期中模拟试题共42页文档

y 1 xo x, a0
1ax
则 y .
三、计算题（每小题8分）
xln1x
1.求 lim
.
x0 1cosx
1
2.求l i m x e
x e
xe
.
3.设
f
x
x2sin
1 x
0
x 0,求 f 0 并讨论lim f x x0
x 0,
是否存在.
四、（10分）设曲线 y yx 由方程 y x exy 确定,
.
5.函数 yfx,ygx的图形如下图所示, 则复合
函数 f gx 在x 1处的导数=
.
y
6
4
f x
2
g x
O
2 4 6 8x
二、计算题（每题7分）
1.求lim x1
ln cos x 1
1 sin x
.
2
2.求 lim x0
sin x
x
cot
x
.
三、计算导数和微分（每题7分）
cos1
D. lim f x 存在. x0
二、填空题（每小题4分）
1.设函数
f
x
1
x a
1
x
1
e 2
x 0, 在x 0 处连续, 则
x 0,
a .
2.设 ylncosarctanx,则d y
.
dx
3.若 f01,g02,则
f xf x
lim
.
x0 gxg0
4.当自变量 x 处有增量 x , 因变量 y 有增量
五、（10分）曲线 y 1 的切线与x 轴和y 轴围成一
x
三角形. 试求切线方程和该三角形的面积. 又当切点沿 曲线趋于无穷远时, 面积的变化如何?
六、（12分）设置于平面上方的点光源照射到平面上一 点处的光照强度跟光线与平面的夹角的正弦成正比, 又 跟光源到该点的距离的平方成反比. 有一半径为3 0 2 m 的圆形球场, 现要在球场中心的正上方置一光源, 问此 光源离地面多高时, 球场周边处的光照强度最大?
1.设函数
f
x
2x
x 0 在 x 0 处连续, 则常数
1 x 0,
a .
1
2.当 x时, x22 x22是 x 2 的
无穷小.
3.设函数 f x 在 x 0处连续, 若 0,0,当
0 x ,总有 f x 1 , 则 f0
.
x
4.抛物线 y2x24x1在顶点处的曲率半径=
5. 3/4
3. .
2
四、令 f t S 1 t S 2 t , f 0 f T 0 . 由中值
定理即知.
五、切线方程
y
1 1
a 2a3/2
xa,
截距
2
3 a
,3a,
9 S 4 a.
六、目标函数Lh
kh h2 1800 3/2 ,
Lh0 h30.
r
h
30 2
A.函数 f x 在 x 0 的某个邻域内有界
B. lim f x 存在 xx0
C. fxf x0 f x0
D. f x0 存在.
3. x 0是函数 f xsinxsin1的（ ）.
x
A.可去间断点
B. 跳跃间断点
4.无穷间断点
D. 振荡间断点
4.函数 f x 在 x 0 处可导的充分必要条件是（ ）. A. f x 在 x 0 处连续 B. fx f0 A x o x ,其中A 是常数 C. f0, f0,都存在
y g x在点 0 ,1 处的切线斜率为 3
2
, 则曲线 y f gx
在点 0 , 2 处的切线斜率为
.
4.设 fxxx 1 x 2 c o sx,则 f x 在 0 , 2 中
个零点.
二、选择题（每小题4分） f x
x0
1.在以下条件中, 为“函数 要
在点 处连续”的必
非A. 充lx im 分0条f件x0是 xf.x0
y kx k3 2 x2, 300
其中 x 是箭离开原点的水平距离, y 是相应的高度（ x 轴 为地平线, 距离单位为m ）, 问:
1. k 取何值时, 箭的水平射程为最大?
2. k 取何值时, 箭射中30m 远处一直立墙面的高度最大?
微积分期中模拟试题（二）
一、填空题（每小题4分）
esinax 1
1.设 ye xarcsin x, 求 y.
2.设方程 ylnyx确定隐函数yy(x),求y,y.
x t sin t, d 2 y
3.设
y
cos
t,
求 dx2
x
.
4.设 yf arctan1x,求2 dy.
四、（8分）设两名短跑选手赛跑. 他们同时出发, 同时 达到终点. 试用微分中值定理证明: 在他们奔跑的过程 中, 一定存在某一时刻, 在该时刻, 这两名选手的瞬时速 度相同.
七、令 fx 4 ln x 5 4 x ln 4x ,
fx41xln3x, x
由 f x 0得惟一驻点 x 1. 又
x 0 , 1 ,f x 0 , x 1 , ,f x 0 .
所以 f 1 1 为极大值. 同时
lim fx ,lim fx ,
x 0
微积分期中模拟试题（一）
一、选择题（每小题4分）
x
1.若 lim
1, 则当 x 0
时,
函数
x 与（
）是
பைடு நூலகம்x0 sin x
等价无穷小.
A. ln1 x,
B. s i n x ,
C.1 cos x ,
D. 12x 1.
2. 以下条件中, （ ）是函数 f x 在x 0 处连续的充分而
非必要条件.
求曲线上点 A 0,1 处的切线方程.
五、（10分）设 limfx1,fx0,证明f x x.
x0 x
1
六、（12分）设函数 f x xe x ,
⑴指出函数的单调区间及曲线的凹凸区间;
⑵求 limfx,limfx并绘出函数 f x 的草图.
x 0
x 0
七、（12分）一弓箭手在原点射出的箭的轨迹方程为
x
所以交点有两个.
微积分期中模拟试卷（三）
一、填空题（每小题4分）ln1ax
1.设 a
0,
函数
f
x
x
,
ax2 2,
x0在x 0 处
x0
连续, 则常数 a
.
2.若
f
x0
1,
则
limfx03hfx02h
h 0
h
.
3.如果曲线 y f x 在点 1 , 2 处的切线斜率为2 , 曲线
七、（8分）确定曲线 y 4 lnx 5 ,与y 4 x ln 4x
的交点个数, 并说明理由.
答案
一、1. 2 2.低阶 3. 1 4. 1/4
二、1. 4 2 .
2. 1.
三、1. y1sin1ecos1x 1 .
x2 x
2 xx2
2.
y
y, y1
y
y
y13
.
4.
1 dy1x2
farctan1xdx.