上海四校自主招生-数学交附卷
上海四校自主招生-数学交附卷(高清打印)
⎨四校自招-数学·交附卷一、填空题1、在△ABC中，设CA=a，CB=b，P是中线AE与中线CF的交点，则BP= 。
（用a,b表示）2、已知a是正实数，则a+2的最小值等于a3、正整数360共有个正因数。
4、小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。
如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是5、计算：1=3-226、计算：1+1+ +1=1⨯22⨯32013⨯20147、一卷直径为10厘米的圆柱形无芯卷筒纸是由长为L厘米的纸绕80圈而成，那么L=8、满足方程：4+2=1的正整数有序数对的（m,n）个数为m n9、已知实数x满足2x2-4x=6x2-2x-1，则x2-2x的值为10、直线x-y=1与反比例函数y=k的图像如果恰有一个交点，则该交点必定在第象限。
x11、平面上边长为1的正方形ABCD绕着其中心旋转45︒得到正方形A'B'C'D'，那么这两个正方形重叠部分的面积为12、请在下列表格的9个小方格中分别填入数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，使得每行每列，以及两条对角线上的三个数之和相等（只需要填1种答案）13、在前1000个整数1，2，3，…，1000中，数码1共出现了次14、设A(0,-2)，B(4,2)是平面直角坐标系中的两点，P是线段AB垂直平分线上的点，如果点P与点C(1,5)的距离等于22，则点P的坐标为15、方程组⎧217x+314y=2的解为⎩314x+217y=2 16、坐标原点(0,0)关于直线y=x+4翻折后的点的坐标为二、解答题17、已知，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=36°，求△ABC的面积S18、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像抛物线经过A(-3,0)，B(1,0)两点，M(t,4)是其顶点。
（1）求实数a,b,c的值；（2）设点C(-4,-6)，D(1,-1)，点P在抛物线上且位于x轴上方，求当△CDP的面积达到最大时点P 的坐标。
上海四校自招-数学交附卷解析
a 2 · a 2 3 = 四校自招-数学·交附卷学而思高中部 胡晓晨老师υυυρ 1. BP = 1 υυυρ BA + 1 υυυρ BC = 2 υυυρ BC + 1 υυυρCA = a - 2b3 3 3 3 3【高中知识点】向量的分解2. a + 2 ≥ 2 = 2a 【高中知识点】均值不等式3. 360 = 23 ⨯32 ⨯5约数个数为4⨯3⨯ 2 = 244. 所有可能的情况为1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 14322134, 2143, 2314, 2341, 2413, 24313124, 3142, 3214, 3241, 3412, 34214123, 4132, 4213, 4231, 4312, 432193全都发错有9 种可能，因此概率为 24 82 + 5.520136. 2014【高中知识点】裂项求和7. 设纸的厚度为r ，则2⨯80r = 10即 r = 1 16L = 2π (r + 2r + 3r +Λ+ 80r ) = 6480π r = 405π cm【高中知识点】等差数列求和8.(m - 4)(n - 2) = 8= 8⨯1 = 1⨯ 8= 2 ⨯ 4 = 4 ⨯ 2= (-8) ⨯(-1) = (-1) ⨯(-8)= (-4) ⨯(-2) = (-2) ⨯(-4)2依次检验，只有前 3 组符合题意，故(m , n ) 的个数为3 个9. 设 x 2 - 2x = t ，则2t = 6 -1 ，即2t 2 + t - 6 = 0 ，即(t + 2)(2t - 3) = 0 t ∴ t = -2 或 3 2又t = (x -1)2 -1 ≥ -1∴ t = 3210. 四11. 考虑四个角的小直角三角形，每个小直角三角形的斜边上的高为2则面积为( )2 = 2 4因此，重叠的面积为1- 3 - 2 2 =2 2 +1 4 42 9 412. 7 5 36 1 813. 一位数中，1 出现了1次两位数中 1 在十位上出现了10 次，在个位上，出现了9 次这样，前两位数共出现20 次三位数中，1 在百位上共出现了 100 次，十位和个位看成一个整体，共出现了数字 1 有20⨯9 = 180 次 最后数 1000 里面出现了 1 有1次一共有20 +100 +180 +1 = 301 次【高中知识点】组合计数14. 线段 AB 垂直平分线的方程为 y = -x + 2因此，设 P (t , -t + 2) ，则 PC 2 = (t -1)2 + (-t + 2 - 5)2= 8即 2t 2 + 4t +10 = 8 ，解得t = -1因此 P (-1,3)【高中知识点】解析几何——直线与圆的方程15. 两式相减，得97x = 97 y ，即 x = y2 -1 2 -13 - 2 2AB 2 - BE 2 5 -58 BA 2⎧x = ⎪ 因此方程的解为⎨ ⎪ y = ⎩ 2531253116. (-4, 4)【高中知识点】解析几何——点关于直线的对称17. 在ςABC 中作∠CAB 的角平分线 AD设 AB = x ，则∠C = 36︒ ， ∠CAB = ∠B = 72︒ ， ∠CAD = ∠BAD = 36︒可得ςBAD ∽ςBCA故 BA= BDBC BA2则 BD = = x BC ∴ CD = CB - BD =1- x 2又∠C = ∠CAD = 36︒ ，故 DA = DC =1- x 2又∠ADB = ∠B = 72︒ ，故 AB = AD ，即 x = 1- x 2∴ x 2 + x -1 = 0解得 x =∴ AB = 5 -1或 - 2 5 -125 -1（舍）2 过 A 作ςABC 的高 AE ，则AE = = x 2 = 3 - 5 2则 AE == = 10 - 2 54则 S = 1 CB ·AE = 10 - 2 5ς ABC2 818.(1)设 f (x ) = a (x + 3)(x -1) ，且 f (-1) = 4解得a = -1∴ f (x ) = -(x + 3)(x -1) = -x 2 - 2x + 3∴ a = -1， b = -2 ， c = 3(2) 依题意，当 S ςCDP 的面积最大时， P 到直线CD 的距离最大x - ( )2 x 222 3 - 5 - (3 - 5 )2 2 4 ⎪2 那么，过点 P 作平行于CD 的直线，必与抛物线相切（否则在平行线的上方，有到比CD 的距离更远的点） C (-4, -6)， D (1, -1) ，则直线CD 的斜率为k =-1- (-6) = 1 1- (-4)设过 P 的直线为 y = x + b ，代入 y = -x 2- 2x + 3 得 x 2 + 3x + (b - 3) = 0∴∆ = 9 - 4(b - 3) = 21- 4b = 0 ∴ b = 214方程即 x 2 + 3x + 9 = 0 ，所以得 x =- 34 2 则 y = - 3 + 21 = 152 4 4∴当 Sς PCD 面积最大时， P 的坐标为 P (- 3 ,15)2 4 【高中知识点】解析几何——直线的方程19. 假设 = p ，其中 p , q 为整数且互质 q则 p = 2q ， p 2 = 2q2 故 p 2 为偶数，则 p 为偶数设 p = 2m ，则(2m )2 = 2q 2 ，得 q 2 = 2m2则 q 2 为偶数，则q 为偶数 p , q 均为偶数，与 p , q 互质矛盾！故 不是有理数【高中知识点】反证法【试卷总结与分析】1. 高中知识点分析从设计到的高中知识点来说，交大附中的考察特点是“杂”，基本上都有涉及，无明显的针对性，如向量、均值不等式、反证法、数列求和、解析几何、组合计数等等，而且考察的也比较基础简单（例如数列求和的两道题可归类于小学奥数内容），涉及到的也不深，考试足以通过初中知识或小学奥数知识解决如 17 题，是初中讲过的“黄金三角形”，只要基础好，本题可秒杀19 题，是初中课本的拓展内容的原题，考生只要留心课本的拓展内容即可2. 初高衔接知识点分析2高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到95%，几何大约5%想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）②解方程③二次函数的图像与性质为主在本卷中也有所体现，如第5, 8, 9, 10, 15, 18, 19 题，对于代数式变换和二次函数考察的较多，但不太深，只要接触过一点便能解决，建议学生在这方面平时稍加训练即可3.初中知识点分析初中知识以几何为主，本卷中几何考到的较多，如第1, 7, 10, 11, 14, 16, 17 都在考察平面几何知识，有一定难度但不偏不怪，想做对，要牢牢打好初中几何的基础，否则考试时会在这方面吃亏数论知识考察的不多，仅在第3,8 题涉及，而且考察点只有“质因数分解，约数个数”这些很基础的内容，建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏组合知识在第4, 13 题中考到，两道题都需要用枚举方法解决，但难度不算很低，建议考生在组合知识方面稍加训练以对应考试。
绝对精品 上海市答案-四校自招模拟题-数学卷
学而思高中部 胡晓晨老师
Part 1 代数式变换
1.1 因式分解
【1】 x, y 是正整数，满足 1 4 1的数对 (x, y) _________________ xy
【解析】式子即 y 4x xy ，即 xy 4x y 0 ，即 xy 4x y 4 4
1 1 1 1 1 ，故 a 1 abc a
∴1 a 3 ∴a 2 则11 1
bc 2 1 1 1 1 ，故 b 2 2bc b 1 1 1 1 1 2 ，故 b 4 2bc bb b ∴2b 4 ∴b 3 ∴c 6 综上， a 2,b 3,c 6
即 (x 1)( y 4) 4
x, y 是正整数，则 x 1 0 ，则
x 1 4 x 1 2 x 11
y
4
1
或
y
4
2
或
y
4
4
因此， (x, y) (5,5) 或 (3, 6) 或 (2,8)
【2】 x, y 是正整数，且 x y ，则满足 4xy 15(x y) 的数对 (x, y) 有_____________个 【解析】 4xy 15x 15y 0 ，即16xy 60x 60y 0 即16x 60x 60y 225 225 即 (4x 15)(4y 15) 225 225 32 52 ，则 225 1 225 375 5 45 9 25 1515 经检验，当 (4x 15, 4y 15) (1, 225) 或 (5, 45) 或 (9, 25) 时， x, y 有正整数解 因此满足题意的数对有 3 个
上海市交通大学附属中学(交大附中)2019年-自主招生数学试卷 (PDF版 含答案)
2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。
篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等；一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有人.7、已知,,,a b c n 是互不相等的正整数，且1111a b c n +++也是整数，则n 的最大值是.8、如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为.9、若关于x 的方程()()2460x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m =.10、设ABC 的三边,,a b c 均为正整数，且40a b c ++=，当乘积abc 最大时，ABC 的面积为.11、如图，在直角坐标系中，将AOB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -，()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为.二、解答题12、如图，数轴上从左到右依次有,,,A B C D 四个点，它们对应的实数分别为,,,a b c d ，如果存在实数λ,满足：对线段AB 和CD 上的任意M W，其对应的数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(),,,,a b c d λ为“完美数组”。
上海市上海交通大学附属中学等四校联考2024-2025学年高一上学期10月数学试卷
上海市上海交通大学附属中学等四校联考2024-2025学年高一上学期10月数学试卷一、填空题1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=.2．不等式3102x x +≤-的解集是．3．已知,R b c ∈，关于x 的不等式20x bx c -+<的解集为()3,2-，则b c +=．4．已知方程22430x x +-=的两实根为12,x x ，则12x x -的值为．5．若:||1x m α-<是:04x β<<的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是．6．化简：211133221566425a b a b a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=.（其中0a >，0b >）7．已知,0x y >且31x y +=，则11x y+的最小值为8x 的分式方程3211m x x +=--有正数解，则符合条件的整数m 的和是．9．已知实数a b c >>，且0a b c ++=，则c a 的取值范围是．10．若关于x 的不等式()2220x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为.11．已知a ，b ，c 不全为无理数，则关于三个数a b +，b c +，c a +，下列说法正确的是（把所有正确选项都填上）①可能均为有理数②可能均为无理数③可能恰有一个为有理数④可能恰有两个为有理数12．已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，若集合{()0,13}A xf x x ==≤≤∣中恰有两个元素，则(2)f a 的取值范围为．二、单选题13．下列结论中错误的有（）A ．若a ，b 为正实数，a b >，则3322a b a b ab +>+B ．若a ，b ，m 为正实数，a b <，则a m ab m b+<+C ．若22a b c c >，则a b >；D ．当0x >时，2xx+的最小值为14．下列问题中，a ，b 是不相等的正数，比较x ，y ，z 的表达式．下列选项正确的是（）问题甲：一个直径a 寸的披萨和一个直径b 寸的披萨，面积和等于两个直径都是x 寸的披萨；问题乙：某人散步，第一圈的速度是a ，第二圈的速度是b ，这两圈的平均速度为y ；问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a （天平平衡），放右边时左边砝码质量为b （天平平衡），物体的实际质量为z ．A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x>>15．设1237 A A A A 、、、、是均含有2个元素的集合，且171(1,2,3,,6)i i A A A A i +=∅==∅ 、，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．716．已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若a S ∈，则当且仅当(a m n =+其中,m n S ∈且)m n ≠，或(a p q =+其中*,,,Z p q S p q ∉∈且)p q ≠.现有如下两个命题:①4S ∈；②集合{}35,N x x n n S =+∈⊆.则下列选项中正确的是（）A ．①是真命题，②是真命题；B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题；D ．①是假命题，②是假命题.三、解答题17．设集合{}260P x x x =--<，{}23Q x a x a =≤≤+.(1)若Q P Q P ≠∅= 且，求实数a 的取值范围；(2)若P Q =∅ ，求实数a 的取值范围.18．已知函数()y f x =满足2()21f x x a x a =-+-+(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．19．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到x 元，公司拟投入()216006x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量a 至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价．20．已知a b c d ,,,为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解决（3）中的实际问题.（1）请根据基本不等式2a b +≥（,a b R +∈），证明：4a b c d +++≥；（2）请利用（1）的结论，证明：3a b c ++≥（3）如图，将边长为1米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，在这层一个无盖纸盒.如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米？21．对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.。
上海中考自招试卷(数学)及答案要点(pdf版)
高中自主招生练习卷数学试卷考生注意：1.本试卷共18题.2.试卷满分150分，考试时间100分钟.3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.4.除第一大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、填空题（41分，第1~5题每题3分，第6~7题每题8分，第8题10分）1.32++-=x x y 的最小值是.2.不等式0232≥++bx x 的解是全体实数，则b 的取值范围是.3.如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝3cm ，AB ＝6cm ，且MN ∥PQ ∥AB ，DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝cm ，PQ ＝cm.4．已知关于x 的不等式122++mx mx >0的解是一切实数，则m 的取值范围为___________.5.已知关于x 的方程111112-=--+-x mx x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是.6.若多项式b x x -+1732分解因式的结果中有一个因式为4+x ，则b 的值为.7.若y x ，为正实数，且4=+y x ，则4122+++y x 的最小值为.8.对任意A 中任取两个元素x ，y ，定义运算x*y ＝ax+by+cxy ，其中a ，b ，c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1*2＝3，2*3＝4，并且集合A 中存在一个非零常数m ，使得对任意x ，都有x*m ＝x ，则称m 是集合A 的“钉子”．集合A ＝{x|0≤x ≤4}的“钉子”为．二、简答题（共109分）9.（8分）已知实数a ,b 满足122=b a ＋,0＞ab ,求2211a b b a -+-的值.10.（8分）已知集合A ＝{0，1}，B ＝{a 2，2a }，其中a ∈R ，我们把集合{x |x ＝D C MP N Q ABx 1+x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，记作A ×B ，若集合A ×B 中的最大元素是2a +1，求a 的取值范围.11.（8分）设f x ax bx ()=+2，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。
上海四校自招数学试卷
上海市四校自招考试数学试卷时间：120 分钟总分：150 分注意事项：1. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 11 页。
2. 请将答案书写在答题纸上，用黑色签字笔或圆珠笔书写。
3. 请仔细检查试卷，确认试卷所有页面齐全。
第 I 卷（选择题）一、单项选择题（每题 3 分，共 30 分）1. 下列函数中，奇函数的是（）(A)(B)(C)(D)2. 若，则的值是（）(A)(B)(C)(D)3. 已知集合，，则是（）(A)(B)(C)(D)4. 已知，则的值为（）(A)(B)(C)(D)5. 下列命题中，真命题是（）(A) 三个角的和大于的三角形是钝角三角形(B) 若两个三角形两边分别相等，那么这两个三角形全等(C) 若，则(D) 若，则6. 已知点在圆上，则的最大值为（）(A) 3(B) 4(C) 5(D) 67. 函数的最小值为（）(A) -2(B) -1(C) 0(D) 18. 已知数列，则的值为（）(A) 120(B) 130(C) 140(D) 1509. 下列说法中，正确的是（）(A) 任何一个集合都是有限集(B) 任何一个非空集合都至少有一个元素(C) 两个集合的交集一定包含这两个集合中的所有元素(D) 两个集合的并集一定包含这两个集合中的所有元素10. 已知向量，，则的值为（）(A) -5(B) -3(C) 3(D) 5二、多项选择题（每题 4 分，共 20 分）11. 下列说法中，正确的是（）(A) 是有理数(B) 是无理数(C) 是有理数(D) 是无理数12. 下列函数中，周期为的是（）(A)(B)(C)(D)13. 下列命题中，真命题是（）(A) 若，，则(B) 若，，则(C) 若，，则(D) 若，，则14. 已知点，分别在抛物线上，且的中点为，则的值为（）(A)(B)(C)(D)15. 下列说法中，正确的是（）(A) 线性方程组的解集一定是有限集(B) 线性方程组的解集一定包含整数解(C) 线性方程组的解集一定包含有理数解(D) 线性方程组的解集一定包含实数解第 II 卷（非选择题）一、填空题（每题 5 分，共 25 分）16. 已知为实数，且，则_________.17. 已知三角形的三边长分别为，，，且，则三角形的形状为_________.18. 已知数列的首项为，公差为，则的值为_________.19. 已知函数，则_________.20. 已知直线与圆相切，则_________.二、解答题（共 75 分）21. （15 分）解不等式：22. （10 分）已知函数，求函数的最小值和最大值。
2024年交大附中自主招生数学试题
2024年交大附中自主招生数学试题2024年交大附中自主招生数学试题的挑战与应对交通大学附属中学自主招生考试是一场极具挑战性的数学考试，而2024年的考试试题更是引人注目。
在这场考试中，考生们将面临一些颇具难度的问题，要求他们展现出卓越的数学思维和解决问题的能力。
本文将结合具体试题，为读者解析这场考试的挑战性，并提供一些应对策略。
首先，2024年交大附中自主招生数学试题的难点表现在以下几个方面。
首先，题目涉及的知识面非常广，包括代数、几何、概率与统计等多个领域。
考生需要在短时间内掌握并运用这些知识，无疑是一大挑战。
其次，题目对考生的数学思维能力和逻辑推理能力要求极高，需要考生具备严密的逻辑推理能力和深入的数学思维能力。
最后，试题中还出现了一些需要运用复杂数学模型和方法的题目，要求考生具备较高的数学建模能力和解决问题的能力。
针对这些难点，考生可以采取以下几种应对策略。
首先，考生需要全面复习数学知识，确保自己对各个领域都有深入的理解和掌握。
在复习过程中，考生可以结合历年自主招生试题进行练习，提高自己的应试能力。
其次，考生需要注重培养自己的数学思维能力和逻辑推理能力，通过大量的练习和反思来提升自己的数学素养。
最后，考生还需要加强对数学方法和技术的应用，通过模拟考试和练习，提高自己的解题能力和应变能力。
在应对2024年交大附中自主招生数学试题的过程中，考生还需要注意一些问题。
首先，要合理规划答题时间，避免在难题上过度纠结，影响整体成绩。
其次，要注重解题的准确性和规范性，避免因为细节问题而丢分。
最后，要保持冷静，遇到难题时要保持冷静，避免因为紧张而犯错。
总之，2024年交大附中自主招生数学试题是一场极具挑战性的考试，要求考生具备全面的数学知识、深刻的数学思维能力和灵活的解题技巧。
考生在备考过程中需要全面复习数学知识，注重培养数学思维能力和解题技巧，同时保持良好的心态和冷静的态度，以应对这场极具挑战性的考试。
自招 上海自主招生数学试题
B． 30 A 45
C． 45 A 60
D． 60 A 90
3
8. 观察右图，根据规律，从 0
3→4
7→8
11 → …
↓
↑
↓
↑
↓
↑
…
2002 到 2004，箭头方向 1 → 2
2
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案
（本试卷满分 100 分，90 分钟完成）
一、单项选择题：（本大题满分 30 分）本大题共有 10 个小题，每小题给出了代号为 A 、B 、
C 、 D 四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请把正确答案的代号写在题后的
圆括号内．每小题选对得 3 分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在
2011-2015 年 上海初中自主招生数学
试题及答案
1
目录
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................... 3 2011 年华师二附自主招生数学试题及答案................................................................................... 7 2011 年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）................................................................... 9 2012 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 11 2013 年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 13 2013 年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）................................................................. 14 2013 年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 16 2013 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 17 2014 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 20 2014 年进才中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 23 2014 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 25 2014 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 27 2014 年华师二附自主招生数学试题............................................................................................. 29 2014 年华中一附自主招生数学试题............................................................................................. 33 2015 年复旦附中自主招生数学试题............................................................................................. 37 2015 年华师一附自主招生数学试题及答案................................................................................. 39
2018-2020年上海四校自招数学试卷汇编版(含答案)--共9套
2018-2020年上海四校自招数学试卷汇编版（含答案）--共9套目录2018交附自招数学答案2018上中自招数学2018上中自招数学答案2019复附自招数学答案2019交附自招数学2020上中、交附、七宝自招上海中学自招试题上海中学自招真题解析2018上海市上海中学自招部分真题1、因式分解：6x3-11x2+x+4=【答案】(x-1)(3x-4)(2x+1)【解析】试根法易得x=1时，上式值为0.利用长除法可得原式=(x-1)(6x2-5x-4)=(x-1)(3x-4)(2x+1)2、设a>b>0，a2+b2=4ab，则a+b=a-b【答案】3【解析】令a+b=x，a-b=y则x>y>0a2+b2=4aba2+b2-2ab=2aby2=1(x2-y2)2x2=3y2xa+b=3=3即y a-b3、若x2+x-1=0，则x3+2x2+3=【答案】4【解析】降次法x2=1-x所以原式=x(1-x)+2(1-x)+3=x-x2+2-2x+3=-x-(1-x)+5=4(,34、已知1(b -c )2=(a -b )(c -a )，且a ≠0，则b +c =4a【答案】2【解析】1(b -c )2=(a -b )(c -a )4(c -b )2=4(a -b )(c -a )⎡⎣(c -a )+(a -b )⎤⎦2=4(c -a )(a -b )⎡⎣(c -a )-(a -b )⎤⎦2=0所以c -a =a -bb +c =2a 即b +c=2a5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是【答案】49【解析】P =2⨯2=43396,、直线l ：y =-3x +与x 、y 轴交于点A 、B ，△AOB 关于直线AB 对称得到△ACB ，则点C 的坐标是【答案】33)22【解析】如右图所示易得∠CAD =∠BAO =60︒过C 作CD ⊥x 轴于点D 在△ACD 中AC =1易解得AD =1，CD =3223C (,)223即7、一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A、C两点重合，折痕的长是【答案】45 4【解析】如右图所示易得AC=所以OC=152=15△C△OF∽ABC所以OF=OC解得OF=45即EF=45 AB BC848、任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即n），如果n是奇2数，则将它乘以3再加1（即3n+1），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对于正整数n（首项）按照上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n所有可能取值为【答案】128/2/16/20/3/21【解析】92+12212418 12451081632642 163 20 21 1289、正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积【答案】2【解析】将小六边形的相对顶点联结后易得：小正六边形的面积是大正六边形面积的13即面积为210、已知y 1=2x 2+(4-m )x +(4-m )与y =mx 在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为【答案】m <4【解析】（1）当0<m 时，0<x ，y 2=mx >0，且x ≤0时，y 2≤0∴x ≤0时y 1>0∴y 1x =0>0故4-m >0∴m -4<04则∆<0解得-4<m <4∴0<m <4（2）当m <0时，同理解得m <0（3）当m =0时，y 1>0恒成立综上所述，m <411、已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，(x -a )2(x -b )2(x -c )2化简：++=(a -b )(a -c )(c -b )(a -b )(c -a )(c -b )【答案】1-(x -a )2(b -c )-(x -b )2(c -a )-(x -c )2(a -b )=(a -b )(b -c )(c -a )【解析】原式=(a -b )(b -c )(c -a )(a -b )(b -c )(c -a )=1212、已知实数a 、b 满足a 2+ab +b 2=1，t =ab -a 2-b 2，-⎩1则t 的取值范围是【答案】-3≤t ≤-13【解析】由a 2+b 2≥2ab ，a 2+b 2≥-2ab得⎧1-ab ≥2ab 解得-1≤ab ≤1⎨ab ≥-2ab 3t =ab -(1-ab )=2ab -1所以-3≤t ≤-1313、（1）求边长是1的正五边形的对角线长（2）求sin18︒【答案】（1）5+1（2）5-122【解析】（1）正五边形的一个内角大小为：(5-2)⨯180︒÷5=108︒所以△ABE 和△ACD 是黄金三角形在△ABE 中AE =BE 5-1其中AE =1解得BE =25+12（2）在△ACD 中过A 作AF 垂直CD 于点F易得∠FAD =18︒1所以sin18︒=FD =2=5-1AD5+122x y -1⎩14、（1）f (x )=x 3+ax 2+bx +c ，0<f (-1)=f (-2)=f (-3)<3，求c 的取值范围（2）f (x )=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f (1)=10，f (2)=20，f (3)=30，求f (10)+f (-6)【答案】（1）6<c ≤9（2）8104【解析】（1）令f (-1)=f (-2)=f (-3)=k ，g (x )=f (x )=k ，0<k ≤3则g (x )=(x +1)(x +2)(x +3)所以f (x )=g (x )+k =x 3+6x 2+11x +6+k 故c =6+k ，又0<k <3所以6<c ≤9（2）f (1)=10，f (2)=20，f (3)=30令g (x )=f (x )-10x =x 4+ax 3+bx 2+(c -10)x +d则有g (1)=g (2)=g (3)=0令g (x )=0的第四个根是m 则g (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -m )所以g (10)+g (-6)=9⨯8⨯7⨯(10-m )+(-7)⨯(-8)⨯(-9)(-6-m )=8064即f (10)+f (-6)=g (10)+g (-6)+40=810415、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）背景知识：平面α：Ax +By +Cz +d =0；球：(x -a )2+(y -b )2+(z -c )2=R 2；点(a ,b ,c )到平面α的距离公式：d =球心到平面的距离为d ，当d <R 时，球与平面相交，当d =R 时，球与平面相切，当d >R 时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足m +n +k =1，求m 2+n 2+k 2的最小值；问题（2）：解方程++=1(x +y +z )2⎧x =1【答案】（1）1（2）⎪y =2⎨3⎪z =3【解析】（1）设点(m ,n ,k )则该点在平面x +y +z =1上而所求m 2+n 2+k 2即为该点到原点距离的平方Aa +Bb +Cc +D A 2+B 2+C 2z -212+12+12y -1z -2x y -1x ⎨⎨原点到平面x +y +z =1的距离为：d =1=33⎛3⎫21所以(m 2+n 2+k 2)= ⎪=（2）配方法min⎝3⎭3++=1(x +y +z )2x +y +z -(2+2+2z -2)=0(-1)2+(⎧x =1-1)2+(⎧x =1-1)2=0⎪y -1=1解得⎪y =2⎪⎪z =3⎪z -2=1⎩x y -1z -2则交大附中自主招生试卷2018.03第一部分 1. 已知13x x +=-，求3311000x x++. 2. 11(1)x x x tx x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和.3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S .4. 346y x x =-+，若a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +.5. 22(2)y x m =-+，若抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值.6. DE 为»BC的切线，正方形ABCD 边长为200，»BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长.7. 在直角坐标系中，正ABC ∆，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =， 求M 的横坐标.8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径.9. 横纵坐标均为整数的点为整点，（12m a <<），y mx a =+（1100x ≤≤），不经过整 点，求a 可取到的最大值.10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.第二部分（科学素养）1. 已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明 1212[(1)]()1()f bx b x bf x bf x ++<+-（1）14b =；（2）13b =.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分）3. 请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分）4. 附加题（25分） （2 points ） solve the following system of equations for 2122.2221w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩（4 points ）Compute 98∞（6 points ）Solve the equation 1=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to xA ）（3 points ）Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B ）（4points ）Let real numbers 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation 23[]40x x --=，find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+ C ）（6 points ）Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =上海中学自主招生试卷2018.031.因式分解：326114x x x -++=2.设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b+=-3.若210x x +-=，则3223x x ++=4.已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a +=5.一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是6.直线:l y =+x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是7.一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是8.任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ），如果n 是奇数，则将它乘以3加1（即31n +），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为9.正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为10.已知212(4)(4)y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为11.已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：222()()()()()()()()()x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------12.已知实数a 、b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是13.（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒.14.（1）32()f x x ax bx c =+++，0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）432()f x x ax bx cx d =++++，(1)10f =，(2)20f =，(3)30f =，求(10)(6)f f +-.15.我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz d α+++=；球：2222()()()x a y b z c R -+-+-=；点(,,)a b c 到平面:0Ax By Cz d α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（21()2x y z +=++.参考答案1.(1)(34)(21)x x x --+2. 3.4 4.2 5.49 6.33(,227.4548.128、2、16、20、3、219.22cm 10.4m <11.112.133t -≤≤-13.（112+；（2）14-14.（1）69c <≤；（2）810415.（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++= ．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b ab a b ab +==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a b a b+=- 3、若210x x +-=，则3223x x ++=． 【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a+=_________． 【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+，代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=，()20m n ∴-=，m n ∴=， 即a b c a -=-，即2a b c =+，2b c a+∴=． 5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是． 【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=． 6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是 ．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是． 【答案】454． 【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ==．因此折痕长为454． 8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n ，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -． 其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡， 按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为． 【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形 ABCDEF的相似比为1:3．因为 ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <，此时函数1y 的对称轴404m x -=-<， 则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <；若04m ≤<，此时20y ≤，则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<； 若0m <，此时20y >对0x <恒成立；综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________． 【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________． 【答案】133t -≤≤-． 【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥． 则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤， 又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立． 方法二：逆用韦达定理．12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-， 133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2． 【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）． （2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤， ()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R>时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++． 【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩． 【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．上海中学自招试题1、因式分解：326114x x x -++=．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- ．3、若210x x +-=，则3223x x ++=．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a +=_________．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是．6、直线:l y =+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n ，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R>时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++．2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。
2025届四校联考高三数学期中考试试卷及答案
上海（四校联考）2024学年高三数学第一学期期中考试试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合{}265<0A x x x =-+，{}0,1,2B =，则A B ⋂=___________．【答案】：{}22．已知向量(1,2)a =- ，(3,2)b = ，则b 在a方向上的数量投影为_____________．【答案】：52.53．曲线xy e =在点(01)，处的切线方程为_______．【答案】：1y x =+4．某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为__________．【答案】：1205．二项式6(3x 的展开式中，常数项为_______．【答案】：18-6．关于x 的方程100910152024x x x +++-=的解集为__________．【答案】：{}07．已知>0x ，>0y ，4x y xy +=，则x y +的最小值为________．【答案】：98．《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺.”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为________平方尺．【答案】：41π9．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为2x xe e shx --=，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移12个单位，再向上平移2个单位，得到函数()y f x =的图象，并且数列{}n a 满足条件(2025n na f =，则数列{}n a 的前2024项和2024S =________________．【答案】：202310.已知椭圆Γ：22143x y +=，点1F 和2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则12PF F △内切圆半径的最大值为__________．【答案】：404811.在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，若2222024a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+________．【答案】：3312．若关于x 的方程2(ln )20x x e a x x a -⋅-+-=在(0,1]上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是________．【答案】：311(,]3e e二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13．设z C ∈，则1z R z+∈是1z =的（）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】：B14．在ABC △中，10BC =，M 为BC 中点，4AM =，则AB AC ⋅= （）．A .9-B .16-C .9D .16【答案】：14. A15．已知定义在R 上的函数()y f x =，其导数为()f x '，记()()g x f x '=，且()()4f x f x x --=，()(2)0g x g x +-=，则下列说法中正确的个数为（）．（1）(0)1g =；（2）()f x y x=的图象关于(0,2)对称；（3）()(2)0f x f x +-=；（4）21()nk g k n n==-∑．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】：B16．已知正项数列{}n a 满足1112ln n n n a a a ++=-，下列说法正确的是（）．A ．当10<<1a 时，数列{}n a 单调递减B ．当1>1a 时，数列{}n a 单调递增C ．当10<<1a 时，存在正整数0n ，当0n n ≥时，01<2n n a D ．当1>1a 时，存在正整数0n ，当0n n ≥时，0<2n n a 【答案】：D三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.【解析】：（1）成绩在区间[80,100]的比例为：(0.0100.005)100.150.35+⨯=<；（2分）成绩在区间[70,100]的比例为：0.150.04100.550.35+⨯=>，因此65%分位数位于区间[70,80)；（4分）因此入围分数为：0.40.27010750.4-+⨯=，因此入围分数应设为75分；（6分）（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此0,1,2X =，(0)P X =2426C C =25=（8分）1124268(1)15C C P X C ⋅===（10分）(2)P X =2226C C=115=，则X 的概率分布为：01228151515⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（12分）所以X 的数学期望为812[]1215153E X =⨯+⨯=.（14分）18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()y f x =是定义在(1,1)-上的奇函数，并且当0x >时，()cos sin(223x x f x π=⋅+2cos 2x（1）求函数()y f x =的表达式；（2）求关于x 的不等式21(log 1)()(0)2f x f x f ++-<的解集.【解析】：（1）当01x <<时，()fx 1sin()234x π=-+；（2分）当0x =时，()0f x =；当10x -<<时，0x ->，()()f x f x -=-=1sin(234x π+-；（4分）因此1sin(1234()0, 0133sin()1 0234x x f x x x x ππ⎧-+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+--⎪⎩<<<<；（6分）（2）当(0,1)x ∈时，13336x ππππ---<<<，因此有()y f x =在(0,1)上严格增；（8分）而当0x =时1333sin()02342x π-+=>，因此有()y f x =在(1,1)-上严格增；原不等式可化为：21(log 1)()2f x f x +-<；（10分）而()y f x =是定义在(1,1)-上的严格增函数，所以221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-+⎪⎪--⎨⎪⎪+-⎪⎩<<<<<；（12分）因此不等式的解集为11(,42.（14分）19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱锥P ABC -中AC BC ⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC AC ===，4BC =，E ,F 分别是PC ，PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l.（1）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在AC 的同侧），且直线PQ 与直线EF 所成的角为4π，求平面PBQ 与平面AEF 所成的锐二面角的余弦值.【解析】：（1）证明：BC AC ⊥ ，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =BC ∴⊥平面PAC ；（2分）又E 、F 分别为PB 、PC 的中点，//BC EF ∴；（4分）EF ∴⊥平面PAC ；（6分）（2）BC AC ⊥ ，∴以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过C 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,4,0)B，P，1(,0,)22E，1(,2,22F ，而//EF BC ，BC 不在平面AEF 上，EF ⊂平面AEF ，//BC ∴平面AEF ，//l BC ∴，设Q 点坐标为(2,,0)(0)y y ≥，(1,PQ y = ，(0,2,0)EF = ，cos ,PQ EF ∴=2=，即2y =，则Q 点坐标为(2,2,0)；（8分）设平面PBQ 的法向量000(,,)n x y z = ，即0n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取01x =，可得n = ；（10分）设平面AEF 法向量为111(,,)m x y z = ，则0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取11x =，可得m = ；（12分）cos ,5m n ∴== ，即平面PBQ 与平面AEF所成的锐二面角的余弦值为5.（14分）20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知点G 是圆22:(1)16T x y ++=上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为(1,0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线OM 、ON 的斜率分别为1k 和2k 且1234k k =-，则MON △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长OP 至Q ，使3OQ OP =，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E于A 、B 两点，求AQB △面积的最大值.【解析】：（1）RH RG =，则42RT RH RT RG GT TH +=+===>，则曲线C 是以(1,0)-和(1,0)为焦点，4为长轴的椭圆；（2分）设椭圆方程为22221x y a b +=，则2,1a c ==，2223b a c =-=，曲线C ：22143x y +=；（4分）（2）设(2cos )M ϕϕ，(2cos )N θθ，则123sin 3sin 2cos 2cos k k ϕθϕθ==⋅34-，即cos()0θϕ-=；（7分）12cos 2cos )2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△为定值；（10分）（3）设点(,)Q x y ，则点(,33x y P ，代入椭圆方程得到曲线E ：2213627x y +=；当直线l 的斜率不存在时：设:([2,2])l x n n =∈-，代入E 中有223274y n =-，则2AQB AOB S S ==≤△△（12分）当直线l 斜率存在时：设:l y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，代入E 的方程：222(43)841080k x mkx m +++-=，则122843km x x k -+=+，2122410843m x x k -=+；（14分）122AQB AOBS S m x x ==-==△△；（16分）而l 与椭圆C 有公共点，代入得：222(43)84120k x kmx m +++-=，由0∆≥有2243k m +≥，记2243m t k =+，则AQB S =≤△，综上，AQB △面积的最大值为.（18分）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()y f x =的表达式为()(2ln )()f x x ax x a R =-∈.（1）当1a =时，求()y f x =的单调增区间；（2）若当1x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：5740472ln1012233420232024+++⨯⨯⨯ >.【解析】：（1）1a =时，2()(2ln )2ln f x x x x x x x =-=-，则()2(ln 1)f x x x '=--（2分）令()ln 1g x x x =--，则1()1g x x'=-，则()g x 在(0,1)上严格减，(1,)+∞上严格增，则()(1)0g x g ≥=，即()f x 在(0,)+∞上严格增，因此函数()y f x =的增区间为(0,)+∞；（4分）（2）()22(1ln )2(ln 1)f x ax x ax x '=-+=--，记()ln 1h x ax x =--，则1()h x a x'=-，若1a ≥，则1a1≤，即1x >时()0h x >，()f x ∴在(1,)+∞上严格增，()(1)1f x f a >=>，满足要求；（6分）若(0,1)a ∈，则11a >，1(1,x a ∈时()0h x <，则1()(1,f x a 在上严格减，故当1(1,x a ∈时，()(1)1f x f a <=<，不满足要求；（8分）若(,0]a ∈-∞，则()0h x <，()f x 在(1,)+∞上严格减，则()(1)1f x f a <=<，不满足要求；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.（10分）（3）由（2）可知1a =时2()2ln 1f x x x x =->，则12ln (1)x x x x <->，取21n x n +=+，则221232ln112(1)(2)n n n n n n n n n ++++<-=+++++，即2322ln (1)(2)1n n n n n ++>+++；（14分）20222022112323420242ln 2ln()2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++∴>=⨯⨯⨯=+++∑∑ ，即572334+⨯⨯40472ln101220232024++⨯ >.。
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16、坐标原点 0, 0 关于直线 y x 4 翻折后的点的坐标为
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二、解答题 17、已知，在△ABC 中，AC=BC=1，∠C=36° ，求△ABC 的面积 S
18、已知二次函数 y ax 2 bx c 的图像抛物线经过 A 3, 0 ， B 1, 0 两点， M t , 4 是其顶点。 （1）求实数 a, b, c 的值； （2）设点 C 4, 6 ， D 1, 1 ，点 P 在抛物线上且位于 x 轴上方，求当△CDP 的面积达到最大时点 P 的坐标。
19、证明 2 不是有理数。
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【试卷总结与分析】 1. 高中知识点分析
从设计到的高中知识点来说，交大附中的考察特点是“杂”，基本上都有涉及，无明显的针对性，如 向量、均值不等式、反证法、数列求和、解析几何、组合计数等等，而且考察的也比较基础简单（例 如数列求和的两道题可归类于小学奥数内容），涉及到的也不深，考试足以通过初中知识或小学奥数 知识解决 如 17 题，是初中讲过的“黄金三角形”，只要基础好，本题可秒杀 19 题，是初中课本的拓展内容的原题，考生只要留心课本的拓展内容即可
2. 初高衔接知识点分析
高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到 95%，几何大约 5% 想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以 ①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算） ②解方程 ③二次函数的图像与性质 为主 在本卷中也有所体现，如第 5, 8, 9, 10, 15, 18, 19 题，对于代数式变换和二次函数考察的较多， 但不太深，只要接触过一点便能解决，建议学生在这方面平时稍加训练即可
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7、一卷直径为 10 厘米的圆柱形无芯卷筒纸是由长为 L 厘米的纸绕 80 圈而成，那么 L 8、满足方程：
9、已知实数 x 满足 2 x 2 4 x
10、直线 x y 1 与反比例函数 y
k 的图像如果恰有一个交点，则该交点必定在第 x
象限。
11、平面上边长为 1 的正方形 ABCD 绕着其中心旋转 45 得到正方形 A'B'C'D'，那么这两个正方形重叠 部分的面积为 12、请在下列表格的 9 个小方格中分别填入数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9，使得每行每列，以及两 条对角线上的三个数之和相等（只需要填 1 种答案）
13、在前 1000 个整数 1，2，3，„，1000 中，数码 1 共出现了
次
பைடு நூலகம்
14、设 A 0, 2 ， B 4, 2 是平面直角坐标系中的两点，P 是线段 AB 垂直平分线上的点，如果点 P 与点
C 1,5 的距离等于 2 2 ，则点 P 的坐标为
217 x 314 y 2 15、方程组 的解为 314 x 217 y 2
四校自招-数学·交附卷
学而思高中部 胡晓晨老师
一、填空题
1、在△ABC 中，设 CA a ，CB b ，P 是中线 AE 与中线 CF 的交点，则 BP
2、已知 a 是正实数，则 a 3、正整数 360 共有
。 （用 a, b 表示）
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3. 初中知识点分析
初中知识以几何为主，本卷中几何考到的较多，如第 1, 7, 10, 11, 14, 16, 17 都在考察平面几何 知识，有一定难度但不偏不怪，想做对，要牢牢打好初中几何的基础，否则考试时会在这方面吃亏 数论知识考察的不多，仅在第 3,8 题涉及，而且考察点只有“质因数分解，约数个数”这些很基础的 内容，建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建 议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏 组合知识在第 4, 13 题中考到，两道题都需要用枚举方法解决，但难度不算很低，建议考生在组合知 识方面稍加训练以对应考试。
2 的最小值等于 a
个正因数。
4、小明负责小组里 4 个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。如果他随机的分发 4 个同学的本子， 那么他把每个同学的本子都发错的概率是 5、计算：
1 32 2
6、计算：
1 1 1 1 2 2 3 2013 2014 4 2 1 的正整数有序数对的（m,n）个数为 m n 6 1 ，则 x2 2 x 的值为 x 2x