直角三角形与勾股定理(含解析)

直角三角形与勾股定理

一、选择题

1.如图，△ABC中，∠C=90°，

∠A=30°，AB=12，则BC=（）

A．6 B．6C．6D．12

2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）

A．2B．C．D．

3．在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则

另一边BC等于( )

A．10B．8

C．6或10D．8或10 4．如图，厂房屋顶人字形（等腰

三角形）钢架的跨度BC=10米，

∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）

A．5sin36°米B．5cos36°米

C．5tan36°米D．10tan36°米

【

5．如图，AD是△AB C的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如

果BC=6，那么线段BE的长度为（）

A．6 B．6C．2D．3

6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）

A．7 B．8 C．9 D．10

7.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）

A．B．6 C．D．

8.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）

A．1 B．2 C．D．1+

·································

9．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )

A ．

3

2B

．2C．

3

2

D．不能确定

10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A 逆时针旋转，使点C落在线段AB 上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）

A．B．2C．3 D．2

11.若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则

△ABC的面积为（）

A．2+B．C．2+或2﹣

D．4+2或2﹣

12．（2016·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC

的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）

A．5 B．6 C．8 D．10 13．（2016·湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）

A．2 B．C．D．

二、填空题

1.如图，在Rt△ABC中，

∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别

以点A，B为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是5．

2. （2016·湖北随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N 分别是AB、AC的中点，延长BC 至点D，使CD=BD，连接DM、

DN、MN．若AB=6，则DN=．

3. （2016·湖北武汉·3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，则BD的长为_______．

4.如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是

．

【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．

【分析】分情况讨论：①当

AP=AE=5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=AE=5即可；

②当PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；

③当PA=PE时，底边AE=5；即可得出结论．

5.如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．

6.如图，OP 平分∠AOB ，

∠AOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PC=4，则PD= 2 ．

7．在平面直角坐标系内，以点P （1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y 轴的交点坐标是 ．

3．如图12所示，已知点C (1，0)，直线y ＝－x ＋7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE

周长的最

小值是______．

D

O

C E B A 图4

8.如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，

OA=AC=2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是2π+2．

三、解答题

1.爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为

“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

【特例探究】

（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4

时，a=4，b=4；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

【归纳证明】

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

（3）如图4，▱ABCD中，E、F

分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、