绝对值综合练习题(含解析)

答案：A 解析：由绝对值不等式的几何性质可知，∀x∈R ，| x＋2| ＋| x－1| ≥| (x＋2)－( x－1)| ＝3， 故若命题 p 为真命题，则 m ≤3；当命题 q 为真命题时，方程 x2－ 2m x＋m 2 ＋m －3＝0 有根， 则Δ ＝(－2m )2－4(m 2 ＋m －3) ＝12－4m ≥0，解得 m ≤3；所以“命题 p 为真命题”是“命题
方法二：f(x)＝|x－4|＋|x＋5|
2x 1 ＝ 9 2x 1 x 5 5 x 4 . x 4
2x 1 又|2x＋1|＝ 2x 1
x
1 2 ， 1 x 2
所以若 f(x)＝|2x＋1|， 则 x 的取值范围是( －∞，－5]∪[4，＋∞). (2)方法一：因为 f(x)＝|x－4|＋|x＋5|≥ |(x－4)－(x＋5)|＝9， 所以若关于 x 的不等式 f(x) ＜a 的解集非空， 则 a ＞f(x) m in ＝9 ， 即 a 的取值范围是(9，＋∞). 方法二：由(1)方法二易知，f(x) m in ＝9 ， ∴a＞9，即 a∈(9，＋∞).
－x＋3，x< －3， 解：(1) f (x)＝ －3x－3，－3≤x≤0，
x－3，x>0.
如图，函数 y＝f (x)的图象与直线 y＝7 相交于横坐标为 x1＝－ 4，x2 ＝10 的两点，由此 得 S＝[－4, 10] ．
(2) 由(1)知 f (x)的最小值为－3， 则不等式 f (x)＋| 2t －3| ≤0 有解必须且只需－3＋| 2t －3| ≤0， 解得 0≤t ≤3，所以 t的取值范围是[0, 3] ．
4.(2011·福建高考)设不等式|2x－1|<1 的解集为 M. (1)求集合 M； (2)若 a，b∈M，试比较 ab＋1 与 a＋b 的大小.
[来源 : 学。 科。网 ]
【解题指南】 (1)|2x－1|<1 －1<2x－1<1， 解之即得 x 的取值范围； (2)用作差法比较 ab＋1 与 a＋b 的大小.
12.[2013· 南宁模拟]已知函数 f (x)＝l og2(| x＋1| ＋| x－2| －m ) ． (1) 当 m ＝5 时，求函数 f ( x) 的定义域； (2) 若关于 x 的不等式 f (x) ≥1 的解集是 R ，求 m 的取值范围．
解：( 1) 由题意知，| x＋1| ＋| x－2| > 5， 则有 或
x≥a， x－a＋3x≤0
或
x< a， a－x＋3x≤0，
x≥a， 即 x≤a
4
x< a， 或 x≤－a.
2
因为 a>0，所以不等式组的解集为{x| x≤－ }． 2 由题设可得－ ＝－1，故 a＝2. 2
a
a
10. [2013· 贵阳模拟]设函数f(x)＝|x－a|＋x，其中a>0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤3x的解集为{x|x≥2}，求实数a的值．
5.[2013· 大连模拟]已知命题 p ：∀x∈R ，| x＋2| ＋| x－1| ≥m ，命题 q：∃x∈R ，x2 －2m x ＋m 2 ＋m －3＝0，那么，“命题 p 为真命题”是“命题 q 为真命题”的( A . 充要条件 C . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件 )
x 2 x 2 2t (x 2) t x 2 2t 2 2t x 2 或 或 2 2t x (2 x) t x 2 2t (2 x) t
①
t 解之得 x<2－2t 或 2－2t≤x ≤2 － 或 x∈ ， 2 t 即 x ≤2 － ； 2 综上，当 t ＝0 时，原不等式的解集为 R， t 当 t>0 时，原不等式的解集为{x|x≤2－ }. 2
1 x 5 ， (x ) 2 1 ( x 4) ， (2)记 y＝f(x)－g(x)，则 y＝ 3x 3， 2 (x 4) x 5，
由图可知，当 x＝－0.5 时，y 取最小值，且最小值为－4.5，
∵不等式 y＝f(x)－g(x)≥m＋1 的解集为 R， ∴m＋1≤－4.5，即 m≤－5.5， ∴实数 m 的取值范围为(－∞，－5.5].
7.(2011·新课标全国卷)设函数 f(x)＝|x－a|＋3x，其中 a>0. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥3x＋2 的解集； (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤－1}，求 a 的值.
7.【解题指南】第(1)问，将 a＝1 代入函数 f(x) 的解析式，利用解 绝对值不等式的公式求解；第(2)问 f(x)≤0 |x－a|＋3x≤0， 然后 分 x ≥a 和 x<a 两种情况去掉绝对值号，转化为解不等式 组的问题， 将两段解集取并集得 f(x)≤0 的解集，最后 利用待定系数法求得 a 的值. 【解析】(1)当 a＝1 时，f(x) ≥3x＋2 可化为|x－1|≥2. 由此可得 x ≥3 或 x≤－1. 故不等式 f(x) ≥3x＋2 的解集为{x|x ≥3 或 x≤－1}. (2)由 f(x) ≤0 得，|x－a|＋3x≤0， 此不等 式化为不等式组 或
2
【解析】(1)①当 x<－2 时，原不等式可化为－x－2＋x－1>1，此时 不成立； ②当－2≤x≤1 时，原不等式可化为 x＋2＋x－1>1， 即 0<x≤1， ③当 x>1 时，原不等式可化为 x ＋2 －x ＋1>1 恒成立，即 x>1， ∴原不等式的解集是(0，＋∞). (2)因为 g(s)≥f(t)恒成立，即 g(s)的最小值不小于 f(t) 的最大值， 3 g(s)＝as＋ －3 ≥2 3a－3， s 由几何意义可知 f(t) 的最大值为 3. ∴2 3a－3≥3，∴a≥3.
解：(1) 当 a＝1 时，f (x)≥x＋2 可化为| x－1| ≥2，解得 x≥3 或 x≤－1. 故不等式 f (x)≥x＋2 的解集为{x| x≥3 或 x≤－1}． (2) 由f ( x) ≤3x，得| x－a| ≤2x， 此不等式等价于不等式组
x≥a， x－a≤2x
或
x<a， a－x≤2x，
x≥2， x＋1＋x－2> 5
或
－1≤x< 2，
x＋1－x＋2> 5
x< －1，
－x－1－x＋2> 5，
解得 x< －2 或 x> 3. ∴函数 f ( x)的定义域为(－∞，－2) ∪( 3，＋∞) ． ( 2) 由对数 函数的性质知 ，f ( x)＝l og2( | x＋ 1| ＋| x－2| －m ) ≥1＝l og2 2，不等 式 f ( x)≥1 等价 于不等式| x＋1| ＋| x－2| ≥2＋m ， ∵当 x∈R 时，恒有| x＋1| ＋| x－2| ≥| ( x＋1) －( x－2)| ＝3，而不等式| x＋1| ＋| x－2| ≥m ＋ 2 的解集是 R ， ∴m ＋2≤3，故 m 的取值范围是( －∞，1] ．
q 为真命题”的充要条件．
6. [2013· 江门模拟] 设函数 f ( x) ＝| x－a| ＋3x，其中 a>0. 若不等式 f ( x)≤0 的解集为 {x| x≤－1}，则 a 的值为( A . －2 C . －1 ) B .2 D .1
答案：B 解析：由 f (x)≤0，得| x－a| ＋3x≤0. 此不等式化为不等式组
x a ， a x 3x 0 x a x a 3x 0
x a x a 即 a 或 a ， x x 4 2
a 因为 a>0，所以不等式组的解集为{x|x ≤－ } ， 2 由题设可得－ a ＝－1，故 a＝2. 2
所以 M＝{x|0<x<1}. (2)由(1)和 a，b∈M 可知 0<a<1,0<b<1. 所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0， 故 ab＋1>a＋b.
5.(易错题)已知函数 f(x)＝|x＋2|－|x－1|. (1)解不等式 f(x)>1； ax －3x＋3 (2)g(x)＝ (a>0) x 若对任意 s∈(0，＋∞)，任意 t∈(－∞，＋∞)，恒有 g(s)≥f(t)， 试求实数 a 的取值范围.
8.(预测题)已知函数 f(x)＝|x－4|＋|x＋5|. (1)试求使等式 f(x)＝|2x＋1|成立的 x 的取值范围； (2)若关于 x 的不等式 f(x)＜a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范 围.
8.【解析】(1)方法一：因为 f(x)＝|x－4|＋|x＋5|≥ |(x－4)＋(x＋5)|＝|2x＋1|， 当且仅当(x－4)(x＋5)≥0， 即 x≤－5 或 x≥4 时取等号， 所以若 f(x)＝|2x＋1|成立， 则 x 的取值范围是(－∞，－5]∪[4，＋∞).
a 2 a m 1 ，解之得 为所求. m 3 a m 5
(2)当 a ＝2 时，f(x)＝|x－2|， 所以 f(x)＋t≥f(x＋2t) |x－2＋2t|－|x－2|≤t 当 t ＝0 时，不等式①恒成立，即 x ∈R ； 当 t>0 时，不等式①
9.已知函数 f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x－4|. (1)求不等式 f(x)>2 的解集；
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(2)不等式 f(x)－g(x)≥m＋1 的解集为 R，求实数 m 的取值范围.
9.【解析】(1)不等式 f(x)>2 等价于|2x＋1|>2， 1 3 ∴2x＋1>2 或 2x＋1<－2，解得 x> 或 x<－ . 2 2 1 3 ∴不等式 f(x)>2 的解集为{x|x> 或 x<－ }. 2 2
3.[2013· 淮安模拟 ]设集合 A ＝{x| | x－a| <1，x∈R }， B ＝{x| | x－ b| >2， x∈R }．若 A ⊆B ， 则实数 a，b 必满足( A .| a＋b| ≤3 C .| a－b| ≤3 ) B .| a＋b| ≥3 D .| a－b| ≥3
解析：由题意可得集合 A ＝{x|a－1<x< a＋1}，集合 B ＝{x|x< b－2 或 x> b＋2}，又因为 A ⊆B ，所以有 a＋1≤b－2 或 b＋2≤a－1，即 a－b≤－3 或 a－b≥3.因此选 D .
6.(2012·哈尔滨模拟)已知函数 f(x)＝|x－a|. (1)若不等式 f(x)≤m 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数 a，m 的值. (2)当 a＝2 时，解关于 x 的不等式 f(x)＋t≥f(x＋2t)( t≥0).
6.【解析】(1)由|x－a|≤m 得 a －m≤x ≤a＋m， 所以
即
x≥a，
－a≤x
x< a， 或 a ≤x，
3
பைடு நூலகம்
1 因为 a>0，所以不等式组的解集为{x| x≥ a}，由题设可得 a＝6. 3
11.[2013· 郑州模拟] 设f ( x) ＝2| x| －| x＋3| . (1) 求不等式 f ( x) ≤7 的解集 S； (2) 若关于 x 不等式 f (x) ＋| 2t －3| ≤0 有解，求参数 t的取值范围
10.已知 f(x)＝x|x－a|－2. (1)当 a＝1 时，解不等式 f(x)<|x－2|； 1 2 (2)当 x∈(0,1]时，f(x)< x －1 恒成立，求实数 a 的取值范围. 2
10.【解析】(1)a＝1 时，f(x)<|x－2|， 即 x|x－1|－2<|x－2|.(*) ①当 x≥2 时，由(*) x(x－1)－2<x－2 0<x<2. 又 x≥2，∴x∈ ； ②当 1≤x<2 时，由(*) x(x－1)－2<2－x －2<x<2. 又 1≤x<2，∴1≤x<2； ③当 x<1 时，由(*) x(1－x)－2<2－x x∈R. 又 x<1，∴x<1. 综上：可知原不等式的解集为{x|x<2}.