重积分的换元法
高等数学 重积分的换元法及含参变量的积分
( x ) f ( x , y ) d ( x) ( x ) ( x ) f ( x , y )dy ( x ) dy dx x f [ x , ( x )] ( x ) f [ x , ( x )] ( x ). (7)
v
柱面坐标 4. 三重积分换元法 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
x r cos , y r sin , z z.
x r sin cos , （2） 球面坐标的体积元素 2 dxdydz r sindrdd y r sin sin , z r cos . （3） 广义球面坐标的体积元素 x ar sin cos , 2 dxdydz abcr sindrdd y br sin sin , z cr cos .
当 x 0 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，
根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于 零. ( x ) 又 ( x x ) f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) ,
( x)
( x x )
f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) .
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y(u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
注意：
同时也兼顾被积函数 f ( x , y ) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状，
6重积分的换元法-DrHuang
.
f ( x, y, z)dxdydz
xyz
f (r cos ,r sin , z)rdrddz
r z
d
r2 ( ) rdr
z2(r, ) f (r cos , r sin , z)dz
r1 ( )
z1 (r , )
若变换T为球坐标:
r r cos
D f ( x, y)d x d y D f (r cos ,r sin ) r d r d
y x
例1 计算 e y xdxdy, 其中 D 由 x 轴、y轴和直
D
线 x y 2 所围成的闭区域．
例2 求 ( x a)2 y2 dxdy,其中D {( x, y) | x2 y2 a2 }. D
D D {(r, ) 0 r 1 , 0 2 },
J ( x, y) abr.
(r, )
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
D
1 r 2abrdrd 2 ab.
3
例6 试计算椭球体
的体积V.
解
取
D:
x2 a2
y2 b2
o
u
x y 2 v 2.
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1 2
,
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
Dபைடு நூலகம்
D
2
1
三二重积分的换元法
从而得二重积分的换元公式:
例如, 直角坐标转化为极坐标时,
抱赋临斧云脸揣购马嫁壁陈奥团窍欺搬氰剑弃才韵鸯螺闪散跪浊逐法绎湃三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例8. 计算
其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成的闭域.
解: 令
则
宪著圈骸呕齐罢誓裳锻逗烃扶减砌沃癸芒茶头痊士奏月芯怔邪堆渣吴兔淋三二重积分的换元法三二重积分的换元法
叫杀挽所糜波趴蛆躇钞降壁汇谅褐呕草烷诅玉磷啡靴糖喘沮闲粳垄婴玖索三二重积分的换元法三二重积分的换元法
解：
原式
备用题
1. 给定
改变积分的次序.
楷谜伟膜眯扶审洋各峰禁汪旺翌剁酬粘床络句氏蚊逊擅敝肮丑旧抠许坚益三二重积分的换元法三二重积分的换元法
2. 计算
其中D 为由圆
所围成的
及直线
解：
平面闭区域.
榔质屋捞铺诧改毙枷腺皖帅朽序赵例散帐怀桥队誊性羹萍撵雍柏挑泉延蘑三二重积分的换元法三二重积分的换元法
说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X - 型域或Y - 型域 ,
则
焕隙障邱肇眼弦遗狼恶患底悦荣碱咙赛曲判令坷蚁龙敏读越烘宁反贾育篇三二重积分的换元法三二重积分的换元法
思考与练习
1. 设
且
求
提示:
交换积分顺序后, x , y互换
窖食茎隅杀误邵呢绽衣蹿醛膘碴衬苫轮笆傣变苯钧垦并儡赛雄厘宰墩砖晒三二重积分的换元法三二重积分的换元法
2. 交换积分顺序
提示: 积分域如图
祖磅穷栈捕嚏臂细埃弓给谜痕箭择猫曰隶膘鸭阀浦羡仇管笨丛抬惶甥柠境三二重积分的换元法三二重积分的换元法
重积分的积分变换和积分替换
重积分的积分变换和积分替换积分是高等数学中的一个重要概念，它被广泛应用在各个领域中，包括物理学、统计学、经济学等。
在微积分中，一类重要的积分就是重积分。
和单变量积分不同，重积分涉及到多个变量，其计算难度往往更大。
近年来，学者们发现，利用积分变换和积分替换的技巧，可以有效地简化重积分的计算过程。
本文就介绍一些有关积分变换和积分替换的基本知识和重要应用。
一、积分变换积分变换是将一类积分变换成另一类积分的过程，通常是通过一些数学技巧来实现的。
积分变换有很多种，包括线性变换、仿射变换、圆柱变换、球坐标变换等。
在这里，我们主要介绍球坐标变换和柱坐标变换两种。
1. 球坐标变换球坐标变换是将三维空间中的积分转化为球坐标系下的积分。
通过这种变换，可以将具有各向同性的问题转化为与方向无关的问题，从而简化积分的计算。
球坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和方位角φ。
一般来说，球坐标变换的步骤如下：（1）将被积函数写成球坐标的形式；（2）将坐标变量x、y、z表示为r、θ和φ的函数；（3）将分子（dx dy dz）替换成球坐标系下的积分元素r²sinθ dr dθ dφ；（4）对变量r、θ和φ进行变量替换，计算出新的积分区域。
例如，设空间中有一个函数f(x,y,z)，要求其在球形区域内的积分。
那么，将被积函数转化为球坐标系下的形式：f(x,y,z)→f(r,θ,φ)然后，把直角坐标系下的坐标写成球坐标系下的形式：x=r sinθ cosφ；y=r sinθ sinφ；z=r cosθ。
接着，计算出雅可比行列式，替换分子，并对积分区域进行调整。
最终得到球坐标下的积分表达式：∫∫∫f(x,y,z) dxdydz = ∫∫∫f(r,θ,φ) r²sinθ dr dθ dφ2. 柱坐标变换柱坐标变换是将三维空间中的积分转化为柱坐标系下的积分。
柱坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和高度z。
柱坐标变换的一般步骤如下：（1）将被积函数写成柱坐标系下的形式；（2）将直角坐标系下的坐标表示为柱坐标系下的形式；（3）将分子（dx dy dz）替换成柱坐标下的积分元素r d r dθ dz；（4）对变量r、θ和z进行变量替换，计算出新的积分区域。
重积分换元法与分部积分法
重积分换元法与分部积分法在高等数学领域，积分是一个重要的概念，通过对函数在一定区间上的“面积”进行求解，可以对函数的变化趋势和性质进行分析。
在积分中，重积分换元法和分部积分法是两种常用的积分方法，它们在求解复杂积分问题时发挥着重要的作用。
重积分换元法重积分换元法，也称为多重积分的换元法，是处理多重积分中变量替换的方法。
在进行多重积分时，往往需要通过变量代换的方式简化积分问题。
重积分换元法的基本思想是通过合适的变量替换，将原来的多重积分转化为一个简单的积分形式，从而更容易求解。
对于二重积分而言，重积分换元法的一般步骤如下： 1. 确定变量替换的形式，通常选择与坐标轴吻合的变换； 2. 计算变换后的积分区域，并变换原积分的被积函数； 3. 对新的积分进行求解。
通过重积分换元法，可以简化积分的计算过程，降低积分的难度，提高计算的效率。
分部积分法分部积分法是求解不定积分中的一种常用技巧，也可以应用于定积分的简化。
在定积分中，分部积分法是将积分号作用在两个函数的乘积上，通过对积分的展开和化简，将原积分转化成两个函数之积的形式。
分部积分法的基本思想是通过对被积函数进行拆分，选择一个函数进行求导，一个函数进行求不定积分，最终通过不断的交换角色，逐步简化和求解原积分。
对于定积分而言，分部积分法的一般步骤如下： 1. 选择一个函数进行求导，一个函数进行不定积分； 2. 对两个函数进行交替操作，最终将原积分问题转化为更容易求解的形式。
通过分部积分法，可以有效解决复杂积分问题，提高积分的求解速度和准确性。
综上所述，重积分换元法和分部积分法是高等数学中常用的积分方法，它们在不同的积分问题中发挥着重要的作用。
通过灵活运用这两种积分方法，可以更好地解决数学问题，提升问题的求解效率和准确性。
重积分的换元法
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
D
1 r 2abrdrd 2 ab.
3
二、三重积分的换元法
定理 设 f (x, y, z) 在 空间区域 上 连续，变换 T : x x(u, v, w), y y(u, v, w) z z(u, v, w)将 ouvw空间的闭区域 变为Oxyz 空间的闭区域，且满足
2.
J
(x, y) (u, v )
1 (u, v )
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
21 1 v
3
y x
例2 计算 e yxdxdy, 其中 D 由 x 轴、y轴和直
D
线 x y 2 所围成的闭区域．y
解 令 u y x, v y x,
则 x vu, y vu.
2
2
D D,即 x 0 u v;
x y2
D
o
x
v
v2
y 0 u v; u v D u v
x y 2 v 2.
o
u
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1, 2
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1
2
2
dv
0
u v
e v du
1
v
2
2(e e1 )vdv
0
e e1.
说明: 通过换元可将较复杂的被积函数形式化简
例3
计算
D
1
三重积分换元法
三重积分换元法三重积分是数学中的一个重要概念，它与物理、工程等领域密切相关。
三重积分中的换元法是其中一个非常重要的技巧，能够帮助我们更加高效地求解三重积分问题。
下面，我们将详细介绍三重积分换元法的相关知识。
1. 三重积分介绍三重积分是指对三维立体空间中的某一区域进行积分，其结果通常为一个实数或者也可能是一个向量值函数。
在三重积分中，我们通常会用到三个自变量，这三个自变量通常被称为 $x, y, z$。
对于三重积分问题，我们通常需要先确定被积函数和积分区域，然后再进行求解。
在实际应用中，三重积分通常被用来求解物理、工程等领域的问题。
2. 三重积分换元法的基本原理在求解三重积分时，有时候我们会发现积分区域的形状比较复杂，这时候我们可以使用换元法来简化计算。
三重积分换元法的基本原理是将三重积分中的自变量替换为新的自变量，使得积分区域转化为简单的坐标轴画图形式，从而将原积分区域直接变换为新的积分区域。
具体来说，我们通常会选取满足一定条件的替换，使得其中至少一个自变量的下限和上限随着新的自变量而发生变化，从而简化原有的计算问题。
3. 三重积分换元法的常用技巧在实际计算中，三重积分换元法有多种常用技巧。
下面我们就来分别介绍一下。
（1）圆柱换元法当积分区域为旋转体时，我们可以使用圆柱换元法。
具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为极坐标系中的角度和半径，从而将积分区域转化为一个简单得多的圆柱体积分。
（2）球面换元法当积分区域为球体时，我们可以使用球面换元法。
具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为球面坐标系中的极角、方位角和距离，从而将积分区域转化为一个简单得多的球体积分。
（3）柱坐标换元法当积分区域为柱体时，我们可以使用柱坐标换元法。
具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为柱坐标系中的高度、极径和极角，从而将积分区域转化为一个简单得多的柱体积分。
4. 总结三重积分是数学中的一个重要概念，而三重积分换元法则是其中的一个重要技巧。
三重积分的换元法(北工大)
23
例6
计算密度函数 ( x, y, z ) 1 的均匀上
V : x 2 y 2 z 2 a 2 ( z 0) 的重心. 半球体
例7
计算密度函数 ( x, y, z ) 1 的均匀上 半球体 V : x y z 1
2 2 2
关于三个坐标轴的转动惯量.
4
2.柱面坐标变换 x r cos , 设 y r sin , z z,
cos ( x, y, z ) sin ( r , , z ) 0
其中 0
r , 0 2 , z .
0 0 r, 1
r sin r cos 0
f ( x , y , z )dxdydz
V
f ( r cos , r sin , z ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ dr d dz .
V
5
dV = dxdydz
z
rdrddz
f ( x , y, z )dxdydz
dV
dz
f ( r cos , r sin , z )
dv r 2 sin drdd
14
例 4 求区域 x y z 2a 与 z 的公共部分的体积.
2 2 2 2
x y
2
2
解 由锥面和球面围成，采用球面坐标，
由x
2
y z 2a
2 2
2
r 2a,
z x y
2 2
, 4
: 0 r 2a ,
2 2
2. 积分区域Ω是由柱面、锥面、旋转 抛物面、平面或球面所围成. 常用柱面坐标计算. 例1 计算抛物面 x 2 y 2 az(a 0), 柱面 x y 2ax(a 0) 与平面
重积分的换元法
容易验证，
柱坐标(Cylindrical Coordinate)变换的Jacobi行列式为
cos r sin 0
J (x, y, z) sin r cos 0 r,
(u, v) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f (x, y)dxdy f[x(u, v),y(u, v)]J(u, v) dudv.
D
D'
三重积分的换元法
(Change of Variable in Triple Integral)
定 理 设 f (x, y, z) 在 有 界 闭 区 域 上 连 续 ， 变 换T : x x(u, v, w), y y(u, v, w), z z(u, v, w),将o uvw 上 的 闭 区 域' 变 为o xyz 上 的 闭 区 域， 且 满 足
(r, , z)
0
01
球坐标(Spherical Coordinate)变换的Jacobi行列式为
sincos coscos sinsin
J (x, y, z) sinsin cossin sincos 2 sin
(, , ) cos sin
(1) x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)在 D 上 具 有 一 阶 连 续偏导数； (2) 在 ' 上雅可比式 J(u, v, w) (x, y, z) 0;
(u, v, w) (3) 变 换 T : ' 是 一 对 一 的 ， 则 有
f (x, y, z)dxdydz
重积分换元法与卷积公式
和其他知识点的关联在学习概率统计的时候，我曾经碰到过卷积公式，当时学习的时候感觉很不理解，后来查了一些资料，其实就是二重积分换元。
在卷积公式中f(x,y)是二维随机变量(X,Y)的概率密度,概率密度区域为D ，则∬f(x,y)dxdy =1D现在有Z=Z(x,y)，求Z 的概率密度。
这个时候我们需要对xoy 这个平面进行转换，转为zoy 或xoz 。
我们首先选择xoz 进行分析设{ x =x y =y(z,x) ，这个转换其实就是重积分换元中将D 变成D’，此时∬f(x,y)dxdy =∬f(x,y(z,x))|J(x,z)|dxdz D ’D其中J= |ðy ðx ðy ðz ðx ðx ðx ðy |=|ðy ðx ðy ðz 10|=−ðy ðz所以原式：∬f(x,y)dxdy =∬f(x,y(z,x))|−ðy ðz |dxdz D ’D =1故(X,Z)联合概率密度g(x,z)=f(x,y(z,x))|−ðy ðz | Z 的边缘概率密度g Z (Z)=∫g(x,z)dx =∫f(x,y(z,x))|−ðy ðz |dx +∞−∞+∞−∞然后对zoy 进行分析，过程差不多：设{ y =y x =x(y,z) ，这个转换其实就是重积分换元中将D 变成D’，此时∬f(x,y)dxdy =∬f(x(y,z),y)|J(y,z)|dydz D ’D其中J= |ðx ðy ðx ðz ðy ðy ðy ðz |=|ðx ðy ðx ðz 10|=−ðx ðz所以原式：∬f(x,y)dxdy =∬f(x(y,z))|−ðx ðz |dxdz D ’D =1 故(X,Z)联合概率密度g(Z,Y)=f(x(y,z),y)|−ðx ðz |Z 的边缘概率密度g Z (Z)=∫g(y,z)dy =∫f(x(y,z),y)|−ðx ðz |dy +∞−∞+∞−∞下面我们来看卷积公式的例子例1：设f(x,y)={2y ∗e −x x >0,0<y <10 其他，求Z=X+Y 的概率密度 不使用卷积公式：设{y =z −x x =x → {0<y <1 x >0→ {x <z <x +1 x >0 J(x,z)=|−11 10| = -1 g(x,z)=f(x,z −x)|−1|=f(x,z −x)={2(z −x)∗e −x x >0,x <z <x +10 其他g z (z)=∫g(x,z)dx =∫2(z −x)∗e −x dx =+∞−∞+∞−∞{ 0,z <0∫2(z −x)e −x dx =2z +2e −z −2 ,0<z <1z 0∫2(z −x)e −x dx =2e −z ,z >1z z−1其中的计算如下图所示使用卷积公式：设{y =z −x x =x→ J =-1 则(x,z)联合概率密度为：g(x,y)=f(x,z −x)|J|={2(z −x)∗e −x x >0,x <z <x +10 其他故g z (z)=∫g(x,z)dx =∫2(z −x)∗e −x dx =+∞−∞+∞−∞{ 0,z <0∫2(z −x)e −x dx =2z +2e −z −2 ,0<z <1z 0∫2(z −x)e −x dx =2e −z ,z >1z z−1从上面的例子中我们可以看到，使用了卷积公式可以方便快捷的做出类似的题目。
重积分的换元法
D
o
u
D：x y 1 u 1
x0 uv 0
y0 v0
D
x
y
e( x y)2 d
y
D
f
(u,v) |
J
| dudv
1
u
du
v
eu2 dv
0 0u
1 u eu2du
02
1 (e 1). 4
练习 题
一、作适当的变换,计算下列二重积分:
1、 x 2 y 2dxdy, 其 中D 是 由 两 条 双 曲 线xy 1 和
2.
J
(x, y) (u, v )
1 (u,
v)
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
y
，其中
D： x
y
1，
x 0和 y 0所围成.
思考题解答
y
令u
v
x
y
y
x
y
u
v
v ,
x y1
D
o
x
雅可比行列式J ( x, y) 1, (u, v )
v
uv
变换后区域为
例1 计算I (x y z) cos(x y z)2 dv, 其中
={(x, y, z) | 0 x y 1, 0 x z 1, 0 x y z 1}.
解: 为了使积分区域变得简单，我们作坐标变换：
x y u, x z v, x y z ,
于是 x 1 (u v ), y 1 (2u v ),
一、二重积分的换元法
平面上同一个点，直角坐标与极坐标之
间的关系为
x y
重积分的换元
1
上述变换叫做三重积分的 Jacobian 变换，也就是 三重积分的换元法公式,J 叫做 Jacobian 行列式。
1. 柱面坐标变换
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
例8 计算三重积分
( x y ) dxdydz , 其中
2
z x 2 y 2 与平面 z 4 所围成的立体。 是由曲面
解 在 xoy面的投影区域为：x 2 y 2 4,
D
x y x y u , v , 2 3 2 3 3 则有 x u v , y ( u v ) ,该变换把平面区域 D 2
2 映射为平面区域 D1 : u v 和 u v 围成，而且
( x , y ) 1 1 3 3 0 ，则 J 3 ( u, v ) 2 2
规定： 0 r ,
0 2,
z
M ( x, y, z )
z .
x
o
r
P(r , )
y
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
半平面； 平 面．
为常数
z 为常数
柱面坐标与直角坐标的关系为
x r cos , y r sin , z z.
8.3 重积分的换元法
8.3.1 二重积分的换元法 8.3.2 三重积分的换元法
8.3.1 二重积分的换元法 定理8.1 若函数 f ( x , y ) 在平面 xoy上的闭区域
三重积分的计算方法例题
三重积分的计算方法例题摘要：一、三重积分的概念及应用场景二、三重积分的计算方法1.重积分的计算2.重积分的换元法3.重积分的性质4.重积分的几何意义三、实例解析四、总结与拓展正文：一、三重积分的概念及应用场景三重积分是一种多元函数的积分形式，通常表示为对空间中一个几何体内部的属性进行积分。
它在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。
三重积分的计算方法有多种，包括重积分、换元法等。
二、三重积分的计算方法1.重积分的计算重积分是指对一个空间函数在某个区域内的值进行积分。
求解重积分的过程通常包括以下步骤：确定被积函数、确定积分区域、选择积分顺序、进行积分计算。
2.重积分的换元法重积分的换元法是一种求解重积分的高效方法。
通过引入一个新的变量，将复杂的重积分问题转化为简单的一重积分问题。
换元法的关键在于选择合适的换元函数，使得积分过程变得简洁。
3.重积分的性质重积分具有线性、可交换、满足乘法公式等性质。
这些性质使得重积分在实际计算中具有很好的灵活性，可以简化计算过程。
4.重积分的几何意义重积分在几何上的意义是对一个立体图形的质量进行求解。
具体来说，重积分可以表示为空间曲线长度、曲面面积或体积的函数。
这为求解空间几何问题提供了理论依据。
三、实例解析以一个球体的体积为例，介绍三重积分的计算过程。
设球体的半径为R，球体的密度为ρ。
我们需要求解球体内部某一区域内质量的分布。
1.确定被积函数：球体内部的密度函数，即ρ(x, y, z)。
2.确定积分区域：球体内部，用球坐标系表示为x^2 + y^2 + z^2 <R^2。
3.选择积分顺序：先对z积分，再对y积分，最后对x积分。
4.进行积分计算：利用重积分公式，计算出球体内部的质量分布。
四、总结与拓展本文详细介绍了三重积分的计算方法，包括重积分、换元法等。
通过实际应用场景和实例解析，加深了对三重积分的理解。
在实际问题中，三重积分有着广泛的应用，掌握其计算方法有助于解决诸多实际问题。
重积分换元法
重积分换元法1. 二维情况（二重积分）- 在平面直角坐标系中，对于二重积分∬_{D}f(x,y)dxdy，如果我们作变量替换x = x(u,v)，y=y(u,v)。
- 这里(u,v)是新的变量，并且函数x(u,v)和y(u,v)具有一阶连续偏导数。
- 根据雅可比行列式的定义，雅可比行列式J=(∂(x,y))/(∂(u,v))=<=ftbegin{array}{ll}(∂ x)/(∂ u)&(∂ x)/(∂ v)(∂ y)/(∂ u)&(∂ y)/(∂v)end{array}right。
- 那么二重积分的换元公式为∬_{D}f(x,y)dxdy=∬_{D'}f[x(u,v),y(u,v)]| J| dudv，其中D'是D在uv平面上对应的区域。
2. 三维情况（三重积分）- 对于三重积分∭_{Ω}f(x,y,z)dxdydz，设变换x = x(u,v,w)，y = y(u,v,w)，z=z(u,v,w)。
- 雅可比行列式J=(∂(x,y,z))/(∂(u,v,w))=<=ftbegin{array}{lll}(∂ x)/(∂ u)&(∂x)/(∂ v)&(∂ x)/(∂ w)(∂ y)/(∂ u)&(∂ y)/(∂ v)&(∂ y)/(∂ w)(∂ z)/(∂ u)&(∂ z)/(∂ v)&(∂z)/(∂ w)end{array}right。
- 换元公式为∭_{Ω}f(x,y,z)dxdydz=∭_{Ω'}f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]| J| dudvdw，其中Ω'是Ω在uvw空间中对应的区域。
1. 简化积分区域- 很多时候，原积分区域D（或Ω）的形状比较复杂，通过合适的变量替换，可以将其转化为比较规则的区域D'（或Ω'）。
例如，将一个由复杂曲线围成的平面区域通过极坐标变换转化为矩形区域。
8_3重积分的换元法
αβD)(θϕ=r (2θϕ=r注: 利用例3可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式+∞ − x2 e dx 0 当D 为 R2 时,∫=π2+∞ − x2 e −∞①事实上,∫∫D e− x2 − y2d xd y = ∫d x∫+∞ − y 2 e −∞dy利用例3的结果, 得= 4⎛ ⎜∫ ⎝2+∞ − x 2 e 0d x⎞ ⎟ ⎠24⎛ ⎜∫ ⎝ 故①式成立 .+∞ − x2 e 0−a 2 ⎞ d x ⎟ = lim π (1 − e ) = π ⎠ a → +∞112 2 x + y = 2 ax 例4. 求球体 x + y + z ≤ 4 a 被圆柱面 (a > 0) 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 2 2 2 2解: 设 D : 0 ≤ r ≤ 2 a cosθ , 0 ≤ θ ≤ 由对称性可知π2zV = 4 ∫∫ = 4∫π0D 24 a 2 − r 2 r d r dθ dθo2y∫02 acosθ4a − r r dr22ax32 3 π 2 32 3 π 2 3 = a ∫ (1 − sin θ ) d θ = a ( − ) 0 3 2 3 312x2 y2 z 2 例5. 试计算椭球体 2 + 2 + 2 ≤ 1 的体积V. a b c 2 2 x y 解: 取 D : 2 + 2 ≤ 1, 由对称性 a b令 x = a r cosθ , y = b r sin θ , 则D 的原象为 D′ : r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π ∂( x, y ) a cosθ − a r sin θ J= = = abr b sin θ b r cos θ ∂( r ,θ )V = 2 ∫∫ z d x d y = 2 c ∫∫DD1−x2 a2−y2 2 d xd by∴ V = 2 c ∫∫D1 − r 2 a b r d r dθ2π 0= 2 abc ∫dθ∫104 1 − r r d r = π abc 3213内容小结(1) 二重积分的换元法x = x(u , v) 下 ⎧ 在变换 ⎨ ⎩ y = y (u , v) ∂ ( x, y ) (u , v) ∈ D′, 且 J = ≠0 ( x, y ) ∈ D ∂ (u , v) 则 ∫∫ f ( x, y ) d σ = ∫∫ f [ x(u , v), y (u , v)] J d u d vD D′14极坐标系情形: 若积分区域为 D = { (r ,θ ) α ≤ θ ≤ β , ϕ1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ) } 则∫∫D f ( x, y) d σ = ∫∫D f (r cosθ , r sin θ ) rd r dθ= ∫ dθ ∫α β ϕ 2 (θ ) ϕ 1 (θ )f (r cosθ , r sin θ ) rd rβD r = ϕ 2 (θ ) oαr = ϕ1 (θ )15二、三重积分换元法定理: 设f (x, y, z)在有界闭区域Ω上连续变换: ⎧ x = x(u , v, w) ⎪ T : ⎨ y = y (u , v, w) (u , v, w) ∈ Ω′ → Ω ⎪ z = z (u , v, w) ⎩ 满足 (1) x, y , z在 Ω′上 有一阶连续偏导数;(2) 在 Ω′上 雅可比行列式 ∂ ( x, y , z ) ≠ 0; 注 J (u , v, w) = ∂ (u , v, w) (3) 变换 T : Ω′ → Ω 是一一对应的 ,则∫∫∫ = ∫∫∫Ωf ( x, y, z )d x d y d zf ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) J (u , v, w) d u d v d w 16 Ω′常用的变换 1. 柱面坐标变换设 M ( x, y, z ) ∈ R 3 , 将x, y用相应的极坐标 ρ ,θ 代替，则称 （ρ ,θ , z ) 为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:x = ρ cosθ y = ρ sin θ z=z坐标面分别为⎛ 0 ≤ ρ < +∞ ⎞ ⎜ 0 ≤ θ ≤ 2π ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ∞ < z < +∞ ⎠圆柱面 半平面 平面zzM ( x, y , z )ρ = 常数 θ = 常数z = 常数ox ρy θ ( x, y,0)17如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 d v = ρ d ρ dθ d z 因此zρ dθ∫∫∫Ω f ( x, y, z )d xd yd z = ∫∫∫ F ( ρ ,θ , z )ρ d ρ d θ d z Ωxzρodρ dzy其中 F ( ρ ,θ , z ) = f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) 适用范围:θρdθdρ1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 积分次序通常为 z → ρ → θ .18柱面 x 2 + y 2 = 2 x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体.例6. 计算三重积分 ∫∫∫ z x 2 + y 2 d xd yd z 其中Ω为由Ω0 ≤ ρ ≤ 2 cosθ 解: 在柱面坐标系下 Ω : 0 ≤ θ ≤ π 2 0≤ z≤a原式 = ∫∫∫ z ρ 2 d ρ dθ d zΩz ao= ∫ zd z ∫0aπ02 dθ∫02 cosθρ2 d ρ2 ρ = 2 cos θ xy=2 π 4a3∫02 cos 3θ8 2 dθ = a 9dv = ρ d ρ d θ d z19d xd yd z , 其中Ω由抛物面 例7. 计算三重积分 ∫∫∫ 2 2 Ω1 + x + y z x 2 + y 2 = 4 z 与平面 z = h (h > 0) 所围成 .hxoy20ox h d d θρρ),,(ϕθr Myo4πRr =o x y2 4πo xy24πvd )作业P163 1(2)(4), 2(2)(4), 3(4),6(1)(3)(6), 7(3), 12, 13, 1531。
【精品】第一章2重积分计算的换元法分析
绥化学院本科毕业设计（论文）重积分计算的换元法分析学生姓名：李婷婷学号：200854100专业：应用数学年级：2008级一班指导教师：齐秀丽副教授Suihua UniversityGraduationPaperStudentnameLiTingtingStudentnumber200854100MajorAppliedchemistry SupervisingteacherQiXiuliSuihuaUniversit摘要换元法是数学中求重积分时用到的一种非常重要的计算方法，它不仅是重点，也是难点。
本文共分为两章，第一章介绍的就是与二重积分和三重积分在换元法上的一些相关概念、定理及其公式推导过程，而第二章则是结合第一章的相关内容进一步运用到实例中进行分析研究及其说明。
关键词：二重积分；三重积分；换元法目录SuihuaUniversityGraduationPaper ......................... 错误!未指定书签。
SuihuaUniversit ............................................ 错误!未指定书签。
摘要 ....................................................... 错误!未指定书签。
目录 ..................................................................... 前言 ....................................................... 错误!未指定书签。
第1章重积分计算的换元法理论 ............................... 错误!未指定书签。
第1节二重积分换元法的理论分析.......................... 错误!未指定书签。
第2节三重积分换元法的理论分析.......................... 错误!未指定书签。
重积分总结
多重积分的方法总结计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．一．二重积分的计算重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．1. 在直角坐标下： (a) X-型区域几何直观表现：用平行于y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()y y x =和2()y y x =；被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y a x b y x y y x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰．(b) Y-型区域几何直观表现：用平行于x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数1()x x x =和2()x x x =；被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y c y d x x x x x =≤≤≤≤；二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)dx y cx y Df x y dxdy dx f x y dx =⎰⎰⎰⎰．2. 在极坐标下：几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()r r θ=和2()r r θ=（具体如圆域，扇形域和环域等）；被积区域的集合表示：1212{(,),()()}D r r r r θθθθθθ=≤≤≤≤，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式2{(,)02,0()}D r r r θθπθ=≤≤≤≤； 直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：2211()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )r r DDf x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr θθθθθθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．3. 二重积分的换元法：(,)z f x y =在闭区域D 上连续，设有变换(,),(,)(,)x x u v T u v D y y u v =⎧'∈⎨=⎩将D '一一映射到D 上，又(,),(,)x u v y u v 关于u , v 有一阶连续的偏导数，且(,)0(,)x y J u v ∂=≠∂, (,)u v D '∈ 则有(,)((,),(,))DD f x y dxdy f x u v y u v J dudv '=⎰⎰⎰⎰．二．三重积分的计算三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理． 1. 在直角坐标下：空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =，并把区域投影到xoy 面上从而确定(,)x y 的范围，记为xy D ；被积区域的集合表示：12{(,,)(,),(,)(,)}xy V x y z x y D z x y z z x y =∈≤≤, 进一步地, xy D 可以表示成X －型区域或Y －型区域;三重积分化为三次积分：21(,)(,)(,,)(,,)xyz x y z x y VD f x y z dV dxdy f x y z dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰（所谓“二套一”的形式）2211()(,)()(,)(,,)by x z x y ay x z x y dx dy f x y z dz =⎰⎰⎰（xy D 为X －型）2211()(,)()(,)(,,)dx y z x y cx y z x y dy dx f x y z dz =⎰⎰⎰（xy D 为Y －型）注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz 面或zox 面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy 面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x ，y 无关，即可表示为为()f z ．则区域表示为：{(,,),(,)}z V x y z c z d x y D =≤≤∈,其中z D 表示垂直于z 轴的截面．此时，三重积分化为：(,,)()zdcVD f x y z dV dz f z dxdy =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （所谓“一套二”的形式）()z dD cf z S dz =⎰其中z D S 表示截面z D 的面积，它是关于z 的函数．2. 在柱坐标下：柱坐标与直角坐标的关系：cos sin ,(0,02,)x r y r r z z z θθθπ=⎧⎪=≤<∞≤≤-∞<<+∞⎨⎪=⎩空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =．空间区域在xoy 面上的投影区域易于用参数r 和θ表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且1(,)z z x y =和1(,)z z x y =也易于进一步表示z 成关于,r θ较简单的函数形式，比如22x y +可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；被积区域的集合表示：121212{(,),()(),(,)(,)}V r r r r z r z z r θθθθθθθθ=≤≤≤≤≤≤；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：(,,)(cos ,sin ,)VVf x y z dV f r r z rdrd dzθθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222111()(,)()(,)(cos ,sin ,)r z r r z r d rdr f r r z dz θθθθθθθθθ=⎰⎰⎰．3. 在球坐标下：球坐标与直角坐标的关系：sin cos sin sin ,(0,02,0)cos x r y r r z ϕθϕθθπϕπϕ=⎧⎪=≤<∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数1(,)r r r θ=和2(,)r r r θ=; （具体如球心在原点或z 轴上的球形域）被积区域的集合表示：121212{(,,),,(,)(,)}V r r r r θϕθθθϕϕϕθϕθϕ=≤≤≤≤≤≤；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin VVf x y z dV f r r r rdrd d ϕθϕθθϕθϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=212(,)20(,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r d d f r r r r dr ππθϕθϕθϕϕθϕθθϕ⎰⎰⎰．如球心在原点半径为a 的球形域下：220(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin aVf x y z dV d d f r r r r dr ππθϕϕθϕθθϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．4. 三重积分的换元法：(,,)u f x y z =在闭区域V 上连续，设有变换(,,):(,,),(,,)(,,)x x u v w T y y u v w u v w V z z u v w =⎧⎪'=∈⎨⎪=⎩将V '一一映射到V 上，又(,,),(,,)x u v w y u v w 和(,,)z u v w 关于u , v 和w 有一阶连续的偏导数，且(,,)0(,,)x y z J u v w ∂=≠∂, (,)u v V '∈则有(,,)((,,),(,,),(,,))VVf x y z dV f x u v w y u v w z u v w J dudvdw =⎰⎰⎰⎰⎰⎰．三．重积分的几何和物理应用 1. 几何应用a) 二重积分求平面区域面积；b) 二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d) 二重积分求空间曲面的面积．求曲面的面积A ，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：i ) 曲面方程 :(,),(,)S z f x y x y D =∈DA =ii )曲面参数方程(,):(,),(,)(,)uv x x u v S y y u v u v D z z u v =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩()()uvuvu u u v v v uu u D D vvvij k A x i y j z k x i y j z k dudv x y z dudv x y z =++⨯++=⎰⎰⎰⎰ 注：这里的公式都对函数有相应的微分条件． 2. 物理应用包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．。
重积分与曲线曲面积分的换元法
重积分与曲线曲面积分的换元法重积分和曲线曲面积分是微积分中的重要概念，它们在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
在计算这些积分的过程中，经常会遇到需要进行换元的情况。
本文将介绍重积分与曲线曲面积分的换元法，帮助读者更好地理解和应用这些数学概念。
一、重积分的换元法重积分是将一个函数在三维空间中的区域上进行积分，通常用来计算质量、质心、重心、物理系统的动量和能量等问题。
当积分区域的表示较为复杂时，使用换元法可以简化计算过程。
假设有某函数 f(x,y,z)，我们要计算函数在由区域 D 所围成的空间中的积分。
首先，我们需要找到一个合适的变换，将原坐标系下的积分区域 D 映射到新的坐标系下的积分区域 R。
设变换为 x=g(u,v,w)，y=h(u,v,w)，z=k(u,v,w)，其中(u,v,w) 属于R。
根据重积分的换元公式，原重积分可以转换为在 R 上的相应积分：∬∬∬_D f(x,y,z)dxdydz = ∬∬∬_R f[g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w)] |J| dudvdw其中 J 为变换的雅可比矩阵，由偏导数构成。
通过适当选择变换函数 g(u,v,w)，h(u,v,w)，k(u,v,w)，我们可以使得积分区域 R 更简单，从而简化积分计算。
换元法的关键在于找到适合的变换函数，需要通过对问题的分析和适当的数学方法进行判断。
二、曲线曲面积分的换元法曲线曲面积分是将一个函数在曲线或曲面上的各点上的值与曲线长度或曲面面积之积相加而得到的积分。
常用于求解电场、磁场、电荷分布等物理问题。
在计算曲线曲面积分时，我们也常常需要进行换元操作。
对于二重积分，设有曲线 C 上的参数方程为 x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中 (u,v) 属于某个曲线区域 D。
根据曲线曲面积分的换元公式，曲线曲面积分可以表示为：∬_S F(x,y,z)dS = ∫∫_D (F[f(u,v),g(u,v),h(u,v)] |N|) dudv其中 F(x,y,z) 为在曲面 S 上的某个函数，N 为曲面 S 的法向量。
重积分换元法证明
重积分换元法证明重积分是高等数学中最重要的概念之一，它是多元函数在平面或空间内的积分。
在实际研究中，处理二元和三元函数的重积分占据着很大的比重，这些重积分的求解过程往往非常复杂，需要借助各种积分技巧和方法来简化计算。
其中，通过换元法对重积分进行简化和计算是一种常用的方法，下面我们将介绍重积分换元法的证明过程。
重积分换元法的基本思路是将原坐标系中的积分变量通过一定的变量替换映射到新的坐标系中，从而实现计算繁琐的重积分变得简便的目的。
其中，最常用的换元法就是极坐标系和柱坐标系的换元法。
下面，我们将以极坐标系的重积分为例，给出其换元法的证明过程。
设在平面上存在一小区域 $D$，用极坐标系 $(r,\theta)$ 表示点 $(x,y)$，其坐标变换公式为$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta$$设 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上连续且非负，且 $D$ 的面积为 $S(D)$，则函数$f(x,y)$ 在 $D$ 上的重积分可表示为$$\iint_D{f(x,y)dxdy}$$通过极坐标系的表示，可以得到$$\begin{cases}x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta=\arctan\dfrac{y}{x}\end{cases}$$利用反函数求导法则，可以得到$$dx\,dy=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|dr\,d\theta=r\,dr\,d\theta$$将 $x,y, dx\,dy$ 的表达式带入原式，可得其中 $D'$ 为在极坐标系下对应区域，面积为 $S(D')$。
因此，原式的计算问题就被转化为了极坐标系下对应的积分问题，通过改变变量之后，原积分变为一个带有 $r$ 和 $\theta$ 的二元函数的积分，其中 $r$ 代表径向的长度，$\theta$ 代表角度坐标的位置。
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f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
.
说明: (1) 如果Jacobi行列式J(u,v)只在D内个别 点上或一条曲线上为零,而在其他点上不为零, 则上述换元公式仍成立. (2) 换 元 形 式 的 选 择 ,可 根 据 积 分 区 域 D或 被 积 函 数 f(x,y)选 择 ,使 换 元 后 的 积 分 区 域 D 不 分 块 ,换 元 后 的 被 积 函 数 f(x,y)易 于 积 出 .
一、二重积分的换元法
平面上同一个点 坐， 标直 与角 极坐标
间的关系 xy为 rrscions.,
上式可看成是从 平极 面 r坐 o到 标直角
坐标平x面 oy的一种变即换 对， 于ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ， 且满足 (1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0;
.
例 1计 算 二 重 积 分 x2y2dxdy,其 中 D是 由 双 曲 线 D
xy1和 xy2,直 线 yx和 y4x所 围 成 的 第 一 象
解 限 内 根 的 据 区 积 域 分 . 区 域 D的 特 点 ， 令 uxy,vy, x
y则 区 域 D变 换 为 D,如 图 所 示 4 v
xy=2
于是 x1(uv), y1(2uv),
3
3
z 1(u2v)
3
.
1 11
3 33 J (x, y, z) (x, y, z) 2 1 1 1
(u,v,) 3 3 3 3
1 2 1 3 33
于是
I
2
cos()
(x, y, z)
(u,v,)
dudvd
1 3
2
cos() dudvd
.
再 用 u,v,表 示 ,得 {(u,v,)|0u1,0v1,01 }
D
线xy2所围成的闭y区域．
解 令 u y x , v y x ,
则 xvu, yvu.
2
2
DD,即 x 0 u v;
xy2
D
o
x
v
v2
y 0 u v; u v D uv
x y 2 v 2.
o
u
.
J
(x, y) (u,v)
1 2 1
1
2 1
1, 2
22
故
y x
abc
2
d
sin d
1 4d
0
0
0
4 abc
5
该题所用到的变换称为广义球坐标变换.
.
二、小结
1．作什么变换 于主 积要 分取 D区 ,决 的 域形 同时也兼顾f被 (x,y积 ),f(函 x,y,数 z)的形式
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2. J((xu,,vy))(u1,v). (x, y)
.
二、三重积分的换元法
定理设f(x,y,z)在空间区域 上 连续，变T换 : xx(u,v,w), yy(u,v,w) zz(u,v,w)将ouv空 w 间的闭 区 变域为 Oxyz 空间的闭 区 ，域 且满足
(1) x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)在上具有一阶 连续偏导数； (2)在 上雅可比J式 (u,v,w)(x,y,z) 0;
(u,v,w)
.
(3)变换 T:是一对一的，则
f(x,y,z)dxdydz
f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]J(u,v,w)dudvd
.
例1 计 算 I(xyz)cos(xyz)2dv,其 中
={(x,y,z)|0xy1,0xz1,0xyz1 }.
解 : 为 了 使 积 分 区 域 变 得 简 单 ， 我 们 作 坐 标 变 换 ： x y u , x z v , x y z ,
.
思考题
计 算 Dx yye(xy)2d， 其 中 D： xy1，
1
xy=1
o 12
u
o
x.
而
T
:
x
u, v
y
uv,
1 1 u
故 J(u,v) (x, y) 2 uv 2 v3 1 ,
(u,v) 1 v 1 u 2v
2u 2v
x2y2dxdy u2 1dudv
D
D 2v
1 2 4u2
7
du dv ln2
21
v 1 .
3
yx
例2 计算 eyxdxd,其 y 中 D由x轴、 y轴和直
其 a 0 ,b 中 0 ,r 0 ,0 2 .
在这 D D 变 {r , ( ) 0 换 r 1 ,0 下 2 },
.
J ((xr,,y)) ab.r
J 在D内仅当 r 0处为零， 故换元公式仍成立，
D1a x2 2b y2 2dxd D y1r2ad b rd32 ab .
sin
z c
cos
x a sin cos
即
y
b
sin
sin
z c co s
.
于是
J(x, y,z) (x, y,z)
(,,)
asincos acoscos asinsin
bsinsin bcossin bsincos
ccos
csin
0
abc2 sin
因此
.
I abc 4 sin d dd
e yxdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1
2
2
dv
0
u v
e v du
1 2(ee1)vdvee1.
v
20
说明 :通过换元可将被 较积 复函 杂数 的形式
.
例3
计算
D
1ax22 by22dxd,y其中D为
椭
圆x2 a2y2 b2来自1所围成的闭区域
．
解 作广义极 坐 xy b a标 rsrcio变 n ,s, 换
因此
I1d u1d v11 co s()2d 1sin1 .
0 0 03
6
.
例2
求
x2 a2
by22
cz22
dv, 其中为椭球体
x2 y2 z2 1. a2 b2 c2
解 把分式看作一个整体,那么积分区域就可以
看成一个球面,因此我们做如下的坐标变换
x a
sin
cos
y b
sin