浙江省舟山市定海区第一初级中学2020-2021学年八年级上学期期中联考数学试题

浙江省舟山市定海区第一初级中学2020-2021学年八年级上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cmC．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm2．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（）A．房屋顶支撑架B．自行车三脚架C．拉闸门D．木门上钉一根木条3．在数轴上表示不等式﹣2≤x＜4，正确的是（）A．B．C．D．4．已知a＞b，则下列不等式不成立的是（）A．3a＞3b B．b+3＜a+3 C．﹣2a＜﹣2b D．3﹣a＞3﹣b 5．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD 6．等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（）A．40°B．70°C．100°D．40°或100°7．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是()A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确8．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形B．如果a：b：c＝3：4，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形9．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为( ) A．5 B．6 C．7 D．810．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P 是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题11．“y减去1不大于2”用不等式表示为：_____．12．命题：“如果两直线平行，那么同旁内角互补”的逆命题为_____．13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点E，过E作DE∥BC，交AB于点D，若DB＝8，则DE＝_____．14．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是25，小正方形的面积是4，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为_______．15．如图，在△P AB中，P A＝PB，M，N，K分别是P A，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为_____．16．如图，在正方形ABCD中，边AD绕点A顺时针旋转角度m（0°＜m＜360°），得到线段AP，连接PB，PC．当△BPC是等腰三角形时，m的值为________三、解答题17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来423(1)5132x x x x -≥-⎧⎪⎨-+>-⎪⎩ 18．比较x 2+9与6x 的大小．（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：①当x ＝3时，x 2+9 6x ；②当x ＝0时，x 2+9 6x ；③当x ＝﹣3时，x 2+9 6x ．（2）归纳：若x 取任意实数，x 2+9与6x 有怎样的大小关系？试说明理由．19．图（a ）和图（b ）是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的长均为1.请分别画出符合要求的图形，所画图形的各顶点必须与方格纸中的小正方形的顶点重合.（1）请在图（a ）中画出一个面积为3的等腰三角形.（2）请在图（b ）中画出一个与ABC ∆全等的三角形ABD .20．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE ∥AB ，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F ．（1）求∠F 的度数；（2）若CD ＝4，求EF 的长．21．在ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，小明用尺规作图的方法在边BC 上确定一点P ，请你根据如图所示作图方法分别求出图①、图②中线段PC 的长．22．在抗击新冠肺炎疫情期间，我校购买酒精和消毒液两种消毒物资，供师生使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于恰逢商城打折，酒精和消毒液每瓶价格分别打7折和8折，此次只花费了260元．（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？23．如图，在长方形ABCD中，AB=CD=8cm，BC=14cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1） BP= cm（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，∆ABP≅∆DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得∆ABP与∆PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．24．如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝4，BO＝6．（1）求BC，AC的长；（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．②设DE交直线BC于点F，连结OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，求OD的长（直接写出结果）．参考答案1．C【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【详解】A. ∵2+2=4，∴ 2cm、2cm、4cm不能组成三角形，故不符合题意；B. ∵2+3<6，∴2cm、6cm、3cm不能组成三角形，故不符合题意；C. ∵3+6>8，∴8cm、6cm、3cm能组成三角形，故符合题意；D. ∵4+6<11，∴11cm、4cm、6cm不能组成三角形，故不符合题意；故选C.【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.2．C【分析】利用三角形的稳定性进行解答．【详解】伸缩的拉闸门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性．故选C．【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．3．A【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来即可．【详解】解：在数轴上表示不等式﹣2≤x＜4的解集为：故选：A．此题主要考查不等式解集的表示，解题的关键是熟知不等式解集的表示方法．4．D【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵a＞b，∴3a＞3b，故A选项成立；B、∵a＞b，∴b+3＜a+3，故B选项成立；C、∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，故C选项成立；D、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴3﹣a＜3﹣b，故D选项不成立；故选：D．【点睛】本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．5．D【解析】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．故选D．6．D【分析】分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案．【详解】当40°角为顶角时,则顶角为40°，-=，当40°角为底角时,则两个底角和为80°,求得顶角为18080100故选:D.考查等腰三角形的性质，注意分类讨论思想在解题中的应用.7．A【分析】过两把直尺的交点C 作CF ⊥BO 与点F ，由题意得CE ⊥AO ，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF ，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP 平分∠AOB【详解】如图所示：过两把直尺的交点C 作CF ⊥BO 与点F ，由题意得CE ⊥AO ，∵两把完全相同的长方形直尺，∴CE=CF ，∴OP 平分∠AOB （角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A ．【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．8．B【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和可进行排除选项．【详解】A 、设∠A=3x ，∠B=4x ，∠C=5x ，则有3x+4x=7x ≠∠C ，故△ABC 不是直角三角形，是假命题；B 、设3,4,a x b x c ===，则有2222229,16,7a x b x c x ===，所以222a c b +=，故△ABC 是直角三角形，是真命题；C 、由a ：b ：c ＝1：2：2，则△ABC 是等腰三角形，故是假命题；D 、由∠A ＝2∠B ＝3∠C ，∠A+∠B+∠C=180°，则可得10809011A ∠=︒≠︒，故是假命题； 故选B ．【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题的关键．9．B【分析】设阅读过《西游记》的人数为a ，阅读过《水浒传》的人数为b ，由题意易得4,24a b a >>⨯>，进而可得8a <，然后可得a 的最大值为7，最后可求解b 的最大值．【详解】解：设阅读过《西游记》的人数为a ，阅读过《水浒传》的人数为b ，由题意得：4,24a b a >>⨯>，∴8a <，∵a 、b 取整数，∴a 的最大值为7，则b 的最大值为6；故选B ．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键． 10．B【解析】试题解析：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′=OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵DC=1，BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC．故选B．11．y﹣1≤2．【分析】首先表示y减去1为y-1，再表示“不大于2”即为y-1≤2．【详解】解：由题意可得：y﹣1≤2．故答案为：y﹣1≤2．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．12．同旁内角互补，两直线平行．【分析】把“如果两直线平行，那么同旁内角互补”的题设与结论互换位置可得原命题的逆命题，从而可得答案．【详解】解：“如果两直线平行，那么同旁内角互补”的逆命题为：同旁内角互补，两直线平行．故答案为：同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题考查的是命题的逆命题，掌握命题的逆命题是解题的关键．13．8【分析】根据已知证明∠DBE＝∠DEB，推出DB＝DE便可解决问题.【详解】解：∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，∵DB＝8，∴DE＝8，故答案为8．【点睛】本题考查等腰三角形判定和性质，平行线性质，解题关键掌握这些基本知识，属于中考的题型.14．46【分析】根据题意得出a2+b2=25，(b-a)2=4，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，然后利用完全平方公式的变形求出(a+b)2即可．【详解】由题意可得在图1中：a2+b2=25，(b-a)2=4，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，∵(b-a)2=4a2-2ab+b2=4，∴25-2ab=42ab=21，∴(a+b)2= a2+2ab+b2=25+21=46，故答案为：46．【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．15．92°【分析】由题意易得∠A=∠B，则可证△AMK≌△BKN，进而可得∠AMK=∠BKN，然后根据三角形内角和及全等三角形的性质可求解．【详解】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，∵AM=BK，BN=AK，∴△AMK≌△BKN（SAS），∴∠AMK=∠BKN，∵∠A+∠AMK+∠AKM=180°，∠MKN+AKM+∠BKN=180°，∴∠A=∠MKN，∵∠MKN=44°，∴∠A=∠B=44°，∴∠P=180°-2∠A=92°；故答案为92°．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．16．30°或60°或150°或300°【分析】分别画出m=30°或60°或150°或300°时的图形，根据图形即可得到答案．【详解】如图1,当m=30°时，BP=BC，△BPC是等腰三角形；如图2,当m=60°时，PB=PC，△BPC是等腰三角形；如图3,当m=150°时，PB=BC，△BPC是等腰三角形；如图4,当m=300°时，PB=PC，△BPC是等腰三角形；综上所述,m的值为30°或60°或150°或300°，故答案为30°或60°或150°或300°.【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质.17．−1≤x＜3；在数轴上的表示见详解【分析】先求出每个不等式的解集，再求出这些不等式解集的公共部分，然后在数轴上表示出来即可．【详解】解：423(1)5132x x x x -≥-⎧⎪⎨-+>-⎪⎩①② 由①得：x≥−1；由②得：x ＜3；∴原不等式组的解集为−1≤x ＜3，在坐标轴上表示：．【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．18．（1）①=；②＞；③＞；（2）≥，理由见解析【分析】（1）分别代入各值，即可比较；（2）根据（1）的结论推出结果．【详解】（1）①当x ＝3时，2918x +=，618x =，故296+=x x ；②当x ＝0时，299x +=，60x ，故296x x +>；③当x ＝﹣3时，2918x +=，618x =-，故296x x +>；（2）∵x 2+9﹣6x ＝(x ﹣3)2≥0，∴x 2+9≥6x ．【点睛】本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明等，解题关键是理解根据“A-B ”的符号与“A 、B ”的大小间的关系．19．(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质得出，三角形底边为6高为1或底边为2高为3均符合题意，作图即可；（2）利用全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，任画一种即可．【详解】（1）答案不唯一（2）【点睛】此题主要考查了三角形面积求法以及等腰三角形的性质和全等三角形的性质等知识，注意答案不唯一．20．（1）30°；（2）．【分析】根据平行线性质，得到∠EDC＝∠B＝60°，再用三角形内角和定理即可求解.△EDC是等边三角形，再根据直角三角形性质即可求解.【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝4，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝8，∴EF＝【点睛】本题考查等边三角形性质，直角三角形性质，熟悉30 的直角边是斜边的一半.21．图①中PC=74；图②中PC=3【分析】由图①可知，PQ垂直平分AB，连接PA，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，设PC=x，利用勾股定理列出方程即可求出图①中的PC；由图②可知AP平分∠ABC，过点P作PD⊥AB 于D，根据角平分线的性质可得PD=PC，然后根据S△ABC=S△ABP＋S△ACP，即可求出图②中的PC．【详解】解：由图①可知，PQ垂直平分AB，连接PA∴PA=PB设PC=x，PA=PB=BC－PC=8－x在Rt△APC中，PC2＋AC2=PA2即x 2＋62=（8－x）2解得：x=7 4即PC=74；由图②可知AP平分∠ABC，过点P作PD⊥AB于D，∴PD=PC在Rt△ABC中，10=∵S△ABC=S△ABP＋S△ACP∴12BC·AC=12AB·PD＋12AC·PC即12×8×6=12×10×PC＋12×6×PC解得：PC=3【点睛】此题考查的是用尺规作图作垂直平分线、角平分线、垂直平分线的性质和角平分线的性质，掌握垂直平分线、角平分线的作法、垂直平分线的性质和角平分线的性质是解决此题的关键．22．（1）每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶；（2）最多能购买消毒液11瓶．【分析】（1）设购买酒精x瓶，消毒液y瓶，利用两次购买的花费分别为350元，260元，列方程组，再解方程组，可得答案；（2）设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，利用现有购买资金200元，列不等式，再解不等式可得答案．【详解】（1）解：设购买酒精x瓶，消毒液y瓶.根据题意列方程组，得：1053501070%580%260x yx y+=⎧⎨⨯+⨯=⎩解得，2030xy==⎧⎨⎩，答：每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶（2）解：设能购买消毒液m 瓶，则能购买酒精2m 瓶.根据题意，得，724200m m ⨯+≤ 解得：100111,99m ≤= ∵m 为正整数，∴ 11m =，所以，最多能购买消毒液11瓶．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，掌握以上知识是解题的关键． 23．（1）BP=2t ；（2）t=72；（3）当v=2或167时，△ABP 与△PQC 全等. 【分析】（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长；（2）根据全等三角形的性质即可得出BP=CP 即可；（3）此题主要分两种情况①△ABP ≌△PCQ 得到BP=CQ ，AB=PC ，②△ABP ≌△QCP 得到BA=CQ ，PB=PC ，然后分别计算出t 的值，进而得到v 的值．【详解】(1)点P 从点B 出发，以2cm/秒的速度沿BC 向点C 运动，点P 的运动时间为t 秒时，BP=2t.(2)当t=72时,△ABP ≌△DCP ， 理由：∵BP=2t ，CP=14−2t ，∵△ABP ≌△DCP ，∴BP=CP ，∴2t=14−2t ，∴t=72. (3)①当△ABP ≌△PCQ 时,∴BP=CQ ，AB=PC ，∵AB=8，∴PC=8，∴BP=BC−PC=14−8=6，2t=6，解得：t=3，CQ=BP=6，v×3=6，解得：v=2；②当△ABP≌△QCP时，∴BA=CQ，PB=PC∵PB=PC，∴BP=PC=12BC=7，2t=7，解得：t=72，CQ=BA=8，v×72=8，解得：v=16 7.综上所述：当v=2或167时，△ABP与△PQC全等.【点睛】此题考查四边形综合题，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答.24．（1）8，（2）①4或4；②83或8．【分析】（1）根据BA=BC可得BC的长，分别根据勾股定理可得OC和AC的长；（2）①分两种情况：AO=OE和AO=AE时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；②分两种情况：i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得14BFCF，可得BF=103，根据平行线的性质证明∠BDG=∠BFG，得BD=BF=103，最后利用勾股定理可得结论；ii）当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，同理计算可得结论．【详解】解：（1）由勾股定理得：CO ＝8，AC2CO +28+＝ ； （2）①分两种情况：i ）如图1，当AO ＝OE ＝4时，过O 作ON ⊥AC 于N ，∴AN ＝EN ，∵DE ⊥AC ，∴ON ∥DE ，∴AO ＝OD ＝4；ii ）当AO ＝AE ＝4时，如图2，在△CAO 和△DAE 中，90A AAOC AED AO AE︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△CAO ≌△DAE （AAS ），∴AD ＝AC ＝∴OD ＝4；②分两种情况：i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，∵S△OBF：S△OCF＝1：4，∴14 BFCF=∴13 BF CB=∵CB＝10∴BF＝10 3∵EF⊥AC，∴BG∥AC，∴∠GBF＝∠ACB，∵AE∥BG，∴∠A＝∠DBG，∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，∴∠DBG＝∠GBF，∵∠DGB＝∠FGB，∴∠BDG＝∠BFG，∴BD＝BF＝103，∴OD＝OB﹣BD＝6﹣103＝83，ii）当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，同理得14 BFCF，∵BC＝10，∴BF＝2，同理得：∠BFG＝∠BDF，∴BD＝BF＝2，∴OD＝OB+BD＝8故答案为：83或8．【点睛】本题考查了全等三角形的综合题，关键是根据全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的面积、勾股定理等知识解答，有难度．。