标：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离d =，比较d 与r 的大小.（1）相交d r ⇔<⇔ 0∆>；（2）相切d r ⇔=⇔0∆=；（3）相离d r ⇔>⇔0∆<.2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式d =例题精讲：【例1】若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为 . 解：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1, 其圆心为（1，0），半径为1，由直线（1＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离1d ==， ∴ a ＝－1. 【例2】求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.解：由题意，列出方程组22220(3)9x y x y --=⎧⎨-+=⎩，消y 得251440x x -+=，得12145x x +=，1245x x =. 设直线220x y --=与圆22(3)9x y -+=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21|||AB x x =-==.另解：圆心C 的坐标是(3,0)，半径长3r =. 圆心到直线220x y --=的距离d =所以，直线220x y --=被圆22(3)9x y -+=截得的弦长是==. 【例3】若经过点(1,0)P -的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则此直线在y 轴上的截距是 .解：圆的标准方程为22(2)(1)2x y ++-=，则圆心(2,1)C -，半径r 设过点(1,0)P -的直线方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=.∴ 圆心到切线的距离d r ==1k =.∴ 直线方程为1y x =+，在y 轴上的截距是1.点评：研究直线和圆的相切，简捷的方法是利用公式d r ==，还可以由方程组只有一个实根进行解答. 选择恰当的方法，是我们解题的一种能力.【例4】设圆上的点A （2，3）关于直线x +2y =0的对称点仍在这个圆上，且与直线x -y +1=0相交的弦长为求圆的方程.解：设A 关于直线x +2y =0的对称点为A ’. 由已知得AA ’为圆的弦，得到AA ’的对称轴x +2y =0过圆心. 设圆心P （-2a ，a ），半径为r ， 则r =|P A |=(-2a -2)2+(a -3)2.又弦长，圆心到弦AA ’的距离为d∴ 22(31)22a R -=+， 即4(a +1)2+(a -3)2=2+2(31)2a -， 解得a =-7或a =-3.当a =-3时，r a =-7时，r ∴ 所求圆方程为(x -6)2+(y +3)2=52或(x -14)2+(y +7)2=244.点评：在解答与圆的弦长相关的一些问题时，常用勾股定理，得到圆心到弦的距离d 、半径r 、半弦长的一个勾股式. 这种方法与方程组的思想求解弦长问题相比，计算过程较为简单. 四圆与圆的位置关系学习目标：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 掌握坐标法的思想，用解方程组判别位置关系或求交点坐标.知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：（1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+； （3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-；例题精讲：【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.解：（1）∵圆1C 的圆心为（3,0），半径为1r =2C 的圆心为（0，2），半径为2r =又12||C C =12||r r -＜12||C C <12r r +，∴圆1C 与2C 相交.（2）由①－②，得公共弦所在的直线方程为320x y -=.【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.解：设所求圆的方程为22628x y y ++-22(64)0x y x λ+++-=，即22(1)(1)662840x y x y λλλλ+++++--=,则所求圆的圆心为33(,)11λλλ--++.∵圆心在直线40x y --=上， ∴334011λλλ-+-=++，解得17λ=-.∴ 所求圆的方程为2x ＋27320y x y -+-=【例3】已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为 A.22(1)1x y ++= B.221x y += C.22(1)1x y ++= D.22(1)1x y +-= 解：已知圆的半径1r =，圆心(1,0)，圆心(1,0)关于直线y x =-的对称点为(0,1)-， 则圆C 的方程为22(1)1x y ++=. 选C.点评：圆关于直线的对称图形仍然是圆，半径不变，圆心关于直线对称. 我们要掌握一些常见对称问题的解答思路，例如点关于直线的对称，曲线关于直线的对称，曲线关于点的对称等，解答理论基础有中点坐标公式、垂直时斜率乘积为－1、代入法、转化思想.同时，我们也要掌握一些简单对称，如点(,)a b 关于直线y x =的对称点为(,)b a .【例4】求圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦的长.解：由题意，列出方程组22224044120x y x y x y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，消去二次项，得2y x =+. 把2y x =+代入2220x y x y +-+=，得220x x +=，解得122,0x x =-=，于是120,2y y ==，两圆的交点坐标是(2,0)A -，(0,2)B，所以，公共弦长||AB =. 另解：由题意，列出方程组 22224044120x y x y x y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，消去二次项，得2y x =+，它即公共弦所在直线的方程. 圆2240x y +-=的圆心到直线20x y -+=的距离为d =所以，两圆的公共线长为==点评：为何两圆的方程消去二次项后，即为公共弦所在直线的方程，我们易由曲线系的知识可得. 比较方程思想与几何方法求解两圆的公共弦长，几何方法更为简捷. 先求公共弦所在直线，再求一圆心到直线的距离，通过公式.五直线与圆的方程的应用【例1】实数,x y 满足222410x y x y ++-+=， 求下列各式的最大值和最小值：（1）y；（2）2x y -. 解：原方程为22(1)(2)4x y ++-=，表示以(1,2)P -为圆心，2为半径的圆. （1）设4yk x =-，几何意义是：圆上点(,)M x y 与点(4,0)Q 连线的斜率. 由图可知当直线MQ 是圆的切线时，k 取最大值与最小值。
数学第四章知识点总结
第四章圆与方程知识点总结4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程C ：222()()x a y b r -+-= 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的方程 2、点00(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：4.1.2 圆的一般方程1、方程022=++++F Ey Dx y x○1、当0422＞F E D -+时，方程022=++++F Ey Dx y x 为圆的一般方程，其中圆心为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径长为F E D 42122-+，即44222222F E D E y D x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ○2、当0422=-+F E D 时，方程022=++++F Ey Dx y x 表示点⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ○3、当0422＜F E D -+时，方程022=++++F Ey Dx y x 无解，不表示任何图形。
2、圆的一般方程的特点：(1)①2x 和2y 的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
补充：已知直径两端点的圆的方程公式推导:以()()2211,,x y x B y A ，为直径的两端点的圆的方程是()()()()02121=--+--y y y y x x x x4.2.1 直线与圆的位置关系几何法：直线0y x =++C B A l ：，圆心C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆心C 到直线l 的距离d 。
代数法：直线0y x =++C B A l ：，圆心C ：022=++++F Ey Dx y x ，两方程联立，消去x 或者y ，得到关于y 或者x 的一元二次方程，其判别式△4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系．设两圆的连心线长为21C C ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当2121r r C C +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当2121r r C C +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 2121r r C C +<时，圆1C 与圆2C 相交； （4）当||2121r r C C -=时，圆1C 与圆2C 内切； （5）当||2121r r C C -<时，圆1C 与圆2C 内含； 4.2.3 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 4.3.1空间直角坐标系1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
高考数学二轮复习章节概述(人教版必修二)第四章
数学·必修2(人教A版)
圆与方程
1．圆与方程．
(1)回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
2．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．
3．空间直角坐标系．
(1)通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．
(2)通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．
4．学习本章要注意的问题．
在平面解析几何初步的教学中，同学们的学习将经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法．
圆的知识的学习要注意与初中知识的衔接，特别是要充分利用同学们初中已学习过的知识．如点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系均已在初中讲过．利用几何意义解决许多与圆相关的问题往往比较方便，但作为解析几何的基本思想用代数研究几何问题也要充分重视，并为以后学习圆锥曲线打好基础．。
圆与方程复习
第四章．圆与方程复习一．学习目标：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式；初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 二．典题精讲【例1】 直线y=x+b 与曲线x=21y -有且仅有一个公共点，则b 的取值范围___________针对练习当曲线y=1+24x -与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是（ ）A.（0，125）B.（43,31］C.（43,125］D.（125，+∞）【例2】点P （x,y ）满足(x-2)2+y 2=1， 求：（1）xy的最大值； （2）求22x y +的范围 （3）y-x 的最小值.【例3】已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.三．知识反馈1.若(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）. A ．30x y --= B ．230x y +-= C ．10x y +-= D ．250x y --=2.设直线过点(0,a )，其斜率为1, 且与圆x 2+y 2=2相切，则a 的值为（ ）. A.±±2 B.±±4.3.圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ）.A ．36 B. 18C.D. 4.圆(x-3)2+(y+4)2=1关于直线x+y=0对称的圆的方程是( ) A.(x+3)2+(y-4)2=1 B.(x-4)2+(y+3)2=1C.(x+4)2+(y-3)2=1 D.(x-3)2+(y-4)2=15.两圆(x-a)2+(y-b)2=c 2和(x-b)2+(y-a)2=c 2相切，则( ) A.(a-b)2=c 2B.(a-b)2=2c 2C.(a+b)2=c2D.(a+b)2=2c 26.已知方程x 2+y 2+4x-2y-4=0，则x 2+y 2的最大值是( ) A.9 B.14 C.14-56 D.3+57.圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程 . 8.过点(1的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ .9.求与y 轴相切，在直线y=x 上截得的弦长为72,且圆心在直线x-3y=0上的圆的方程.10.已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.四．能力提高1．若坐标原点在圆x 2+y 2-2mx+2my+2m 2-4=0的内部，则实数m 的取值范围是( ) A.(-1，1) B.(22,22-) C.(3,3-) D.(2,2-) 2.Rt△ABC 的斜边为AB ，点A(-2，0),B(4，0)，则△ABC 的重心G 的轨迹方程是( ) A.(x-1)2+y 2=1(x≠0) B.(x-1)2+y 2=4(y≠0) C.(x-1)2+y 2=1(y≠0) D.(x+1)2+y 2=1(y≠0)3.设M={(x ，y)|x 2+y 2≤25}，N={(x ，y)|(x-a)2+y 2≤9}，若M∩N=M，则实数a 的取值范围是_____.4.已知圆C ：x 2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0,（1）求证：对m∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点. （2）设l 与圆C 交于A 、B 两点，若|AB|=17，求l 的倾斜角. （3）求弦AB 的中点M 的轨迹方程.。
高一数学人教A版必修二 课件 第四章 圆与方程 4 章末高效整合
圆与方程
知能整合提升
1．明确圆的两种方程，掌握待定系数法 (1)圆的标准方程： (x－ a)2＋(y－ b)2＝ r2，其中，圆心是 C(a， b)，半径长 是 r. 圆的一般方程： x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0(D2＋ E2－ 4F>0)，其中，圆心是
D E 1 － ，－ ，半径长是 2 2 2
法二：设所求圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
2 2 2 2－a ＋－3－b ＝r ， 2 2 2 根据已知条件得－2－a ＋－5－b ＝r ， 3a＋b＋5＝0
a＝－1， ⇒b＝－2， r2＝10，
所以所求圆 C 的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
1．已知动圆 C 经过点 A(2，－3)和 B(－2，－5)． (1)当圆 C 面积最小时，求圆 C 的方程； (2)若圆 C 的圆心在直线 3x＋y＋5＝0 上，求圆 C 的方程．
解析：
(1)要使圆 C 的面积最小，则 AB 为圆 C 的直径．
1 圆心 C(0，－4)，半径 r＝ |AB|＝ 5， 2 所以所求圆 C 的方程为 x2＋(y＋4)2＝5.
D2＋ E2－ 4F.
注意：二元二次方程表示圆的条件是 x2 和 y2 的系数相等，且没有 xy 项．
(2)圆的标准方程和一般方程中都含有三个参变量(a，b，r 或 D，E，F)．求 圆的方程时，由题意得到三个独立的条件，利用待定系数法求出三个参变量的 值即可． (3)解题时选用圆的标准方程或一般方程的一般原则是： 如果已知圆心或半 径长或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点， 通常可用圆的一般方程． 求圆的方程时，注意运用圆的几何性质，简化运算．
高中数学必修二第四章 章末复习题圆的相关试题(含答案)
章末复习一、知识导图二、要点归纳1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).2.点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外.(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内.(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r⇒相离；d＝r⇒相切；d<r⇒相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|关系(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一圆的方程例1一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，求该圆的方程.考点题点解∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，可得圆心与点M(3，－3)的连线与直线x＋3y＝0垂直，其斜率为 3.设圆C的圆心为(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3a －3＝3，(a －1)2＋b 2＝1＋|a ＋3b |2.解得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，∴圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.反思感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：第一步：选择圆的方程的某一形式.第二步：由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组).第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F ).第四步：代入圆的方程.注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练1 (1)如图所示，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为____________________.答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2解析 取AB 的中点D ，连接CD ，AC ，则CD ⊥AB .由题意知，|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C (1，2)，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程. 解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心坐标为(a ，b )，半径r ＝10，圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2， 由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得，d 2＋⎝⎛⎭⎫4222＝r 2， 即(a －b )22＋8＝10， ∴(a －b )2＝4，又∵b ＝2a ，∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离考点题点答案 B解析 由垂径定理得⎝⎛⎭⎫a 22＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4， ∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆M 与圆N 的圆心距d ＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交.(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.考点题点答案 4解析 联立⎩⎨⎧ x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，消去x 得y 2－33y ＋6＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2 3. 不妨设A (－3，3)，B (0,23)，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋y ＋23＝0，令y ＝0得x C ＝－2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D ＝2，∴|CD |＝4.反思感悟 直线与圆、圆与圆的主要题型为：①位置关系的判断，②弦长问题，③求圆的方程.解决问题的方法主要有两种，一种代数法，一种几何法.跟踪训练2 (1)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A.1B.2C. 2D.2 2考点题点答案 C(2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.考点题点答案 4π解析 x 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a ).又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2， 所以⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2， 得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.题型三 对称问题例3 从点B (－2,1)发出的光线经x 轴上的点A 反射，反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2＝12相切，求点A 的坐标.考点题点解 点B (－2,1)关于x 轴对称的点为B ′(－2，－1)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在的直线方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.由题意，得|0－0＋2k －1|k 2＋1＝12， 化简得7k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝1或k ＝17， 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或x －7y －5＝0.令y ＝0，则x ＝－1或x ＝5.所以A 点的坐标为(－1,0)或(5,0).反思感悟 (1)对称的两种类型即轴对称与中心对称.(2)准确把握对称的几何性质.(3)圆的对称图形关键是圆心的对称，其半径不变.跟踪训练3 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________________________________________________________________________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.题型四 圆中的最值问题例4 圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦长的最大值为( )A.2 2B.2C. 2D.1考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 B解析 由题意得，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1和(x ＋b )2＋(y ＋b )2＝2，两圆的圆心坐标分别为(－a ，－a )，(－b ，－b )，半径分别为1，2，则当公共弦为圆(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.反思感悟 与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离：d max ＝|OP |＋r ，d min ＝||OP |－r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m ，则d max ＝m ＋r ，d min＝|m －r |.(3)已知点的运动轨迹是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，求①y x ；②y －m x －n；③x 2＋y 2等式子的最值，一般是运用几何法求解.跟踪训练4 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值为________. 考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 2 2解析 圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心为C (1,1)，半径为1，由题意知，当圆心C 到点P 的距离最小时(即为圆心到直线的距离)，四边形的面积最小，又圆心到直线的距离d ＝|3＋4＋8|32＋42＝3， ∴|P A |＝|PB |＝d 2－r 2＝22，∴S 四边形P ACB ＝2×12|P A |r ＝2 2.1.以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A.(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B.(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C.(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D.(x ＋3)2＋(y －4)2＝9考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2.已知圆C 与直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2题点 求圆的标准方程答案 B3.两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( )A.4B.3C.2D.1考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 C解析 两圆的标准方程分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121；(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2,4)，r 2＝8.圆心距为|C 1C 2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13.∵r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2，∴两圆相交，则公切线共2条.4.经过两个定点A (a,0)，A 1(a ，a )，且圆心在直线y ＝13x 上的圆的方程为________________________.答案 ⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22 解析 圆过点A (a,0)，A 1(a ，a )，则圆心在直线y ＝a 2上. 又圆心在直线y ＝13x 上， 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，则半径r ＝⎝⎛⎭⎫a －32a 2＋⎝⎛⎭⎫－a 22＝22|a |， 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22. 5.已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值. 考点 直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)，r ＝2. 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切， 所以|3＋3|1＋(－m )2＝2， 解得m ＝±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋(－m )2.由24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋3|1＋(－m )22＝2105， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9.故m ＝±3.。
高中数学-圆与方程章末归纳总结
已知三条直线l1：2x-y+a=0（a＞0）,直线l2：4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与l2的距离是7105 . （1）求a的值； （2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件： ①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距 离的12；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 2：5 . 若能,求P点坐标;若不能,说明理由.
【解析】假设存在直线l满足已知中的两个条件， 设该直线的斜率为k. （1）当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x=-3， 代入x2+y2=25，得y1=4，y2=-4. 弦长为|y1-y2|=8，符合题意.
【点评】是否存在这一类问题，结论并不确定， 属于开放型探索创新问题，解答时一般从假设存 在后开始研究.题中有关圆的弦长问题，可用几 何法从半径、弦心距、半弦长所组成的直角三角 形进行求解.需要特别注意的是，要考虑斜率不 存在的情况.
【分析】先求出“串圆”圆心所在直线方程，再 利用“串圆”中圆的关系求出圆C2的半径，再求 出圆心坐标，即可求圆的方程.
【解析】依题意，可得C1（0，1），C3（6，7）， 由两点式可得直线C1C3的方程y=x+1. 又|C1C3|=6 2 ，圆C1，C3的半径都是2, 所以圆C2的半径为2 2 .设C2（a，a+1）， 则有（a-0）2+（a+1-1）2=3 2， 解得a=3，所以圆心C2的坐标为（3，4）， 因此，圆C2的方程为（x-3）2+（y-4）2=8.
|232| 7 2
2
2
,故圆上的点到
直线的最远距离为7 2 +2，最近距离为 7 2 -2.
2
2
专题三 存在性问题学点精讲
圆与方程小结 优秀教案
【课题】：圆与方程小结【教学目标】：(1)知识与技能：掌握圆的标准方程与圆的一般方程与互相转化；根据圆的一般方程求圆心和半径；用待定系数法求圆的方程。
(2)过程与方法：让学生经历复习过程，使学生掌握数学结合等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。
(3)情感态度与价值观：让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
【教学重点】：圆的方程，直线与圆的位置关系的复习，以及解题思路的总结【教学难点】：直线与圆的方程的应用的复习。
【教学突破点】：熟悉直线与圆的位置关系的判定方法以及一些基本的公式。
【课前准备】：投影Powerpoint【教学过程设计】：练习与测试： （基础题）1、过点A )1,1(-,B )1,1(-,且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（ ） A 、4)1()3(22=++-y x B 、4)1()3(22=-++y x C 、4)1()3(22=++-y x D 、4)1()3(22=++-y x 解：设圆方程为222)()(r b y a x =-+-，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===211r b a 故选C 。
2、若022=++-+r y x y x 表示一个圆，则r 的取值范围是（ ） A 、0<r B 、21<r C 、2≤r D 、21≤r解：将022=++-+r y x y x 配方得：r y x -=++-21)21()21(22， 故021>-r ，所以21<r ，选B.3、圆0114222=---+y x y x 关于P （-2，1）对称的圆的方程是 。
解：将圆方程配方得：16)2()1(22=-+-y x ，圆心为（1，2）半径r ＝4，圆心关于点P （-2，1）的对称点为（-5，0）。
苏科版七年级数学上册第四章 一元一次方程章节知识点归纳复习
1.定义：方程与一元一次方程
含有未知数的叫方程，方程必须具备两个条件：第一是等式，第二是含有未知数。
方程中只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程。
题判断一元一次方程，确定一元一次方程中字母的值。
2.方程的解与解方程
使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！
（2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.
（6）按比例分配问题
甲：乙：丙=a:b:c，则设一份为x，甲为ax，乙为bx，丙为cx
全部的数量=各个份数之和
（7）若干应用问题等量关系的规律
（1）和、差、倍、分问题此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量
当分母是小数时，要先利用分母的基本性质把小数转化成整数，然后再去分母。
（4）一元一次方程解法的一般步骤：
化简方程----------分数基本性质
去 分母----------同乘（不漏乘）最简公分母
去 括号----------注意符号变化
移 项----------变号
合并同类项--------合并后注意符号
等量关系_________________________
（4）行程问题
高中数学必修二第四章小结与复习课件
例2 过点M(－3，－3)的直线l 被圆x2＋y2＋4y－21=0所截得的弦 长为 ，求直线l的方程.
y A
C M
o
x
B
例3 求过点P（2，1），圆心在 直线2x＋y=0上，且与直线x-y-1＝0 相切的圆方程.
2x+y=0
P
作业:
P128练习：2，3，4． P132习题4.2A组：2，3，5．
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B程(如x2，何y？2)，则y以线P段AB为直径的圆方
B
A
o
x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
x2＋y2－6x－4＝0
例2 已知一个圆的圆心为M（2，1）， 且与圆C：x2＋y2－3x＝0相交于A、B两 点，若圆心M到直线AB的距离为 ，求 圆M的方程.
A
DC
M
B
x2＋y2－4x－2y－1＝0
作业：
P132习题4.2A组：4,6,9,10.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定 直线与圆、圆和圆的位置关系，对 于生产、生活实践以及平面几何中 与直线和圆有关的问题，我们可以 建立直角坐标系，通过直线与圆的 方程，将其转化为代数问题来解决. 对此，我们必须掌握解决问题的基 本思想和方法.
位于台风中心正北40 km处，如果这艘
轮船不改变航线，那么它是否会受到台
人教A版高中数学必修二第四章圆与方程复习课件
2．(2011·高考广东卷)已知集合 A＝{(x，y)|x，y 为实数，且 x2 ＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y 为实数，且 x＋y＝1}，则 A∩B 的元 素个数为( )． A．4 B．3 C．2 D．1 解析 集合 A 表示圆 x2＋y2＝1 上的点构成的集合，集合 B 表 示直线 x＋y＝1 上的点构成的集合，可判断直线与圆相交，故 A∩B 的元素的个数为 2. 答案 C
0
无根
d>r
离
4.2.2圆与圆的位置关系
R r
•
•
O1
d
O2
R r
•
•
O1
d
O2
两圆外离
R r
•
•
O1 d
O2
R • •r O1 d O2
两圆外切
R O1 • • r
d O2
两圆相交
两圆内切
两圆内含
判断两圆的位置关系的两种方法： 1.根据圆心距与半径和之间的大小关系. 若d＜｜R-r｜，则两圆内含； 若d=｜R-r｜，则两圆内切； 若｜R-r｜＜d＜R＋r，则两圆相交； 若d＝R＋r，则两圆外切； 若d＞R＋r，则两圆外离.
高考真题 1．(2011·高考安徽卷)若直线 3x＋y＋a＝0 过圆 x2＋y2＋2x－4y ＝0 的圆心，则 a 的值为( )． A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析 化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵ 直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1. 答案 B
2.联立两圆方程，看截得解得个数.
△<0
n=0
两个圆相离
△=0
n=1
两个圆相切
△>0
n=2
高考数学一轮复习资料第四章圆的综合三
①
b＋ 3 a－3 ＝ 3，
②
|a＋ 3b| 2 ＝r.
③
联立①②③解得 a＝4，b＝0，r＝2，或 a＝0，b＝－4 3，r＝6，
即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
反思与感悟
跟踪训练 圆C过点P(1,2)和Q(-2,3)，且圆C在两坐标轴上 截得的弦长相等，求圆C的方程
数学思想 数形结合思想
跟踪训练 在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 l：kx－y＋1＝0 与圆 C：x2＋y2＝4 相
交于 A，B 两点，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OAMB，若点 M 在圆 C 上，则实
数 k 等于( )
A．1
B．2
C．0
D．－1
解后反思
解析答案
返回
跟踪训练
圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离 2 为的 点有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析答案
拓展提升9 已知 在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），圆C的圆心 在直线y=x+2上，其半径为1. （1）若圆心C也在直线y=-x上，过原点A作圆C的切线，求切线方程。 （2）若圆C上存在点P,使 PA 2 PO, 求圆心C的横坐标m的取值范围
解析答案
拓展提升10 在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴 上,半径为2的圆C位于y轴右侧,且与直线x- 3 y+2=0相切.
t 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值； (2)设直线 y＝－2x＋4 与圆 C 交于点 M，N，若|OM|＝|ON|，求圆 C 的方程．
解析答案
拓展提升8
已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线 4x＋3y－29＝0 相切． (1)求圆的方程； (2)若直线 ax－y＋5＝0(a≠0)与圆相交于 A，B 两点，是否存在实数 a，使得过点 P(－2,4)的 直线 l 垂直平分弦 AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．
人教版数学必修二第四章圆与方程知识点总结
第四章圆与方程4．1 圆的方程4．1.1 圆的标准方程1．以(3，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝4B．(x－3)2＋(y＋1)2＝4C．(x－3)2＋(y＋1)2＝16D．(x＋3)2＋(y－1)2＝162．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为()A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2 2C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2 23．圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2的圆心为________，半径为________．4．若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上，则a的值是________．5．以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切的圆的方程是____________________．6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝17．一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1)，圆心在直线x－3y－10＝0上，求此圆的方程．8．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是()A．|a|＜1B．a＜113C．|a|＜1 5D．|a|＜1 139．圆(x－1)2＋y2＝25上的点到点A(5,5)的最大距离是__________．10．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2 3，求a的值．4.1.2 圆的一般方程1．圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心坐标是________．2．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F ＝________.3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k >1 B ．k <1 C ．k ≥1 D ．k ≤14．已知圆的方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0，则下列直线中通过圆心的是( ) A ．3x ＋2y ＋1＝0 B ．3x ＋2y ＝0 C ．3x －2y ＝0 D ．3x －2y ＋1＝05．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________．6．点(2a,2)在圆x 2＋y 2－2y －4＝0的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1C ．－1<a <15D ．－15<a <17．求下列圆的圆心和半径． (1)x 2＋y 2－x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.8．过点A (11,2)作圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0的弦，其中弦长为整数的共有( ) A ．16条 B ．17条 C ．32条 D ．34条 9．已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动，点P 为连接M (4，－3)和点A 的线段的中点，求P 的轨迹方程．10．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆． (1)求t 的取值范围； (2)求圆的圆心和半径；(3)求该圆的半径r 的最大值及此时圆的标准方程．4．2 直线、圆的位置关系 4．2.1 直线与圆的位置关系1．直线y ＝x ＋3与圆x 2＋y 2＝4的位置关系为( ) A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．下列说法中正确的是( )A ．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切B ．与半径垂直的直线与圆相切C ．过半径外端的直线与圆相切D ．过圆心且与切线垂直的直线过切点3．若直线x ＋y ＝2与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m 的值为( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 4．(20XX 年陕西)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定5．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y ＝5 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y ＝5 D ．2x ＋y ＋5＝06．(20XX 年浙江)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________． 7．已知直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8，求k 的值．8．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为() A．1 B．2 2 C.7 D．39．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.(1)证明：无论m为何值，直线l与圆C恒相交；(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l∶ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2 2时，求直线l的方程．4.2.2 圆与圆的位置关系1．已知两圆的方程x2＋y2＝4和x2＋y2－6x＋8y＋16＝0，则此两圆的位置关系是() A．外离B．外切C．相交D．内切2．圆x2＋y2＋2x＋1＝0和圆x2＋y2－y＋1＝0的公共弦所在直线方程为()A．x－2y＝0 B．x＋2y＝0C．2x－y＝0 D．2x＋y＝03．已知直线x＝a(a>0)和圆(x＋1)2＋y2＝9相切，那么a的值是()A．2 B．3C．4 D．54．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线2x－y＋c＝0上，则m ＋c的值是()A．－1 B．2C．3D．06．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为AB，则线段AB的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0D．x－y＋1＝07．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2 3，求实数a的值．8．两圆(x－3)2＋(y－4)2＝25和(x－1)2＋(y－2)2＝r2相切，则半径r＝____________.9．已知两圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0与C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0，求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；(2)公共弦长．10．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．4.2.3 直线与圆的方程的应用1．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示的圆()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x－y＝0对称D．关于直线x＋y＝0对称2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()A．0或2 B．2C. 2 D．无解3．过原点的直线与圆(x＋2)2＋y2＝1相切，若切点在第三象限，则该直线方程为() A．y＝3xB．y＝－3xC．y＝3 3xD．y＝－3 3x4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆的位置关系是() A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能5．圆x2＋y2－4x－4y－1＝0上的动点P到直线x＋y＝0的最小距离为()A．1 B．0C．2 2 D．2 2－36．过点P(2,1)作圆C：x2＋y2－ax＋2ay＋2a＋1＝0的切线只有一条，则a的取值是() A．a＝－3 B．a＝3C．a＝2 D．a＝－27．与圆x2＋y2－4x－6y＋12＝0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条8．设圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点P (3，1)，则直线AB 的方程为____________．9．若实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么yx的最大值为( )A.12B.33C.32D. 310．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)．(1)若点P (a ，a ＋1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率； (2)若M 为圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值；(3)若实数m ，n 满足m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0，求k ＝n －3m ＋2的最大值和最小值．4.3 空间直角坐标系 4．3.1 空间直角坐标系1．点P (－1,0,1)位于( ) A ．y 轴上 B ．z 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内2．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－2,1，－4) B ．(－2，－1，－4) C ．(2，－1,4) D ．(2,1，－4)3．点P (－4,1,3)在平面yOz 上的投影坐标是( ) A ．(4,1,0) B ．(0,1,3) C ．(0,3,0) D ．都不对4．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ 垂足为Q ，则Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)5．点(2，－3,0)在空间直角坐标系中的位置是在()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限内6．设x，y为任意实数，相应的点P(x，y,3)的集合是()A．z轴上的两个点B．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的直线C．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的平面D．以上答案都有可能7．点A(1，－3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为()A．(3，－1,5)B．(3,7,4)C．(0，－8,1)D．(7,3,1)8．已知点A(3，y,4)，B(x,4,2)，线段AB的中点是C(5,6，z)，则x＝______，y＝______，z＝________.9．点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________．10．如图K4-3-1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD ⊥底面ABCD，|PD|＝2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．图K4-3-14．3.2 空间两点间的距离公式1．在空间直角坐标系中，点A(2,1,5)与点B(2,1，－1)之间的距离为()A. 6 B．6C. 3 D．22．坐标原点到下列各点的距离最大的是()A．(1,1,1) B．(2,2,2)C．(2，－3,5) D．(3,3,4)3．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，点P在x轴上，且|P A|＝|PB|，则点P的坐标为() A．(－3,0,0) B．(－3,0,1)C．(0,0，－3) D．(0，－3,0)4．设点B是A(－3,2,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝()A．10 B.10C．2 10 D．405．已知空间坐标系中，A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，线段CM的长|CM|＝()A.534 B.532C.532 D.1326．方程(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36的几何意义是____________________________．7．已知点A在y轴上，点B(0,1,2)，且|AB|＝5，求点A的坐标．8．以A(1,2,1)，B(1,5,1)，C(1,2,7)为顶点的三角形是________三角形．9．已知点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为________．10．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1，0，－3)，问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|；(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．第四章 圆与方程4．1 圆的方程4．1.1 圆的标准方程 1．C 2.D3．(－2,2) |m | 4.±5 5.(x ＋2)2＋(y －1)2＝26．A 解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.方法二(数形结合法)：作图由点到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.7．解：方法一：设圆心P (a ，b )， 则⎩⎨⎧a －3b －10＝0，(a －5)2＋b 2＝(a ＋2)2＋(b －1)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.圆的半径r ＝(a －5)2＋b 2＝(1－5)2＋(－3)2＝5. ∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25.方法二：线段AB 的中点P ′⎝⎛⎭⎫5－22，0＋12，即P ′⎝⎛⎭⎫32，12.直线AB 的斜率k ＝1－0－2－5＝－17. ∴弦AB 的垂直平分线的方程为y －12＝7⎝⎛⎭⎫x －32， 即7x －y －10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －10＝0，7x －y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.即圆心P (1，－3)． 圆的半径r ＝(1－5)2＋(－3)2＝5.∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25. 8．D 9.41＋510．解：∵弦AB 的长为2 3，则由垂径定理，圆心(1,2)到直线的距离等于1，∴|a －2＋3|a 2＋1＝1，∴a ＝0.4．1.2 圆的一般方程 1．(3,0) 2.4 3．B 4.A 5．2 13π 6．A7．解：(1)⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝⎛⎭⎫12，0，半径r ＝12. (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.8．C 解析：圆的标准方程是：(x ＋1)2＋(y －2)2＝132，圆心(－1,2)，半径r ＝13.过点A (11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26(分别只有一条)，还有长度为11,12，…，25的各2条，所以共有长为整数的弦2＋2×15＝32(条)．9．解：设点P 的坐标为(x ，y )，A 的坐标为(x 0，y 0)． ∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上，∴有2x 0－3y 0＋5＝0.又∵P 为MA 的中点，∴有⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－3＋y 02.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3. 代入直线的方程，得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0，化简，得2x －3y －6＝0即为所求．10．解：(1)由圆的一般方程，得[－2(t ＋3)]2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9)>0，解得－17<t <1. (2)圆心为⎝⎛⎭⎫－－2(t ＋3)2，－2(1－4t 2)2，即(t ＋3,4t 2－1)，半径r ＝12[－2(t ＋3)]2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9) ＝－7t 2＋6t ＋1.(3)r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， 所以当t ＝37时，r max ＝4 77， 故圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167. 4．2 直线、圆的位置关系4．2.1 直线与圆的位置关系1．D 2.D 3.D4．B 解析：点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，有a 2＋b 2>1，圆心到直线ax ＋by ＝1的距离为d ＝1a 2＋b 2<1＝r ，所以直线与圆O 相交． 5．C 解析：因为点(2,1)在圆x 2＋y 2＝5上，所以切线方程为2x ＋y ＝5.6．4 5 解析：圆(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心(3,4)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|6－4＋3|5＝5，弦长等于252－(5)2＝4 5. 7．解：设直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为AB ，其中点为C ，则△OCB 为直角三角形．因为圆的半径为|OB |＝5，半弦长为|AB |2＝|BC |＝4， 所以圆心到直线kx －y ＋6＝0的距离为3.由点到直线的距离公式得6k 2＋1＝3.解得k ＝±3. 8．C9．(1)证明：由(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8，得mx ＋2x ＋2my ＋y ＝7m ＋8，即m (x ＋2y －7)＋(2x ＋y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －7＝0，2x ＋y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2. ∴无论m 为何值，直线l 恒过定点(3,2)．(2)解：过圆内的一点的所有弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的那条弦，∵圆心(2,3)，定点(3,2)，直径的斜率为－1，∴最短的弦的斜率为1，故最短弦的方程为x －y －1＝0.∴m ＝－1.10．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2. 解得a ＝－34.故当a ＝－34时，直线l 与圆C 相切． (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧ CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝2，解得a ＝－7或a ＝－1.∴直线l 的方程是7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.4．2.2 圆与圆的位置关系1．B 2.D 3.A4．C 解析：圆化为标准方程，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，∴圆心O 1(2，－1)，r 1＝2，O 2(－2,2)，r 2＝3.∵|O 1O 2|＝5＝r 1＋r 2，∴两圆外切．∴公切线有3条．5．D 6.A7．解：由已知两个圆的方程可得相交弦的直线方程为y ＝1a .利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪1a ，得⎪⎪⎪⎪1a ＝22－(3)2＝1，解得a ＝1或a ＝－1(舍)． 8．5－2 29．解：(1)将两圆方程C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0与C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0相减，得2x ＋y －5＝0.∴公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0. (2)圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50，圆心为(5,5)，半径为5 2，圆心到直线2x ＋y －5＝0的距离为2 5，根据勾股定理和垂径定理，知公共弦长为2 30.10．(1)证明：将圆的方程整理，得(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0，此方程表示过圆x 2＋y 2＝20与直线－4x ＋2y ＋20＝0的交点的圆系，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝20，4x －2y －20＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2. 故对任意实数a ，该圆恒过定点(4，－2)．(2)解：圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2.①若两圆外切，则2＋5(a －2)2＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍)； ②若两圆内切，则|5(a －2)2－2|＝5a 2，解得a ＝1－55，或a ＝1＋55(舍)． 综上所述，a ＝1±55. 4．2.3 直线与圆的方程的应用1．D 解析：该圆的圆心(－a ，a )，在直线x ＋y ＝0上，故关于直线x ＋y ＝0对称．2．B 解析：圆心(0,0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2＝m ，m ＝2. 3．C4．C 解析：由于直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相离，则1a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<1， ∴P 在圆内．5．C 6.A7．A 解析：过原点的直线也满足条件．8．x ＋y －4＝09．D 解析：方法一：∵实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，∵记P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝3上的点，y x是直线OP 的斜率，记为k .∴直线OP ：y ＝kx ，代入圆的方程，消去y ，得(1＋k 2)x 2－4x ＋1＝0.直线OP 与圆有公共点的充要条件是Δ＝(－4)2－4(1＋k 2)≥0，∴－3≤k ≤ 3.方法二：同方法一，直线OP 与圆有公共点的条件是|k ·2－0|k 2＋1≤3，∴－3≤k ≤ 3. 10．解：(1)∵点P (a ，a ＋1)在圆上，∴a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0.解得a ＝4，∴P (4,5)．∴|PQ |＝(4＋2)2＋(5－3)2＝210，k PQ ＝3－5－2－4＝13. (2)∵圆心坐标C 为(2,7)，半径为2 2，∴|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2.∴|MQ |max ＝4 2＋2 2＝6 2，|MQ |min ＝4 2－2 2＝2 2.(3)设点(－2,3)的直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，方程m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0，即(m －2)2＋(n －7)2＝8表示圆．易知直线l 与圆方程相切时，k 有最值，∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝2 2.∴k ＝2±3. ∴k ＝n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 4．3 空间直角坐标系4．3.1 空间直角坐标系1．C 解析：点P 的y 轴坐标为0，则点P 在平面xOz 上．2．B 解析：点P (a ，b ，c )关于x 轴的对称点为P ′(a ，－b ，－c )．3．B 4.B 5.B 6.C 7.B8．7 8 3 9.510．解：由图知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，故以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ∵E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH ∥底面ABCD ， 从而这4个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是b .由H 为DP 的中点，得H (0,0，b )．E 在底面ABCD 上的投影为AD 的中点，∴E (a,0，b )．同理G (0，a ，b )．F 在坐标平面xOz 和yOz 上的投影分别为点E 和G ，故F 与E 的横坐标相同，都是a ，点F 与G 的纵坐标也同为a ，又F 的竖坐标为b ，故F (a ，a ，b )．4．3.2 空间两点间的距离公式1．B 2.C 3.A 4.A 5.C6．以点(12，－3,5)为球心，半径长为6的球7．解：由题意设A (0，y,0)，则(y －1)2＋4＝5，得y ＝0或y ＝2，故点A 的坐标为(0,0,0)或(0,2,0)．8．直角 解析：因为|AB |2＝9，|BC |2＝9＋36＝45，|AC |2＝36，所以|BC |2＝|AB |2＋|AC |2，所以△ABC 为直角三角形．9.87解析：|AB | ＝(x －1)2＋(5－x －x －2)2＋(2x －1－2＋x )2＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57， 故当x ＝87时，|AB |取得最小值． 10．解：(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |.设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |，可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32.显然，此式对任意y ∈R 恒成立．∴y 轴上所有点都满足关系|MA |＝|MB |.(2)假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形．由(1)可知，y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |，∴只要满足|MA |＝|AB |，就可以使得△MAB 是等边三角形． ∵|MA |＝10＋y 2，|AB |＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，∴10＋y 2＝20，解得y ＝±10.故y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．。
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【例 5】 已知三条直线 l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3： 2x＋y－1＝0 两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的 方程．
[解] 画图如下：
由直线方程易知 l2 平行于 x 轴，l1 与 l3 互相垂直， ∴三个交点 A，B，C 构成直角三角形， ∴经过 A，B，C 三点的圆就是以 AB 为直径的圆．
第四章 圆与方程
章末复习与总结
1．求圆的方程 求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方 程，利用待定系数法解题．采用待定系数法求圆的方程的一般 步骤为： (1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得 a，b，r(或 D，E， F)的方程(组)；(3)解出 a，b，r(或 D，E，F)；(4)代入圆的方程．
即 k＝0 或 k＝－274， 所以直线 l 的方程为 y＝0 或 7x＋24y－28＝0.
(2)设点 P(a，b)满足条件，不妨设直线 l1 的方程为 y－b＝k(x －a)，k≠0，则直线 l2 的方程为 y－b＝－1k(x－a)．因为圆 C1 和 圆 C2 的半径相等，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等，即
易错点 1 求解圆方程漏解致误
【例 6】 已知某圆圆心在 x 轴上，半径长为 5，且截 y 轴 所得线段长为 8，求该圆的标准方程．
[解] 解法一：如图所示， 由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8， ∴|AO|＝4.在 Rt△AOC 中， |OC|＝ |AC|2－|AO|2 ＝ 52－42＝3.
设点 C 坐标为(a,0)， 则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3. ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25. 解法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25. ∵圆截 y 轴所得线段长为 8，∴圆过点 A(0,4)．代入方程得 a2＋16＝25， ∴a＝±3. ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.
1．分类讨论思想 分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的 重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分 问题后，从而增加了题设的条件．在用二元二次方程表示圆时 要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时 都要分类讨论．
【例 4】 已知直线 l 经过点 P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2 ＋(y＋2)2＝25 截得的弦长为 8，求直线 l 的方程．
[解] 圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 的圆心为(－1，－2)，半径长 r＝5.
①当直线 l 的斜率不存在时，则 l 的方程为 x＝－4，由题意 可知直线 x＝－4 符合题意．
②当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y＋3＝k(x＋4)， 即 kx－y＋4k－3＝0.
由题意可知|－k＋12＋＋k42k－3|2＋822＝52， 解得 k＝－43，即所求直线方程为 4x＋3y＋25＝0. 综上所述，满足题设的 l 方程为 x＝－4 或 4x＋3y＋25＝0.
|1－k－13＋－k2a－b|＝5＋1k41－＋ak12－b，
整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|， 从而 1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk 或 1＋3k＋ak－b ＝－5k－4＋a＋bk， 即(a＋b－2)k＝b－a＋3 或(a－b＋8)k＝a＋b－5， 因为 k 的取值范围有无穷多个， 所以ab＋ －ba－ ＋23＝ ＝00， 或aa－ ＋bb＋ －85＝ ＝00， ，
[答案] C
[易错点拨] 1．解题时只考虑所求直线的斜率存在的情况，而忽视了斜率不存在的情况， 而错误地选A；若只考虑斜率不存在的情形，而忽视了斜率存在的情况，而错误地 选B. 2．过一点求圆的切线时，首先要判断点与圆的位置关系，以此来确定切线的 条数，经过圆外一点可以作圆的两条切线，求解中若只求出一个斜率，则另一条必 然斜率不存在．
2．数形结合思想 数形结合思想：在解析几何中，数形结合思想是必不可少 的，而在本章中，数形结合思想最主要体现在几何条件的转化 上，尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题，往往题目 会给出动点满足的几何条件，这就不能仅仅依靠代数来“翻 译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较 “绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件 列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算 量，大大降低出错的概率．
故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 整理得 x2＋y2－2x－2y＝－1.① 由已知得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2 ＋y2 ＝3x2＋3y2－8x－6y＋25.② 由①可知 x2＋y2－2y＝2x－1，③ 将③代入②得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x ＋22.
∵0≤x≤2， ∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2 的最大值为 22，最小值为 18. 又三个圆的面积之和为 π|P2A|2＋π|P2B|2＋π|P2O|2＝π4(|PA|2 ＋|PB|2＋|PO|2)， ∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值为121 π，最小值为92π.
解法三：设圆心为 C，则 CA⊥l，又设 AC 与圆的另一交点 为 P，则 CA 方程为 y－6＝－34(x－3)，
即 3x＋4y－33＝0. 又 kAB＝63－ －25＝－2，∴kBP＝12， ∴直线 BP 的方程为 x－2y－1＝0. 解方程组x3－x＋2y4－y－1＝ 330＝，0， 得yx＝ ＝37.， ∴P(7,3)．∴圆心为 AP 中点5，92，半径为|AC|＝52.∴所求圆 的方程为(x－5)2＋y－922＝245.
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解法二：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为 C， 由 CA⊥l，A(3,6)、B(5,2)在圆上，
32＋62＋3D＋6E＋F＝0， 52＋22＋5D＋2E＋F＝0， 得－－DE22－－63×43＝－1，
解得DE＝＝－－91，0， F＝39.
∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
[解] (1)由于直线 x＝4 与圆 C1 不相交，所以直线 l 的斜率 存在．设直线 l 的方程为 y＝k(x－4)，圆 C1 的圆心到直线 l 的距 离为 d，因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3，所以 d＝
22－ 32＝1.由点到直线的距离公式得 d＝|－3k1－＋1k－2 4k|，从 而 k(24k＋7)＝0.
是( )
A．y＝1
B．x＝3
C．x＝3 或 y＝1
D．不确定
[解析] 由题意知，点 A 在圆外，故过点 A 的切线应有两 条．当所求直线斜率存在时，设其为 k，则直线方程为 y－1＝k(x － 3) ， 即 kx － y ＋ 1 － 3k ＝ 0. 由于直 线 与圆相 切 ，所以 d ＝ |2k－01＋＋1k－2 3k|＝1，解得 k＝0，所以切线方程为 y＝1.当所求直 线斜率不存在时，x＝3 也符合条件．综上所述，所求切线方程 为 x＝3 或 y＝1.
[易错点拨] 1．若解题分析只画一种图形，而忽略两种情况，考虑问题不全面，漏掉圆心 在x轴负半轴的情况而导致出错． 2．借助图形解决数学问题，只能是定性分析，而不能定量研究，要定量研究 问题，就要考虑到几何图形的各种情况．
易错点 2 过一点求圆的切线方程时致误
【例 7】 过点 A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1 相切的直线方程
由yx＋－12＝y＝00，， 解得yx＝＝－－12.， ∴点 A 的坐标为(－2，－1)． 由y2＋x＋1＝y－01，＝0， 解得yx＝＝－1，1. ∴点 B 的坐标为(1，－1)． ∴线段 AB 的中点坐标为－12，－1. 又∵|AB|＝|1－(－2)|＝3. ∴圆的方程是x＋122＋(y＋1)2＝94.
3，可得 A(0，－1,0)，B( 3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)， B1( 3，0,2)，C1(0,1,2)．
[易错点拨] 1．解答此题不是以OB，OC，OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角 坐标系，而是以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，进而 错误地求出A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)． 2．求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系，这也是正确利用坐 标求解此类问题的前提．建立空间直角坐标系时要注意坐标轴必须是共点且两两垂 直，且符合右手法则．
易错点 3 空间直角坐标系的应用误区 【例 8】 如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，所有棱长都为 2， 侧棱 AA1⊥底面 ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．
[解] 取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1，可得 BO⊥AC， 分别以 OB、OC、OO1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系．因为三棱柱各棱长均为 2，所以 OA＝OC＝1，OB＝
2．直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是 重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应 充分利用圆的几何性质以简化解题过程． (2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利 用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆 的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析 问题．
【例 3】 在△ABO 中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P 是 △ABO 的内切圆上一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆 面积之和的最大值与最小值．
[解] 如图所示，建立平面直角坐标 系，
使 A，B，O 三点的坐标分别为 A(4,0)， B(0,3)，O(0,0)．
设内切圆的半径为 r，点 P 的坐标为(x，y)， 则 2r＋|AB|＝|OA|＋|OB|，∴r＝1.
【例 1】 有一圆与直线 l：4x－3y＋6＝0 相切于点 A(3,6)， 且经过点 B(5,2)，求此圆的方程．