2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(一)文科数学

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（一）文科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{|24}A x x =-<<，{|2}B x x =≥，则()R AC B =（ ） A. (2,4)B. (2,4)-C. (2,2)-D. (2,2]- 【答案】C【解析】 集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，R C B {}|2x x =<则()()2,2R A C B ⋂=-.故答案为C.2.已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ）A. 2i --B. 2i -C. 2i -+D. 2i +【答案】D【解析】【分析】 把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由(2)z |34|5i i -=+=， 得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+． 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.已知(1,),(,4)a k b k ==，那么“2k =-”是“,a b 共线”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 非充分非必要条件D. 充要条件【答案】A【解析】【分析】先求出,a b 共线时k 的值，再由充分必要条件的定义判断，即可得出结论.【详解】(1,),(,4)a k b k ==，当,a b 共线时得24,2k k ==±， 所以“2k =-”是“,a b 共线”的充分不必要条件.故选：A .【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，利用共线向量的坐标关系是解题的关键，属于基础题. 4.古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要A. 7天B. 8天C. 9天D. 10天【答案】C【解析】【分析】设所需天数为n 天，第一天3为1a 尺，先由等比数列前n 项和公式求出1a ，在利用前n 项和n 50S ≥，便可求出天数n 的最小值．【详解】设该女子所需天数至少为n 天，第一天织布1a 尺，由题意得：()5512512S-==- ， 解得1531a = ， ()512315012nn S -=≥- ， 解得2311n ≥，982=512,2=256，所以要织布的总尺数不少于50尺，该女子所需天数至少为9天，故选C.【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，直接两次利用等比数列前n 项和公式便可得到答案． 5.a 、，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. 23a πB. 26a πC. 212a πD. 224a π 【答案】B【解析】【分析】由长方体的结构特征可得，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即可求解.a 、，=，又长方体的顶点都在一个球面上，所求的球半径R =， 所以表面积为2246R a ππ=.故选：B .【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，对于常见几何体与球的关系要熟练掌握，属于基础题. 6.某班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是（ ）A. 70B. 75C. 66D. 68【答案】D【解析】【分析】 根据频率分布直方图求出各组的频率，按照平均数公式即可求解.【详解】依题意该班历史平均数估计为300.1500.2700.4900.368⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查由频率分布直方图求样本的平均数，熟记公式即可，考查计算求解能力，属于基础题. 7.已知tan 3α=，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 35 B. 310 C. 34 D. 310 【答案】A【解析】【分析】 由题意得222π22cos 2222? 1sin cos tan sin sin cos sin cos tan αααααααααα⎛⎫-==== ⎪++⎝⎭，结合条件可得所求结果． 【详解】由题意得2222π222363cos 2222? 1?31105sin cos tan sin sin cos sin cos tan αααααααααα⨯⎛⎫-=======⎪+++⎝⎭， 故选A ．【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式，解题的关键是合理利用“1”的代换，将所求值转化为齐次式的形式，然后再根据条件求解．8.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（ ）A. 2B. 12C. 212+D. 122+【答案】B【解析】【分析】先求得圆心到直线2x y -=的距离为d =1d +，即可求解，得到答案.【详解】由题意，圆222210x y x y +--+=，可得圆心坐标(1,1)O ，半径为1r =，则圆心(1,1)O 到直线2x y -=的距离为d == 所以圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是11d +=.故选：B . 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个x ，则sin x 的值介于12-与12之间的概率为 ( ) A. 2π B. 13 C. 12 D. 23【答案】B【解析】【分析】 求解正弦不等式sin 1122x <-<在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的解集，结合几何概型的概率计算公式即可容易求得. 【详解】因为11ππππsin ,[,][,]222266x x x -<<∈-⇒∈-， 所以满足题意的概率P =ππ()166ππ3()22--=-- . 故选：B .【点睛】本题考查几何概型长度型问题的概率计算，涉及正弦不等式的求解，属综合基础题.10.设l 是直线，α，β是两个不同的平面( )A. 若//l α，l β//，则//αβB. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥C. 若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B【解析】【分析】 根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.【详解】由l 是直线，α，β是两个不同的平面，可知：A 选项中，若//l α，l β//，则α，β可能平行也可能相交，错误；B 选项中，若//l α，l β⊥，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥，正确；C 选项中，若αβ⊥，l α⊥，由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂，错误；D 选项中，若αβ⊥，//l α，则l ，β可能平行也可能相交，错误.故选：B.【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题.11.函数3()2x y x x =-的图像大致是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】 试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C ；当时，，，故，故排除A 、D ，故选B.考点：函数的图象.12.已M 为抛物线24y x =上一动点，F 为抛物线的焦点，定点(3,1)P ，则||||MP MF +的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】过M 点作抛物线的准线的垂线，垂足为N ， 可得||||MN MF =，转化为求||||MP MN +的最小值，数形结合即可求解.【详解】抛物线24y x =准线方程为1x =-，过M 点作抛物线的准线的垂线，垂足为N ，由抛物线的定义可得||||MN MF =， ||||||||||4MP MF MP MN PN ∴+=+≥=，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设变量x,y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则目标函数5z x y =+的最大值为 .【答案】5【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可求得目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下图所示：目标函数5z x y =+，可整理为5y x z =-+，与直线5y x =-平行.数形结合可知，当且仅当目标函数过点()1,0A 时取得最大值.则5105max z =⨯+=.故答案为：5.【点睛】本题考查简单线性规划问题的求解，涉及数形结合，属基础题.14.在等差数列{}n a 中，1231819203,87a a a a a a ++=++=，则该数列前20项的和为_____.【答案】300【解析】【分析】根据已知条件结合等差数列的性质可得129,a a ，求出120a a +，即可求解.【详解】在等差数列{}n a 中，12232133,a a a a a ++=∴==，181920191987,329a a a a a +=∴==+，1202021920()10()3002a a S a a +∴==+=. 故答案为：300.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，利用等差数列的性质是解题的关键，属于基础题.15.计算410.53log 505252724ln lg 200lg 2168e π-⎛⎫⎛⎫+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____. 【答案】2312【解析】【分析】根据分数指数幂和对数的运算法则即可求解. 【详解】410.53log 505252724ln lg 200lg 2168e π-⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11323252200()()255lg 432⨯⨯=+-+-+ 52234312=+= 故答案为：2312. 【点睛】本题考查指数幂和对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题.16.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =______.【答案】2-.【解析】【分析】对函数()f x 的解析式求导，得到其导函数，把1x =代入导函数中，列出关于'(1)f 的方程，进而得到'(1)f 的值，确定出函数()f x 的解析式，把1x =代入()f x 解析式，即可求出(1)f 的值 【详解】解：求导得：''1()2(1)f x f x =+，令1x =，得''1(1)2(1)1f f =+，解得：'(1)1f =- ∴()2ln f x x x =-+，(1)202f ∴=-+=-，故答案为-2．【点睛】此题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，求出常数'(1)f 的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）（一）必考题（共60分）17.已知函数()4cos sin 6f x x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为2.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）在坐标系上作出()f x 在[]0,π上的图像，要求标出关键点的坐标.【答案】（1）1a =-，T π=；（2）图像和关键点的坐标见详解.【解析】【分析】（1）先根据两角和公式对函数进行化简整理得()f x ═2sin 214x a π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，再根据最大值确定a 值，结合正弦函数的性质求得函数的最小正周期；（2）依据图表，分别求得0，6π，512π，3π，23π，1112ππ，时的函数值，进而描点画出图象． 【详解】（1）()4cos sin 6f x x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 2314cos cos 3sin22cos 22x x x a x x a ⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭, 3sin2cos212sin 261x x a x a π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭, ∵()f x 的最大值为2，即212a ++=，∴1a =-，最小正周期22T ππ== （2）因为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故可得其图像上关键点的坐标分别为：()0,1，,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,012π⎛⎫⎪⎝⎭，(),1π 其图像如下所示：.【点睛】作函数()()sin f x A x ωϕ=+图象的方法（1）作三角函数图象的基本方法就是把x ωϕ+看作一个整体，利用五点法画图，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图像；（2）变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用x x ϕωϕωω⎛⎫+=+⎪⎝⎭来确定平移单位． 18.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查，若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析. （1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； （2）求抽取的6所学校中的2所学校均为小学的概率.【答案】（1）抽取的小学有3所，中学有2所，大学有1所.（2）15【解析】 【分析】（1）根据分层抽样每个个体抽取的概率相等，即可求出各层的抽取的个数；（2）将抽取的6所学校按所在组进行编号，列出从6所学校任取2所学校的所有情况，确定出2所学校均为小学的抽取个数，按照古典概型概率公式，即可求解. 【详解】（1）因为共有学校2114742++=（所） 所以抽取学校的比例是61427=所以抽取的小学有3所，中学有2所，大学有1所. （2）设抽取的小学为123,,a a a ，中学为12,b b ，大学为c ，则基本事件有：()()1213,,,a a a a ，()()()()()()()111212321222,,,,,,,,,,,,,a b a b a c a a a b a b a c ，()()()()()()313231212,,,,,,,,,,,a b a b a c b b b c b c ，共15种.其中是2所小学的事件有：()()()121323,,,,,a a a a a a ，共3种. 所以抽取6所学校中的2所学校均为小学的概率31155P ==. 【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，古典概型的概率的计算方法，属于基础题. 19.已知椭圆的两焦点为()10,1-F 、()20,1F ，离心率为12. （1）求椭圆的标准方程；（2）设点P 在椭圆上，且121PF PF -=，求12cos F PF ∠的值【答案】（1）24y +23x 1=；（2）35. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标以及离心率，即可求得,,a b c 方程，求解方程，即可得到椭圆方程； （2）根据椭圆定义，结合已知条件，利用余弦定理解三角形即可.【详解】（1）设椭圆方程为22221y x a b+= (0)a b >>由题设知1c =,12c a = ∴2a =,2223b a c =-=∴所求椭圆方程为24y +23x 1=.（2）由椭圆定义知1224PF PF a +==，又121PF PF -= ∴152PF =，232PF =，又1222F F c == 由余弦定理222121212122594344cos 5325222PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⨯⨯.故12cos F PF ∠35=. 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的几何性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ABE △为等腰三角形，2AE BE ==，平面ABCD ⊥平面ABE .（1）求证：平面ADE ⊥平面BCE ； （2）求三棱锥D ACE -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】 【分析】（1）根据已知可证AD ⊥平面ABE ，得到AD BE ⊥，再由,,AE BE AB 长度关系，得到AE BE ⊥，进而有BE ⊥平面ADE ，即可证明结论；（2）取AB 中点O ，连接OE ，根据已知可证OE ⊥平面ABCD ，利用D ACE E ACD V V --=，即可求解.【详解】（1）四边形ABCD 是正方形，AD AB ∴⊥.又平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD平面ABE AB =，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面ABE ，而BE ⊂平面ABE .∴AD BE ⊥.又2,AE BE ==2AB =，222,AB AE BE AE BE ∴=+∴⊥而AD AE A ⋂=，AD AE ⊂、平面ADE ，BE ∴⊥平面ADE ，而BE ⊂平面BCE ，∴平面ADE ⊥平面BCE .（2）如图，取AB 中点O ，连接OE .ABE 是等腰三角形，OE AB ∴⊥.又平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD平面ABE AB =，OE ⊂平面ABEOE ∴⊥平面ABCD ，即OE 是三棱锥D ACE -的高.又2,2AE BE AB ===1OE ∴=1233D ACE E ACD ACDV V OE S--∴==⋅⋅=.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直、求椎体的体积，空间垂直关系的相互转化是解题的关键，属于中档题. 21.设a实数，函数3211()(1)()32f x x a x ax x R =---∈. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在R 上的极大值与极小值.【答案】（1）单调区间有(,1),(1,),(1,1)-∞-+∞-；（2）当1a <-时，()f x 的极大值是321162a a --，极小值是1126a +；当1a =-时，()f x 无极值；当1a >-时，()f x 的极大值是1126a +，极小值是321162a a --.【解析】 【分析】（1）当1a =时，求出(),f x f x '()，求解0f x f x '()>0,'()<，即可得出结论；（2）求出()f x '，进而得到()0f x '=的根，按照根的大小对a 分类讨论，求出单调区间，即可求解. 【详解】（1）当1a =时，31()3f x x x =- 2101f x x x =-'=)∴(=±当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增； 当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(1,1)-上单调递减.所以()f x 的单调区间有(,1),(1,),(1,1)-∞-+∞-； （2）2(1)(1)()0x a x f x a x x a '()=---=+-=1x ∴=-或x a =，当1a =-时，2(1)0x f x =+'()所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 在R 上无极值.当1a <-时，随x 的变化,()f x f x '()变化如下：所以()f x 的极大值是321()612f a a a -=-， 极小值是11(1)26f a -=+； 当1a >-时，随x 的变化,()f x f x '()变化如下：所以()f x 的极小值是321()612f a a a -=-， 极大值是11(1)26f a -=+. 综上，当1a <-时，()f x 的极大值是321162a a --， 极小值是1126a +； 当1a =-时，()f x 无极值； 当1a >-时，()f x 的极大值是1126a +，极小值是321162a a --. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、极值，考查分类讨论思想，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.（二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.在极坐标系中,过曲线2:sin 2cos (0)L a a 外的一点)A (其中tan 2θ=，θ为锐角)作平行于()4R πθρ=∈的直线l 与曲线分别交于,B C ．(Ⅰ) 写出曲线L 和直线l 的普通方程(以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建系)； （Ⅱ）若||,||,||AB BC AC 成等比数列,求a 的值． 【答案】(Ⅰ) 曲线L 和直线l 的普通方程分别为22y ax ，=2y x（Ⅱ）1a = 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直线方程.（Ⅱ）写出直线l 的参数方程,代入曲线L 的普通方程得2)8(4)0t a t a -+++= ,利用韦达定理以及题设条件化简得到a 的值．【详解】(Ⅰ)由2sin 2cos a ρθθ=两边同乘以ρ得到2(sin )2(cos )a ρθρθ=所以曲线L 的普通方程为22yax由tan 2θ=，θ为锐角，得sinθθ==所以)A 的直角坐标为)2,)4x y πθπθ=+=-=+=-，即(2,4)A --因为直线l 平行于直线()4πθρ=∈R ，所以直线l 的斜率为1即直线l 的方程为42=2y x y x +=+⇒- 所以曲线L 和直线l 的普通方程分别为22yax ，=2y x（Ⅱ）直线的参数方程为222{242x t y =-+=-+ (t 为参数),代入22y ax 得到22(4)8(4)0t a t a -+++= ,则有121222(4),8(4)t t a t t a +=+⋅=+因为2||BC AB AC = ,所以()()22121212124t t t t t t t t -=+-⋅=⋅ 即22(4)32(4)8(4)a a a ⎡⎤+-+=+⎣⎦ 解得1a =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题． 23.设函数()|1||2|f x x x a =++-+（1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，试求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(,2][3,)-∞-⋃+∞；（2）3a -. 【解析】 【分析】（1）令|1||2|50x x ++--≥，在同一坐标系中作出函数|1||2|y x x =++-和5y =的图象，结合图象可得，求得不等式的解集，即可求解；（2）由题意转化为|1||2|x x a ++-≥-，由（1）求得|1||2|3x x ++-≥，即可求解． 【详解】（1）由题意，令|1||2|50x x ++--≥，在同一坐标系中作出函数|1||2|y x x =++-和5y =的图象，如图所示， 结合图象可得，不等式的解集为(,2][3,)-∞-⋃+∞， 函数()f x 的定义域为(,2][3,)-∞-⋃+∞.（2）由题设知，当x ∈R 时，恒有|1||2|0x x a ++-+≥，即|1||2|x x a ++-≥-， 又由（1）知|1||2|3x x ++-≥，∴3a -≤，即3a ≥-.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中合理转化，正确作出函数图象，结合函数点的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．。