初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析《分式》知识点复习及典例解析一、复习目标1.理解并记住分式的乘法法则、除法法则，会进行简单的分式乘除法计算．能解决一些与分式的乘除运算有关的简单的实际问题.2.了解同分母分式的加减法法则，会进行同分母分式的加减运算，理解通分的意义，会通过通分把异分母的分式加减转化为同分母的分式加减.3.能熟练地进行分式的加减乘除混合运算，提高类比的能力和代数化归的能力.4.了解分式方程的概念，掌握解一元一次方程的分式方程的方法，了解产生增根的原因，会检捡一个数是不是分式方程的增根．5.能够列出可化为一元一次方程的分式方程解简单实际问题．二、重点难点重点：分式乘除法、加减法法则的应用. 分式方程的概念，分式方程的解法难点：异分母分式加减法. 解分式方程时，去分母可能会出现增根。
三、知识概要1. 分式的乘除乘法法则：分式乘分式时，分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后与被除式相乘. 式子表示：.;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? 2. 分式的加减（1）分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.（2）法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.式子表示：;c b a c b c a ±=±.bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 3.分式方程的概念分式是一种表示具体情境中数量的模型，分式方程则是表示这些数量关系之间相等关系的模型，分式方程是分母中含有未知数的方程．4.分式方程的解法分式方程是转化为一元一次方程来求解，它是通过去分母实现转化的．主要步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．因为分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根．5.去分母的技巧解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步，当分式方程中分式的分母是一次式时，可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母，当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解，再确定最简公分母，然后再去分母．6.验根的方法因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的，验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误，另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，这种方法比较简便，但不能检查解方程过程中出现的计算错误．7.列分式方程解决实际问题的方法步骤（1）、审：分析问题，寻找已知、未知及相相等关系，（2）、设：设恰当的未知数（3）、列：根据相等关系列出分式方程（4）、解：求出所列方程的解（5）、验：首先检验所求的解是不是分式方程的解，然后检验所求的解是否与实际符合（6）、答：写出答案．四、典例解析考点一、分式概念的运用例1．若分式||33x x --的值为零，则x 的值等于。
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。
考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。
初二数学上册(人教版)第十五章分式15.1知识点总结含同步练习及答案
x+1 2x + 3 ；（2） ． 2x 3x − 5 x+1 解：（1） 要使 有意义，则分母 2x ≠ 0，即 x ≠ 0； 2x 2x + 3 5 （2） 要使 有意义，则分母 3x − 5 ≠ 0，即 x ≠ ． 3x − 5 3 x+2 的值为 0 ？ 2x − 3 x+2 解： = 0 ，即 x + 2 = 0 ， 2x − 3 解得 x = −2 且 2x − 3 ≠ 0 ． 所以当 x = −2 时，该分式值为 0 ．
① 在分式 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变，即
约分 约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分（reduction of a fraction）． 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．化简分式时，通常要使结果成为最简分式 或者整式． 通分 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分（reduction of fractions to a common denominator）． 各分式分母中的系数的最小公倍数与所有字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母．
当 x 取何值时，分式
5xy ． 20y 2 5xy 5y ⋅ x x 解： ． = = 2 5y ⋅ 4y 4y 20y
化简
2a c x ， ， ． b ab 2ab 解：最简公母为 2ab ． 2a 4a2 ， = b 2ab c 2c ， = ab 2ab x x ． = 2ab 2ab
通分
四、课后作业
1. 使分式
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2 有意义的 x 的取值范围是 ( x−2 A．x ⩽ 2 B．x ⩽ −2
八年级初二数学_分式的复习知识点、练习和答案_全面详细易懂
第十六章 分式16．1分式16.1.1从分数到分式1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.随堂练习1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？5-x y 8+ ）（7-x x 71 6)m m m +（ 3. 当x 为何值时，分式的值为0？2-x x y564)-x 2)-x x （（ ()7m 245y y 2++16.1.2分式的基本性质1．重点: 理解分式的基本性质. 2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形.随堂练习1．填空： (1) x x x 3222+= ()3+x (2) 32386b b a =()33a （3) c a b ++1=()cn an + (4) ()222y x y x +-=()y x -2．约分：（1）c ab b a 2263 （2）2228m n n m （3）532164xyzyz x - （4）x y y x --3)(23．通分：（1）321ab 和c b a 2252 （2）xya 2和23xb 2316．2分式的运算16．2．1分式的乘除(一)1．重点：会用分式乘除的法则进行运算.2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算 .随堂练习计算（1）ab c 2c b a 22⋅ （2）322542n mm n ⋅- （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷x x y 27 （4）-8xy xy 52÷16．2．1分式的乘除(二)1．重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.2．难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.随堂练习计算 (1))2(216322ba a bc ab -⋅÷ (2)（2）103326423020)6(25ba c c ab b ac ÷-÷ （3）x y y x x y y x -÷-⋅--9)()()(3432 （4）（4）22222)(x y x xy y xy x x xy -⋅+-÷-16．2．1分式的乘除(三)1．重点：熟练地进行分式乘方的运算.2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.随堂练习1．判断下列各式是否成立，并改正.（1）23)2(a b =252a b （2）2)23(a b -=2249ab - （3）3)32(x y -=3398xy （4）2)3(b x x -=2229b x x - 2．计算 (1) 22)35(y x （2）332)23(c b a - （3）32223)2()3(x ay xy a -÷ （4）23322)()(z x z y x -÷- 5))()()(422xy xy y x -÷-⋅- (6)232)23()23()2(ayx y x x y -÷-⋅- 16．2．2分式的加减（一）1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.随堂练习计算 (1)ba ab b a b a b a b a 22255523--+++（2）m n m n m n m n n m -+---+22（3）96312-++a a16．2．2分式的加减（二）1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.随堂练习计算 (1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 答案六、（1）2x （2）ba ab - （3）3 16．2．3整数指数幂1．重点：掌握整数指数幂的运算性质.2．难点：会用科学计数法表示小于1的数.随堂练习1.填空（1）-22= （2）(-2)2= （3）(-2) 0=（4）20= ( 5）2 -3= ( 6）(-2) -3=2.计算(1) (x 3y -2)2 （2）x 2y -2 ·(x -2y)3 (3)(3x 2y -2) 2 ÷(x -2y)3六、1.（1）-4 （2）4 （3）1 （4）1（5） 81 （6）81- 2.（1）46y x （2）4x y （3） 7109yx 16．3分式方程(一)1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根.2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根.随堂练习解方程 (1)623-=x x (2)（2）1613122-=-++x x x （3）114112=---+x x x1．重点：利用分式方程组解决实际问题.2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结(带答案)
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数，则a的取值正确的是（）A．a<6且a≠2B．a>6且a≠1C．a<6D．a>6答案：A分析：表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．解：分式方程整理得：2x−1−ax−1=4，去分母得：2−a＝4x−4，解得：x＝6−a4，由分式方程的解为正数，得到6−a4>0，且6−a4≠1，解得：a<6且a≠2．故选：A．小提示：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（）A．2B．3C．4D．5答案：D分析：根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.解：∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，∴x=3，去分母，得m+4=3x+2(x−3)，将x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故选：D．小提示：本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的3倍B ．扩大到原来的6倍C ．缩小为原来的13D ．不变 答案：D分析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ，∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，故选：D ．小提示：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4、计算x x+1+1x+1的结果是（ ）A ．x x+1B ．1x+1C ．1D ．−1答案：C分析：根据同分母分式的加法法则，即可求解．解：原式=x+1x+1=1， 故选C ．小提示：本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．5、若a +b =5，则代数式（b 2a ﹣a ）÷（a−b a ）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣15D ．15 答案：B分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．∵a +b =5，∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5， 故选：B ．小提示：考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法师是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用．6、某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为()A．300x =200x+30B．300x−30=200xC．300x+30=200xD．300x=200x−30答案：C分析：乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效，列出方程即可．乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，依题意得：300x+30=200x，故选C．小提示：本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键．.7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．8、解方程2x−13=x+a2−1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（ ）A ．x =−3B ．x =−2C ．x =13D ．x =−13答案：A分析：先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a 的值，然后把a 的值代入原方程并解方程．解：把x =2代入方程2（2x -1）=3（x +a ）-1中得：6=6+3a -1，解得：a =13，正确去分母结果为2（2x -1）=3（x +13）-6， 去括号得：4x -2=3x +1-6，解得：x =-3．故选：A小提示：本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．9、下列运算正确的是( )A ．2a +3b =5abB ．(−ab)2=a 2bC ．a 2⋅a 4=a 8D ．2a 6a 3=2a 3答案：D分析：根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答． 解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；C 、原式=a 6，故本选项错误；D 、原式=2a 3，故本选项正确．故选D ．小提示：本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．10、下列分式中是最简分式的是（ ）A ．2x 2B ．42xC ．x−1x 2−1D ．x−1(x−1)2答案：A分析：一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式，四个选项逐个分析排除，只有选项A是最简分式，选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1，都不是最简分式．选项A不能约分，是最简分式；选项B中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式；选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)，分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；选项D中分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；故选：A．小提示：本题主要考查了最简分式的概念，最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式，有时需要将分子分母进行因式分解再判断．填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____．答案：−1分析：根据分式的减法法则即可得．解：原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1，所以答案是：−1．小提示：本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解，则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________．答案：2分析：先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．解：解不等式2x>2得：x>1，解不等式3x <m +1得：x <m+13， ∵不等式组无解，∴m+13≤1，∴m ≤2；y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ，解得y =4−m 2，∵m ≤2，∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1，又∵y −1≠0，∴y >1，∴y 的最小整数解为2，所以答案是：2小提示：本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________．答案：x ＝1分析：原方程去分母得到整式方程，求解整式方程，最后检验即可．解：22x−1+x 1−2x =1， 22x−1﹣x 2x−1＝1， 方程两边都乘2x ﹣1，得2﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，2x ﹣1≠0，所以x ＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1，所以答案是：x＝1．小提示：本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意解分式方程不一定要检验．14、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．##0.25答案：14分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4所以答案是：1．4小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____．答案：﹣3.9×10﹣2分析：先根据科学记数法表示该数，再保留两个有效数字即可．解：﹣0.03896＝﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2，所以答案是：﹣3.9×10﹣2．小提示：此题考查了科学记数法的表示方法，有效数字的概念，正确理解各知识点是解题的关键．解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？答案：每个篮球的原价是120元．分析：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据题意，得12000x ＝10000x−20．解得x ＝120．经检验x ＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．小提示：本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．17、若a ，b 为实数，且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，求3a ﹣b 的值． 答案：2分析：根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解方程组可得a,b,再代入求值.解：∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解得{a =2b =4， ∴3a ﹣b=6﹣4=2．故3a ﹣b 的值是2．小提示：本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零，则解得x 1＝a ，x 2＝b ．又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣（a +b ），所以关于x 的方程x +ab x ＝a +b 的解为x 1＝a ，x 2＝b ． (1)理解应用：方程x 2+2x =3+23的解为：x 1＝ ，x 2＝ ；(2)知识迁移：若关于x 的方程x +3x ＝5的解为x 1＝a ，x 2＝b ，求a 2+b 2的值；(3)拓展提升：若关于x 的方程4x−1＝k ﹣x 的解为x 1＝t +1，x 2＝t 2+2，求k 2﹣4k +2t 3的值． 答案：(1)3，23；(2)19；(3)12． 分析：（1）根据题意可得x =3或x =23；（2）由题意可得a +b =5，ab =3，再由完全平方公式可得a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =19；（3）方程变形为x -1+4x−1=k -1，则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1，则有t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1，整理得k =t +t 2+2，t 3+t =4，再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t （t 3+t ）+4t 3-4=4（t 3+t ）-4=12．（1）解：∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ，x 2=b ，∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23，所以答案是：3，23；（2）解：∵x +3x =5，∴a +b =5，ab =3，∴a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =25-6=19； （3）解：4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1，∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1，x 2=t 2+2，则有x -1=t 或x -1=t 2+1，∴t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1， ∴k =t +t 2+2，t 3+t =4， k 2-4k +2t 3=k （k -4）+2t 3=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3=t4+4t3+t2-4=t（t3+t）+4t3-4=4t+4t3-4=4（t3+t）-4=4×4-4=12．小提示：本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．。
北师大版八年级数学下册分式知识点归纳总结及习题精练
分式及其运算知识点归纳总结一、知识点归纳1、分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，B 中含有字母且B 不等于0，那么式子BA 叫做分式． 需要注意的四点：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分式的分母的值不能为0；（3）分式是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开；（4）判断分式需要看最初的形式2、分式有无意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，分母为0时，分式无意义3、分式的值：（1）分式的值为0，满足000≠=⇔=B A BA 且 （2）分式的值为1，满足01≠=⇔=B A BA （3）分式的值为-1，满足01≠-=⇔-=B A BA （4）分式的值为正，满足⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>⇔>00000B A B A B A 或 （5）分式的值为负，满足⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>⇔<00000B A B A B A 或 4、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． )0(,≠÷÷==m mb m a b a bm am b a ，前提条件是0≠m ,强调是同时 5、分式的符号：y y y x x x--==-（符号调整时注意不要改变分式的值）． 6、约分和最简分式：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．对分式进行约分化简时，通常要使结果成为最简分式（即分子和分母已没有公因式）或者整式． 通分：最简公分母7、分式的乘除运算乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 分式的加减运算同分母的分式相加减，分母不变_，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，化成同分母的分式，然后再加减．在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母分解因式分式的乘除要约分，加减要通分，最后的结果要化成最简．有时进行分项化简分式及其运算的题型总结题型一：分式的定义及有无意义1、下列各式是分式的有_________________．（填写序号） ①1π；②2x x；③(3)(1)x x +÷-；④210xy -；⑤242x x --；⑥109x y +． 2、当x 取何值时，下列分式有意义？（1）ax x； （2）239x x +- （3（4）2x -． 3、当x =______分式212x x x ---=0，当x =________时，216(3)(4)x x x --+=0 4、已知当2x =-时，分式x b x a--无意义，当4x =时，该分式的值为0，则a b +=___________．5、若分式224x x x m++不论x 取何实数总有意义,则m 的取值范围 6、当x 时，22(1)x x -+的值为正数 题型二：分式的化简求值7、下列变形正确的有________________．（填写序号）1．x y x y x x -+-=；2.x y x y x x-++=-；3.x y x y y x x y -++=--；4.y x x y x y x y --=-++． 5.135320.55x y x y x x--= ;6.133m m m =++;7122x y y x +=--; 8.x x x y x y =--+- 8、若分式22x y x y+-的中,x y 同时扩大2倍，分式的值 若分式222x y xy+的中,x y 同时扩大2倍，分式的值 9、把下列分式化为最简分式：（1）22233x x x x ---； （2）22222222x y z yz z x y xy--+--+．10、分式的运算：（1）4222a b a a b a b ab a --⋅+-； （2）3222322212()xy xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎡⎤÷⋅ ⎪ ⎪⎢⎥+--⎣⎦⎝⎭⎝⎭．（3）2933a a a +--； （4）22433x x x x x---+-．下列说法错误的是（ ）A ．2314a b 与2316a b c的最简公分母是2312a b c B ．1m n +与1m n-的最简公分母是22m n - C ．213x x -与229x -的最简公分母是(3)(3)x x x -+ D ．1x y -与1y x -的最简公分母是()()x y y x -- 11、分式的混合运算：（1）2344111x x x x x -+⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭ （2）22112111x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭；（3）412222x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭； （4）2222211b a ab b a a ab a a b ⎛⎫-+⎛⎫÷++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．（5）24(2)22m m m m ⎛⎫+÷+ ⎪--⎝⎭； （6）352242m m m m -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭．（7）22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++题型三：分式的应用1、若118x y +=，则2322x xy y x xy y -+++=____ 23a b =，则2222a ab b a b -++=________若2112x x x =-+，则2421x x x =++_____．3x =4y =5z ，则222z y x xz yz xy ++++=_______．2、已知113x y -=，求2322x xy y x xy y+---的值3、若0a b <<，且2260a b ab +-=，则a b a b +-的值为________．4、若m 为正实数，且1m m -=3，则221m m -=______ 1m m+=若15a a +=，则2421a a a =++ ；已知21x x x -+=7，则2421x x x ++= 5、若实数a ，b 满足：ab =1，则221111a b +++的值为________． 6、若分式2424x x x -+-的值为整数，则整数x 的值为__________． 已知a ，b ，c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ac a c =+，则abc ab bc ca++=_____．若abc =1，则111a b c ab a bc b ca c ++++++++的值为_______．。
《常考题》初中八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．分式293x x --等于0的条件是（ ） A ．3x = B ．3x =- C ．3x =± D ．以上均不对 2．若关于x 的分式方程122x a x -=-的解为非负数，且关于x 的不等式组5x x a ≥⎧⎨>⎩的解集是5x ≥，则符合条件的整数a 有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 3．世界上数小的开花结果植物是激大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花架，质做只有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示正确的是（ ） A ．-60.7610⨯ B ．-77.610⨯ C ．-87.610⨯ D ．-97.610⨯ 4．如果a ，b ，c ，d 是正数，且满足a +b +c +d =2，11a b c b c d ++++++11a c d a b d+++++=4，那么d a a b c b c d ++++++b c a c d a b d+++++的值为（ ） A ．1 B ．12 C ．0 D ．45．下列各式中，正确的是（ ）A ．22a a b b= B ．11a a b b +=+ C ．2233a b a ab b = D ．232131a a b b ++=-- 6．要使分式()()221x x x ++-有意义，x 的取值应满足（ ） A ．1x ≠B ．2x ≠-C ．1x ≠或2x ≠-D ．1x ≠且2x ≠- 7．若方程21224k x x -=--有增根，则k =（ ） A ．4- B ．14- C ．4 D ．148．若数a 关于x 的不等式组()()11223321x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≥-+⎩恰有三个整数解，且使关于y 的分式方程13y 2a 2y 11y--=---的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 9．若分式293x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．3或－3 D ．310．已知1x =是分式方程2334ax a x +=-的解，则a 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．3 D ．3-11．已知a 、b 为实数且满足a ≠﹣1，b ≠﹣1，设M =11a b a b +++，N =1111a b +++，则下列两个结论（ ） ①ab =1时，M =N ；ab ＞1时，M ＜N ．②若a +b =0，则M •N ≤0．A ．①②都对B ．①对②错C ．①错②对D ．①②都错12．2a ab b a++-的结果是( )． A ．2a - B ．4a C ．2b a b -- D ．b a- 13．下列各式中正确的是（ ）A ．263333()22=x x y yB ．222224()=++a a a b a bC ．22222()--=++x y x y x y x y D ．333()()()++=--m n m n m n m n 14．若分式2132x x x --+的值为0，则x 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．±1 15．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ）A ．102x x x -<<B ．012x x x -<<C ．021x x x -<<D ．120x x x -<< 二、填空题16．计算：（﹣2a ﹣2b ）2÷2a ﹣8b ﹣3＝_____．17．某班在“世界读书日”当天开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为_________人．18．计算22a b a b a b-=-- _________． 19．若关于x 的分式方程233x m x x=---的解为正数，则常数m 的取值范围是______． 20．若x ＝2是关于x 的分式方程31k x x x -+-＝1的解，则实数k 的值等于_____． 21．已知13x x-=，则21x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 22．计算：22311x x x -=+-____________． 23．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米（0.0000000025千米）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．2.5微米用科学记数法表示为________千米．24．如图，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为1a ，第2幅图中“□”的个数为2a ，第3幅图中“□”的个数为3a ，……，以此类推，若123201922222020n a a a a +++⋅⋅⋅+=（n 为正整数），则（1）5a =________；（2）n 的值为________．25．已知(3)1a a -=，则整数a 的值为______．26．计算：0521)-+=__．三、解答题27．计算：（1）2031(2021)|13|(2)4；（2）2222()()a b a ab b a b a ab b ．28．解方程（1）22211x x x =-+．（2）2127111x x x +=+--．29．计算：（1）(2)(2)4(21)x x x -+--；（2）2221111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭．30．计算：021|22|( 3.14)()2π---+-。
初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初二分式所有知识点总结和常考题知识点：1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0. 3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bc c c±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数） ⑵()nm mn aa =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹1nnaa-=（0a≠，n是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).常考题：一．选择题（共14小题）1．在式子、、、、、中，分式的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．化简的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x3．如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大4倍B．扩大2倍C．不变D．缩小2倍4．把分式方程的两边同时乘以（x﹣2），约去分母，得（）A．1﹣（1﹣x）=1 B．1+（1﹣x）=1 C．1﹣（1﹣x）=x﹣2 D．1+（1﹣x）=x﹣25．化简÷（1+）的结果是（）A．B． C．D．6．计算的结果为（）A．B． C． D．7．已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠38．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（）﹣1=﹣2 C．=±4 D．|﹣6|=69．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．10．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．11．如图，设k=（a＞b＞0），则有（）A．k＞2 B．1＜k＜2 C．D．12．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A．B．C．+4=9 D．13．计算的结果为（）A．1 B．x+1 C． D．14．若分式（A，B为常数），则A，B的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共13小题）15．计算：=．16．若分式有意义，则实数x的取值范围是．17．分式方程的解x=．18．若代数式的值为零，则x=．19．化简的结果是．20．化简：=．21．计算÷（1﹣）的结果是．22．若关于x的方程=+1无解，则a的值是．23．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是．24．a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，则P Q（填“＞”、“＜”或“=”）．25．如果实数x满足x2+2x﹣3=0，那么代数式的值为．26．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产台机器．27．杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为．三．解答题（共13小题）28．先化简，再求值：，其中．29．先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a值代入求值．30．已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．31．解方程：．32．先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．33．先化简÷（a+1）+，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．34．解分式方程：+=1．35．已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．36．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？37．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？38．从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．39．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？40．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2012春•潜江期末）在式子、、、、、中，分式的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：、、9x+这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选：B．【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．2．（2014•南通）化简的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．【解答】解：=﹣===x，故选：D．【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．3．（2012•岳麓区校级自主招生）如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大4倍B．扩大2倍C．不变D．缩小2倍【分析】把分式中的x和y都扩大2倍，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【解答】解：把分式中的x和y都扩大2倍后得：==2•，即分式的值扩大2倍．故选：B．【点评】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项．4．（2005•扬州）把分式方程的两边同时乘以（x﹣2），约去分母，得（）A．1﹣（1﹣x）=1 B．1+（1﹣x）=1 C．1﹣（1﹣x）=x﹣2 D．1+（1﹣x）=x﹣2【分析】分母中x﹣2与2﹣x互为相反数，那么最简公分母为（x﹣2），乘以最简公分母，可以把分式方程转化成整式方程．【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得：1+（1﹣x）=x﹣2．故选：D．【点评】找到最简公分母是解答分式方程的最重要一步；注意单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个数为分母，最简公分母为其中的一个，另一个乘以最简公分母后，结果为﹣1．5．（2013•临沂）化简÷（1+）的结果是（）A．B． C．D．【分析】首先对括号内的式子通分相加，然后把除法转化成乘法，进行约分即可．【解答】解：原式=÷=•=．故选A．【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．6．（2008•黄冈）计算的结果为（）A．B． C． D．【分析】先算小括号里的，再把除法统一成乘法，约分化为最简．【解答】解：==，故选A．【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．7．（2014•黑龙江）已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3．故选：C【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．8．（2009•潍坊）下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（）﹣1=﹣2 C．=±4 D．|﹣6|=6【分析】幂运算的性质：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；②一个数的负指数次幂等于这个数的正指数次幂的倒数，算术平方根的概念：一个正数的正的平方根叫它的算术平方根，0的算术平方根是0．绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．【解答】解：A、a2•a3=a5，故A错误；B、（）﹣1=2，故B错误；C、=4，故C错误；D、根据负数的绝对值等于它的相反数，故D正确．故选D．【点评】本题涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．9．（2013•本溪）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．【分析】关键描述语为：“共用了18天完成任务”；等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．【解答】解：采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．方程可表示为：．故选：B．【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化．10．（2014•黔南州）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式．【解答】解：根据题意，得．故选：C．【点评】理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．11．（2013•杭州）如图，设k=（a＞b＞0），则有（）A．k＞2 B．1＜k＜2 C．D．【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．【解答】解：甲图中阴影部分面积为a2﹣b2，乙图中阴影部分面积为a（a﹣b），则k====1+，∵a＞b＞0，∴0＜＜1，∴1＜+1＜2，∴1＜k＜2故选B．【点评】本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键．12．（2016•本溪一模）A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B 地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A．B．C．+4=9 D．【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间=9小时．【解答】解：顺流时间为：；逆流时间为：．所列方程为：+=9．故选A．【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．13．（2005•武汉）计算的结果为（）A．1 B．x+1 C． D．【分析】先算括号里的通分，再进行因式分解，将除号换为乘号，最后再进行分式间的约分化简．【解答】解：===，故选C．【点评】注意：当整式与分式相加减时，一般可以把整式看作分母为1的分式，与其它分式进行通分运算．14．（2004•十堰）若分式（A，B为常数），则A，B的值为（）A．B．C．D．【分析】对等式右边通分加减运算和，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．【解答】解：．所以，解得．故选B．【点评】此题考查了分式的减法，比较灵活，需要熟练掌握分式的加减运算．二．填空题（共13小题）15．（2014•陕西）计算：=9．【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．【解答】解：原式===9．故答案为：9．【点评】本题考查的是负整数指数幂，即负整数指数幂等于该数对应的正整数指数幂的倒数．16．（2014•衢州）若分式有意义，则实数x的取值范围是x≠5．【分析】由于分式的分母不能为0，x﹣5为分母，因此x﹣5≠0，解得x．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣5≠0，即x≠5．故答案为：x≠5．【点评】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．17．（2013•梅州）分式方程的解x=1．【分析】本题的最简公分母是x+1，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．【解答】解：方程两边都乘x+1，得2x=x+1，解得x=1．检验：当x=1时，x+1≠0．∴x=1是原方程的解．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．18．（2013•临夏州）若代数式的值为零，则x=3．【分析】由题意得=0，解分式方程即可得出答案．【解答】解：由题意得，=0，解得：x=3，经检验的x=3是原方程的根．故答案为：3．【点评】此题考查了分式值为0的条件，属于基础题，注意分式方程需要检验．19．（2013•凉山州）化简的结果是m．【分析】本题需先把（m+1）与括号里的每一项分别进行相乘，再把所得结果相加即可求出答案．【解答】解：=（m+1）﹣1=m故答案为：m．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要把（m+1）分别进行相乘是解题的关键．20．（2013•衢州）化简：=．【分析】先将x2﹣4分解为（x+2）（x﹣2），然后通分，再进行计算．【解答】解：===．【点评】本题考查了分式的计算和化简．解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．21．（2015•黄冈）计算÷（1﹣）的结果是．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=÷=•=，故答案为：．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2013•绥化）若关于x的方程=+1无解，则a的值是2或1．【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值．【解答】解：x﹣2=0，解得：x=2．方程去分母，得：ax=4+x﹣2，即（a﹣1）x=2当a﹣1≠0时，把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，解得：a=2．当a﹣1=0，即a=1时，原方程无解．故答案是：2或1．【点评】首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值．23．（2013•德阳）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是m ．＞﹣6且m≠﹣4【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．【解答】解：解关于x的方程得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x 的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点．24．（2009•枣庄）a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，则P =Q（填“＞”、“＜”或“=”）．【分析】将两式分别化简，然后将ab=1代入其中，再进行比较，即可得出结论．【解答】解：∵P==，把ab=1代入得：=1；Q==，把ab=1代入得：=1；∴P=Q．【点评】解答此题关键是先把所求代数式化简再把已知代入即可．25．（2013•达州）如果实数x满足x2+2x﹣3=0，那么代数式的值为5．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据实数x满足x2+2x ﹣3=0求出x2+2x的值，代入原式进行计算即可．【解答】解：原式=×（x+1）=x2+2x+2，∵实数x满足x2+2x﹣3=0，∴x2+2x=3，∴原式=3+2=5．故答案为：5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．26．（2013•呼和浩特）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产200台机器．【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．【解答】解：设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．依题意得：=．解得：x=200．检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0．∴x=200是原分式方程的解．∴现在平均每天生产200台机器．故答案为：200．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘．27．（2013•舟山）杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为﹣=3．【分析】先分别求出提速前和提速后由杭州到北京的行驶时间，再根据由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，即可列出方程．【解答】解：根据题意得：﹣=3；故答案为：﹣=3．【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系并列出方程．三．解答题（共13小题）28．（2013•眉山）先化简，再求值：，其中．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．【解答】解：原式=+（x﹣2）（3分）=x（x﹣1）+（x﹣2）=x2﹣2；（2分）当x=时，则原式的值为﹣2=4．（2分）【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．29．（2005•徐州）先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a值代入求值．【分析】本题考查的化简与计算的综合运算，关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．此题要注意的是a≠1．【解答】解：原式===，∵a﹣1≠0，∴a≠1，当a=2时，原式=2．【点评】此题考查了分式的化简求值，取合适的值代入原式求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．30．（2015•甘南州）已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．【分析】首先将分式的分母分解因式，然后再约分、化简，最后将x、y的关系式代入化简后的式子中进行计算即可．【解答】解：=（2分）=；（4分）当x﹣3y=0时，x=3y；（6分）原式=．（8分）【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．31．（2013•普洱）解方程：．【分析】观察可得2﹣x=﹣（x﹣2），所以可确定方程最简公分母为：（x﹣2），然后去分母将分式方程化成整式方程求解．注意检验．【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2），得：x﹣3+（x﹣2）=﹣3，解得x=1，检验：x=1时，x﹣2≠0，∴x=1是原分式方程的解．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（3）去分母时有常数项的不要漏乘常数项．32．（2013•重庆）先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．【分析】首先把分式进行化简，再解出不等式，确定出x的值，然后再代入化简后的分式即可．【解答】解：原式=[﹣]×，=×，=×，=，3x+7＞1，3x＞﹣6，x＞﹣2，∵x是不等式3x+7＞1的负整数解，∴x=﹣1，把x=﹣1代入中得：=3．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，以及不等式的整数解，关键是正确把分式进行化简．33．（2013•巴中）先化简÷（a+1）+，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•+=+=，当a=2（a≠﹣1，a≠1）时，原式==5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．34．（2013•陕西）解分式方程：+=1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2+x（x+2）=x2﹣4，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．35．（2015•广州）已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x 的值代入化简后的A式进行计算即可．【解答】解：（1）A=﹣=﹣=﹣=（2）∵∴∴1≤x＜3，∵x为整数，∴x=1或x=2，①当x=1时，∵x﹣1≠0，∴A=中x≠1，∴当x=1时，A=无意义．②当x=2时，A==．【点评】（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．36．（2013•哈尔滨）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？【分析】（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可；（2）设甲队再单独施工a天，根据甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，由题意，得，解得：x=20．经检验，x=20是原方程的解，∴x+10=30（天）答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天；（2）设甲队再单独施工a天，由题意，得，解得：a≥3．答：甲队至少再单独施工3天．【点评】本题是一道工程问题的运用，考查了工作时间×工作效率=工作总量的运用，列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是学生容易忽略的地方．37．（2015•成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有+10=，解得x=120，经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．（2）3x=3×120=360，设每件衬衫的标价y元，依题意有（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150．答：每件衬衫的标价至少是150元．【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．38．（2014•广州）从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．【分析】（1）根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可得出答案；（2）设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可；【解答】解：（1）根据题意得：400×1.3=520（千米），答：普通列车的行驶路程是520千米；（2）设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意得：﹣=3，解得：x=120，。
(文末附解析)八年级数学上册分式必考知识点归纳总结
(文末附解析)八年级数学上册分式必考知识点归纳总结单选题1、分式1x−2有意义，则x的取值范围是（）A．x≠2B．x≠﹣2C．x＝2D．x＝﹣22、一只船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流的速度是2千米/时，求船在静水中的速度．如果设船在静水中的速度为x千米/时，可列出的方程是（）A．90x+2=60x−2B．90x−2=60x+2C．90x+3=60xD．60x+3=90x3、若分式1x+5在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠－5B．x≠0C．x≠5D．x＞－54、一列火车长x米，以每秒a米的速度通过一个长为b米的大桥，用代数式表示它完全通过大桥（从车头进入大桥到车尾离开大桥）所需的时间为（）A．x+ba 秒B．ba秒C．xa秒D．x−ba秒5、对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=2a−b2，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3=2 1−32=−14，则方程x⊗(−1)=6x−1−1的解是（）A．x=4B．x=5C．x=6D．x=76、若把分式2xx+y中的x和y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（）A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的6倍C．缩小为原来的13D．不变7、一列火车长x米，以每秒a米的速度通过一个长为b米的大桥，用代数式表示它完全通过大桥（从车头进入大桥到车尾离开大桥）所需的时间为（）A．x+ba 秒B．ba秒C．xa秒D．x−ba秒8、(−b 2a)2n （n 为正整数）的值是（ ） A ．b 2+2na 2n B ．b 4na 2n C ．−b 2n+1a 2n D ．−b 4na 2n填空题9、若代数式1x−7有意义，则实数x 的取值范围是_____．10、若关于x 的分式方程3x x−2=m+3x−2+1有增根，则m =_________． 11、分式1m 2−3m 与1m 2−9的最简公分母是_____．12、化简：(1x−1+1)÷x x−1=______．13、计算：x 2+x x —x =____．解答题 14、先化简：x 2−4x 2−4x+4+xx 2−x ÷x−2x−1在从﹣1≤x≤3的整数 中选取一你喜欢的x 的值代入求值．15、先化简，再求值：a+2a ⋅4aa 2+4a+4+2a−4a 2−4，其中a =−12．(文末附解析)八年级数学上册分式_005参考答案1、答案：A解析：分式有意义，分母不等于零，据此来求x 的取值范围．当分母x -2≠0．即x ≠2时，分式1x−2有意义；故选：A ．小提示：本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是记住分式无意义时分母为零．2、答案：A解析：未知量是速度，有路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，等量关系为：顺流航行90千米时间=逆流航行60千米所用的时间．顺流所用的时间为：90x+2；逆流所用的时间为：60x−2.所列方程为：90x+2=60x−2.故选A小提示：本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是读懂题意，得到分式方程.3、答案：A解析：根据分式有意义的条件列不等式求解．解：根据分式有意义的条件，可得：x +5≠0，∴x ≠−5，故选：A．小提示：本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是分母不能为零是解题关键．4、答案：A解析：∵火车走过的路程为(x+b)米，火车的速度为a米/秒，∴火车过桥的时间为x+ba（秒)．故选：A．5、答案：B解析：已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．根据题中的新定义化简得：2x−1=6x−1−1，去分母得：2=6−x+1，解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解．故选：B．小提示：此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．6、答案：D解析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：∵2×3x3x+3y =2×3x3(x+y)=2xyx+y，∴把分式2xx+y中的x和y同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，故选：D．小提示：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．7、答案：A解析：∵火车走过的路程为(x+b)米，火车的速度为a米/秒，∴火车过桥的时间为x+ba（秒)．故选：A．8、答案：B解析：根据分式的乘方计算法则解答．(−b2a )2n=b4na2n．故选：B．小提示：此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．9、答案：x≠7解析：根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．∵代数式1x−7有意义，分母不能为0，可得x−7≠0，即x≠7，所以答案是：x≠7．小提示：本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．10、答案：3解析：分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可解：去分母得：3x=m+3+x-2，由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，把x=2代入整式方程得：6=m+3+2-2，解得：m=3．小提示：此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．11、答案：m（m+3）（m﹣3）解析：先把两分式化成最简形式得1m2−3m ＝1m(m−3)；1m2−9＝1(m−3)(m+3)，然后确定最简公分母即可．解：化简两分式得：1m2−3m ＝1m(m−3)，1m2−9＝1(m−3)(m+3)∴最简公分母是m（m+3）（m﹣3）．小提示：本题主要考查了最简公分母，公分母是能使几个分式同时去掉分母的式子，几个含分母的式子系数取其最小公倍数，字母取其最高次数即得公分母．12、答案：1解析：根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．解：原式=1+x−1x−1×x−1x=x x−1×x−1x=1所以答案是：1．小提示：本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．13、答案：1解析：根据分式的减法运算法则即可得．原式=x 2+xx−x2x，=x2+x−x2x，=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了分式的减法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．14、答案：x+3x−2，﹣23解析：直接利用分式的混合运算法则计算，再把已知数据代入求出答案．x 2−4x 2−4x+4+x x 2−x ÷x−2x−1＝(x−2)(x+2)(x−2)2+x x(x−1)·x−1x−2＝x+2x−2+1x−2＝x+3x−2，∵从﹣1≤x≤3的整数 中选取一你喜欢的x 的值，∴x 可以为：﹣1，0，1，2，当x ＝0，1，2时，分式无意义，当x ＝﹣1时，原式＝−1+3−1−2=﹣23．小提示：此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．15、答案：6a+2，4．解析：把分子、分母进行因式分解，先根据分式乘法法则计算，再根据分式加减法法则化简得出最简结果，最后代入求值即可．a+2 a ⋅4aa2+4a+4+2a−4a2−4=a+2a ⋅4a(a+2)2+2(a−2)(a+2)(a−2)=4a+2+2a+2=6a+2．当a=−12时，原式=6−12+2=4．小提示：本题考查分式的运算——化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．。
八年级数学下册《分式与分式方程》知识要点回顾(含答案)
《分式与分式方程》知识要点回顾《分式与分式方程》一章的主要内容是分式的概念、分式的基本性质及其运算、可化为一元一次方程的分式方程和列简单的分式方程解应用题．这些知识都是学习数学的基础内容，为了帮助同学们能够不够好地掌握这些知识，现将这一章的重点再来一次回顾．一、知识要点回顾1、分式的概念：形如AB（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．其中A叫做分式的分子，B•叫做分式的分母．整式和分式统称有理数，即有理式⎧⎨⎩整式,分式.2、分式的基本性质：分式的这一基本性质可类比分数的基本性质而得到，但又区别于分数的基本性质．3、约分：约分是根据分式的基本性质，分子、分母都同除以最大公约式，化成最简分式．约分后，分子与分母不再有公因式．我们把这样的分式称为最简分式．公因式：①系数取最大公约数；②字母取相同字母；③相同字母取最低次幂．4、通分：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式．通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂作为公分母，叫做最简公分母．最简公分母：①系数取最小公倍数；②字母取所有字母；③取所有字母的最高次幂．特别强调：为确定最简公分母，通常先将各分母分解因式．5、分式的乘除：类似分数乘除法法则即可得出分式乘除法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除数相乘．6、同分母的分式的加减法法则：同分母的分式的加减法，只要把分子相加减，而分母不变．异分母的分式的加减法法则异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减．分式的混合运算类似分数的混合运算法则．7、分式方程：含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．解分式方程，类似于解一元一次方程的去分母，把分式方程两边同时乘以最简公分母，约去分母得到整式方程，解这个整式方程．8、关于增根：①增根：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去分母，有可能产生不适合原方程的解（或根），这种根通常称为增根．②解分式方程时必须进行检验．③为什么会产生增根呢？对于原分式方程来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但方程变形后得到的整式方程则没有这个要求，如果所得整式方程的某个根使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式的值为零，这就不适合原方程，即是原方程的增根．④分式方程怎样检验？将方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，如果为零，即为增根．9、可化为一元一次方程的分式方程的应用同整式方程的应用一样，首先分析题意，假设一个未知量x，根据题意列出分式方程，并解出这个分式方程，检验是不是原方程的根且是否符合题意，并答．步骤如下：①审清题意；②设未知数；③根据题意中数量关系列出式子，找出相等关系列出分式方程；④解分式方程，并验根；⑤看方程的解是否符合题意；⑥写出答案。
八年级数学 分式章节知识点总结及典型例题解析
八年级数学分式章节知识点总结及典型例题解析1.分式的定义：分式是由分子、分母两个整式组成的表达式，分母不能为零。
例：下列式子中，有分式的是：$\frac{2x+1}{3xy^3a^{-b}5a^{-b}159a^{2}15xy^{11}}$、$\frac{8a^2b}{2}$、$\frac{1}{x-y}$、$\frac{4x-3y}{2x+y}$、$\frac{2}{b^2-5a^2}$、$\frac{-x-2xy^2}{x-7}$。
2.分式有意义和无意义：1）使分式有意义：令分母不等于零，解方程求解；2）使分式无意义：令分母等于零，解方程求解；注意：$(x+1)^2 \neq 0$ 有意义。
例如：分式$\frac{x-5}{2-x}$，当$x=2$时，分式无意义；当$x=5$时，分式有意义。
3.分式的值为零：使分式的值为零：令分子等于零且分母不等于零。
注意：当分子等于使分母等于零时，要舍去。
例如：分式$\frac{x^2-11}{x-2a}$，当$x=\sqrt{11}$时，分式的值为零。
4.分式的基本性质的应用：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于零的整式，分式的值不变。
例如：$\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}$，$\frac{A}{B}=\frac{A/C}{B/C}$。
没有明显问题的段落，无需删除或改写。
1.如果成立，那么a的取值范围是什么？2.例2：求出33/(ab)的值。
3.例3：将分式(1-b+c)/(a(b-c))中的a和b扩大10倍后，分式的值会怎样变化？4.例4：将分式10x/(x+y)中的x和y都扩大10倍后，分式的值会怎样变化？5.例5：将分式xy/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？6.例6：将分式(x-y)/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？7.例7：将分式(x-y)/xy中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？8.例8：将分式2x/(x+3y)中的x和y都缩小12倍后，分式的值会怎样变化？9.例9：将分式3x^3/(2y^2)中的x和y都扩大2倍后，分式的值保持不变的是什么？10.根据分式的基本性质，分式(ABC-D)/(a-b)可变形为(a+b)(D-ABC)/(a-b)。
初二数学八上第十五章分式知识点总结复习和常考题型练习
初二数学八上第十五章分式知识点总结复习和常考题型练习第十五章分式一、知识框架：二、知识概念：，A B、是整式，B中含有字母且B不1.分式：形如AB等于0的整式叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()n n n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m naa a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n n a a -=（0a ≠，n 是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).常考例题精选1.(2015·宜昌中考)若分式有意义，则a 的取值范围是 ( ) A.a=0 B.a=1C.a≠-1D.a≠02.(2015·丽水中考)把分式方程=转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)3.(2015·宜宾中考)分式方程-=的解为( )A.3B.-3C.无解D.3或-34.(2015·海南中考)今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获荔枝8 600kg和9 800kg，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg，根据题意，可得方程( )A.=B.=C.=D.=5.(2015·河池中考)若分式有意义，则x的取值范围是.6.(2015·白银中考)若代数式-1的值为零，则x= ________.7.(2015·齐齐哈尔中考)若关于x的分式方程=-2有非负数解，则a的取值范围是.8.(2015·呼和浩特中考)化简：÷.9.(2015·连云港中考)先化简，再求值：÷，其中m=-3，n=5.10.(2015·凉山州中考)某车队要把4000t货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变).(1)从运输开始，每天运输的货物吨数n(单位：t)与运输时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系式?(2)因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数.11.(2015·重庆中考)先化简，再求值：÷，其中x是不等式3x+7>1的负整数解.12.(2015·玉溪中考)某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元?13.(2015·娄底中考)为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元.(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟?(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算?1．(2015·黔西南州)分式1x－1有意义，则x的取值范围是( )A．x>1 B．x≠1 C．x<1 D．一切实数2．下列各分式与ba相等的是( )A.b2a2B.b＋2a＋2C.aba2D.a＋b2a3．下列分式的运算正确的是( )A.1a＋2b＝3a＋bB．(a＋bc)2＝a2＋b2c2C.a2＋b2a＋b＝a＋b D.3－aa2－6a＋9＝13－a4．(2015·泰安)化简(a＋3a－4a－3)(1－1a－2)的结果等于( )19．计算或化简：(1)38－2－1＋|2－1|；(2)2xx2－4－1x－2；(3)3－a2a－4÷(a＋2－5a－2)．20．解分式方程：(1)1x－x－2x＝1; (2)12x－1＝12－34x－2.21．化简求值：(1)(2015·淮安)先化简(1＋1x－2)÷x－1x2－4x＋4，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值；(2)已知x2x2－2＝3，求(11－x－11＋x)÷(xx2－1＋x)的值．22．当x取何值，式子3(2x－3)－1与12(x－1)－1的值相等．23．(2015·宜宾)近年来，我国逐步完善养老金保险制度，甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？24．小明去离家2.4 km的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min，骑自行车的速度是步行速度的3倍．(1)小明步行的速度是多少？(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？25．某开发商要建一批住房，经调查了解，若甲、乙两队分别单独完成，则乙队完成的天数是甲队的1.5倍；若甲、乙两队合作，则需120天完成．(1)甲、乙两队单独完成各需多少天？(2)施工过程中，开发商派两名工程师全程监督，需支付每人每天食宿费150元．已知乙队单独施工，开发商每天需支付施工费为10000元．现从甲、乙两队中选一队单独施工，若要使开发商选甲队支付的总费用不超过选乙队的，则甲队每天的施工费最多为多少元？(总费用＝施工费＋工程师食宿费)。
分式重难点专练(解析版)
专题01分式重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列分式中不是最简分式的是（ ）A ．293a a ++B ．222x y xy y x-+-C ．2242x x x -+-D ．3333ab a ab b ++【答案】C 【分析】根据最简分式的定义逐一判断即可.【详解】解：A. 293a a ++分子分母没有公因式，不能约分，所以它是最简分式，故A 选项不符合题意；B. 222x y xy y x-+-是最简分式，故B 选项不符合题意；C. 2242x x x -+-=()()()2x)x 221x x -++-（=21x x --,故C 选项符合题意;D. 3333ab a ab b++是最简分式, 故D 选项不符合题意.故应选C.【点睛】本题考查了最简分式的概念及分式的化简,掌握相关知识是解题的关键.2．若分式21aa -的值总是正数，则a 的取值范围是（ ）A ．0a >B ．12a >C ．102a <<D ．0a <或12a >【答案】D 【分析】分两种情况分析:当0a >时210a ->;或当0a p 时,210a -p ,再分别解不等式可得．【详解】若分式21aa -的值总是正数：当0a >时，210a ->，解得12a >;当0a p 时，210a -p ，解得12a <，此时a 的取值范围是0a p ;所以a 的取值范围是0a <或12a >.故选：D ．【点睛】考核知识点：分式值的正负.理解分式取值的条件是解的关键点：分式分子和分母的值同号，分式的值为正数．3．下列代数式222222615,,,,321xy y x x y x xx x y x y x x p--+--+++中，最简分式的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】根据最简分式的定义对每项进行判断即可．【详解】623xyy x-=-，不是最简分式；22y x x y x y-=---，不是最简分式；22x y x y++，是最简分式；2211211x x x x x --=+++，不是最简分式；5xp，不是分式；∴最简分式的个数有1个故答案为：A ．【点睛】本题考查了最简分式的问题，掌握最简分式的定义是解题的关键．4．下列各式中是最简分式的是（ ）A ．55x x--B ．2211x x -+C ．22222a ab b a b -+-D ．128x y【答案】B 【分析】根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可．【详解】A 、该分式的分子分母中含有公因式（x ﹣5），不是最简分式，故本选项不符合题意；B 、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意；C 、该分式的分子分母中含有公因式（a ﹣b ），不是最简分式，故本选项不符合题意；D 、该分式的分子分母中含有公因数4，不是最简分式，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．5．下列变形从左到右一定正确的是()．A ．22a ab b -=-B ．a ac b bc =C ．ax a bx b=D ．22a ab b =【答案】C 【分析】根据分式的基本性质依次计算各项后即可解答．【详解】选项A ，根据分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以或除以同一个不是0的整式，分式的值不变，分式的分子和分母都减去2不一定成立，选项A 错误；选项B ，当c≠0时，等式才成立，即()0a ac c b bc=¹，选项B 错误；选项C ，axbx 隐含着x≠0，由等式的右边分式的分子和分母都除以x ，根据分式的基本性质得出ax abx b=，选项C 正确；选项D ，当a=2，b=-3时，左边≠右边，选项D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了分式的基本性质的应用，主要检查学生能否正确运用性质进行变形，熟练运用分式的基本性质是解决问题的关键．6．下列分式是最简分式的是（）A．22x xyx-；B．222a ab ba b-+-；C．2211xx+-；D．211xx+-【答案】C【分析】直接利用最简分式的定义进而判断得出答案．【详解】A、22x xyx-=()22x x y x yx--=，不是最简分式，不合题意；B、222a ab ba b-+-=2()a ba ba b-=--，不是最简分式，不合题意；C、2211xx+-无法化简，是最简分式，符合题意；D、21 1x x +-=11(1)(1)1xx x x+=+--，不是最简分式，不合题意.故选：C【点睛】此题主要考查了最简分式，正确把握最简分式的定义是解题关键．7．下列式子正确的是（）A．22b ba a=B．0a ba b+=+C．1a ba b-+=--D．0.10.330.22a b a ba b a b--=++【答案】C【分析】根据分式的基本性质，即可解答．【详解】A．分子乘以b，分母乘以a，所以22b ba a¹，故A错误；B．a ba b+=+1，故B错误；C．()a ba ba b a b---+==---1，故C正确；D．0.10.330.2210a b a ba b a b--=++，故D错误．故选C．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟记分式的基本性质．8．若分式293xx--的值为0，则x的值是（ ）A．﹣3B．3C．±3D．0【答案】A【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【详解】解：根据题意，得x2﹣9＝0且x﹣3≠0，解得，x＝﹣3；故选：A．【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．9．分式26 9x-有意义的条件是（ ）A．x≠3B．x≠9C．x≠±3D．x≠﹣3【答案】C【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出关于x的不等式，解之可得．【详解】解：当x2﹣9≠0时，分式有意义，由x2﹣9≠0得：x2≠9，则x≠±3，故选：C．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．10．在代数式2p，15x+，221xx--，33x-中，分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据分式的定义逐个判断即可得．【详解】常数2p是单项式，15x+是多项式，221x x --和33x -都是分式，综上，分式有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的定义，掌握理解分式的定义是解题关键．11．下列变形不正确的是（ ）A ．1122x x x x +-=---B ．b a a bc c--+=-C ．a b a bm m-+-=-D ．22112323x x x x--=---【答案】A 【分析】答题首先清楚分式的基本性质，然后对各选项进行判断．【详解】解：A 、1122x xx x +--=---，故A 不正确；B 、b a a bc c --+=-，故B 正确；C 、a b a bm m-+-=-，故C 正确；D 、22112323x x x x--=---，故D 正确．故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．12．下列各式中，正确的是（）A ．22a ab b =B ．11a ab b+=+C ．2233a b a ab b=D ．232131a ab b ++=--【答案】C 【分析】利用分式的基本性质变形化简得出答案．【详解】A ．22a ab b=，从左边到右边是分子和分母同时平方，不一定相等，故错误；B ．11a ab b+=+，从左边到右边分子和分母同时减1，不一定相等，故错误；C ．2233a b a ab b=，从左边到右边分子和分母同时除以ab ，分式的值不变，故正确；D ．232131a ab b ++=--，从左边到右边分子和分母的部分同时乘以3，不一定相等，故错误．故选：C ．【点睛】本题考查分式的性质．熟记分式的性质是解题关键，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．13．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子1(0)x x x+>的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x ，矩形的周长是12x x æö+ç÷èø；当矩形成为正方形时，就有1(0)x x x =>，解得1x =，这时矩形的周长124x x æö+=ç÷èø最小，因此1(0)x x x +>的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子24(0)x x x+>的最小值是（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】在面积是4的矩形中，设矩形的一边长为x ，则另一边是4x，矩形的周长是2（x +4x ），当矩形成为正方形时，就有x =4x ，解得x =2，这时矩形的周长2（x +4x）=8最小，因此x +4x 的最小值是4，而24x x += x +4x ，所以24(0)x x x+>的最小值是4.故选B.点睛：本题关键在于理解已知结论的推导过程.14．如果m 为整数，那么使分式31m m ++的值为整数的m 的值有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】分式32111m m m +=+++，讨论21m +就可以了，即1m +是2的约数即可完成.【详解】∵32111m m m +=+++若原分式的值为整数，那么12,1,12m +=--，由12m +=-得，3m =-；由11+=-m 得，2m =-；由11m +=得，0m =；由12m +=得，1m =；∴3,2,0,1m =--，共4个故选C 【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键.15．已知：2222233+=´，2333388+=´，244441515+=´，255552424+=´，……，若21010b b a a+=´（a 、b 为正整数）符合前面式子的规律，则a+b 的值是（ ）．A ．109B ．218C ．326D ．436【答案】A 【分析】通过观察已知式子可得分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，即可求解．【详解】解：由2222233+=´，2333388+=´，244441515+=´，255552424+=´，……，可知分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，∴在21010b ba a+=´中，b ＝10，a ＝102－1＝99，∴a ＋b ＝109，故选：A ．【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．16．若x 是整数，则使分式8221x x +-的值为整数的x 值有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】先将假分式8221x x +-分离可得出6421x +-，根据题意只需21x -是6的整数约数即可．【详解】解：824(21)664212121x x x x x +-+==+---由题意可知，21x -是6的整数约数，∴211,2,3,6,1,2,3,6x -=----解得： 37151,,2,,0,,1,2222x =---，其中x 的值为整数有：0,1,1,2x =-共4个．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到6421x +-，从而使问题简单．二、填空题17．如果24422x a bx x x =--+-，那么+a b 的值是______．【答案】0【分析】先将分式方程每一部分的分母通分，然后观察方程的左边和右边，使方程两边的分子部分相同即可解决.【详解】解：224422444x ax a bx bx x x -+=----224()2()44x a b x a b x x --+=--所以4a b -=，0a b +=故答案是：0【点睛】本题考查了分式通分，将方程两边变为同分母，然后比较分子得出结论是解决本题的关键.18．若分式2228x x x ---的值为零，则x 的值为______________.【答案】2【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．【详解】解：由分式的值为零的条件得2-x =0，x 2-2x-8≠0，∴x=±2且x≠4且x≠-2，∴x=2时，分式的值为0，故答案为2．【点睛】本题考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．19．若113x y +=，则分式323x xy yx xy y-+++的值为_________．【答案】74【分析】根据分式基本性质，分子和分母同时除以xy 可得．【详解】()()333322323323111111x xy y xy x xy y y x y x x xy y x xy y xy y x y x-++--+¸-+===++++¸++++若113x y +=则32392744x xy y x xy y -+-==++故答案为：74【点睛】考核知识点：分式基本性质运用．熟练运用分式基本性质是关键．20．当x =_________时，分式242x x--的值为0．【答案】2-【分析】分式有意义的条件是分母不为0；分式的值是0的条件是分母≠0且分子=0．【详解】若分式的值为0，则2-x≠0且24x -=0，即x=-2．故答案为:-2．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义，并考查了分式值是0的条件．21．如果分式32x x x x--值为零，那么x =_________．【答案】1-【分析】根据分式的值为零，可得30-=x x 且20x x -¹，求解即可．【详解】∵320x x x x-=-∴30-=x x 且20x x -¹∴()()()321110x x x x x x x -=-=+-=且()210x x x x -=-¹∴123011x x x ==-=，，且01x x ¹¹，∴1x =-故答案为：1-．【点睛】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．22．分式1753xy x y+中的,x y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值扩大为原来的_____________倍．【答案】3【分析】将,x y 同时扩大为原来的3倍得到17353xy x y æö´ç÷+èø，与1753xy x y +进行比较即可．【详解】分式1753xy x y+中的,x y 同时扩大为原来的3倍，可得17335333x yx y´´´+´17353xyx y´=+17353xy x y æö=´ç÷+èø故答案为：3．【点睛】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．23．已知213x x =+，则1x x-=__________．【答案】3【分析】将213x x =+两边同时除以x ，即可得出答案．【详解】解：∵213x x=+∴两边同时除以x ．,得：13=+x x ∴1-=3x x故答案为：3【点睛】本题考查了代数式求值，利用分式的性质，两边同时除以x ，将式子进行变形是解题的关键．24．下列各式中，最简分式有_____个．①11x -；②422y x +；③3x p ；④10+452a a +；⑤9+73+5p p ；⑥241025y y y ++．【答案】1．【分析】根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可．【详解】①11x-符合最简分式的定义，符合题意．②422y x+ 的分子、分母中含有公因数2，不是最简分式，不符合题意；③3x p ⑤9+73+5p p不是分式，不符合题意；④10+452a a + 的分子、分母中含有公因式（5+2a ），不是最简分式，不符合题意；⑥241025y y y ++的分子、分母中含有公因式（2y+5），不是最简分式，不符合题意；故答案为：1．【点睛】此题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．25．当x_____________时，分式21x x x+-的值为0；【答案】=－1【解析】由题意得：x+1=0，且x 2-x≠0，解得：x=-1，故答案为=-1.26．当x=__________时，分式22121x x x --+的值为零.【答案】-1【分析】根据分式的解为0的条件，即可得到答案.【详解】解：∵分式22121x x x --+的值为零，∴2210210x x x ì-=í-+¹î，解得：11x x =±ìí¹î，∴1x =-；故答案为：1-.【点睛】本题主要考查分式的值为0的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．27．当x =______时，分式293x x--的值为0.【答案】-3【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．【详解】由分式的值为零的条件得290x -=，30x -¹，由290x -=，得29x =，∴3x =或3x =-，由30x -¹，得3x ¹．综上，得3x =-．故答案是：3-．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．28．如果分式126xx--的值为零，那么x＝________ ．【答案】1【分析】根据分式的值为零可得10x-=，解方程即可得．【详解】由题意得：10x-=，解得1x=，Q分式的分母不能为零，260x\-¹，解得3x¹，1x\=符合题意，故答案为：1．【点睛】本题考查了分式的值为零，正确求出分式的值和掌握分式有意义的条件是解题关键．29．要使分式2xx1+有意义，那么x应满足的条件是________ ．【答案】1x¹-【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．【详解】由题意得：10x+¹，解得：1x¹-，故答案为：1x¹-．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．30．已知215aa+=，那么2421aa a=++________．【答案】1 24【分析】将215aa+=变形为21a+=5a，根据完全平方公式将原式的分母变形后代入21a+=5a，即可得到答案．【详解】∵215a a+=，∴21a +=5a ，∴2421a a a =++()()2222222221242451a a a a a a a a ===-+-故答案为：124．【点睛】此题考查分式的化简求值，完全平方公式，根据已知等式变形为21a +=5a ，将所求代数式的分母变形为22(1)aa +-形式，再代入计算是解题的关键．31．化简：22x x x-＝_____．【答案】12x -【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．【详解】解：22xx x -＝(2)x x x -＝12x -．故答案为：12x -．【点睛】此题主要考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．32．已知:x 满足方程11200620061x x =--,则代数式2004200620052007x x -+的值是_____.【答案】20052007-【解析】因为11200620061xx =--，则200420062005200520062006001120072007x x x x x x x --=Þ=Þ=Þ=---+ .故答案：20052007-.33．下列结论：①不论a 为何值时21a a +都有意义；②1a =-时，分式211a a +-的值为0；③若211x x +-的值为负，则x 的取值范围是1x ＜；④若112x x x x ++¸+有意义，则x 的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的是________【答案】①③【解析】【分析】根据分式有意义的条件对各式进行逐一分析即可．【详解】①正确．∵a 不论为何值不论a 2+2＞0，∴不论a 为何值21a a +都有意义；②错误．∵当a =﹣1时，a 2﹣1=1﹣1=0，此时分式无意义，∴此结论错误；③正确．∵若211x x +-的值为负，即x ﹣1＜0，即x ＜1，∴此结论正确；④错误，根据分式成立的意义及除数不能为0的条件可知，若112x x x x++¸+有意义，则x 的取值范围是即20010x x x x ìï+¹ï¹íï+ï¹î，x ≠﹣2，x ≠0且x ≠﹣1，故此结论错误．故答案为：①③．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，解答此题要注意④中除数不能为0，否则会造成误解．34．已知210ab a -+-=，则111(1)(1)(2016)(2016)ab a b a b +++=++++L _______.【答案】20172018【解析】【分析】先根据绝对值的非负性求出a 和b 的值，代入代数式中根据分数的性质对原式进行变形即可求出答案.【详解】∵210ab a -+-=，所以20-=ab ，10a -=∴a =1，b =2，∴原式=111.....122320172018+++´´´ =111111.....22320172018-+-++- =112018- =20172018【点睛】本题考查非负数的性质，绝对值.本题解题关键有两个，①任意数的绝对值都大于或等于0，而两个非负数（或式）的和要等于0，那么这两个数（或式）都要为0；②注意分数的等量变形111(1)1=-++a a a a .35．端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还会佩减香囊以避邪驱瘟．“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“乐群”香囊、“创造”香囊三种产品，所有香囊的外包装都由回收材料制成， 不计成本．其中“求真”香囊的里料是20克艾叶，“乐群”香囊的里料是10克艾叶和20克薄荷，“创造”香囊的里料是20克艾叶和 20 克薄荷．端午节当天，店长发现“乐群”香囊的销量是“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的32倍，当天的总利润率是50% ．第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，当三种产品的销量分别与前一天相同时，总利润率为___________．【答案】38%【分析】设1g 艾叶成本价为a 元，利润率为x ，1g 薄荷成本价为b 元，利润率为y ，端午节当天“求真”香囊的销量为m 件，则“乐群”香囊的销量为2m 件，“创造”香囊的销量为n 件，先根据利润倍数关系可求出43n m =，再根据端午节当天的总利润率可得2a b ax by ++=，然后根据新的售价和销量列出总利润率的计算式子，化简求值即可得．【详解】设1g 艾叶成本价为a 元，利润率为x ，1g 薄荷成本价为b 元，利润率为y ，端午节当天“求真”香囊的销量为m 件，则“乐群”香囊的销量为2m 件，“创造”香囊的销量为n 件，Q “求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的32倍，3202(1020)(2020)2axm m ax by n ax by \++=+，整理得：43n m =，Q 端午节当天的总利润率是50%，3)(2020)250%202(1020)(2(1020)n ax by am m a b n a b +++\+=++，即54(2020)2350%4202(1020)(2020)3m ax by am m a b m a b ´+=++++，整理得：2a b ax by ++=，Q 第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，且三种产品的销量分别与前一天相同，\第二天总利润率为[][]420(1)210(1)20(1)20(1)20(1)80%314202(1020)(2020)3ma x m a x b y m a x b y ma m a b m a b +++++++++×-++++，[]4620(1)20(1)15110(2020)3m a x b y m a b +++=-+，23()125()a b ax by a b +++=-+，23()2125()a b a b a b +++=-+，69()150()a b a b +=-+，1950=，38%=，故答案为：38%．【点睛】本题考查了分式求值，依据题意，正确设立未知数得出已知等式和所求分式是解题关键．36．若240x y z -+=，4320x y z +-=．则222xy yz zx x y z++++的值为______【答案】16-【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x 的式子分别表示y ，z ，然后带入要求的式中，化简便可求出.【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．①+③得: 10x+ 5y= 0，∴y= -2x ，将y= - 2x 代入①中得:2x- (-2x)+4z=0∴z=-x将y= -2x ，z=-x ，代入上式222xy yz zxx y z ++++=()()()()()()222·22··2x x x x x xx x x -+--+-+-+-=222222224x x x x x x -+-++=226x x -=16-故答案为：16-【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x 的式子表示y ，z.本题较难，要学会灵活化简.三、解答题37．计算：32222((y y x x-×-．（结果用正整数指数幂的形式表示）【答案】24y 【分析】根据幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，负指数次可以把底数变为原来的倒数.负指数变为正的，最后将式子化成最简.【详解】解：原式6222(2y x x y -=×62244y x x y =×24y =．【点睛】本题考查了幂的乘方和负指数幂的预算，解决本题的关键是熟练掌握幂的乘方运算和负指数幂的运算法则.38．（1）3455318x yx y（2）()()2328x y x y --（3）2918933x x x -+- （4）22b a a b --（5）22222222a b c bca b c ab--++-+（6）()()2235221215x y x y x y x y --【答案】（1）216x y ；（2）144x y -；（3）33x -；（4）1a b -+；（5）a b ca b c-+++；（6）2454455x yx y xy -+【分析】（1）根据分式的除法运算法则计算即可；（2）将分式的分子、分母约去相同的因式即可；（3）将分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式即可；（4）将分式的分母因式分解后约去相同的因式即可；（5）将分式的分子、分母分别应用分组分解法因式分解后约去相同的因式即可；（6）将分式的分母因式分解后约去相同的因式即可．【详解】（1）3455318x y x y 21=6x y；（2）()()2328x y x y --1=4)x y -（144x y=-；（3）2918933x x x -+-29(21)=3(1)x x x -+-23(1)(1)x x -=-3(1)x =-33x =-；（4）22b a a b --()=()()a b a b a b ---+1a b=-+（5）22222222a b c bc a b c ab--++-+222222(2)=2a b bc c a ab b c --+++-2222()()a b c a b c --=+-()()()()a b c a b c a b c a b c -++-=+-++a b ca b c-+=++；（6）()()2235221215x y x y x y x y --()()244=5()x y xy x y x y --+44()5()x y xy x y -=+2454455x yx y xy -=+．【点睛】本题主要考查了分式加减乘除混合运算，解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解，然后约去公因式，分式的约分是分式运算的基础，应重点掌握．39．对于正数x ，规定：()1xf x x =+．例如：11(1)112f ==+，22(2)213f ==+，111212312f æö==ç÷èø+．（1）填空：()3f =________；13f æö=ç÷èø_______；1(4)4æö+=ç÷èøf f _________；（2）猜想：1()æö+=ç÷èøf x f x _________，并证明你的结论；（3）求值：111(1)(2)(2019)(2020)202020192æöæöæö+++×××++++×××++ç÷ç÷ç÷èøèøèøf f f f f f f ．【答案】（1）34，14，1；（2）1()1f x f x æö+=ç÷èø，证明见解析；（3）120192．【分析】（1）根据给出的规定计算即可；（2）根据给出的规定证明；（3）运用加法的交换律结合律，再根据规定的运算可求得结果．【详解】解：（1）()3f =33+1 =34，13f æö=ç÷èø131+13=14，,1(4)4æö+=ç÷èøf f 34+14=1，（2）1()1f x f x æö+=ç÷èø，理由为：11111111æö==×=ç÷++èø+x xf x x x x x()1xf x x =+，则111()1111+æö+=+==ç÷+++èøx x f x f x x x x ．（3）原式111(2020)(2019)(2)(1)202020192éùéùéùæöæöæö=++++×××+++ç÷ç÷ç÷êúêúêúèøèøèøëûëûëûf f f f f f f 1201912=´+120192=．【点睛】本题考查的是分式的加减，根据题意找出规律是解答此题的关键．40．先化简：221111x x x æö+¸ç÷--èø，再选一个你喜欢的数代入并求值．【答案】11x +,13.【解析】【分析】根据分式的混合运算，先算括号里面的，再算除法，然后取一个分式有意义的数值代入求解即可.【详解】解：原式()()22222111111111x x x x x x x x x x -+--=´=´=-+++，0x Q ¹，1，1-，2x \=时，原式11213==+．【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，把分式通分、约分进行化简是关键，代入求值时，代入的数值必须让分式有意义，容易出错.41． 已知22ab a b ab ++＝32，求2a －3b 的值．【答案】0【详解】试题分析：根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式，得到a 、b 的关系，然后代入求值即可.试题解析：原式＝a b ＝32，∴2a ＝3b ，∴2a －3b ＝0.42． 若2a ＝3b ＝4c ≠0，求a b c+的值．【答案】54【详解】试题分析：根据比例的基本性质，设出参数，直接代入可求解.试题解析：设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，k ≠0，∴a b c+＝234k k k +＝54.43．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b 元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n 所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n 所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n 排序，第1所民办学校得奖金bn元，然后再将余额除以n 发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n 所民办学校．（1）请用n 、b 分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k 所民办学校所得到的奖金为k a 元（1k n ££），试用k 、n 和b 表示k a （不必证明）；（3）比较k a 和1k a +的大小（k=1，2 ，……，1n -），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．【答案】（1）211()(1)bb a b n n n n =-´=- ,23111()(1(1)b b a b n n n n n=-´-=-；（2）11(1k k b a nn-=- ；（3）1k k a a +> ．奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少．【解析】【试题分析】（1）根据第1所民办学校得奖金bn元，然后再将余额除以n 发给第2所民办学校，得：22311111((1),()(1)(1).b b b ba b a b n n n n n n n n n=-´=-=-´-=-（2）根据（1）中的两个式子，11(1k k ba n n-=- ；（3）11(1k k b a n n -=-，+11(1)k k ba n n=-，则1111+121111111(1(1)(11(1)(1)(1)0k k k k k k k b b b b ba a n n n n n n n n n n n n----éù-=---=---=-××=-×>êúëû，则+1k k a a >.奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.【试题解析】（1）根据题意得：22311111((1),()(1)(1.bb b ba b a b nn n n n n n n n=-´=-=-´-=- （2）根据（1）中的两个式子，11(1k k ba n n-=- （3）11(1k k b a n n -=-，+11(1)k k ba n n=-，则1111+121111111(1(1)(11(1)(1)(1)0k k k k k k k b b b b ba a n n n n n n n n n n n n----éù-=---=---=-××=-×>êúëû，则+1k k a a >.奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.【方法点睛】本题目是一道分式的实际应用问题，第一个问题有难度，依据奖金的分配规则，写出23a a 、 的表达式；第二问在第一问的基础上，找出规律，直接写出k a 的表达式即可；第三问用作差法比较两个分式的大小，若差为正数，则被减数大于减数；若差为0，则被减数等于减数；若差为负数，则被减数小于减数.44．已知分式2 218 x3 x-+（1）当x取什么值时，分式有意义？（2）当x取什么值时，分式为零？（3）当x取什么值时，分式的值为负数？【答案】（1）x≠－3；（2）x＝3；（3）x＜3且x≠－3【解析】【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求出答案．（2）根据分式值为零的条件是：分子等于零且分母不等于零。
北师大版八年级下册数学[分式的乘除(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习分式的乘除（基础）【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.【要点梳理】要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=，其中a b cd 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【典型例题】类型一、分式的乘法1、计算：(1)422449158a b x x a b ；(2)222441214a a a a a a -+--+-． 【思路点拨】(1)中分子、分母都是单项式，直接用分式乘法法则计算，结果要通过约分化简；(2)中分子、分母都是多项式，要先把可分解因式的分子、分母分解因式，然后用乘法法则化简计算．【答案与解析】 解：(1)422449158a b x x a b 422449315810a b x b x a b x==． (2)222441214a a a a a a -+--+-22(2)1(1)(2)(2)a a a a a --=-+- 22(2)(1)(1)(2)(2)a a a a a --=-+-222(1)(2)2a a a a a a --==-++-． 【总结升华】分式的乘法运算的实质就是运用分式的基本性质把分式约分化简的过程，熟练之后也可先约分后运用乘法法则计算． 举一反三：【变式】计算．（1）26283m x x m ；（2）22122x x x x+-+ 【答案】 解：（1）原式22621283242m x mx x x m mx ===； （2）原式22112(2)2x x x x x x +==-+-； 类型二、分式的除法2、 计算：(1)222324a b a b c cd-÷；(2)2222242222x y x y x xy y x xy -+÷+++． 【思路点拨】(1)先运用法则将分式的除法转化为乘法，然后约分化简；(2)先运用分式的除法法则将分式的除法转化为乘法，同时将分子、分母分解因式，然后约分化简．【答案与解析】解：(1)222324a b a b c cd -÷22222244236a b cd a b cd c a b c a b ==--23d c=-． (2) 2222242222x y x y x xy y x xy-+÷+++ 2(2)(2)2()()2x y x y x x y x y x y+-+=++22(2)24x x y x xy x y x y --==++． 【总结升华】分式的除法和实数的除法一样，均是转化为乘法来完成的． 举一反三：【变式】（2015•宝鸡校级模拟）化简：．【答案】解：原式=•=．类型三、分式的乘方3、（2014秋•华龙区校级月考）下列计算正确的是（ ）A. B.C. D.【思路点拨】把四个选项先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，然后利用积与幂的乘法法则，积的乘方的运算法则，积的乘方等于积中每一个因式分别乘方并把结果相乘，幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，即可计算出结果，得到计算正确的选项．【答案】C ．【解析】解：A 、，本选项错误； B 、，本选项错误；C 、，本选项正确；D 、，本选项错误．所以计算结果正确的是C ．【总结升华】此题考查了分式的乘方法则，考查了积的乘方及幂的乘方法则，完全平方公式的运用，是一道基础题．类型四、分式的乘除法、乘方的混合运算4、 计算：（1）（2016春•淅川县期中）（﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷×（）3； （2）222223()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】先算乘方，再算乘、除.【答案与解析】解：（1）（﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷×（）3=﹣••=﹣． （2）222223()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2222232()1()[()]()a b ab b a a b b a -=+- 22222332()()1()()a b a b a b b a a b a b +-=+- 211()a a b a ab==++． 【总结升华】（1）题中有除法和乘方运算，应先算乘方，要特别注意符号的处理．（2）本题是乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算． 举一反三：【变式】计算：(1)332212b ba a ab⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)2222()m n n m m nm n mn m--+⎛⎫÷⎪-⎝⎭．【答案】解： (1)332212b ba a ab⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23263382633312212b b b a a b a ba a ab a b⎛⎫⎛⎫=-÷-÷==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(2)2222()m n n m m nm n mn m--+⎛⎫÷⎪-⎝⎭22222()()()()m n m n m n m m nm n m n m n mn+---==-+．。
初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含标准答案解析)
初二分式所有知识点总结和常考题知识点：1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0. 3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bc c c±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数） ⑵()nm mn aa =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹1nnaa-=（0a≠，n是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).常考题：一．选择题（共14小题）1．在式子、、、、、中，分式的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．化简的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x3．如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大4倍B．扩大2倍C．不变D．缩小2倍4．把分式方程的两边同时乘以（x﹣2），约去分母，得（）A．1﹣（1﹣x）=1 B．1+（1﹣x）=1 C．1﹣（1﹣x）=x﹣2 D．1+（1﹣x）=x﹣25．化简÷（1+）的结果是（）A． B． C．D．6．计算的结果为（）A． B． C． D．7．已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠38．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（）﹣1=﹣2 C．=±4 D．|﹣6|=69．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．10．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．11．如图，设k=（a＞b＞0），则有（）A．k＞2 B．1＜k＜2 C．D．12．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A．B．C．+4=9 D．13．计算的结果为（）A．1 B．x+1 C． D．14．若分式（A，B为常数），则A，B的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共13小题）15．计算：=．16．若分式有意义，则实数x的取值范围是．17．分式方程的解x=．18．若代数式的值为零，则x=．19．化简的结果是．20．化简：=．21．计算÷（1﹣）的结果是．22．若关于x的方程=+1无解，则a的值是．23．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是．24．a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，则P Q（填“＞”、“＜”或“=”）．25．如果实数x满足x2+2x﹣3=0，那么代数式的值为．26．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产台机器．27．杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为．三．解答题（共13小题）28．先化简，再求值：，其中．29．先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a值代入求值．30．已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．31．解方程：．32．先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．33．先化简÷（a+1）+，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．34．解分式方程：+=1．35．已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．36．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？37．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？38．从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．39．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？40．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2012春•潜江期末）在式子、、、、、中，分式的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：、、9x+这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选：B．【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．2．（2014•南通）化简的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．【解答】解：=﹣===x，故选：D．【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．3．（2012•岳麓区校级自主招生）如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大4倍B．扩大2倍C．不变D．缩小2倍【分析】把分式中的x和y都扩大2倍，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【解答】解：把分式中的x和y都扩大2倍后得：==2•，即分式的值扩大2倍．故选：B．【点评】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项．4．（2005•扬州）把分式方程的两边同时乘以（x﹣2），约去分母，得（）A．1﹣（1﹣x）=1 B．1+（1﹣x）=1 C．1﹣（1﹣x）=x﹣2 D．1+（1﹣x）=x﹣2【分析】分母中x﹣2与2﹣x互为相反数，那么最简公分母为（x﹣2），乘以最简公分母，可以把分式方程转化成整式方程．【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得：1+（1﹣x）=x﹣2．故选：D．【点评】找到最简公分母是解答分式方程的最重要一步；注意单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个数为分母，最简公分母为其中的一个，另一个乘以最简公分母后，结果为﹣1．5．（2013•临沂）化简÷（1+）的结果是（）A． B． C．D．【分析】首先对括号内的式子通分相加，然后把除法转化成乘法，进行约分即可．【解答】解：原式=÷=•=．故选A．【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．6．（2008•黄冈）计算的结果为（）A． B． C． D．【分析】先算小括号里的，再把除法统一成乘法，约分化为最简．【解答】解：==，故选A．【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．7．（2014•黑龙江）已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3．故选：C【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．8．（2009•潍坊）下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（）﹣1=﹣2 C．=±4 D．|﹣6|=6【分析】幂运算的性质：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；②一个数的负指数次幂等于这个数的正指数次幂的倒数，算术平方根的概念：一个正数的正的平方根叫它的算术平方根，0的算术平方根是0．绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．【解答】解：A、a2•a3=a5，故A错误；B、（）﹣1=2，故B错误；C、=4，故C错误；D、根据负数的绝对值等于它的相反数，故D正确．故选D．【点评】本题涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．9．（2013•本溪）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．【分析】关键描述语为：“共用了18天完成任务”；等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．【解答】解：采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．方程可表示为：．故选：B．【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化．10．（2014•黔南州）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式．【解答】解：根据题意，得．故选：C．【点评】理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．11．（2013•杭州）如图，设k=（a＞b＞0），则有（）A．k＞2 B．1＜k＜2 C．D．【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．【解答】解：甲图中阴影部分面积为a2﹣b2，乙图中阴影部分面积为a（a﹣b），则k====1+，∵a＞b＞0，∴0＜＜1，∴1＜+1＜2，∴1＜k＜2故选B．【点评】本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键．12．（2016•本溪一模）A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B 地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A．B．C．+4=9 D．【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间=9小时．【解答】解：顺流时间为：；逆流时间为：．所列方程为：+=9．故选A．【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．13．（2005•武汉）计算的结果为（）A．1 B．x+1 C． D．【分析】先算括号里的通分，再进行因式分解，将除号换为乘号，最后再进行分式间的约分化简．【解答】解：===，故选C．【点评】注意：当整式与分式相加减时，一般可以把整式看作分母为1的分式，与其它分式进行通分运算．14．（2004•十堰）若分式（A，B为常数），则A，B的值为（）A．B．C．D．【分析】对等式右边通分加减运算和，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．【解答】解：．所以，解得．故选B．【点评】此题考查了分式的减法，比较灵活，需要熟练掌握分式的加减运算．二．填空题（共13小题）15．（2014•陕西）计算：=9．【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．【解答】解：原式===9．故答案为：9．【点评】本题考查的是负整数指数幂，即负整数指数幂等于该数对应的正整数指数幂的倒数．16．（2014•衢州）若分式有意义，则实数x的取值范围是x≠5．【分析】由于分式的分母不能为0，x﹣5为分母，因此x﹣5≠0，解得x．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣5≠0，即x≠5．故答案为：x≠5．【点评】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．17．（2013•梅州）分式方程的解x=1．【分析】本题的最简公分母是x+1，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．【解答】解：方程两边都乘x+1，得2x=x+1，解得x=1．检验：当x=1时，x+1≠0．∴x=1是原方程的解．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．18．（2013•临夏州）若代数式的值为零，则x=3．【分析】由题意得=0，解分式方程即可得出答案．【解答】解：由题意得，=0，解得：x=3，经检验的x=3是原方程的根．故答案为：3．【点评】此题考查了分式值为0的条件，属于基础题，注意分式方程需要检验．19．（2013•凉山州）化简的结果是m．【分析】本题需先把（m+1）与括号里的每一项分别进行相乘，再把所得结果相加即可求出答案．【解答】解：=（m+1）﹣1=m故答案为：m．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要把（m+1）分别进行相乘是解题的关键．20．（2013•衢州）化简：=．【分析】先将x2﹣4分解为（x+2）（x﹣2），然后通分，再进行计算．【解答】解：===．【点评】本题考查了分式的计算和化简．解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．21．（2015•黄冈）计算÷（1﹣）的结果是．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=÷=•=，故答案为：．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2013•绥化）若关于x的方程=+1无解，则a的值是2或1．【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值．【解答】解：x﹣2=0，解得：x=2．方程去分母，得：ax=4+x﹣2，即（a﹣1）x=2当a﹣1≠0时，把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，解得：a=2．当a﹣1=0，即a=1时，原方程无解．故答案是：2或1．【点评】首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值．23．（2013•德阳）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是m．＞﹣6且m≠﹣4【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．【解答】解：解关于x的方程得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x 的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点．24．（2009•枣庄）a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，则P =Q（填“＞”、“＜”或“=”）．【分析】将两式分别化简，然后将ab=1代入其中，再进行比较，即可得出结论．【解答】解：∵P==，把ab=1代入得：=1；Q==，把ab=1代入得：=1；∴P=Q．【点评】解答此题关键是先把所求代数式化简再把已知代入即可．25．（2013•达州）如果实数x满足x2+2x﹣3=0，那么代数式的值为5．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据实数x满足x2+2x ﹣3=0求出x2+2x的值，代入原式进行计算即可．【解答】解：原式=×（x+1）=x2+2x+2，∵实数x满足x2+2x﹣3=0，∴x2+2x=3，∴原式=3+2=5．故答案为：5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．26．（2013•呼和浩特）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产200台机器．【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．【解答】解：设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．依题意得：=．解得：x=200．检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0．∴x=200是原分式方程的解．∴现在平均每天生产200台机器．故答案为：200．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘．27．（2013•舟山）杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为﹣=3．【分析】先分别求出提速前和提速后由杭州到北京的行驶时间，再根据由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，即可列出方程．【解答】解：根据题意得：﹣=3；故答案为：﹣=3．【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系并列出方程．三．解答题（共13小题）28．（2013•眉山）先化简，再求值：，其中．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．【解答】解：原式=+（x﹣2）（3分）=x（x﹣1）+（x﹣2）=x2﹣2；（2分）当x=时，则原式的值为﹣2=4．（2分）【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．29．（2005•徐州）先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a值代入求值．【分析】本题考查的化简与计算的综合运算，关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．此题要注意的是a≠1．【解答】解：原式===，∵a﹣1≠0，∴a≠1，当a=2时，原式=2．【点评】此题考查了分式的化简求值，取合适的值代入原式求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．30．（2015•甘南州）已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．【分析】首先将分式的分母分解因式，然后再约分、化简，最后将x、y的关系式代入化简后的式子中进行计算即可．【解答】解：=（2分）=；（4分）当x﹣3y=0时，x=3y；（6分）原式=．（8分）【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．31．（2013•普洱）解方程：．【分析】观察可得2﹣x=﹣（x﹣2），所以可确定方程最简公分母为：（x﹣2），然后去分母将分式方程化成整式方程求解．注意检验．【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2），得：x﹣3+（x﹣2）=﹣3，解得x=1，检验：x=1时，x﹣2≠0，∴x=1是原分式方程的解．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（3）去分母时有常数项的不要漏乘常数项．32．（2013•重庆）先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．【分析】首先把分式进行化简，再解出不等式，确定出x的值，然后再代入化简后的分式即可．【解答】解：原式=[﹣]×，=×，=×，=，3x+7＞1，3x＞﹣6，x＞﹣2，∵x是不等式3x+7＞1的负整数解，∴x=﹣1，把x=﹣1代入中得：=3．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，以及不等式的整数解，关键是正确把分式进行化简．33．（2013•巴中）先化简÷（a+1）+，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•+=+=，当a=2（a≠﹣1，a≠1）时，原式==5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．34．（2013•陕西）解分式方程：+=1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2+x（x+2）=x2﹣4，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．35．（2015•广州）已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x 的值代入化简后的A式进行计算即可．【解答】解：（1）A=﹣=﹣=﹣=（2）∵∴∴1≤x＜3，∵x为整数，∴x=1或x=2，①当x=1时，∵x﹣1≠0，∴A=中x≠1，∴当x=1时，A=无意义．②当x=2时，A==．【点评】（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．36．（2013•哈尔滨）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？【分析】（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可；（2）设甲队再单独施工a天，根据甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，由题意，得，解得：x=20．经检验，x=20是原方程的解，∴x+10=30（天）答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天；（2）设甲队再单独施工a天，由题意，得，解得：a≥3．答：甲队至少再单独施工3天．【点评】本题是一道工程问题的运用，考查了工作时间×工作效率=工作总量的运用，列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是学生容易忽略的地方．37．（2015•成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．。
(完整版)分式专题讲解(知识点+例题+练习+中考经典题)
分式专题讲解 知识点一、分式的概念: 一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且除式B 中含有字母，那么式子叫分式。
解读：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；分式A/B 有意义，则B =0(2)分式的分母的值不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；反之，若分式A/B 无意义，则B =0(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．反之，若分式A/B=0，则A =0，且B ≠0例题1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？a ab 2，x 1，3s ，b a a --，πy x +，)(21b a -，)(1z x y -，a-31练习：这些代数式中x -，π4，x a ，y x y x -+2，a 5-，71，2ba -，x -3中，是分式的有（ ）。
A.3个B.4个C.5个D.6个练习：已知的值。
，求x x x 011=--练习：的值是的值为零，则b 32122---b b b （ ） A.1 B.-1 C.1± D.2练习：写出一个含字母x 的分式，使得不论x 取何值，分式都有意义。
练习：若0y 3y 21,322是）为负数（）为正数；（）（为何值时，y x xx y -=探索题型：观察下列各等式：323112=+，434122=+，545132=+，656142=+，......，设n 为正整数，试用含n 的等式表示这个规律。
1、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于0的整式)．特别提示：(1)在解题过程中，分母不为0是作为隐含条件给出的．若是分式，则说明分母中的字母一定能满足使分母不为0；(2)在运用分式的基本性质时，一定要重点强调分母不为0这个条件，没有给出的，要讨论是否等于0．例题1：下列运算中，错误的是( ).A.2b ab b a =B.b ab ab =2 C.b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ D .bc acb a =2、分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式叫做分式的约分。
人教版八年级数学下册《分式》考点提要+精练精析
第十六章《分式》 提要：分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一，所以，分式的四则运算是本章的重点．分式的四则混合运算，是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用，由于运用了较多的基础知识，运算步骤增多，解题方法多样灵活，又容易产生符号和运算方面的错误，所以是分式的难点．同时列分式方程解应用题和列整式方程解应用题相比较，虽然涉及到的基本数量关系有时是相同的，但由于含有未知数的式子不受整式的限制，所以更为多样而灵活．习题：一、填空题1．使分式234x a x +-的值等于零的条件是_________． 2．在分式2242x x x ---中，当x _____________时有意义，当x _________时分式值为零． 3．在括号内填入适当的代数式，使下列等式成立：2xy =22()2ax y ； 322()x xy x y --=()x x y-． 4．某农场原计划用m 天完成A 公顷的播种任务，如果要提前a 天结束，那么平均每天比原计划要多播种_________公顷．5．函数y =221(3)12x x x-++--中，自变量x 的取值范围是___________． 6．计算1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭的结果是_________． 7．已知u=121s s t -- （u≠0），则t=___________． 8．当m =______时，方程233x m x x =---会产生增根． 9．用科学记数法表示：12．5毫克=________吨．10．用换元法解方程222026133x x x x+-=+ ，若设x 2+3x =y ，，则原方程可化为关于y 的整式方程为____________．11．计算（x +y ）·2222x y x y y x +-- =____________． 12．若a ≠b ，则方程a b +x a =x b -b a的解是x = ____________； 13．当x _____________时，||3x x -与3x x -互为倒数． 14．约分：34522748a bx a b x =____________；22923a a a ---=_____________． 15．当 x __________________时，分式325x -－12x +有意义． 16．若分式123x -- 的值为正，则x 的取值范围是_______________． 17．如果方程5422436x x k x x -+=--有增根，则增根是_______________． 18．已知x y =32；则x y x y -+＝ __________． 19．m ≠±1时，方程m （mx -m +1）=x 的解是x ＝_____________．20．一个工人生产零件，计划30天完成，若每天多生产5个，则在26 天完成且多生产15个．求这个工人原计划每天生产多少个零件?若设原计划每天生产x 个，由题意可列方程为____________．二、选择题21．下列运算正确的是（ ）A ．x 10÷x 5=x 2；B ．x -4·x =x -3；C ．x 3·x 2=x 6；D ．（2x -2）-3=-8x 622．如果m 个人完成一项工作需要d 天，则（m +n ）个人完成这项工作需要的天数为（ ）A ．d +nB ．d -nC ．md m n + D ．d m n + 23．化简a b a b a b--+等于（ ） A ．2222a b a b +- B ．222()a b a b +- C ．2222a b a b -+ D ．222()a b a b +- 24．若分式2242x x x ---的值为零，则x 的值是（ ） A ．2或-2 B ．2 C ．-2 D ．425．不改变分式52223x y x y -+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ） A ．2154x y x y -+ B ．4523x y x y -+ C ．61542x y x y-+ D ．121546x y x y -+。
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初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]初二分式所有知识点总结和常考题知识点：1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bc c c±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分 式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数） ⑵()nm mn aa =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹1nnaa-=（0a≠，n是正整数）9.的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).常考题：一．选择题（共14小题）1．在式子、、、、、中，分式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．化简的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x3．如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．不变D．缩小2倍4．把分式方程的两边同时乘以（x﹣2），约去分母，得（）A．1﹣（1﹣x）=1 B．1+（1﹣x）=1 C．1﹣（1﹣x）=x﹣2 D．1+（1﹣x）=x﹣25．化简÷（1+）的结果是（）A．B．C．D．6．计算的结果为（）A．B．C．D．7．已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠38．下列运算正确的是（）A．a2?a3=a6B．（）﹣1=﹣2 C．=±4 D．|﹣6|=69．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．10．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．11．如图，设k=（a＞b＞0），则有（）A．k＞2 B．1＜k＜2 C． D．12．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A．B．C．+4=9 D．13．计算的结果为（）A．1 B．x+1 C．D．14．若分式（A，B为常数），则A，B的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共13小题）15．计算：= ．16．若分式有意义，则实数x的取值范围是．17．分式方程的解x= ．18．若代数式的值为零，则x= ．19．化简的结果是．20．化简：= ．21．计算÷（1﹣）的结果是．22．若关于x的方程=+1无解，则a的值是．23．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是．24．a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，则P Q（填“＞”、“＜”或“=”）．25．如果实数x满足x2+2x﹣3=0，那么代数式的值为．26．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产台机器．27．杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为．三．解答题（共13小题）28．先化简，再求值：，其中．29．先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a值代入求值．30．已知x﹣3y=0，求?（x﹣y）的值．31．解方程：．32．先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．33．先化简÷（a+1）+，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．34．解分式方程：+=1．35．已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．36．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天37．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元38．从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．39．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案40．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a 值应是多少此时，哪种方案对公司更有利初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2012春?潜江期末）在式子、、、、、中，分式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：、、9x+这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选：B．【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．2．（2014?南通）化简的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．【解答】解：=﹣===x，故选：D．【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．3．（2012?岳麓区校级自主招生）如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．不变D．缩小2倍【分析】把分式中的x和y都扩大2倍，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【解答】解：把分式中的x和y都扩大2倍后得：==2?，即分式的值扩大2倍．故选：B．【点评】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项．4．（2005?扬州）把分式方程的两边同时乘以（x﹣2），约去分母，得（）A．1﹣（1﹣x）=1 B．1+（1﹣x）=1 C．1﹣（1﹣x）=x﹣2 D．1+（1﹣x）=x﹣2【分析】分母中x﹣2与2﹣x互为相反数，那么最简公分母为（x﹣2），乘以最简公分母，可以把分式方程转化成整式方程．【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得：1+（1﹣x）=x﹣2．故选：D．【点评】找到最简公分母是解答分式方程的最重要一步；注意单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个数为分母，最简公分母为其中的一个，另一个乘以最简公分母后，结果为﹣1．5．（2013?临沂）化简÷（1+）的结果是（）A．B．C．D．【分析】首先对括号内的式子通分相加，然后把除法转化成乘法，进行约分即可．【解答】解：原式=÷=?=．故选A．【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．6．（2008?黄冈）计算的结果为（）A．B．C．D．【分析】先算小括号里的，再把除法统一成乘法，约分化为最简．【解答】解：==，故选A．【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．7．（2014?黑龙江）已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3．故选：C【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．8．（2009?潍坊）下列运算正确的是（）A．a2?a3=a6B．（）﹣1=﹣2 C．=±4 D．|﹣6|=6【分析】幂运算的性质：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；②一个数的负指数次幂等于这个数的正指数次幂的倒数，算术平方根的概念：一个正数的正的平方根叫它的算术平方根，0的算术平方根是0．绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．【解答】解：A、a2?a3=a5，故A错误；B、（）﹣1=2，故B错误；C、=4，故C错误；D、根据负数的绝对值等于它的相反数，故D正确．故选D．【点评】本题涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．9．（2013?本溪）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．【分析】关键描述语为：“共用了18天完成任务”；等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．【解答】解：采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．方程可表示为：．故选：B．【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化．10．（2014?黔南州）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式．【解答】解：根据题意，得．故选：C．【点评】理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．11．（2013?杭州）如图，设k=（a＞b＞0），则有（）A．k＞2 B．1＜k＜2 C． D．【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．【解答】解：甲图中阴影部分面积为a2﹣b2，乙图中阴影部分面积为a（a﹣b），则k====1+，∵a＞b＞0，∴0＜＜1，∴1＜+1＜2，∴1＜k＜2故选B．【点评】本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键．12．（2016?本溪一模）A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B 地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A．B．C．+4=9 D．【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间=9小时．【解答】解：顺流时间为：；逆流时间为：．所列方程为：+=9．故选A．【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．13．（2005?武汉）计算的结果为（）A．1 B．x+1 C．D．【分析】先算括号里的通分，再进行因式分解，将除号换为乘号，最后再进行分式间的约分化简．【解答】解：===，故选C．【点评】注意：当整式与分式相加减时，一般可以把整式看作分母为1的分式，与其它分式进行通分运算．14．（2004?十堰）若分式（A，B为常数），则A，B 的值为（）A．B．C．D．【分析】对等式右边通分加减运算和，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．【解答】解：．所以，解得．故选B．【点评】此题考查了分式的减法，比较灵活，需要熟练掌握分式的加减运算．二．填空题（共13小题）15．（2014?陕西）计算：= 9 ．【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．【解答】解：原式===9．故答案为：9．【点评】本题考查的是负整数指数幂，即负整数指数幂等于该数对应的正整数指数幂的倒数．16．（2014?衢州）若分式有意义，则实数x的取值范围是x≠5 ．【分析】由于分式的分母不能为0，x﹣5为分母，因此x﹣5≠0，解得x．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣5≠0，即x≠5．故答案为：x≠5．【点评】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．17．（2013?梅州）分式方程的解x= 1 ．【分析】本题的最简公分母是x+1，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．【解答】解：方程两边都乘x+1，得2x=x+1，解得x=1．检验：当x=1时，x+1≠0．∴x=1是原方程的解．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．18．（2013?临夏州）若代数式的值为零，则x= 3 ．【分析】由题意得=0，解分式方程即可得出答案．【解答】解：由题意得，=0，解得：x=3，经检验的x=3是原方程的根．故答案为：3．【点评】此题考查了分式值为0的条件，属于基础题，注意分式方程需要检验．19．（2013?凉山州）化简的结果是m ．【分析】本题需先把（m+1）与括号里的每一项分别进行相乘，再把所得结果相加即可求出答案．【解答】解：=（m+1）﹣1=m故答案为：m．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要把（m+1）分别进行相乘是解题的关键．20．（2013?衢州）化简：= ．【分析】先将x2﹣4分解为（x+2）（x﹣2），然后通分，再进行计算．【解答】解：===．【点评】本题考查了分式的计算和化简．解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．21．（2015?黄冈）计算÷（1﹣）的结果是．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=÷=?=，故答案为：．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2013?绥化）若关于x的方程=+1无解，则a的值是2或1 ．【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值．【解答】解：x﹣2=0，解得：x=2．方程去分母，得：ax=4+x﹣2，即（a﹣1）x=2当a﹣1≠0时，把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，解得：a=2．当a﹣1=0，即a=1时，原方程无解．故答案是：2或1．【点评】首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值．23．（2013?德阳）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是．m＞﹣6且m≠﹣4【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．【解答】解：解关于x的方程得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点．24．（2009?枣庄）a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，则P = Q（填“＞”、“＜”或“=”）．【分析】将两式分别化简，然后将ab=1代入其中，再进行比较，即可得出结论．【解答】解：∵P==，把ab=1代入得：=1；Q==，把ab=1代入得：=1；∴P=Q．【点评】解答此题关键是先把所求代数式化简再把已知代入即可．25．（2013?达州）如果实数x满足x2+2x﹣3=0，那么代数式的值为 5 ．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据实数x满足x2+2x ﹣3=0求出x2+2x的值，代入原式进行计算即可．【解答】解：原式=×（x+1）=x2+2x+2，∵实数x满足x2+2x﹣3=0，∴x2+2x=3，∴原式=3+2=5．故答案为：5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．26．（2013?呼和浩特）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产200 台机器．【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．【解答】解：设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．依题意得：=．解得：x=200．检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0．∴x=200是原分式方程的解．∴现在平均每天生产200台机器．故答案为：200．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘．27．（2013?舟山）杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为﹣=3 ．【分析】先分别求出提速前和提速后由杭州到北京的行驶时间，再根据由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，即可列出方程．【解答】解：根据题意得：﹣=3；故答案为：﹣=3．【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系并列出方程．三．解答题（共13小题）28．（2013?眉山）先化简，再求值：，其中．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．【解答】解：原式=+（x﹣2）（3分）=x（x﹣1）+（x﹣2）=x2﹣2；（2分）当x=时，则原式的值为﹣2=4．（2分）【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．29．（2005?徐州）先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a值代入求值．【分析】本题考查的化简与计算的综合运算，关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．此题要注意的是a≠1．【解答】解：原式===，∵a﹣1≠0，∴a≠1，当a=2时，原式=2．【点评】此题考查了分式的化简求值，取合适的值代入原式求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．30．（2015?甘南州）已知x﹣3y=0，求?（x﹣y）的值．【分析】首先将分式的分母分解因式，然后再约分、化简，最后将x、y的关系式代入化简后的式子中进行计算即可．【解答】解：=（2分）=；（4分）当x﹣3y=0时，x=3y；（6分）原式=．（8分）【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．31．（2013?普洱）解方程：．【分析】观察可得2﹣x=﹣（x﹣2），所以可确定方程最简公分母为：（x﹣2），然后去分母将分式方程化成整式方程求解．注意检验．【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2），得：x﹣3+（x﹣2）=﹣3，解得x=1，检验：x=1时，x﹣2≠0，∴x=1是原分式方程的解．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（3）去分母时有常数项的不要漏乘常数项．32．（2013?重庆）先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．【分析】首先把分式进行化简，再解出不等式，确定出x的值，然后再代入化简后的分式即可．【解答】解：原式=[﹣]×，=×，=×，=，3x+7＞1，3x＞﹣6，x＞﹣2，∵x是不等式3x+7＞1的负整数解，∴x=﹣1，把x=﹣1代入中得：=3．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，以及不等式的整数解，关键是正确把分式进行化简．33．（2013?巴中）先化简÷（a+1）+，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=?+=+=，当a=2（a≠﹣1，a≠1）时，原式==5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．34．（2013?陕西）解分式方程：+=1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2+x（x+2）=x2﹣4，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．35．（2015?广州）已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x 的值代入化简后的A式进行计算即可．【解答】解：（1）A=﹣=﹣=﹣=（2）∵∴∴1≤x＜3，∵x为整数，∴x=1或x=2，①当x=1时，∵x﹣1≠0，∴A=中x≠1，∴当x=1时，A=无意义．②当x=2时，A==．【点评】（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．36．（2013?哈尔滨）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天【分析】（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可；（2）设甲队再单独施工a天，根据甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，由题意，得，解得：x=20．经检验，x=20是原方程的解，∴x+10=30（天）答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天；（2）设甲队再单独施工a天，由题意，得，解得：a≥3．答：甲队至少再单独施工3天．【点评】本题是一道工程问题的运用，考查了工作时间×工作效率=工作总量的运用，列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是学生容易忽略的地方．37．（2015?成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有+10=，解得x=120，经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．（2）3x=3×120=360，设每件衬衫的标价y元，依题意有（360﹣50）y+50×≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150．答：每件衬衫的标价至少是150元．【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．38．（2014?广州）从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．【分析】（1）根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的倍，两数相乘即可得出答案；（2）设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可；【解答】解：（1）根据题意得：。