压杆稳定的欧拉公式ppt课件
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压杆稳定教学课件PPT
P
cr
2E 2
细长压杆。
粗短杆 中柔度杆
o
s
大柔度杆
P
l
i
粗短杆 中长杆 细长杆
细长杆—发生弹性屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 (< s)
四、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。
2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
受压直杆平衡的三种形式
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
电子式万能试
验机上的压杆稳定 实验
工程项目的 压杆稳定试验
§9-2 细长压杆临界压力的欧拉公式 一、两端铰支细长压杆的临界载荷
当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡
1.287
91(kN)
例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定，上 端为球铰支座，p 100 ，试 a=？时，截面最为合理。并求立柱的 临界压力最大值为多少？
解：1、对于单个10号槽钢，形心在C1点。 A1 12.74cm2, z0 1.52cm, Iz1 198.3cm4, I y1 25.6cm4.
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯
曲变形而使结构丧失工作能力，并非因强度不
够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态
(a)
(b) 所致。这种现象称为失稳。
1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）
压杆稳定性计算PPT课件
解：查表知A=42cm2,imin=2.31cm,μ=1,则柔度
l
i
1 3000 23.1
129.9
p
123
大柔度杆
由欧拉公式
lj
2E 2
2 200 103 129.92
117MPa
Plj lj A 117 4200 491.3kN P 500kN
所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。 为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间支承
称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。
lj a b2; Plj lj A (a b2 ) A;
式中：λ—压杆的长细比；a、b—与材料有关的常数,可查表确定。 A3钢：a＝235,b＝0.00668；
16锰钢：a＝343,b＝0.0142
。临界应力总图—临界应力lj 与柔度的函数关系曲线。
sin
59.6
4 5
47.7kN ;
实际工程中应再考虑安全系数，取[P]=Pmax/n。
第十二页，共19页。
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• 第四节 压杆的稳定计算
一、 稳定条件
P A
[ lj ]
lj
nw
— 极限应力法
P A
[ w ]
— 折减系数法
P
Plj nw
[Pw ] — 许可荷载法
•解：查表得20a号工字钢:
Iz=2370cm4,Iy=158cm4,
•临界压力按公式
2 EI
plj l 2 计算
Plj
2EI
l2
2 200 106 158108
32
346kN
•由此可知，若轴向压力达到346KN时，此压杆便会丧失
压杆稳定-欧拉公式适用条件30min课件
— 欧拉公式
临界应力
cr
Fcr A
2E 2
— 欧拉临界应力公式
柔度
（长细比）
l
i
量纲：1
{ 约束条件 l 杆长 i 截面形状尺寸
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
弯曲变形近似微分方程：
d2y M dx2 EI
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
i
A
•临界柔度
P
E
P
P — 比例极限
S
a s
bs — 屈服极限来自•临界应力P(大柔度杆)
cr
2E 2
欧拉公式
P S (中柔度杆) cr a b 直线公式
S (小柔度杆) cr s 强度问题
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
cr cr=s
s A B P
O
S
cr=ab
cr a b a、b — 材料常数
cr s
S
a s
b
当 S P cr a b
中柔度杆（中长杆）
S
cr s
小柔度杆（短粗杆）
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
cr cr=s
s A B P
O
S
cr=ab
C
cr
2E 2
D
P
内容回顾
稳定性：构件在外力作用下，保持其原有平衡状态的能力。 失 稳：压杆丧失直线状态的平衡，过渡到曲线状态的平衡
欧拉公式普遍形式：
2 EI Fcr (l )2
适用对象： ➢ 理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀） ➢ 线弹性，小变形
压杆的稳定性PPT课件
l 2
l 表示把压杆折算成两端铰支的长度，称为相当长度。
称为长度系数，它反映了杆端不同支座情况对临界压力
的影响。
第28页/共68页
支座情况 两端铰支
一端固定 一端自由
一端固定 一端铰支
两端固定
压杆简图
临界压力 公式
2EI
l2
1.0
2EI
2l 2
2
2EI
0.7l 2
0.7
第29页/共68页
约小100倍！杆件先发生失稳现象！
F
第30页/共68页
8.3 压杆的临界应力、经验公式
1 临界应力
压杆处于临界状态时，近似认为压杆横截面上的轴向 正应力临界压力Fcr 与压杆的横截面面积A之比，该正应
力称为临界应力，以 cr 表示。
即
cr
Fcr A
2EI l2 A
式中，I i2 ,
A
i为截面的惯性半径，是一个与截面形状和尺寸
第13页/共68页
载 荷 更 大 的 状 态
第14页/共68页
压杆的平衡稳定性
F Fcr
临界力
F Fcr
F Fcr
微小横 向力Q
微小横 向力Q
上界
下界
稳定平衡
临界状态
不稳定平衡
稳定的直线平
微弯平衡状态
衡状态
第15页/共68页
压杆的平衡稳定性 F
F FFcr F F F Fcr
当 P Pcr 当 P Pcr
第19页/共68页
8.2 压杆的稳定性分析、欧拉公式
1 两端铰支细长杆的临界压力
如图所示细长等直杆
当压杆在压力F作用下处于临界状态时，杆件发生“微弯” 变形，x截面处的弯矩
l 表示把压杆折算成两端铰支的长度，称为相当长度。
称为长度系数，它反映了杆端不同支座情况对临界压力
的影响。
第28页/共68页
支座情况 两端铰支
一端固定 一端自由
一端固定 一端铰支
两端固定
压杆简图
临界压力 公式
2EI
l2
1.0
2EI
2l 2
2
2EI
0.7l 2
0.7
第29页/共68页
约小100倍！杆件先发生失稳现象！
F
第30页/共68页
8.3 压杆的临界应力、经验公式
1 临界应力
压杆处于临界状态时，近似认为压杆横截面上的轴向 正应力临界压力Fcr 与压杆的横截面面积A之比，该正应
力称为临界应力，以 cr 表示。
即
cr
Fcr A
2EI l2 A
式中，I i2 ,
A
i为截面的惯性半径，是一个与截面形状和尺寸
第13页/共68页
载 荷 更 大 的 状 态
第14页/共68页
压杆的平衡稳定性
F Fcr
临界力
F Fcr
F Fcr
微小横 向力Q
微小横 向力Q
上界
下界
稳定平衡
临界状态
不稳定平衡
稳定的直线平
微弯平衡状态
衡状态
第15页/共68页
压杆的平衡稳定性 F
F FFcr F F F Fcr
当 P Pcr 当 P Pcr
第19页/共68页
8.2 压杆的稳定性分析、欧拉公式
1 两端铰支细长杆的临界压力
如图所示细长等直杆
当压杆在压力F作用下处于临界状态时，杆件发生“微弯” 变形，x截面处的弯矩
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力课件
杆的长度远大于横截面尺 寸，且横截面尺寸保持不 变。
杆的材料需满足胡克定律 ，即应力与应变成线性关 系。
欧拉公式在压杆稳定中的应用
01
通过欧拉公式，可以计算出压杆在临界状态下的临界力，即压杆失稳 前的最大承载力。
02
临界力的大小与压杆的材料、截面形状、尺寸等因素有关，是评估压 杆稳定性能的重要指标。
通过优化载荷分布，可以改善压杆的受力状态，从而提高稳定性。
THANKS
感谢观看
详细描述
理想压杆的临界力不受压杆重量和惯性影响，因此在实际应用中 ，需要考虑这些因素对临界力的影响。
实际压杆临界力计算
总结词
实际压杆是指考虑自身重量和惯 性影响的压杆，其临界力计算需 考虑这些因素。
总结词
实际压杆的临界力受到自身重量 和惯性影响，因此需要考虑这些 因素对临界力的影响。
详细描述
在计算实际压杆的临界力时，需 要考虑压杆自重产生的挠度以及 横截面面积和长度等因素的影响 。
02
推导过程中，考虑了压杆的弯曲变形和轴向压缩变形，利用能
量守恒和弹性力学的基本方程，最终得到了欧拉公式。
推导过程涉及了数学和物理的相关知识，需要一定的专业背景
03
和理论基础。
欧拉公式应用条件
欧拉公式适用于理想弹性 材料制成的细长等截面直 杆。
杆的受力方式为两端受压 ，且轴向压力逐渐增加直 到临界状态。
材料力学压杆稳定概念欧 拉公式计算临界力课件
• 压杆稳定概念 • 欧拉公式 • 临界力计算 • 压杆稳定性的影响因素 • 提高压杆稳定性的措施
01
压杆稳定概念
压杆失稳现象
01
02
03
弯曲变形
当压杆受到压力时，可能 会发生弯曲变形，导致承 载能力下降。
第九章压杆的稳定 共28页PPT资料
Plj
y>0
y
P
M>0
Fcr x
①弯矩： M(x)Pljy M(x)Pljy
②挠曲线近似微分方程：
x
EyI M (x) Plj y
y Plj y 0 令：k2 Plj
x
EI
EI
yk2y0
end
③微分方程的解： yA sikn xBco ksx
④确定积分常数： y(0)0 ; 0A sik 0 n B co 0s B0
稳定许用应力 w 1 1 ' 0 .2 3 15 6 3.6 0 M 7 Pa
实际应力
1 P /A 1 1 0 .2 1 6 3 M 0 2 Pa
稳定校核得
1A P 11w11,
所以，杆是稳定的。但杆内实际应力比起稳定许用应力来过小了些，
y(l) 0
0 A sikn l0 co ks l sik n l 0
kln (n0,1,2,3,.....)
n 1
Plj
n2
Plj n3
Plj
Plj Plj
Plj end
sik n l 0 kln
临界力Plj 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩
最小的轴弯曲。
P<Plj
P>Plj
P
P
end
理论研究和压杆的实验表明：在 弹性范围内，压杆所受的压力 P 和其 中点处的挠度 f 间的关系，如图所 示。图中OA 和AB 线是理论线。线上 各点分别对应于杆的两种不同平衡形 式的各种情况。
实际上由于杆不是理想的直杆而可能有初曲率，压力 也不可能精确地对中而有偏心等等，压杆的实际变形结果 如图中的ODE 线。
《压杆稳定教学》课件
增加约束
总结词
通过增加支撑、固定或增加附加约束，可以 提高压杆的稳定性。
详细描述
约束是影响压杆稳定性的重要因素。通过增 加支撑、固定或附加约束，可以限制压杆的 自由度，从而增强其稳定性。例如，在压杆 的适当位置增加支撑或固定点，可以减小压 杆的弯曲变形，提高其稳定性。此外，通过 增加附加约束，如套箍或加强筋等，也可以 提高压杆的稳定性。
实验结果与分析
实验结果
通过实验观察和数据记录，得到不同条件下 压杆的稳定性表现。
结果分析
根据实验数据，分析影响压杆稳定性的因素 ，如压杆的材料、截面形状、长度、直径等 。通过对比不同条件下的实验结果，总结出
压杆稳定性的一般规律和特点。
THANKS
感谢观看
REPORTING
稳定性安全系数
通过比较临界载荷与实际载荷的大小，来判断压杆的 稳定性。
稳定性试验
通过试验的方法，对压杆进行稳定性测试，以验证其 在实际使用中的稳定性。
PART 02
压杆的分类与计算
REPORTING
长细比较小的压杆
弹性失稳
当受到垂直于杆轴的压力时，杆件会 弯曲并丧失承载能力。
临界压力
当压杆达到临界压力时，杆件将发生 屈曲。
PART 05
压杆稳定性的实验研究
REPORTING
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握压杆稳定性的基本概念和原理，了解影响压杆稳定性的因 素。
实验原理
压杆稳定性是指细长杆在受到轴向压力时，抵抗弯曲变形的能力。当轴向压力 超过某一临界值时，压杆会发生弯曲变形，丧失稳定性。本实验通过观察不同 条件下压杆的变形情况，分析影响压杆稳定性的因素。
根据欧拉公式计算临界应力：$sigma_{cr} = frac{EI}{A}$
压杆稳定的欧拉公式ppt课件
L
0.25L 各种支承下压
L
0.7L
杆临界力的通
0.5L 用公式：
L
0.3L
0.25L
Fcr
2EIm i n (L)2
1 2 0.7 0.5 :长度因数
两端铰支, 一端固定,一端自由,
L:相当长度
一端固定,一端铰支, 约束越牢固，长度因数越小。
两端固定, .
计算临界力的统一形式：
Fcr
2EImin (L) 2
第9章 压杆稳定
第二章中，轴向压杆的强度条件为：
σmax=FNAmax≤[σ]
F
例如：横截面为50mm×4mm，长度1m的木杆，[σ] ＝10MPa。受轴向压力F作用。 1）按强度条件，其可承受最大压力为：
F=〔σ〕A=2000N； 2）实际上，当压力F不足30N时，杆就突然发生明
显的侧向弯曲变形。力再稍增加，杆就折断了。 3）杆之折断，并非抗压强度不足，而是与受压时
欧拉公式(Euler formula )的应用条件： 1 理想压杆； 2 线弹性范围内； 3 两端为球铰支座。
.
9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
利用挠曲线近似微分方程，结合压杆的边界条件进 行推导，推导过程与“两端铰支”细长压杆相同。
y
x
F
l
F
F
L
.
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
2EImin L2
临界状态
稳 定
对应的
过渡
不 稳 定
压力
临界压力:Fcr
.
9.2 两端铰支细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力的推导
假定压力已达到临界值，杆处于微弯状态w，x M(x)
9-1压杆稳定-PPT资料58页
L
M0 xP
M
令: k2 P
EI
x
得: yk2yM0
EI
通解 : 为
y
y
yAsiknxBcoksxM0 P
M
P
0
边界条件为:
M0
P
x0 y0及y0
xL y0及y0
17
压杆稳定
解得:
A 0 B M0 / P coskL1 sinkL 0
kL 2n ( n1,2,3...)
21
压杆稳定
y y
x
A
h z
L1
z
b
L2
②、在xz平面内弯曲,中性轴为z 轴,左端固定,右端铰支：
=0.7
Iz bh3 /12
Pcrz
(
2EIz
0.7L1 )2
∴ 压杆的临界力: P crmiP n cr,y(P cr)z
22
压杆稳定
例9-2-3 求下列细长压杆的临界力,L=0.5m，E=200GP。
L
0.5 L
L
C
C
Pcr 公式
长度 系数
2 EI
2 L 2
2
2 EI L2
1
2 EI
0.7 L 2
0.7
2 EI
0.5 L 2
0.5
2 EI L2
1 16
压杆稳定
例9-2-1 试导出下图两端固定的细长压杆临界力公式。
P P
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
E yI M (x) P y M 0
解：一端固定另一端自由的长度系数=2.0
①、 L=1.2m 时
2EI2 2 0 10 9 0 0 .048
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L
0.25L 各种支承下压
L
0.7L
杆临界力的通
0.5L 用公式：
L
0.3L
0.25L
Fcr
2EIm i n (L)2
1 2 0.7 0.5 :长度因数
两端铰支, 一端固定,一端自由,
L:相当长度
一端固定,一端铰支, 约束越牢固，长度因数越小。
两端固定, .
计算临界力的统一形式：
Fcr
2EImin (L) 2
F
0.12m
y
0.2m y
z
.
曲曲弯
则称原来的直线平衡是稳定的。
平
平平平
衡
衡衡衡
构 2. 在扰动作用下，直线平衡转变为弯曲平 形 衡，扰动除去后，不能恢复到直线平衡，
构构 形形
则称原来的直线平衡是不稳定的。
.
三：失稳 (屈曲) Lost Stability
1.屈曲(失稳)
构件在荷载作用下，能保持其原有形
式的平衡，构件为稳定的；不能保持 原有形式的平衡，构件为不稳定的，
欧拉公式(Euler formula )的应用条件： 1 理想压杆； 2 线弹性范围内； 3 两端为球铰支座。
.
9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
利用挠曲线近似微分方程，结合压杆的边界条件进 行推导，推导过程与“两端铰支”细长压杆相同。
y
x
F
l
F
F
L
.
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
2EImin L2
第9章 压杆稳定
第二章中，轴向压杆的强度条件为：
σmax=FNAmax≤[σ]
F
例如：横截面为50mm×4mm，长度1m的木杆，[σ] ＝10MPa。受轴向压力F作用。 1）按强度条件，其可承受最大压力为：
F=〔σ〕A=2000N； 2）实际上，当压力F不足30N时，杆就突然发生明
显的侧向弯曲变形。力再稍增加，杆就折断了。 3）杆之折断，并非抗压强度不足，而是与受压时
临界状态
稳 定
对应的
过渡
不 稳 定
压力
临界压力:Fcr
.
9.2 两端铰支细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力的推导
假定压力已达到临界值，杆处于微弯状态w，x M(x)
从挠曲线入手，求临界力。
EI
① 弯矩：M Fw x
y
x
② 挠曲线近似微分方程：
F
l
F
w Fw
EI
y F
M W(x) F
P296（9.5）
x
1）与材料（E）有关、截面尺寸(I)有关、 与长度(L) ；与约束(μ)有关。
2）临界力Fcr越高，承载能力越强，稳定 性能越好。
y
3）杆端在各个方向的约束情况相同，压 y
杆失稳时，
1.细长压杆材料相同，均为圆形截面，直径为d。 当压力F从零开始增加时，问：哪根杆先失稳？
变弯有关，即杆件发生屈曲（丧失稳定）。
.
.
压杆
.
一：平衡状态分类 1.稳定的平衡 ：扰动作用除去后能回复的平衡。
2.不稳定的平衡 ：扰动作用除去后不能回复的平衡。
随遇平衡
.
直线平衡 压杆的两种平衡：
微弯平衡
二：压杆直线平衡的稳定与不稳定
1. 在扰动作用下，直线平衡转变为弯曲平 直
弯弯微
衡，扰动除去后，能够恢复到直线平衡， 线
w Fw w k2w 0
x
EI
其 中: k2 F
EI
.
w Fww k2w0 EI
其 中: k2 F EI
③ 微分方程的解： w A sk in x B ck ox s
④ 确定常数： w (0 )w (L )0
即 : A As 0 ik nB L B 0 coksL 0 AsinkBL
0 0
A≠0 ???
y
x
sinkL=0 !!!
F
l
F
若A=0, 则挠曲线：w 0 s k i n 0 x ck o 0 x s
与杆处于微弯状态的假设相矛盾!
.
w Fw w k2w 0 EI
B0
AsinkL 0
k n F
L
EI
∴Fcr
=
π2EImin L2
B0
A0
sin kL 0
临界力 Fcr 是杆微弯下的 最小压力，取n=1 ；
F
F
F
1.3L L
1.6L
①
②
③
.
2.在设计图示细长压杆时，有正方形和圆形两种 截面可供选择，它们的面积相同。试判断哪种截 面的稳定性好？
.
3.矩形截面细长压杆，两端支承情况为： 下端：嵌固； 上端：在黑板平面内不能水平移动和转动；在垂 直于黑板平面内可水平移动和转动，问：在力F作 用下压杆会在哪个平面内失稳？
直 线 平
或称为失稳。
衡
构
形
形弯弯微 曲曲弯 平平平 衡衡衡 构构构
形形
.
F < Fcr —稳定平衡状态 F = Fcr —临界状态
F > Fcr —不稳定状态
临界状态的特点是， 不加干扰力，压杆处 于直线形式的平衡； 加一微小干扰力并撤 掉后，压杆保持微弯 状态的平衡。
关键 确定压杆临界力Fcr