第一节 正投影法及点的投影特性
第二章 投影的基本知识
Z W a'' O b'' Y
a ( b) YH
68
b' X O
b'' YW
X
A在B的正上方
H面重影，被挡 住的投影加( )
结论： ●X、Y分别相等，H面重影(H面投射线上)，Z大可见。 正上（下）方 ●X、Z分别相等，V面重影(V面投射线上)，Y大可见。 正前（后）方 ●Y、Z分别相等，W面重影(W面投射线上)，X大可见。 正左（右）方
间点重合，另两个投影分别在投影轴上。
60
例3、根据点的坐标，作出点的三面投影， 并想像该点的空间位置。 A(15,10,20)
a'
Z aZ
a''
aX
X a
15
a YW
O a YH
YW
YH
61
B(20,15,0)
Z
X
b'
O
b''
YW
b Y
H
62
C(20,0,20)
c'
Z
c''
X
c
b' a' X b
b"
O
YW
a
YH
因此 点A位于点B左、前、下方。
67
两点重影
▲重影点要判别其可见性，不可见的投影用括号括起来，以示 ▲当空间两点的两对坐标相等时，两点处于同一投射线上，在 区别。 该投射线的投影面上的投影重合在一起，称为该投影面的重影 a'' 点。 a'
V
a' b' A B
H a(b)
X a′ A aX H a aZ
第一章 正投影法基础
耐心和自学的热情是成功的关键。
28
机械与汽车工程学院
例题1: 已知线段AB的投影图，试将AB分成AC:CB=2:1两段，求分 点C的投影。 b
一个投影不能唯一确定形体的形状
耐心和自学的热情是成功的关键。
6
机械与汽车工程学院
耐心和自学的热情是成功的关键。
7
（一）三视图的形成及其投影规律
1、三面投影体系 Z V
正立投影面 侧立投影面
机械与汽车工程学院
投影轴
X
o
水平投影面
W
坐标原点
H
Y
三个投影面互相垂直，三个投影轴互相垂直。
耐心和自学的热情是成功的关键。
机械与汽车工程学院
Z
a′ b"
a"
-
A O
a"
W
X
b
O
YW
后-前
b" a
Y H a 后 -
YH 前
结论:两点中X值大的点 ——在左；两点中Y值大的点 ——在前； 两点中Z值大的点 ——在上
耐心和自学的热情是成功的关键。
16
例2 已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。
机械与汽车工程学院
第一章 正投影法基础
机械与汽车工程学院
一、投影法的基本概念
二、立体表面几何元素的投影分析 三、基本几何体的投影分析 四、物体表面的交线
耐心和自学的热情是成功的关键。
初三数学正投影定义及特性的知识点_正投影的特性
初三数学正投影定义及特性的知识点_正投影的特性
1、正投影
如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面。
像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
(1)线段的正投影分为三种情况。
如图所示。
①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；
②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；
③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点。
(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示。
①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似。
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分。
(3)立体图形的正投影。
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等。
要点诠释：
(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影。
(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影。
(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的。
感谢您的阅读！。
中职《机械制图》第二章必背知识点
第二章正投影法与三视图第一节投影法的概念投影法：从物体和投影的对应关系中，总结出了用投影原理在平面上表达物体形状的方法。
投影法可分为两大类：中心投影法、平行投影法。
一、中心投影法1、定义：投影线互不平行的投影方法。
2、特点：投影比实物大，立体感强。
3、适用：外观图，美术图，照相等。
二、平行投影法1、定义：投影线互相平行的投影方法。
a、斜投影：平行投影中，投影线与投影面倾斜。
b、正投影：平行投影中，投影线与投影面垂直。
第二节三视图的形成及投影规律物体是有长、宽、高三个尺度的立体。
我们要认识它，就应该从上、下、左、右、前、后各个方面去观察它，才能对其有一个完整的了解。
为了准确地表达物体的形状和大小，我们选取互相垂直的三个投影面。
一、、三投影面体系三面:正立投影面：简称正面用V表示水平投影面：简称水平面用H表示侧立投影面：简称侧面用W表示OX轴：V面与H面的交线。
OY轴：H面与W面的交线。
OZ轴：V面与W面的交线。
OX轴、OY轴、OZ轴的交点为原点（O）。
二、三视图的形成1.三视图主视图：正面投影（由物体的前方向后方投射所得到的视图）俯视图：水平面投影（由物体的上方向下投射所得到的视图）左视图：侧面投影（由物体的左方向右方投射所得到的视图）2.三视图的展开规定正面保持不动，水平面绕OX轴向下旋转900，侧面绕OZ轴向右旋转900。
三、三视图之间的对应关系1、位置关系:主视图在上方，俯视图在主视图的正下方，左视图在左视图的正右方。
2、投影关系：主视图反映物体的长度和高度。
俯视图反映物体的长度和宽度。
左视图反映物体的高度和宽度。
主、俯视图反映了物体的同样长度（等长）。
主、左视图反映了物体的同样高度（等高）。
俯、左视图反映了物体的同样宽度（等宽）。
归纳：主视、俯视长对正．．．（等长）。
主视、左视高平齐．．．（等高）。
俯视、左视宽相等．．．（等宽）。
四、方位关系主视图反映了物体的上下左右方位。
俯视图反映了物体的前后左右方位。
机械制图之正投影法的基本投影特性(ppt 24页)
一、同素性 二、从素性 三、定比性 四、平行性 五、全等性
若AB//H面，则ab=AB 若ΔCDE//H，则Δcde ≌ΔCDE
E
D
B
A C
六、积聚性
七、类似性
a
H
e
d
b
c
26.06.2019
画法几何部分（一）
8
正投影法的基本投影特性
一若、AB同⊥素H面性，则AB的投影积聚成一点
二若、ΔC从DE素⊥性H面，则ΔCDE的投影cde积聚成一条线
重点内容：
正投影法的基本投影特性 三面投影图的投影规律； 基本体的投影 根据投影图绘制正等测轴测图
26.06.2019
画法几何部分（一）
3
正投影法的基本投影特性
一、同素性
二、从素性 三、定比性
A
A
B
C
A
四、平行性
五、全等性
a
a
六、积聚性 H
七、类似性
c
b a
26.06.2019
画法几何部分（一）
《机械制图》教学辅导（一）
天津电大 梁柳青
2006.3.21
26.06.2019
画法几何部分（一）
1
投影法基本知识
教学内容
投影法的基本知识 物体的三面投影 工程上常用的投影图 基本立体的投影 轴测投影 用AutoCAD绘制基本体及其投影
26.06.2019
画法几何部分（一）
2
投影法基本知识
三、定比性
B
E
D
四、平行性
C
五、全等性
A
六、积聚性
e
七、类似性
ab
H
cd
工程制图第一版第二章投影基础
（a）
(b)
(c)
图2-11 直线的投影
二、直线的投影
① 一般位置直线――对三个投影面都倾斜的直线。如图 2-11（c）所示。
② 投影面平行线—－平行于一个投影面，而对另外两个 投影面倾斜影点及可见性
一、点的投影
例3 已知空间点A到V面的距离为20、到H面的距离为25、 到W面的距离为15；点B在点A的右方5mm、后方15mm、下方 10mm处，点C在点A的正左方7mm处,求作A、B、C三点的三 面投影。
一、点的投影
图2-10 点的投影作图
二、直线的投影
一、点的投影
① 正面V的重影点，其Y坐标值不等，Y坐标大的点靠前， 其正面投影可见；
② 水平面H的重影点，其Z坐标值不等，Z坐标大的点靠上， 其水平投影可见；
③ 侧面W的重影点，其X坐标值不等，X坐标大的点靠左， 其侧面投影可见。
一、点的投影
如图2-9所示，点A与点B的Z坐标不相等，且ZA>ZB，点A在 上方，故点A与点B是对水平投影面的重影点，且点A的水 平投影可见。
三、平面的投影
图2-18 平面内作任意直线
三、平面的投影
例8 如图2-19a所示，在平面△ABC内作一条水平线，使 其到H面的距离为10mm。 作图步骤： 1）在正投影面内沿较长的投影连线由X轴向上量取10mm得 一点，过该点作OX轴的平行线与平面的边线a′b′、 a′c′分别交于点m′、n′。 2）根据点的投影规律，分别过m′、n′作铅垂线交ab、 ac于m、n。连接m′n′、mn即为所求。 3）描深线MN的两面投影。如图2-19b所示。
1. 投影基础
X
Y
YH
三个投影面的展开
为了把空间三个投影面上所得到的投影画在一个平面上，需将三个相互垂直的 投影面展开摊平为一个平面。令V面保持不动，H面绕OX轴向下翻转90°，W面绕OZ 轴向右翻转90°，则它们就和V面在同一个平面上了。
三面正投影的放置和标注
展开后的三面正投影，H面投影在V面投影的正下方；W面投影在V面投影的正 右方。按照这种位置画投影图时，在图纸上可以不标注投影面、投影轴和投影图的 名称。
工程管理：P1、P2 造价：P57、P58 建工: P4: 2.2 ,2.3 注意要按比例量尺寸作图！
1.4 点的投影
一、点的两面投影及投影规律 二、点的三面投影及投影规律 三、两点的相对位置
一、 点的两面投影及投影规律
两投影面体系的建立
V
水平投影面 —— H 正面投影面 —— V
O
X
投 影 轴 —— OX
W 投影轴 X 水平投影面 （H面） O H Y
V、W、H面两 两垂直；
OX、OY、OZ 三轴形成一个 空间三维坐标 系。
三面正投影图的形成
砖的三个不同 方向的正投影
三个投影面的展开
Z V Z
V
W
V面不动；W面向右旋转 90°；H面向下旋转90° W X O YW O H OY轴一分为二；属H面的 称YH轴；属W面的称YW轴； H
x
2.两点的相对位置
a
a
b B
A
b
b
a
两点中x值大的点 —— 在左 两点中y 值大的点 —— 在前 两点中z 值大的点 —— 在上
3.重影点及投影可见性
d(c) A B
a b
C
D
a(b)
(刘)第1-4章 正投影法基础及点、线、面的投影
三面体投影体系
投影轴
OX轴：V面与H面的交线
OY轴：H面与W面的交线 OZ轴：V面与W面的交线
X
Z
V
W
H Y
o
2.三视图的形成
主视图 左视图 俯视图
⒉ 三个投影面的展开及投影规律
上
主视
上 右
左
主视
后
左视 前
下 后 左
俯视
4、点的两面投影的画法
V
H
通常不画出投影面的边界
二 、点的三面投影
Z
O
W
Y
水平投影面 ---- H 正面投影面 ---- V 侧面投影面 ---- W
H∩V ---- OX V ∩W ---- OZ
H∩W ---- OY
空间点A在三投影面体系上的投影
a 点A的正面投影
a
点A的水平投影 点A的侧面投影
X
Z V
a●
●
A o
●
a
a
W
a● H Y
空间点用大写字母表 示，点的投影用小写 字母表示。
空间点在三投影面上的规律
Z V
a
●
a●
X
W
Z
az
O
●
a
Y
az
A ● O
●
X
ax
a
ax
ay
a
●
ay
H Y
a
●
Y
ay
(1) aax= aaz=y=A到V面的距离
aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
（2）侧垂线
第一章管道识图第一节识图基本知识
第一章 管道工识图第一节 识图基本知识一、正投影的基本概念（一）正投影法管道工程图同机械图、建筑图一样，识勇投影方法画出来的。
为了绘制和识读管道工程图，必须首先建立投影概念。
在日常生活中日光或灯光照射物体，就会在地上或墙上产生影子。
制图中参照这一自然现象，用一组假想光线将物体的形状投射到一个面上去，称为“投影”。
一个物体进行投影，要有投影的光线和承受影子的平面，我们称投射的光线为“投影线”，承受影子的平面叫做“投影面”，在该面上得到的图形，也称“投影”，或投影图。
由于投影线的不同，物体的投影也不同。
如果投影线从一点出发，如图1-1a所示那样把一本书放在灯光下向地面进行投影时，书产生的投影会比实物大。
这种投影方法称为中心投影法。
中心投影法多应用于绘制建筑透视图。
如果光源距离无限增大，投影线相互平行如图1-1b那样时，书产生的投影即与实物大小相同。
这种利用相互平行的投影线进行投影的方法叫做平行投影法。
（a） （b） （c）图1-1 投影概念 图1-2 正投影法在平行投影中，投影线垂直于投影面，物体在投影面上所得到的投影叫做正投影，这种投影方法称为正投影法。
物体的正投影，就是将通过物体个顶点的平行投影线于投影面的交点连接起来所得到的图形。
图1-2所示书的正投影，就是通过书的四个顶点的投影线与投影面的交点连接所成的矩形。
正投影法就是我们平时经常说的“正对着”物体去看而投影的方法。
正投影法的基本特点是：（1）被投影的物体在观察者与投影面之间，就是说，保持人—物—投影面的相对位置关系；（2）投影线相互平行，且垂直于投影面；（3）投影不受人与物体以及物体与投影面之间的距离的影响。
管道工程图大部分是利用正投影法画出来的，因此，学习绘制和识读管道工程图，必须掌握正投影法的原理，并运用这些原理去解决图样中的问题。
本教材以后提到的投影，如无特殊注明，均为正投影，投影图为正投影图。
（二）点、直线和平面的正投影特性管道工程图的各种图样都由不同图线组成，因此，掌握点、直线和平面的投影特性，对图纸的绘制和识读都由很大的帮助。
第一章 正投影法基础
B3
●
采用多面投影。
二、点在两面体系中的投影
两个投影面 互相垂直
投影轴 OX轴
V面与H面的交线
(a)
(b)
(c)
投影面
◆正面投影面（简称正面或V面） ◆水平投影面（简称水平面或H面）
点的投影规律:
(c) ① aa⊥OX轴 ② aax= y=A到V面的距离 aax= z=A到H面的距离
(a)
b' 解：（1）量取坐 标值； （2）作点的投影。 a'
10
Z a"
b"
X
20
10
O b YH
YW
a
例3、已知各点的两面投影，求作其第三投 影，并判断点对投影面的相对位置。 z 点A的三个坐标值均不 a" a' 为0，A为一般位置。 c' c" b' o b" yw 点B的Z坐标为0，故 c x 点B为H面上的点。 a 点C的x、y坐标为0， b
a b a b
侧平线
β
a 实长
α
b
β
a
γ
b
b
a
b
实长
与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角: γ
投 影 特 性： ① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。
投影面垂直线
V a'
b' X
A O B b a
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。
被挡住的投 影加( )
a c
c●
●
a (c )
机械制图之正投影法的基本投影特性
正投影法的基本投影特性 三面投影图的投影规律； 基本体的投影 根据投影图绘制正等测轴测图
23.01.2020
画法几何部分（一）
3
正投影法的基本投影特性
一、同素性
二、从素性 三、定比性
A
A
B
C
A
四、平行性
五、全等性
a
六、积聚性 H a
七、类似性
c
b a
23.01.2020
画法几何部分（一）
一、同素性 二、从素性 三、定比性 四、平行性 五、全等性
若AB//H面，则ab=AB 若ΔCDE//H，则Δcde ≌ΔCDE
E
D
B
A C
六、积聚性
七、类似性
a
H
e
d
b
c
23.01.2020
画法几何部分（一）
8
正投影法的基本投影特性
一若、AB同⊥素H面性，则AB的投影积聚成一点
二若、ΔC从DE素⊥性H面，则ΔCDE的投影cde积聚成一条线
P面为正平面
Q面为正垂面
AB为正垂线
23.01.2020
画法几何部分（一）
B
Q PA
18
基本体的投影
一、常见基本几何体
23.01.2020
画法几何部分（一）
19
基本体的投影
二、基本体的投影
三球圆圆棱柱锥体锥体体
棱柱体
s’
s’
棱锥体 圆柱体
a’
b’ c’ a’’
b’’ c’’
圆锥体 球体
a
c
s
b
23.01.2020
五、全等性
六、积聚性
a
机械制图正投影及三视图画法
• 二、投影法的分类
若投射光源为点光源或投 射线汇交于一点，这样的
投影法叫做中心投影法
用相互平行的投射线，在 投影面上作出物体投影的
方法叫做平行投影法
第一节 正投影法概述
• 二、投影法的分类
相对于中心投影法，平行投影法更能反映物体轮廓的 真实大小。平行投影法又可分为两类:
正投影法与斜投影法，一般用正投影法绘制机械图样
第二节 三视图的形成及其投影规律
• 一、三视图的形成
为了能够准确地反映物体的长、宽、高的形状及位置，通常用 三面投影体系来表达其形状与大小，基本表达方法是三视图
三面投 影体系 的建立 与展开
第二节 三视图的形成及其投影规律
• 一、三视图的形成
➢主视图：从工件的前方向后
投影，在V面上所得到的视图
➢俯视图：从工件的上方向下
• 二、直线的投影
直线与点的相对位置关系
a' c'
A X
V
b' C
0B
b
a' c' b'
X
0
b
ac
c
H
a
若点的投影分别在直线的三面同名投影上（会将线段的各个投影分 割成和空间相同的比例），则可判断点在线上；反之，若点的投影 有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。
第三节 立体表面几何元素投影分析
第三节 立体表面几何元素投影分析
• 一、点的投影
点的三 面投影 的形成
空间点A的三面投影仍为点,分别用对应的小写字 母a、a′、a〞来标记
第三节 立体表面几何元素投影分析
• 一、点的投影
点投影“宽相等” 的三种作法
第三节 立体表面几何元素投影分析
投影法及点的投影
投影法一、投影法的基本知识(从自然现象引深到投影理论，建立概念)投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到该物体图形的方法，称为投影法。
投影法的形成投影四要素: 投影中心、投影线、物体、投影面。
二、投影法的分类中心投影法：投影线相交于投影中心，如上图所示。
平行投影法：投影中心移至无限远时，投影线相互平行，平行投影法又分为正投影和斜投影，正投影的投影线垂直投影面，斜投影的投影线倾斜投影面。
斜 投 影 法 正 投 影 法平行投影法机械图样中的图形主要采用正投影法绘制。
正投影图能正确表达物体的真实形状和大小，且作图方便，所以正投影是我们所要学习一种主要投影方法。
三、正投影的投影特性(对照立体图讲清投影特性，要求熟记结论)1.实形性：当直线、平面平行于投影面时，则在平行的投影面上的投影反映直线实长或平面的实形。
下图中平面 P、直线 AB 等。
2.积聚性:直线、平面和投影方向一致时，则它们在投影面上的投影分别积聚为点、直线、曲线。
下图中平面 Q、直线 AC 等。
3.类似性: 当直线、平面倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，平面的投影为平面图形的类似形。
下图中平面 R、直线 EF 等。
正投影法投影特性四、工程上常用的投影图1.透视图这种图是用中心投影法绘制，这种图符合人眼的视觉效果看起来形象逼真，。
但不能很明显地表达物体的真实形状和度量关系，同时作图很复杂，所以目前主要在建筑工程上作辅助性的图样使用。
2.轴测图这种图是用平行投影法绘制，有比较强立体感，一般都能看懂，但作图比较复杂，并且对复杂机件也难以表达清楚，故在工程上常作为辅助图样来使用。
3.多面正投影图多面正投影图能准确表达物体各部分之间的相互位置关系，且度量性好、作图简单，所以在工程上被广泛应用。
缺点是立体感差，要用多个图形才能表达清楚物体的形状特征。
4.标高投影图它是一种带有数字标记的单面正投影图。
它用正投影反映物体的长度和宽度， 其高度用数字标注，标高投影图常用于表达地面的形状。
第1章 正投影特性
2、视图与形体的方位关系
问题的提出
C
B
形体的一面投影 不能唯一确定其 空间形状
A
H
a,b,c
(b) 水平投影图
1.3.1 三面投影图的形成
1、三投影面体系——由三个互相垂直的投影面组成。
（1）投影面
正立投影面--V (正面） 水平投影面--H (水平面） 侧立投影面--W (侧面）
1、从属性 若点在直线上，X 则点的各个投影必在直线的各 同面投影上。
a
b
c B
C
O A a c b c
利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2、定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找 点或判断已知点是否在侧平线上。
c
C
c
H
投影特性：（一框两线） 1、正面投影abc 反映 ABC实形 2 、abc 、 abc 分别积聚为一条线
（3 ）侧平面
V
c
B b a A a
b b W a c a b a
b
c
a b C
Hc
c
c 投影特性：（一框两线） 1、侧面投影abc 反映 ABC实 形 2 、abc 、 abc 分别积聚为一条线
（1）水平面
V
a A b c B b a a b c b a c
C b a H
c
W
b
a c
c
投影特性：（一框两线） 1、水平投影abc 反映 ABC实形 2 、abc、 abc 分别积聚为一条线
第二章正投影法
3、物体与视图的方位关系
主视图反映物体的上、下 和左、右
俯视图反映物体的左、右 和前、后
左视图反映物体的上、下 和前、后
项目二 投影基础
三、画三视图及识读三视图的方法
1.总体分析物体，选好主视图的方 向，使其主要平面与投影面平行。 2.确定比例、图幅大小。 3.确定三视图的位置，画出定位线、 辅助线。 4.先画出主视图，再依据三等规律 依次画出俯、左视图。
项目二 投影基础
3、两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置 关系
判断方法
x 坐标大的在左侧 y 坐标大的在前方 z 坐标大的在上方 点A在点B的左、后、下方
项目二 投影基础
重影点的可见性判别
空间两点在某一投影面上的投影重 合为一点时，则称此两点为该投影面的 重影点
判别方法
投影特点
投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离 对投影的大小有影响 度量性较差
项目二 投影基础
2．平行投影法 平行投影法 投射线相互平行的投影法 正投影法 投射线与投影面相垂直的平行投影法 斜投影法 投射线与投影面相倾斜的平行投影法
正投影法
正投影法特点
投影大小与物体和投影面之间的距离无关 度量性较好
点的两面投影连线，必定垂直于相应的投影轴
② aax= aaz = A到V面的距离
aax= aay= A到H面的距离 aaz= aay = A到W面的距离
影轴距=点面距
点的投影到投影轴的 距离，等于空间点到相 应的投影面的距离
项目二 投影基础
【例2-1】 已知点A的两个投影，求作第三投影
a● ax
a●
点A、点C为哪个投影面 的重影点呢？
第四章点、直线、平面的正投影规律
图29 直线与一般位置平面相交
求直线与一般位置平面的交点K，可按下面 三个步骤进行：
1、过已知直线AB作一铅垂面P位置平面）相 交，为，作为辅助面。
2、求出辅助面P与已知平面的交线MN的投影。 3、求出MN与直线AB的交点K的投影，点K 就是直线与平面的交点。
（a）已知直线AB和 三角形CDE的投影
第四章 点、直线、平面的正投影规律
学习目标和教学要求: ： 1、熟练掌握点的三面正投影规律； 2、掌握各种位置点、直线、平面的投
影特性及点、线、面相对位置关系； 3、掌握定比性、两直线的相对位置关
系、直线与平面相对位置关系。
第一节 点的投影
一、点的三面投影
作出一点A的三面投影a、a′、a″（图41）。
其余两个投影平行于相应的投影轴，例 如表4-1中，CD//H，所以cd=C，a´b´//OX， a"b 投影轴而另一个投影倾斜时，它 必然是一根投影面平行线，平行 于该倾斜投影所在的投影面。
3.投影面垂直线
（1）空间关系
投影面垂直线垂直于某一个投影面， 因而平行于另外两个投影面。例如，表 4-2中空间直线EF⊥H，因而EF平行于V 面和W面,简称铅垂线。投影面垂直线除 铅垂线外，还有垂直于V面的正面垂直 线（正垂线），垂直于W面的侧面垂直 线（侧垂线）。
5、用迹线表示的特殊位置平面示例
（1）投影面垂直平面: 平面Q是铅锤面，在两投影面体系
中，有一条迹线垂直于投影轴，另一 条迹线倾斜于投影轴。 （2）投影面平行平面：
平面R是平行于H面的水平面，在 两投影面体系中，只有一条迹线，平 行于投影轴。如图4-23和4-24所示，
如图4-23用迹线表示的垂直于投影面的平面
图4—4投影图上的方位
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第二章投影法基础
第一节正投影法及点的投影特性(建议3课时)
考纲要求
熟练掌握点的投影规律。
知识网络
知识要点
一、投影法的基础知识
(一)投影的形成
用日光或灯光照射物体，在墙面或地面上产生影响，这种现象叫投影。
项目序号术语定义
1投影法投射线通过物体，向选定的面投射，并在该
面上得到图形的方法
2投射中心所有投射的起源点
3投影(投影图)根据投影法所得到的图形
4投射线发自投影中心且通过被表示物体上各点的直
线
5投影面投影法中，得到投影的面
6正投影(图)根据正投影法所得到的图形
7斜投影(图)根据斜投影法所得到的图形
8中心投影法投射线汇交一点的投影法
9正投影法投射线与投影面互相垂直的平行投影法10斜投影法投射线与投影面相倾斜的平行投影法
二、点的投影
1．判别原则：两点的相对位置以一点为基准，判别另一点对这一点的上下、左右、前后位置关系。
2．判别方法：判别两点间的相对位置的依据是两点的同名坐标。
X坐标决定左右位置，坐标值大的在左；Y坐标决定前后位置，坐标值大的在前；Z坐标决定上下位置，坐标值大的在上。
3．重影点
(1)重影：空间两个无从属关系的点，若在某一面上的投影重合在一起，则他们在该面上重合的投影称为重影。
(2)重影点：空间两个无从属关系的点，若在某一面上的投影重合在一起，则把这空间两点称为重影点。
(3)形成重影点的条件：空间两点必须有两对同名坐标对应相等且另一对同名坐标不相等。
(4)可见性判别及表示：根据重影点不相等的一对坐标判别。
哪一个点的坐标值大，哪一个点的投影就可见。
在投影图上，将投影不可见的点的字母用圆括号括起来。
典型例题
【例1】已知空间点B到三个投影面W、V、H面的距离分别为25,20,30。
求作B点的三面投影图及直观图。
【解题指导】点B到三个投影面的距离分别是25、20、30，根据点的投影形成过程我们可以知道点到W面的距离等于点B的x坐标值，点到V面的距离等于点B的y坐标值，点到H面的距离等于点B的z坐标值，则点B的坐标为(25,20,30)。
作图时，首先作出投影轴并标注上相应的字母。
沿OX轴的方向向左量取x坐标(x＝25)，使Ob x＝25，再过b x作OX轴垂线，向上截取b x b′＝30，向下截取b x b＝20，分别得到点的正面投影b′和水平投影b，然后由这两面投影根据点的三面投影规律作出侧面投影b″。
(答案见左图)
求作点B的直观图按如下步骤：(1)画出三条投影轴：OX轴沿水平方向，OZ轴垂直于OX轴，OY轴与OX轴夹角为135°。
(2)作点B的直观图：沿OX轴向左截取Ob x＝25，过b x作OY轴平行线，在OY轴的平行线上截取b x b＝20，再过b点作H面的垂线(OZ轴平行线)，向上量取bB＝30，即点B。
(答案见右图)
【答案】
【点评】(1)求作点的三面投影面首先要正确理解点的坐标与点的三面投影之间的关系，如b(x，y)，b′(x，z)，b″(y，z)。
做这类题的关键是要找出点的三个坐标值，坐标值可能是具体的数值，也可能是图中的线段。
(2)求作直观图一要正确建立好直观图的坐标系，其次要依次在对应的位置截取坐标值。
(3)要注意正确标注出坐标轴的字母。
(4)投影连线用细实线绘制。
【例2】根据图中所给A、B、C三点的投影图，判别A、B、C的空间位置。
【解题指导】(1)A点的三面投影a，a′，a″均不在投影轴上，说明x、y、z都不为零，所以A点在空间。
(2)B点的正投影、侧面投影均在投影轴上，说明Z坐标为零，所以B点在水平面上。
(3)C点的水平投影、侧面投影均在投影轴上，说明Y坐标为零，所以C点在正面上。
【答案】A点在空间，B点在水平面上，C点在正面上。
【点评】(1)根据点的投影图判别点的空间位置，首先要掌握各种不同位置点的投影特点，然后再分析所给点的三面投影图，找出点的投影特性来判别空间点的位置。
(2)如果点的三面投影均在投影面上，则该点一定在空间；如点的三面投影中只有一面投影在投影面上，另两面投影在投影轴上，则该点一定在某投影面上；如点的三面投影有二面在投影轴上且另一面投影在原点，则该点一定在某投影轴上。
(3)由投影图判别点的空间位置，就是由平面到空间的读图过程，因而也是培养空间想像能力的开始，熟练掌握这些规律是以后读图的基础。
【例3】已知A(28,0,20)、B(24,12,12)、C(24,24,12)、D(0,0,28)四点，试在三投影面体系中作出直观图，并画出投影图。
【解题指导】由于把三投影面体系与空间直角坐标系联系起来，所以已知点的三个坐标就可以确定空间点在三投影面体系中的位置，此时点的三个坐标就是该点分别到三个投影面的距离。
作图：作直观图，如图(a)所示，以B点为例，在OX轴上量取24，OY轴上量取12，OZ轴上量取12，在三个轴上分别得到相应的截取点b x、b y和b z，过各截点作对应轴的平行线，则在V面上得到正面投影b′，在H面上得到水平投影b，在W面上得到了侧面投影b″。
同样的方法，可作出点A、C、D的直观图。
其中A点在V面上(因为Y A＝0)，其正面投影a′与A重合，水平投影a在OX轴上，侧面投影a″在OZ轴上。
D点在OZ轴上(X D ＝Y D＝0)，其正面投影d′、侧面投影d″与D点重合于OZ轴上，水平投影d在原点O处。
点B和点C有两个坐标相同(X B＝X C，Z B＝Z C)，所以它们是对V面的重影点。
它们的第三个坐标Y B﹤Y C，正面投影c′可见，b′不可见加上圆括号。
根据各点的坐标作出投影图，如图(b)。
(a)(b)
【答案】见上图
【点评】(1)点的坐标与点到投影面的距离之间的对应关系要搞清楚，X坐标反映的是点到W面的距离；Y坐标反映的是点到V面的距离；Z坐标反映的是点到H面的距离。
(2)重影点的问题，即在同一方向，坐标值大的挡住了坐标值小的，坐标小的要加圆括号。
【例4】判别(a)图中点A、B的三面投影是否正确。
若不正确，请在(b)图中给出正确的三面投影。
【解题指导】由图(a)中点A的三面投影图可以知道：A的正面投影a′位置是正确的，但字母a′书写的位置却在水平面H上，应书写在正面V面上；同时，A的侧面投影a″不应在Y H轴上，而应在Y W上，a″字母也应书写在W面内。
B点的三面投影图有两个错误：一是B点的水平投影b的位置应该在OY H轴上，而不应在OY W轴上；二是b′书写位置不对，应书写在V面内。
改正后的投影图见图(b)。
【答案】
(a)(b)
【点评】(1)表示某面投影的字母要写在相应的投影面内。
(2)OY轴展开后分为OY H轴和OY W轴。
点的水平投影应在XOY H面内(包括OX和OY H 轴)，点的侧面投影应该在ZOY W面内(包括OZ轴和OY W轴)，不要混淆。
因而对三面投影图的形成过程尤其是投影面是如何展开的要非常清楚。
【例5】已知A点的三面投影图，B点在A点的正上方5mm，C点在A点左方10mm、后方10mm处，且C点与A点等高。
求作出B点、C点的三面投影，并比较B、C两点的位置。
【解题指导】B点在A点的正上方5mm，说明B点与A点是一对重影点，他们的水平投影重合在一起。
若设A点的三个坐标为(x，y，z)，则B点的坐标为(x，y，z＋5)，求作B点的三面投影时，b′应在a′正上方5mm，b″也在a″正上方5mm，b与a重合，且b 可见a不可见。
答案见图右。
C点在A点左方10mm、后方10mm处，且C点与A点等高，则C点的坐标为(x＋10，y－10，z)。
求作C点的三面投影时，c′在a′左侧10mm处，c″在a″后方10mm处，再由c′、c″作出c点的水平投影c。
答案见图右。
由投影图中可看出，B点在C点的上方、右侧、前面。
【答案】
【点评】(1)判别点的相互位置依据的是点的同名坐标之间的关系。
x坐标决定左右、y坐标决定前后、z坐标决定上下位置关系。
(2)求作点的三面投影依然要找出该点的三个坐标，但不一定是具体数值，可以是某条线段。
重影点求作投影时不要忘记可见性的判别。
巩固训练
．已知空间某点M到H、V、W面的距离均相等，均为15mm。
求作M点的投影。
1．已知点A距W面20mm；B点与A点在W面上的投影重合；点C与点A是对正面的重影点，其Y坐标为30mm；点D在点A的正下方20mm。
补全各点的三面投影，并表明其可见性。
第1题图
第2题图。