知识讲解_三角函数的图象和性质_基础
高考数学复习考点知识讲解课件22 三角函数的图象与性质
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[解析] 由 2x＋π6≠π2＋kπ(k∈Z)，得 x≠π6＋k2π(k∈Z)，故函数 f (x)的定义域为 x|x≠π6＋k2π，k∈Z.故选 D．
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2．(2022·东北师大附中月考)函数 f (x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为( B )
(2)∵f (x)为偶函数， ∴－π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，得 φ＝56π＋kπ，k∈Z. 又 φ∈(0，π)，∴φ＝56π. ∴f (x)＝3sin2x＋π2＝3cos2x. 由 2x＝π2＋kπ，k∈Z，得 x＝π4＋k2π，k∈Z， ∴f (x)图象的对称中心为π4＋k2π，0，k∈Z.
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(1)三角函数周期的一般求法 ①公式法． ②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期． (2)对于可化为 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或 f (x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求 f (x)的对 称轴，只需令 ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)(或令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求 x 即可；如果求 f (x)的对 称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)或令ωx＋φ＝π2＋kπk∈Z，求 x 即可．
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3．函数 f (x)＝cosx＋π6(x∈[0，π])的单调递增区间为( C ) A．0，56π B．0，23π C．56π，π D．23π，π
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[解析] 由 2kπ－π≤x＋π6≤2kπ，k∈Z，解得 2kπ－76π≤x≤2kπ－π6，k∈Z，∵x∈[0， π]，∴56π≤x≤π，∴函数 f (x)在[0，π]的单调递增区间为56π，π，故选 C．
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
专题五+5.3三角函数的图像与性质课件——2023届高三数学一轮复习
标):ωx+φ=π+2kπ.(以上k∈Z)
例1
(2022重庆十一中月考,5)函数f(x)=Asin(ωx+φ)
A
0,
ω
0,
0
φ
2
的部分图象如图所示,将其向右平移 3 个单位长度后得到图象对应的函
数解析式为 ( )
A.y= 2 sin 2x
B.y=
2
sin
2x
3
C.y=
2
sin
2x
3
D.y=
5 3
, 13 6
⫋
3 2
, 5 2
,易知函数y=sin
x在
3 2
,
5 2
上单调递增,则函数f(x)=sin
2
x
3
在区间
,
5 4
上单调递增,故
D正确.故选BD.
答案 BD
考法三 三角函数的最值 求三角函数最值常见的函数形式
1.y=asin x+bcos x= a2 b2 sin(x+φ),其中cos φ= a ,sin φ= b .
2
,
0
,(π,-1),
3 2
,
0
,(2π,1).
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图时,一般先列表,后 描点,连线,其中所列表如下:
ωx+φ
x
y=A· sin(ωx+φ)
0
π
2
-
π - + 2
左平移 个单位长度,得到曲线C2
12
(完整版)最全三角函数的图像与性质知识点总结
i ng si nt he i rb ei n ga re g三角函数的图像与性质一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质二、正切函数的图象与性质函数y ＝sin x y ＝cos x图象定义域RR 值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z )递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z )最 值x ＝2k π＋(k ∈Z )时，y max ＝1；π2x ＝2k π－(k ∈Z )时，y min ＝－1π2x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）对称轴：x ＝k π＋，k ∈Zπ2对称中心：(k π＋，0)(k ∈Z )π2对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）最小正周期2π2π定义域{|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域R单调性递增区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈奇偶性奇函数对称性对称中心：（含原点）(,0)()2k k Z π∈最小正周期π三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由的图象得到()的图象x y sin =)sin(ϕω+=x A y 0,0A ω>>xy sin =方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移操作向左平移φ个单位横坐标变为原来的倍1ω结果)sin(ϕ+=x y xy ωsin =操作横坐标变为原来的倍1ω向左平移个单位ϕω结果)sin(ϕω+=x y 操作纵坐标变为原来的A 倍结果)sin(ϕω+=x A y 注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
专题06知识点 三角函数的图像与性质
-
-3 2
-2
1
o
-1
2
3
2 2
7
3 2
5
4
2
x
y
y=tanx
y
y=cotx
3 -2
-
-2
o
2
3
x
2
-
-2
o
2
3 2 x
2
函数 y=sinx
y=cosx
定义 域
值域
R
R
［-1，1］x=2kπ+ ［-1,1］ 2
时 ymax=1
x=2kπ时
x=2kπ- 2
时 ymin=-1
ymax=1
0
2 3 5
3 2
6
4
3
2
3
4
6
2
3.弧长及扇形面积公式
弧长公式： l .r
扇形面积公式:S= 1 l.r 2
----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径
知识点二：诱导公式
1.常用的诱导公式
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关 系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关 系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα
三角函数基础知识
三角函数基础知识三角函数基础知识1、任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：角α的终边上任意一点p的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切、余切分别是(2)三角函数值的符号正弦值与余割值对于第一、二象限的角是正的，而对于第三、四象限的角是负的．余弦值与正割值对于第一、四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的．正切值与余切值对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、四象限角是负的，也可以按正的在各象限的函数来记，即“一全、二正弦，三切、四余弦”(正割、余割分别与余弦、正弦符号相同)2．同角三角函数的基本关系式(1)倒数关系：sinαcsc=1 cosαsecα= tgαctgα=1(3)平方关系：sin2α+cos2α=1 1+tg2α=sec2α 1+ctg2α=csc2α3．诱导公式(1) k·360°+α(k∈Z)，-α，180°±a，360°-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α角看成锐角时原函数值的符号，即sin(k·360°+α)＝sinα，cos(k·360°+α)=cosαtg(k·360°+α)=tgα，ct g(k·360°+α)=ctgα(k∈Z)sin(-α)=-sinα，cos(-α)＝cosαtg(-α)=-tgα，ctg(-α)=-tgαsin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosαtg(180°+α)=tgα，ctg(180°+α)=ctgαsin(180°-α)=sinα，cos(180°-α)=-cosαtg(180°-α)=-tgα，ctg(180°-α)=-ctgαsin(360°-α)=-sinα，cos(360°-α)=cosαtg(360°-α)=-tgα，ctg(360°-α)=-ctgα(2) 90°±α，270°±α的三角函数值等于a的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，例如sin(90°+α)=cosα，tg(270°+α)=-ctgα综上，诱导公式可概括为k·90°±α(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k为偶数时)或余名(k为奇数时)的函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简称之为“奇余偶不变，符号看象限”．4．三角函数的图象和性质(1)三角函数线以原点为圆心，以单位长为半径的圆叫做单位圆，如图2—3，设角α的终边与单位圆的交点为p ，过p作PM垂直于x轴，垂足为M，A(1，0)、B(0，1)，过A、B点作单位的切线AT、BS分别与角α的终边或其反向延长线交于T、S则有向线及MP、OM、AT、BS、OT、OS分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线．(2)三角函数的图象正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx(如图2—4)正切函数y=tgx 余切函数y=ctgx (如图2—5)(3)三角函数的周期①周期函数对于函数y=f(x)，如果存在着一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数来说、如果在所有的周期中存在着一个最小正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．教科书上所指三角函数的周期均为最小正周期．(4)三角函数的性质5、积化和差与和差化积（1）积化和差与和差化积各有四个公式，它们实质是一类公式的正用或逆用，即积化和差公式的逆用就是和差化积公式。
三角函数图象及性质知识总结
一、基本概念、定义、公式： （1）两角和差公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；c o s ()c o s c o ss i n αβαβαβ±= ；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=（2）倍角公式 变形：（升降幂公式） 22tan tan 21tan ααα=-21cos (1cos 2)2αα=+ sin 22sin cos ααα= 21sin (1cos 2)2αα=-2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- （3）合一变形（辅助角公式）sin cos )a b αααϕ+=+，其中tan ,(,)baϕϕππ=∈-，且ϕ与点(,)a b 在同一象限三角函数图象及性质一、 基本概念、定义、公式： 1. 三角函数图象及其性质（下表）五点法画sin y x =的图象： (0,0)，(,1)2π，(,0)π，3(,1)2π-，(2,0)π2. sin()y A x ωϕ=+的性质 (0,0)A ω>> 振幅：A ； 最小正周期2T πω=； 频率1f T=； 相位：x ωϕ+； 初相：ϕ 3. 函数图像变换 ()()f x f x k →+：若0k >，左移k 个单位；若0k <，右移||k 个单位，从而使x x h →+ ()()f x f x ω→：纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍，从而使x x ω→()()f x f x h →+：若0h >，上移h 个单位；若0h <，下移||h 个单位，从而使y y h →+()()f x Af x →：横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，从而使y y A→4. 三角函数化简：若求函数的最小正周期、单调区间、值域（即最值），要先将函数化简，化简的原则为：①一种三角函数；②一种类型的角；③三角函数为一次幂。
三角函数的图像与性质(名师经典总结)
三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）【知识点1】函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质题型1：定义域例1：求下列函数的定义域(1)xx y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin = 2lg(4)x -题型2：值域 例2：求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合题型3：周期例3：求下列函数的周期： （1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4π-) （4）y=sin x 例4： 若函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.例5：若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.例6：使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】A ．π25B ．π45C ．πD ．π23例7：设函数f(x)=2sin(25x ππ+),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是A.4B.2C.1D.12题型4：奇偶性 例8：函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是【 】A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y=cos 1sin x x+例10：已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性例11：函数y =21log sin(2x +4π)的单调递减区间是【 】 A.（k π－4π,k π］(k ∈Z ) B.（k π－8π,k π+8π］(k ∈Z ) C.（k π－83π,k π+8π］(k ∈ D.（k π+8π,k π+83π］(k ∈Z )例12：.求1cos()3412logx y π+=的单调区间例13：求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ；(3))23πsin(2x y -=例14：（1）求函数y=2sin(2x-3π)的单调递减区间。
三角函数知识点归纳
单调减区间可由2k ＋ ≤x＋≤2k ＋ ，k∈z解得。
在求 的单调区间时，要特别注意A和 的符号，通过诱导公式先将 化正。
如函数 的递减区间是______
（答：
解析：y= ，所以求y的递减区间即是求 的递增区间，由 得
，所以y的递减区间是
四、函数 的图像和三角函数模型的简单应用
终边在 轴上的角的集合为
终边在 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角 相同的角的集合为
(3)弧度制
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
③半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是
公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.
公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α， ．
公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α， .
公式五：sin ＝cos_α，cos ＝sinα.
公式六：sin ＝cos_α，cos ＝－sin_α.
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：
① 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍；
② ；问： ； ；
③ ；④ ；⑤ ；等等.
如[1] . （答案： ）
④若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ， ， ．
三角函数图象和性质详细讲解
1 cos( ) sin 2 1 sin( ) cos 2 1 tan( ) cot 2 1 cos( ) sin 2
tan
2 tan 1 tan
2
2
2
sin 15 cos75
2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2 6 2,
公式组五 sin(2 x) sin x cos(2 x) cos x tan(2 x) tan x cot(2 x) cot x
（二）角与角之间的互换 公式组一 cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
k , k 1 上为减函
数（ k Z ）
2
2k ]
上为增函 数 ； 单调性
[ 2k , 2 3 2k ] 2
上为增函数 [2k , 2k 1 ] 上为减函数 （kZ ）
上 为 增 函 数 （kZ ）
上为减函 数 （k Z ）
图象
注意：① y sin x 与 y sin x 的单调性正好相反； y cos x 与 y cos x 的单调性也同样相 反.一般地，若 y f ( x) 在 [a, b] 上递增（减） ，则 y f ( x) 在 [a, b] 上递减（增）.
4
sin sin 2 cos
sin
三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结.pdf
2
cos cos 2cos
cos
2
2
cos cos
2sin
sin
2
2
sin cos cos sin cos cos sin sin
1 sin(
2 1
sin( 2 1 cos( 2
1 cos(
2
) sin( ) ) sin( ) ) cos( )
) cos( )
六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，
左正右余中间 1”；记忆方法“对角线上两个
WORD 格式整理版
4. 三角函数的图像和性质： （其中 k z ） ①：
三角 y sinx y cosx
函数
y tanx y cotx
ห้องสมุดไป่ตู้
函 数 图 象
定义域
值域 周期
R
[-1,1]
2
R
[-1,1]
2
xk 2
R
xk
R
奇偶性
奇
单
2k
, 2k
2
2
调
2k
, 2k
2
2
性
对
对称轴 : x k
2
称
性 对称中心 : ( k , 0)
22
函数， 叫做反正切
的反函数， 叫做反 余切函数
正弦函数
弦函数
函数
图像
性 质 定义域
［-1 ，1］
值域 单调性
［- ， ］
22
1,1 增函数
［-1 ，1］
［ 0，π］
1,1 减函数
(- ∞， +∞）
(- ∞， +∞）
(- ， )
22
, 增函数
2025高考数学一轮复习-4.4-三角函数的图象与性质【课件】
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ((π1)，正0弦)，函_数_3_2π_y，_＝_－_s_in1__x，，(x2∈π，[0，0).2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1， (2)余弦函数 y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0， ____(π__，__－__1_)_____，32π，0，(2π，1).
f－π8＝ 2sin2×－π8＋π4＋1＝1，则 f(x)的图象关于点－π8，1对称，故 C 正确； 当 x∈－π4，π4时，2x＋π4∈－π4，34π，故当 2x＋π4∈－π4，π2，即 x∈－π4，π8 时，函数单调递增； 当 2x＋π4∈π2，34π，即 x∈π8，π4时，函数单调递减，故 D 错误.
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{xx∈R，且 x≠kπ＋π2}
值域
___[_－__1_，__1_]____ ___[_－__1_，__1_] __
R
最小正周期
___2_π__
__2_π___
__π__
奇偶性
_奇__函__数___
3.函数 y＝3tan
2x＋π 4
的定义域是(
C
)
A.xx≠kπ＋π2，k∈Z
B.xx≠k2π－π8，k∈Z
C.xx≠k2π＋π8，k∈Z
D.xx≠k2π，k∈Z
解析 要使函数有意义，则 2x＋π4≠kπ＋π2，k∈Z，
即 x≠k2π＋π8，k∈Z，
三角函数的图像与性质知识点归纳
1●高考明方向1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象， 了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．★备考知考情三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法.《名师一号》P552二、例题分析： （一）三角函数的定义域和值域 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为____________解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π (k ∈Z)．∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z.∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z}．3例1．（2）《名师一号》P56 高频考点 例1(1) 函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解:(1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z .注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法 (1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）． 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定 三角不等式的解．4例2．（1）《名师一号》P56 对点自测4函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－3解:∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. 注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之一： 利用sin x 和cos x 的值域(图像)直接求；例2．（2）8月月考第17题(1)17．（满分12分）已知函数22()3cos 2cos sin sin f x x x x x =++．5（I ）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；222()3cos 2cos sin sin 12cos sin 2f x x x x x x x =++=++………2分)2x =++ …………3分……4分即()f x 的值域为2]+. …………………6分注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之二： 化为求sin()=++y A x b ωϕ的值域 如：①sin cos y a x b x =+合一变换6sin()y A x ϕ=+②22sin sin cos cos y a x b x x c x =++sin 2cos2y d x e x f =++sin(2)y A x b ϕ=++ 注意弦函数的有界性！变式:《名师一号》P58 特色专题 典例1若函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π3处有最小值－2，则常数a ，b 的值是( )A ．a ＝－1，b ＝ 3B ．a ＝1，b ＝－3C ．a ＝3，b ＝－1D ．a ＝－3，b ＝1解:函数f (x )＝a sin x －b cos x 的最小值为－a 2＋b 2. f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，降幂 合一变换7则⎩⎨⎧－a 2＋b 2＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32a －12b ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1.【名师点评】 解答本题的两个关键：①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式； ②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．例2．(3)《名师一号》P56 高频考点 例1(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解:∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.8注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之三：把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．练习: (补充)（1）求函数22tan 1()tan 1x f x x -=+的值域【答案】[)1,1-（2）求函数22sin 1()0,sin 22x f x x x π+⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域【答案】)+∞92222sin 13sin cos ()sin 22sin cos 3tan 1113tan 2tan 2tan 0,tan 0211()23tan 32tan x x x f x x x xx x x x x x f x x xπ++==+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎛⎫∈∴> ⎪⎝⎭≥=注意：求三角函数的值域的常用方法之三：求三角函数的值域的常用方法： 化为求代数函数的值域注意约束条件----三角函数自身的值域！例2．（4）(补充)求函数()sin cos sin cos =+-f x x x x x 的值域【答案】12⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦注意：求三角函数的值域的常用方法之四：10《名师一号》P56 问题探究 问题3 如何求三角函数的值域或最值？③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(或最值)． 利用22sin cos 1x x +=转化为二次函数在指定区间 上的值域问题变式:求函数()sin cos sin cos +=+f x x x x x 的值域例2．（5）详见 第一章 第二讲函数值域 7．数形结合法： 例7(2)《名师一号》P14 问题探究 问题（6）当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．(补充)如两点间距离、直线斜率等等求函数4sin 12cos 4+=-x y x 的值域11解:()114sin sin 4422cos 2cos 2⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--x x y x x 可视作单位圆外一点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭P 与圆221+=x y 上的点()cos ,sin x x 所连线段斜率的2倍,设过点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭P 的点的直线方程为()12+=-y k x 即1204---=kx y k1=解得34=-k 或512=k答案：35,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦注意：求三角函数的值域的常用方法之五： 数形结合法练习：求函数[]cos 10,sin 2-=∈-x y x x π的值域12答案：40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦变式：求函数cos 1,sin 222-⎡⎤=∈-⎢⎥-⎣⎦x y x x ππ的值域答案：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦拓展:8月月考第16题函数22)24()2cos x x xf x x xπ+++=+的最大值是M ，最小值是m ，则M m +的值是 .22222)2sin cos 2sin 4()12cos 2cos 2cos x x xx x x x x x f x x x x x x x π+++++++===++++，记2sin ()2cos x xg x x x+=+，则()g x 是奇函数且()1()f x g x =+，所以()f x 的最大值是max 1()M g x =+，13 最小值是min 1()m g x =+，因为()g x 是奇函数， 所以max min ()()0g x g x +=，所以max min 1()1()2M m g x g x +=+++=.（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测5设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数答案 B例1．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（2）(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解：由于y ＝cos|2x |＝cos2x ，所以该函数的周期为2π2＝π；由函14数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③，故选A.注意：《名师一号》P56 问题探究 问题1 如何求三角函数的周期？ (1)利用周期函数的定义． (2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.例1．（3）《名师一号》P58 特色专题 典例2函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx(ω>0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________【规范解答】 相邻两对称轴之间的距离为2，即T ＝4.f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx15＋32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.注意：【名师点评】 函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)，f(x)＝A cos (ωx ＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期π|ω|，纵坐标之差的绝对值是2A .在解决由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．练习:《加加练》P3 第11题例2．（1）《名师一号》P57 高频考点 例3（1）(1)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3解： (1)∵f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，∴f (0)＝±1.16∴sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z)．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π2.故选C.变式：若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是奇函数，则φ＝？例2．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（3）(3)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解：(3)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.注意：【规律方法】(1)若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值，若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.(2)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．《名师一号》P56 问题探究问题4如何确定三角函数的对称轴与对称中心？若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x.(补充)结果写成直线方程！如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．(补充)结果写点坐标！同理对于y＝A cos(ωx＋φ)，可求其对称轴与对称中心，对于y＝A tan(ωx＋φ)可求出对称中心．1718练习1：《名师一号》P58 特色专题 典例3已知f(x)＝sin x ＋3cos x(x ∈R)，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2为偶函数，则φ的值为________．【规范解答】 先求出f (x ＋φ)的解析式，然后求解．∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ∴f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ＋π3. ∵函数f (x ＋φ)为偶函数，∴φ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)．又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.练习2：《计时双基练》P247 第3题（四）三角函数的单调性 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测6下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )19A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2解析 由函数的周期为π，可排除C ，D.又函数在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ，故选A.练习1：《计时双基练》P247 第7题函数y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭24的单调递减区间为练习2:《加加练》P1 第11题（2）《名师一号》P57 高频考点 例2已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．20解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．注意：《名师一号》P56 问题探究 问题2 如何求三角函数的单调区间？(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式21求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．例2．《名师一号》P58 特色专题 典例4(2014·全国大纲卷)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【规范解答】 先化简，再用换元法求解．f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x .令t ＝sin x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，∴t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.∴g (t )＝1－2t 2＋at ＝－2t 2＋at ＋1⎝⎛⎭⎫12<t <1，由题意知－a 2×(－2)≤12，∴a ≤2. ∴a 的取值范围为(－∞，2]．22 课后作业一、计时双基练P247 基础1-11、课本P56变式思考1二、计时双基练P247培优1-4课本P56变式思考2、3预习 第五节练习：1、设函数f (x )＝2sin(2πx ＋5π)．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D. 12分析：∵f (x )的最大值为2，最小值为－2，∴对∀x ∈R ，－2≤f (x )≤2.取到最值时x ＝2π＋k π，|x 1－x 2|取最小值，即f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值且(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))为相邻的最小(大)值点，即半个周期．解析：f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|min ＝2T ＝2. 故选B.232、为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，求ω的最小值。
第五章 第四节 三角函数的图象与性质 课件(共63张PPT)
，解
得 ω＝32 .
法二：由题意，得 f(x)max＝fπ3
2．(必修 4P35 例 2 改编)若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大
值为 A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
A [T＝22π ＝π，A＝2－1＝1.]
3．(必修 4P40 练习 T4 改编)下列关于函数 y＝4cos x，x∈[－π，π]的单 调性的叙述，正确的是( )
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
又当 x∈[0，π2
]时，f(x)∈[－
2 2
，1]，所以π2
≤ω2π
－π4
≤5π4
，解得
3 2
≤ω≤3，故选 B.
π
π
π
优解：当 ω＝2 时，f(x)＝sin (2x－ 4 ).因为 x∈[0，2 ]，所以 2x－ 4 ∈
π [－ 4
，3π4
π ]，所以 sin (2x－ 4
)∈[－
2 2
，1]，满足题意，故排除 A，C，
B．[kπ，kπ＋π2 ](k∈Z)
C．[kπ＋π6 ，kπ＋23π ](k∈Z)
D．[kπ－π2 ，kπ](k∈Z)
(2)函数 y＝tan x 在－π2，32π 上的单调减区间为__________．
高中三角函数基础知识
三角函数基本知识点第一部分主要包括三角函数的图象及其性质、函数y=Asin(ax+b)、y=Acos(ax+b)及y=Ata n(ax+b)的图象及其性质。
关键是理解并掌握三角函数的图象及其性质、三角函数图象的变换。
1．三角函数的图象及性质(1)正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：TIPS ：本节知识在段考中是必考内容，多以选择题和填空题形式考查基础知识，多以解答题的形式考查三角函数的图像和性质。
在高考中，多以解答题的形式和三角函数的概念、简单的三角恒等变换、解三角形联合考查三角函数的最值、单调区间、对称性等，属于难题。
本节主要讲角的概念与角的表示、弧度的概念及表示、角度和弧度互化、特殊角的弧度、弧长和扇形的面积公式、任意角的三角函数的定义、任意角的三角函数的定义域、任意角的三角函数的各象限的符号、单位圆、正弦线、余弦线和正切线等知识点。
知识点较多，但大多数比较容易理解记忆，主要是三角函数线难理解一些。
结合任意角的三角函数的定义就好理解1、任意角的三角函数：（1）弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。
（2）扇形的面积公式：lR S 21= R 为圆弧的半径，l 为弧长。
（3）同角三角函数关系式： ①倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a a a cos sin tan =， a a a sin cos cot = ③平方关系：1cos sin 22=+a a在段考中，多以选择题和填空题的形式考查弧长和扇形的面积公式、任意角的三角函数的定义、任意角的三角函数的各象限的符号、单位圆及三角函数线等知识，难度不大。
在高考中多以选择题和填空题的形式与三角恒等变换联合考查，也是属于容易题，主要是记忆性的知识。
【函数的平移变换】：①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位（左加右减）②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位（上加下减）【函数的伸缩变换】：①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w1倍（1>w 缩短， 10<<w 伸长） ②)0)(()(>=→=A x Af y x f y 将)(x f y =图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（1>A 伸长，10<<A 缩短）【函数的对称变换】：①)()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折）；（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）②)()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折）；（对三角函数来说：图像关于y 轴对称） ③)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）； ④)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）本节主要包括同角的三角函数的关系、诱导公式和两角和、差得正弦、余弦和正切等知识点。
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高考复习正弦、余弦的图象和性质【考纲要求】1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义.2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22ππ-的单调性. 【知识网络】【考点梳理】考点一、“五点法”作图在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)，(,1)2π，(,0)π，3(,-1)2π，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质名称sin y x =cos y x = tan y x =定义域x R ∈ x R ∈{|,}2x x k k Z ππ≠+∈值 域[1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞图象奇偶性奇函数 偶函数奇函数单单调增区间: 单调增区间: 单调增区间：应用三角函数的图象与性质正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质正切函数的 图象与性质要点诠释：①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域．②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有(+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）. 要点诠释：应掌握一些简单函数的周期：①函数sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的周期2T πω=；②函数tan()y A x ωϕ=+的周期T πω=； ③函数sin y x =的周期=T π；④函数tany x=的周期=Tπ.【典型例题】类型一、定义域例1．求函数21log1sin=-yx的定义域.【思路点拨】根据要使偶次根式有意义只需偶次根式下大于等于零即可，同时对数要有意义，再结合单位圆中的三角函数线解不等式即可.【解析】为使函数有意义，需满足21log10,sinsin0.⎧-≥⎪⎨⎪>⎩xx，解得10sin2<≤x，由单位圆，如图所示：故函数的定义域为5{|22,}{|22,}66x k x k k Z x k x k k Zπππππππ<≤+∈+≤<+∈U.【总结升华】求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”.在求解三角函数中，我们可以在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成.举一反三：【变式】求函数22sin cos1=+-y x x的定义域.【解析】为使函数有意义，需满足22sin cos10+-≥x x，即22cos cos10--≤x x，解得1cos12-≤≤x，由单位圆，如图所示：函数的定义域为22{|22,}33x k x k k Zππππ-<<+∈.例2．求函数2sin25log(2sin1)xy x x=--的定义域.【思路点拨】只需2250x-≥，同时对数要有意义，即底sin0x>且sin1x≠，真数2sin 10x ->.【解析】由题有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≠>≥-01sin 21sin 0sin 0252x x x x ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+≠∈+<<+≤≤-)(22)(6526255Z k k x Z k k x k x ππππππ 将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分，由于x ∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即：∴因此函数的定义域为：3375[5,)(,)(,)(,)2266226πππππππ----U U U 【总结升华】①sinx 中的自变量x 的单位是“弧度”，x ∈R ，不是角度.求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x 的取值范围不能发生变化.②求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线. 举一反三：【变式1】求函数的定义域：（1）2log tan 12y x x =+ （2）tan(sin 4lg(2cos 1)x xy x π-=-.【解析】（1）要使得函数有意义，需满足042log 012tan 02x x k x k x πππ<≤+≥⇒≤<+≥⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩，解得20x π<<或4x π≤≤，∴定义域为：(0,)[,4]2x ππ∈U .（2）要使得函数有意义，需满足42sin 02cos 102cos 11x k x x x πππ⎧-≠+⎪⎪⎪≥⎨⎪->⎪-≠⎪⎩解得π22,3k x k k Z ππ<<+∈ ∴定义域为：π{|22,}3x k x k k Z ππ<<+∈. 【变式2】已知()f x 的定义域为[0,1]，求(cos )f x 的定义域.【解析】∵()f x 中[0,1]x ∈，∴(cos )f x 中cos [0,1]x ∈，解得ππ22,22k x k k Z ππ-≤≤+∈， ∴(cos )f x 的定义域为：ππ{|22,}22x k x k k Z ππ-≤≤+∈.类型二、值域例3.求下列函数的值域：（1） 1sin cos y x x =+ （2）cos y x x =+ 2([,])63x ππ∈【思路点拨】（1）解析式利用二倍角的正弦公式化简后求值域；（2）利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求得函数的最大值与最小值，注意自变量的取值范围. 【解析】（1）根据11sin cos sin 222x x x =≤可知1322y ≤≤， 故函数的值域为1322yy ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）cos 2sin()6y x x x π=+=+，由263x ππ≤≤知5366x πππ≤+≤，由正弦函数的单调性可知1sin()126x π≤+≤， 故函数的值域为{}12y y ≤≤.【总结升华】①形如sin +y a x b =或cos +y a x b =，可根据sin ,cos x x 的有界性来求最值；②形如2sin +sin +y a x b x c =或2cos +cos +y a x b x c =可看成关于sin ,cos x x 的二次函数，但也要注意它与二次函数求最值的区别，其中sin 1,cos 1x x ≤≤；③形如sin +cos y a x b x =可化为(+)y x ϕ=（其中tan =baϕ）的形式来确定最值. 举一反三： 【变式】已知44x ππ-≤≤且0x ≠，求函数tan()2y x π=-的值域.【解析】44x ππ-≤≤Q ,且0x ≠，3424x πππ≤-≤且22x ππ-≠， 由正切函数的单调性可知1y ≥或1y ≤-， 故函数的值域为{}11y y y ≥≤-或. 类型三、奇偶性例4.判断下列函数的奇偶性：（1）(=sin (cos )f x x ） （2）1-sin (=1+sin xf x x）【思路点拨】（1）先观察定义域为R ，再判断f(x)与f （-x ）的关系，可得答案；（2）先观察定义域，注意到定义域区间不关于原点对称，易得出答案.【解析】（1）函数的定义域为R ，(-=sin[cos(-)]=sin(cos )=(f x x x f x Q ）） (=sin(cos )f x x ∴）是偶函数.（2）由题意有1+sin 0x ≠，故-1<sin 1x ≤，所以函数的定义域为32-2x x R x k ππ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭且， 显然函数的定义域区间不关于原点对称，所以函数1-sin (=1+sin xf x x）既不是奇函数也不是偶函数.【总结升华】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。
判断函数奇偶性常见步骤：①判定定义域是否关于原点对称；②判定f(x)与f （-x ）的关系.举一反三：【变式】判断函数5(=cos(2+)2f x x π）的奇偶性. 【解析】5(=cos(2+)= -sin22f x x x πQ ）， (-= -sin(-2)=sin 2= -()f x x x f x ∴）故5(=cos(2+)2f x x π）是奇函数. 类型四、周期性例5. 求下列函数的周期： （1）22cossin 22y x x =-；（2）tan 36y x π=-）（ 【思路点拨】运用公式化简转化为熟悉的三角函数的周期. 【答案】（1）2T π=；（2）3T π=【解析】（1）22=cos cossin 22x y x x=-， ∴周期为2T π=； （2）函数tan()y A x ωϕ=+0,0A ω≠≠（）的周期T πω=， ∴周期为3T π=. 【总结升华】① 求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，比如sin()y A x ωϕ=+或tan()y A x ωϕ=+的形式，否则很容易出现错误.②函数sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的周期2T πω=，函数tan()y A x ωϕ=+的周期Tπω=.举一反三：【变式】求函数的最小正周期．（1）sin()32y xππ=-；（2）sin cosy x x=+；（3）22(sin cos)2cosy x x x+=+【解析】（1）24||2Tππ==-，∴周期为4；（2）cos sin2sin()4y x x xπ=+=+，∴周期为2π；（3）2sin2cos222sin(2)4y x x xπ=++=++，∴周期为π.类型五、单调区间例6．求函数=-sin(+)4y xπ的单调区间.【思路点拨】借助正弦函数图象及含有绝对值的函数图象的画法，来帮助分析.【解析】令=+4X xπ，则=-sin(+)= -sin4y x Xπ，函数= -siny X的周期为π，且图象如图所示：显然，当+,2k X k k Zπππ≤≤∈时，= -siny X单调递减；当+< +,2k X k k Zππππ≤∈时，= -siny X单调递增；∴当++,42k x k k Zππππ≤≤∈时，=-sin(+)4y xπ单调递减；当+<++,24k x k k Zπππππ≤∈时，=-sin(+)4y xπ单调递增；故=-sin(+)4y xπ的单调递减区间为[-,+],44k k k Zππππ∈；单调递增区间为3(+,+],44k k k Zππππ∈.【总结升华】复合三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出来的. 举一反三：【变式】求函数2=sin -2sin +2y x x 的单调区间：【解析】令=sin X x ，则22=22=(1)1y X X X -+-+， 且1X ≤ 显然函数2=(1)1y X -+在1X ≤始终是单调递减的， 所以[2-,2+]22x k k ππππ∈时，=sin X x 单调递增，2=sin -2sin +2y x x 单调递减；3[2+,2+]22x k k ππππ∈时，=sin X x 单调递减，2=sin -2sin +2y x x 单调递增； 故2=sin -2sin +2y x x 单调递减区间为[2-,2+],22k k k Z ππππ∈；单调递增区间为3[2+,2+],22k k k Z ππππ∈. 类型六、综合【高清课堂：正余弦函数的图象和性质397862 例4】 例7. 已知函数 (sin -cos )sin2()sin x x xf x x=，（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.【思路点拨】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．【解析】（1）由题知sin 0x ≠，即x k π≠， 所以()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，(sin -cos )sin2()=sin 2-cos 2(2-) -1sin 4x x x f x x x x x π=Q2==2T ππ∴. （2）由-+22-+2242k x k πππππ≤≤，即3-++88k x k ππππ≤≤，()f x 单调递增， 故()f x 的单调递增区间区间为3[-,+],88k k k Z ππππ∈. 【总结升华】对于较为复杂的三角函数，可通过恒等变形转化为sin()+y A x B ωϕ=+或cos()+y A x B ωϕ=+的形式进行. 求三角函数的最小正周期，一般运用公式2πT ω=来求解；注意三角函数的单调性的求解. 举一反三：【变式1】 函数π()sin()16f x A x ω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2． (1)求函数()f x 的解析式；(2)设π(0,)2α∈，则()22f α=，求α的值．【解析】(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2．∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π， ∴最小正周期T ＝π．∴ω＝2．故函数()f x 的解析式为=2sin(2) 1.6y x -+π(2)∵π()2sin()1226f αα=-+=，即1sin =.62α⎛⎫- ⎪⎝⎭π∵π02α<<，∴πππ,663α-<-<∴ππ=66α-， 故π.3α= 【变式2】已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域.【解析】（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+Q1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+221cos 2sin 2sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+- sin(2)6x π=-∴()f x 的最小正周期2T 2ππ== 由2()62x k k Z πππ-=+∈，得()23k x k Z ππ=+∈ ∴函数图象的对称轴方程为：()3x k k Z ππ=+∈（2）5 [,],2[,]122636 x xπππππ∈-∴-∈-Q因为()sin(2)6f x xπ=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以当3xπ=时，()f x取最大值1，又31()()12222f fππ-=-<=Q，当12xπ=-时，()f x取最小值3-,所以函数()f x在区间[,]122ππ-上的值域为3[,1]-.【巩固练习】一、选择题1．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是（）(A)2π (B)4π (C)4π(D)2π2. 函数22=cos-siny x x是（）(A) 周期为π的奇函数 (B) 周期为2π的奇函数(C) 周期为π的偶函数 (D) 周期为2π的偶函数3. 函数()tan()4f x xπ=+的单调递增区间为（）(A) (,),22k kππππ-+k Z∈ (B)(,(1)),k kππ+k Z∈(C)3(,),44k kππππ-+k Z∈ (D)3(,),44k kππππ-+k Z∈4．函数y=x+sin|x|, x∈[-π,π]的大致图象是（）5.cos(2)sin(2)33y x xππ=+-的单调递增区间是（以下k Z∈）（）(A) [832,82ππππ++kk] (B) [82,82ππππ+-kk](C) [22,42ππππ++k k ] (D) [43,4ππππ++k k ] 6. 函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） (A) －3，1(B) －2，2(C) －3，32(D) －2，327. 若函数()sin +cos (>0)f x ax ax a =的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为（ ） (A) 1(,0)8(B) (,0)8π(C) 1(-,0)8(D) (0,0) 二、填空题 8. ()cos()6f x wx π=-的最小正周期为5π，其中0w >，则w = . 9. 函数2=cos +sin y x x 的最大值为________．10. 如果()sin()2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= .11．函数=2sin (-2)6y x π([0,])x π∈为增函数的区间 ________.三、解答题12.已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域.13.设2()6cos 2f x x x =（1）求()f x 的最大值及最小正周期；（2）若锐角α满足323)(-=αf ，求4tan 5α的值.14.设函数()f x a b =⋅r r ,其中向量(,cos2),(1sin 2,1)a m x b x ==+r r，x ∈R ,且函数()y f x =的图象经过点,24π⎛⎫⎪⎝⎭， （1）求实数m 的值；（2）求函数()f x 的最小值及此时x 的值的集合.15. 设函数f (x )＝)R (cos sin 32sin 22∈+⋅+x x x x λωωω的图像关于直线x ＝π对称，其中λω,为常数，且),1,21(∈ω(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点)0,4π(，求函数f (x )的值域．【参考答案与解析】 1．【答案】：D ； 【解析】：1=sin 42y x ，从而最小正周期为2π. 2. 【答案】：C【解析】：22=cos -sin =cos 2y x x x ，显然函数是周期为π的偶函数. 3. 【答案】：C 【解析】：令242k x k πππππ-<+<+可得.4．【答案】：C【解析】：由函数的单调性及特殊点的坐标先排除B 、D ；又当2x π-=时，x 12y >+π-=，分析A 、C 图可知C 成立.5．【答案】：A【解析】：化简出1sin 42y x =-+，原题即求sin4x 的一个递减区间， 所以324222k x k ππππ+≤≤+⇒82ππ+k ≤x≤328k ππ+. 6．【答案】：C【解析】：2213()cos 22sin =1-2sin +2sin =-2(sin -)+22f x x x x x x =+， 当max 13sin =,()22x f x =时；min sin = -1,()-3x f x =时. 7. 【答案】：C【解析】：因()sin +cos (+)4f x ax ax ax π=且 >0a ，从而有2=1aπ，即=2a π，((2+)4f x x ππ∴，令2+=4x k πππ得1=-28k x ，故()f x 的对称中心为1(-,0)28k ，显然1(-,0)8是函数的一个对称中心. 8.【答案】：10【解析】：2=5w ππ，0w >，从而=10w .9. 【答案】：54【解析】：22215=cos +sin =-sin +sin +1=-(sin -)+24y x x x x x ， 当max15sin =,()24x f x =时 10. 【答案】：2-【解析】： ()()f x f x -=-整理可得tan 2ϕ=-. 11. 【答案】：5[,]36ππ【解析】：=2sin (-2)6y x π的增区间就是=2sin y X的减区间，其中-26X x π=，由3+2-2+2262k x k πππππ≤≤得2----36k x k ππππ≤≤，因为[0,]x π∈，显然当=-1k 时，函数的增区间为5[,]36ππ.12.【解析】： （1）43sin ,,,cos 525x x x ππ⎡⎤=∈∴=-⎢⎥⎣⎦Q ，1()2cos 2cos 2f x x x x ⎫∴=+-⎪⎝⎭x x cos sin 3-=53354+=. （2）()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，2x ππ≤≤Q，5366x πππ∴≤-≤， 1sin 126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴函数)(x f 的值域为]2,1[. 13. 【解析】：（1）1cos2()6()22xf x x +=-3cos 223x x =+12sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故()f x 的最大值为3；最小正周期22T π==π．（2）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭故cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 又由02απ<<得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得512α=π．从而4tan tan 53απ==14 .【解析】：（1）()(1sin 2)cos2f x a b m x x =⋅=++r r，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（2）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，． 15. 【解析】：(1)因为λωωωω+⋅+-=x x x x x f cos sin 32cos sin )(22.)6π2sin(22sin 32cos λωλωω+-=++-=x x x由直线π=x 是)(x f y =图象的一条对称轴，可得，1)6ππ2sin(±=-ω 所以ππ12ππ(),().6223k k k k ωω-+∈=+∈Z Z ＝即 15,1,1,.26k k ωω∈∈=Z 又（）所以故＝所以)(x f 的最小正周期是.56π (2)由)(x f y =的图象过点)0,4π(，得0)4π(=f ，.2,24πsin 2)6π2π65sin(2-=-=-=-⨯-=λλ即即,2)6π35sin(2)(--=x x f 故函数）（x f 的值域为]22,22[---．。