5.1角的概念推广
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与300终边相同的角的
300 x
…… …,
一般形式为300＋K〃3600，K ∈ Z
三.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合
S={ β| β=α+k360° ,k∈ Z} 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。
注意: （1） K ∈ Z
（2） α是任意角
解：（1）-120°=-360 °+240 °
所以与-120 °角终边相同的角是240 °角，它是第三 象限角。 （2）640°=360°+280°
所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象 限角。
例2：写出与下列各角终边相同的角的集合 S，并把S中 适合不等式-3600≤ ＜7200 的元素 写出来
运动
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的图形叫做角。
终边
B
顶点
o
A
始边
新
课
逆时针
一、任意角定义：
任 意 角
顺时针
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转时形成的角
记法：角 或 ，可简记为
说明：
1：角的正负由旋转方向决定 2：角可以任意大小，大小由旋转次数及 终边位置决定
0
{ 200 k 360 240 k 360 , k Z}
{ 60 k 360 120 k 360 , k Z}
{ 60 k 180 90 k 180 , k Z}
课堂小结：
５．１角的概念推广
回顾：1、在初中角是如何定义的？
Βιβλιοθήκη Baidu
定义：有公共端点的两条射线组成的几 何图形叫做角。
顶 点 边 边
回顾： 2.角是如何度量的?
角的单位是度.规定:周角的1/360为1度的角.
3.我们学过那些角?它们的大小是多少?
锐角:大于0度小于90度
钝角:大于90度小于180度 直角等于90度 平角等于180度 我们以前所学过的角 都是大于0度小于或等 于360度的角.
动手实践:将本题中涉及的角在同一直 角坐标系中作出，观察它们有何特点？
猜想:与300终边 相同的角可表示
-3300
y 3900 o 300 x
为什么?
300 =300+0x3600 3900=300+3600 =300+1x3600 -3300=300-3600 =300 -1x3600 300+2x3600 , y 0 0 0 -330 30 －2x360 0 0 0 390 30 +3x360 , o 0 0 30 －3x360
（1） 600 （2）-210
思考：第一象限角如何用集合表示？
{ k 360 90 k 360 , k z}
思考：终边落在其他三个象限的角如 何用集合表示？
1 若是第二象限的角，则1800-是（ ） A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
例３、已知角 与240 断 2 是第几象限角？
周角等于360度
思考: 生活中的角是不是都在范围[00 ,3600 ]内？
“程菲跳”—“踺子后手翻转体180度接前直空翻540度
跳水运动员向内、向外转体1080º
体操运动员转体1260度
观察主动轮和从动轮的旋转方向
主动轮和从动轮的旋转方向相反
这些例子所提到的角不仅不在范围[00 ,3600 ] 中， 而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？
巩固练习：
1、锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角。 2、第一象限的角是否都是锐角？是否都 是正角？ 答：第一象限的角并不都是锐角，不全 是正角 3、小于90°的角都是锐角吗？ 答：小于90°的角并不都是锐角，它也 有可能是零角或负角。
巩固练习：
4.在坐标平面内作出下列各角：30°， 390°，-330°;它们是第一 象限的角
1.任意角 正角：射线按逆时针方向旋转形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角 2.象限角
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角 3.终边与角ａ相同的角
α＋K· 3600，K∈Z
4.判断一个角是第几象限角，方法是：所给角ａ改 写成α0+k 〃3600 ( K∈Z,00≤α0＜3600)的形式， α0在第几象限α就是第几象限角
巩固练习：
下列命题： ①一个角的终边在第几限，就说这个角是第 几象限的角； ②1400°的角是第四象限的角； ③-300°的角与160°的角的终边相同 ④相等的角的终边一定相同； ⑤终边相同的角一定相等. 其中正确命题的序号是 (1).(2).(4). .
例1、在0到360度范围内，找出与下列各角 终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？ （1）-120°（2）640 °
2、写出终边落在Y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+k∙3600,k∈Z} ={β| β=900+2k· 1800 ,k∈Z} 终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=2700+k∙3600,k∈Z} ={β| β=900+(2k+1) · 1800 ,k∈Z} 所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
作业：
129页练习1、2；习题1、2、 3；130页4、5、6。写在书 上
（3）K· 360°与α 之间是“+”号， 如K· 360°-30 °应看成K· 360 °+（-30） °
(4)k的两层含义： 特殊性：每对k赋一个值可得一个具体角； 一般性：表示了所有与 终边重合的角的集合.
（５）终边相同的角不一定相等，但相等的角 终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它 们相差360°的整数倍
Ⅱ
y
Ⅰ
终边 x
o
始边
终边
Ⅲ
终 边
终 边
Ⅳ
二、象限角的定义
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的正半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
坐标轴上的角：
如果角的终边落在了坐标轴上，就 认为这个角不属于任何象限。
例如：角的终边落在X轴或Y轴上。 轴线角（非象限角）:终边落在坐标轴 上的角
S=S1∪S2 ={β| β=900+n∙1800 ，n∈Z}
终边落在坐标轴上的情形 900 +K · 3600 y 00 +K ·3600
1800 +K·3600
o
x
2700
+K·3600
3:写出下面直角坐标系中阴影部分表示的 角的集合
y
y
2000
-1200
60
0
60
o
0
x
o
x
30
。
终边相同，试判
α 讨论：若是第二象限角时，则 分别是第几 2 象限的角？
巩固练习：
1.写出终边在下列位置上的角的集合
y
o y
x
| k 90 , k z
o y
x
| 45 k 180 , k z
o
x
| 45 k 90 , k z
300 x
…… …,
一般形式为300＋K〃3600，K ∈ Z
三.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合
S={ β| β=α+k360° ,k∈ Z} 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。
注意: （1） K ∈ Z
（2） α是任意角
解：（1）-120°=-360 °+240 °
所以与-120 °角终边相同的角是240 °角，它是第三 象限角。 （2）640°=360°+280°
所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象 限角。
例2：写出与下列各角终边相同的角的集合 S，并把S中 适合不等式-3600≤ ＜7200 的元素 写出来
运动
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的图形叫做角。
终边
B
顶点
o
A
始边
新
课
逆时针
一、任意角定义：
任 意 角
顺时针
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转时形成的角
记法：角 或 ，可简记为
说明：
1：角的正负由旋转方向决定 2：角可以任意大小，大小由旋转次数及 终边位置决定
0
{ 200 k 360 240 k 360 , k Z}
{ 60 k 360 120 k 360 , k Z}
{ 60 k 180 90 k 180 , k Z}
课堂小结：
５．１角的概念推广
回顾：1、在初中角是如何定义的？
Βιβλιοθήκη Baidu
定义：有公共端点的两条射线组成的几 何图形叫做角。
顶 点 边 边
回顾： 2.角是如何度量的?
角的单位是度.规定:周角的1/360为1度的角.
3.我们学过那些角?它们的大小是多少?
锐角:大于0度小于90度
钝角:大于90度小于180度 直角等于90度 平角等于180度 我们以前所学过的角 都是大于0度小于或等 于360度的角.
动手实践:将本题中涉及的角在同一直 角坐标系中作出，观察它们有何特点？
猜想:与300终边 相同的角可表示
-3300
y 3900 o 300 x
为什么?
300 =300+0x3600 3900=300+3600 =300+1x3600 -3300=300-3600 =300 -1x3600 300+2x3600 , y 0 0 0 -330 30 －2x360 0 0 0 390 30 +3x360 , o 0 0 30 －3x360
（1） 600 （2）-210
思考：第一象限角如何用集合表示？
{ k 360 90 k 360 , k z}
思考：终边落在其他三个象限的角如 何用集合表示？
1 若是第二象限的角，则1800-是（ ） A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
例３、已知角 与240 断 2 是第几象限角？
周角等于360度
思考: 生活中的角是不是都在范围[00 ,3600 ]内？
“程菲跳”—“踺子后手翻转体180度接前直空翻540度
跳水运动员向内、向外转体1080º
体操运动员转体1260度
观察主动轮和从动轮的旋转方向
主动轮和从动轮的旋转方向相反
这些例子所提到的角不仅不在范围[00 ,3600 ] 中， 而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？
巩固练习：
1、锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角。 2、第一象限的角是否都是锐角？是否都 是正角？ 答：第一象限的角并不都是锐角，不全 是正角 3、小于90°的角都是锐角吗？ 答：小于90°的角并不都是锐角，它也 有可能是零角或负角。
巩固练习：
4.在坐标平面内作出下列各角：30°， 390°，-330°;它们是第一 象限的角
1.任意角 正角：射线按逆时针方向旋转形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角 2.象限角
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角 3.终边与角ａ相同的角
α＋K· 3600，K∈Z
4.判断一个角是第几象限角，方法是：所给角ａ改 写成α0+k 〃3600 ( K∈Z,00≤α0＜3600)的形式， α0在第几象限α就是第几象限角
巩固练习：
下列命题： ①一个角的终边在第几限，就说这个角是第 几象限的角； ②1400°的角是第四象限的角； ③-300°的角与160°的角的终边相同 ④相等的角的终边一定相同； ⑤终边相同的角一定相等. 其中正确命题的序号是 (1).(2).(4). .
例1、在0到360度范围内，找出与下列各角 终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？ （1）-120°（2）640 °
2、写出终边落在Y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+k∙3600,k∈Z} ={β| β=900+2k· 1800 ,k∈Z} 终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=2700+k∙3600,k∈Z} ={β| β=900+(2k+1) · 1800 ,k∈Z} 所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
作业：
129页练习1、2；习题1、2、 3；130页4、5、6。写在书 上
（3）K· 360°与α 之间是“+”号， 如K· 360°-30 °应看成K· 360 °+（-30） °
(4)k的两层含义： 特殊性：每对k赋一个值可得一个具体角； 一般性：表示了所有与 终边重合的角的集合.
（５）终边相同的角不一定相等，但相等的角 终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它 们相差360°的整数倍
Ⅱ
y
Ⅰ
终边 x
o
始边
终边
Ⅲ
终 边
终 边
Ⅳ
二、象限角的定义
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的正半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
坐标轴上的角：
如果角的终边落在了坐标轴上，就 认为这个角不属于任何象限。
例如：角的终边落在X轴或Y轴上。 轴线角（非象限角）:终边落在坐标轴 上的角
S=S1∪S2 ={β| β=900+n∙1800 ，n∈Z}
终边落在坐标轴上的情形 900 +K · 3600 y 00 +K ·3600
1800 +K·3600
o
x
2700
+K·3600
3:写出下面直角坐标系中阴影部分表示的 角的集合
y
y
2000
-1200
60
0
60
o
0
x
o
x
30
。
终边相同，试判
α 讨论：若是第二象限角时，则 分别是第几 2 象限的角？
巩固练习：
1.写出终边在下列位置上的角的集合
y
o y
x
| k 90 , k z
o y
x
| 45 k 180 , k z
o
x
| 45 k 90 , k z