循环码(7,4)

第3 章 循环码编码和译码

3.1 循环码概念

循环码是线性分组码中一个重要的分支。它的检、纠错能力较强，编码和译码设备并不复杂，而且性能较好，不仅能纠随机错误，也能纠突发错误。

循环码是目前研究得最成熟的一类码，并且有严密的代数理论基础，故有许多特殊的代数性质，这些性质有助于按所要求的纠错能力系统地构造这类码，且易于实现，所以循环码受到人们的高度重视，在FEC 系统中得到了广泛应用。

3.1.1、循环码定义

定义：一个线性分组码，若具有下列特性，则称为循环码。设码字

(3-1) 若将码元左移一位，得

(3-2)

A (1)也是一个码字。

注意：循环码并非由一个码字的全部循环移位构成。

3.1.2 循环码的特点

表3-1列出了某（7，4）循环码的全部码组

循环码有两个数学特征：

1.线性分组码的封闭型：即如果c1，c2，是与消息m1，m2对应的码字，则c1+c2必定是与m1+m2对应的码字。

)

...(0121a a a a A n n --=)

...(10112)1(---=n n n a a a a a A

2.循环性，即任一许用码组经过循环移位后所得到的码组仍为该许用码组集合中的一个码组。

即若（a n-1 a n-2 … a 1 a 0）为一循环码组，则（a n-2 a n-3 … a n a n-1）、（a n-3 a n-2 … a n-1 a n-2）、……还是许用码组。也就是说，不论是左移还是右移，也不论移多少位，仍然是许用的循环码组。

以3号码组（0010111）为例，左移循环一位变成6号码组（0101110），依次左移一位构成的状态图如图1.1-2所示。

图3-1 （7，4）循环码中的循环圈

可见除全零码组外，不论循环右移或左移，移多少位，其结果均在该循环码组的集合中（全零码组自己构成独立的循环圈）。

3.2 码多项式

为了用代数理论研究循环码，可将码组用多项式表示，循环码组中各码元分别为多项式的系数。长度为n 的码组)...(0121a a a a A n n --=用码多项式表示则为

(3-3)

式中，x 的幂次是码元位置的标记。若把一个码组左移i 位后的码组记为，

(3-4)

其码多项式为

(3-5)

A (i)(x)可以根据x i A(x)按模x n +1运算得到，即

(3-6) 或

(3-7)

12211...)(a x a x a x a x A n n n n ++++=----)

...(121)(i n i n i n i n i a a a a A -+-=---=i

n i n n i n n i n i a x a x a x a x A -+-------++++=12211)(...)()

1m od()()()(+≡n i i x x A x x A )

()1)(()()(x A x x Q x A x i n i ++=

式中，Q(x)为x i A(x)除以x n +1的商式，而x i A(x)等于A (i)(x)被x n +1除得之余式。 以码组0100111为例，若将此码左移两位，则由式（3-7）可得x 2(x 5+x 2+x+1)=Q(x)(x 7+1)+A (2)(x)易有其余式为A (2)(x)=x 4+x 3+x 2+x ，对应的码组为0011101，它与直接对码组进行循环左移的结果相同。

3.3 生成多项式

（n,k ）循环码码组集合中（全“0”码除外）幂次最低的多项式（n-k ）阶称为生成多项式g(x)。它是能整除x n +1且常数项为1的多项式，具有唯一性。

下面证明g(x)唯一性：

[证明]令r r r x x g x g g x g ++++=--1110...)(是（n ，k ）码中一个次数最低的非零码字多项式。若g(x)不是唯一的，则必然存在另一个次数为r 的码字多项式，例如

由于（n ，k ）是线性的，所以

也是一个码字多项式，显然若0)()(≠'+x g x g ，则它必是一个次数低于r 的非零码字多项式。这与假设g(x)是次数最低非零码字多项式矛盾，所以0)()(='+x g x g ，因此

(3-8)

从而g(x)唯一。

集合中其他码多项式，都是按模(x n +1)运算下g(x)的倍式，即可以由多项式g(x)产生循环码的全部码组。

假设信息码多项式为m(x)，则对应的循环码多项式为

A(x)=m(x)g(x) (3-9)

式中，m(x)为次数不大于k-1的多项式，共有2k 个（n,k ）循环码组。

考查表3-1，其中n-k=4阶的多项式只有编号为2的码组（0011101），所以表中所示（7，4）循环码组的生成多项式g(x)=x 4+x 3+x 2+1，并且该码组集合中的任何码多项式A(x)都可由信息位乘以生成多项式得到

A(x)=(m k-1+m k-2+…+m 1+m 0)g(x)mod(x n +1) (3-10)

式中，(m k-1m k-2…m 1m 0)为信息码元。 对于（7，k ）循环码，x 7+1的因式分解为

x 7+1=(x+1)(x 3+x+1)(x 3+x 2+1) (3-11)

r r r x x g x g g x g +'++'+'='--1110

...)(r 11110

0)(...)()()()(x g g x g g g g x g x g r r --'+++'++'+='+)

()(x g x g '=