证明线段相等的方法

证明线段相等的方法

（一）常用轨迹中：

①两平行线间的距离处处相等。

②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。

③角平分线上任一点到角两边的距离相等。

④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。

（二）三角形中：

①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）

②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。

③任意三角形的内心到三边的距离相等。

④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。

⑤直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离相等。

⑥有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。

⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边(图2）。

⑧同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等(图3）。

（三）四边形中：

①平行四边形对边相等，对角线相互平分。

②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。

③菱形中四边相等。

④等腰梯形两腰相等、两对角线相等。

⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰(图4）。

（四）正多边形中：

①正多边形的各边相等。且边长a n = 2Rsin (180°/ n)

②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距r n ) 相等。

且r n = Rcos (180°/ n)

（五）圆中：

①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。

②同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。

③任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。

④自圆外一点所作圆的两切线长相等。

⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。

⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）。

⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）。

⑧两同心圆中，内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分（图7）。

（六）全等形中：

①全等形中，一切对应线段（对应的边、高、中线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等。

（七）线段运算：

①对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等。

②对应相等线段乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以的相等倍数所得的商相等。

③两线段的长具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则此二线段相等。

证明角相等的方法

（一）相交直线及平行线：

①二直线相交，对顶角相等。

②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等，外错角相等。

③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角都相等。

④角的平分线分得的两个角相等。

⑤自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另一角的右边，则此二角相等(图1、2）。

（二）三角形中：

①同一三角形中，等边对等角。（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等）

②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。

③有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三内角都相等）

④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角形（图3）。

（三）四边形中：

①平行四边形对角相等。

②菱形的对角线平分一组对角。

②矩形的四角相等，且均为直角。

③等腰梯形同一底上的两角相等。

（四）正多边形中：

①正多边形的各内角相等、外角相等，且内角= (n-2)180°/ n，外角=360°/ n

②正多边形的中心角相等，且中心角αn=360°/ n 。

（五）圆中：

①同圆或等圆中，等弧或等弦或等弦心距所对的圆心角相等、圆周角相等。

②同圆或等圆中，含等弧或等弦的弦切角相等，且与所对的圆周角相等。

③同圆或等圆中，所夹二弧或二弦相等的圆内角相等、圆外角相等。

④自圆外一点所作圆的两切线，二切线所夹的角被过该点的连心线平分。

⑤两相交或外切或外离的圆中，二外公切线所夹的角被二圆的连心线平分；两外离的圆中，二内公切线所夹的角也被二圆的连心线平分(图4）。

⑥圆的内接四边形中，任一外角与其内对角相等。

（六）全等形中：

①全等形中，一切对应角都相等。

（七）相似形中：

①相似形中，一切对应角都相等。

（八）角的运算：

①对应相等角的和相等；对应相等角的差相等。

②对应相等角乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等角除以的相等倍数所得的商相等。

③两角的大小具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则此二角相等。

④两锐角或两钝角的正弦具有相同的数学解析式，此二角相等；两角的余弦、正切具有相同的数学解析式，此二角相等。

证明线段不等关系的方法

（一）常用轨迹中：

①（线段公理）所有连结两点的线中，线段最短。

②自直线外的一点，向直线作一条垂线和多条斜线，则斜线长的所对的射影也长；射影长的所对的斜线也长，且其中垂直线段最短(图1）。

③两平行线间公垂线最短。

（二）三角形中：

①同一三角形中，大角对大边，小角对小边，直角或钝角所对的边最大。

②任意三角形中，任二边之和大于第三边，任二边之差小于第三边。

③直角三角形中，斜边最长。

（三）圆中：

①同圆或等圆中的各条弦、以直径最长。

②同圆或等圆中，大弦或大圆心角所对所对的弦心距小，小弦或小圆心角所对所对的弦心距大；

小弦心距或大圆心角所对的弦大，大弦心距或小圆心角所对的弦小（图2）。

③同圆或等圆中，若弧为劣弧，圆周角为锐角：则大弧或大圆周角所对的弦大；

小弧或小圆周角所对的弦小（图2）。若弧为优弧，圆周角为钝角，则反之（图3）。

④同圆或等圆中，若弧为劣弧，圆周角为锐角：则大弧或大圆周角所对所对的弦心距小，

小弧或小圆周角所对所对的弦心距大（图2）。若弧为优弧，圆周角为钝角，则反之（图3）。